Resumos
Apresentamos nesse trabalho a ideia de como ensembles generalizados podem ser utilizados para simplificar operacionalmente o estudo de sistemas físicos não aditivos. Como alternativa aos métodos tradicionais de integração direta ou teoria de campo médio, mostramos como a solução do modelo de Ising com interações de alcance infinito é obtida utilizando um ensemble canônico generalizado. Descrevemos como as propriedades termodinâmicas para esse modelo na presença de um campo magnético externo são encontradas por meio de simples equações paramétricas. Sem prejuízos a interpretação usual, obtemos um comportamento crítico identico ao observado nas abordagens tradicionais.
modelo de Ising; interações de alcance infinito; ensemble canônico generalizado
In this work we present the idea of how generalized ensembles can be used to simplify the operational study of non-additive physical systems. As alternative of the usual methods of direct integration or mean-field theory, we show how the solution of the Ising model with infinite-range interactions is obtained by using a generalized canonical ensemble. We describe how the thermodynamical properties of this model in the presence of an external magnetic field are founded by simple parametric equations. Without impairing the usual interpretation, we obtain an identical critical behaviour as observed in traditional approaches.
Ising model; infinite-range interactions; generalized canonical ensemble
ARTIGOS GERAIS
Termodinâmica do modelo de Ising com interações de alcance infinito via ensemble canônico generalizado
Thermodynamics of Ising model with infinite-range interactions by generalized canonical ensemble
Leandro G. RizziI,1 1 E-mail: lerizzi@usp.br. ; Rafael B. FrigoriII
IDepartamento de Física, Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo, Ribeirão Preto, SP, Brasil
IIUniversidade Tecnológica Federal do Parana, Toledo, PR, Brasil
RESUMO
Apresentamos nesse trabalho a ideia de como ensembles generalizados podem ser utilizados para simplificar operacionalmente o estudo de sistemas físicos não aditivos. Como alternativa aos métodos tradicionais de integração direta ou teoria de campo médio, mostramos como a solução do modelo de Ising com interações de alcance infinito é obtida utilizando um ensemble canônico generalizado. Descrevemos como as propriedades termodinâmicas para esse modelo na presença de um campo magnético externo são encontradas por meio de simples equações paramétricas. Sem prejuízos a interpretação usual, obtemos um comportamento crítico identico ao observado nas abordagens tradicionais.
Palavras-chave: modelo de Ising, interações de alcance infinito, ensemble canônico generalizado.
ABSTRACT
In this work we present the idea of how generalized ensembles can be used to simplify the operational study of non-additive physical systems. As alternative of the usual methods of direct integration or mean-field theory, we show how the solution of the Ising model with infinite-range interactions is obtained by using a generalized canonical ensemble. We describe how the thermodynamical properties of this model in the presence of an external magnetic field are founded by simple parametric equations. Without impairing the usual interpretation, we obtain an identical critical behaviour as observed in traditional approaches.
Keywords: Ising model, infinite-range interactions, generalized canonical ensemble.
1. Introdução
Em geral, a ocorrência de problemas matematicamente inconsistentes, ou apenas intratáveis, impulsiona o desenvolvimento de novos paradigmas teóricos na física, o que se da muitas vezes pela extensao de formalismos já conhecidos. Consideremos, por exemplo, o aparecimento das estatísticas de Bose-Einstein e Fermi-Dirac na teoria dos ensembles na mecânica estatística [ 1] . Nesses casos, com o advento do ensemble grandecanoânico, foi possável obter as propriedades termodinâmicas de diversos sistemas como gases quânticos não-interagentes a partir de modelos microscópicos [2].
Nas últimas décadas, o desenvolvimento de ensembles generalizados2 2 Diferentemente da mecânica estatística generalizada de Tsallis [3], essas formulações são consideradas apenas extensões particulares do ensemble canânico. tem constituido uma abordagem promissora no tratamento de uma série de modelos na mecânica estatística [4-9]. Computacionalmente, a utilização desses ensembles generalizados está ligada à busca de algoritmos de amostragem de configurações (por exemplo, o metodo de Monte Carlo) mais eficientes [10-13]. O objetivo desse artigo e ilustrar a utilização prática dessas possíveis generalizações. Como motivação, apresentamos pedagogicamente o estudo do modelo de Ising com interações de alcance infinito.E ste e um modelo interessante e que exemplifica um sistema não trivial, já que não apresenta aditividade na energia. Além disso, outras duas soluções analíticas, via integração direta ou teoria de campo medio, são conhecidas [14,15].
Na Seção 2 revisamos os aspectos gerais envolvidos na dedução3 3 Essa derivação foi originalmente proposta por R. Toral e pode ser encontrada na Ref. [6]. de uma classe geral de ensembles, baseada no formalismo canônico. No contexto da teoria das flutuações discorremos brevemente sobre a equivalência entre os ensembles dessa classe e os ensembles usuais
(canônico e microcanônico). Na Seção 3, além de descrever o modelo de Ising de alcance infinito, discutimos em detalhes como as suas propriedades termodinâmicas são obtidas a partir do formalismo canônico generalizado empregando simples equações paramétricas.
2. O ensemble canônico generalizado
Consideramos aqui, sem perda de generalidade, um sistema magnetico com N spins submetido a um campo magnetico externo H. Denotamos por \m seus microestados com energia Em. Utilizamos o princípio da maximização da função entropia [16]
para encontrar as probabilidades pm de cada um dos microestados, onde kB e a constante de Boltzmann.
Além do vínculo estabelecido pela condição de normalização da distribuição de probabilidade
com pm> 0, escolhemos o vínculo
onde Φ(Ē) é uma função arbitraria da energia4 4 Note que o vínculo da expressão (2) implica que Φ( Ē) = Φ( Ē) Ē = , com simbolizando o Hamiltoniano do sistema. Note que se = interação - H (com sendo o operador magnetização), então Ē (Ē = Ū - H ) é igual a entalpia magnética do sistema.5 5 Muitas vezes esse fato passa despercebido nos livros texto. Para uma discussão detalhada vide Ref. [17].
Como solução do problema de maximização obtemos uma distribuição canônica generalizada, cujo peso é dado por
onde
e a função de partição generalizada e e um multiplicador de Lagrange.
Substituindo a expressão (3) na expressão (2) obtemos
ou, de forma equivalente,
Analogamente ao que e feito no ensemble canônico tradicional, substituimos o resultado (3) na expressão ( 1) , o que fornece a seguinte expressão para a entropia
Precisamos agora de uma relação entre o parâmetro e a temperatura absoluta T. Derivando ambos os lados da Eq. (6) com respeito a Ē obtemos
a qual pode ser comparada com conhecida relação a termodinâmica
onde E é a entalpia magnética do sistema [14]. Comparando as duas últimas expressões diretamente obtemos a relação
a qual permite expressar e Ē em termos das variaveis usuais T, H e N. Vale notar que todas as relações aqui generalizadas reduzem-se às usuais, do ensemble canônico, quando Φ (E) = E .
Sendo Φ (E) uma função crescente de E, temos que a função distribuição de probabilidades e um produto da função densidade de estados Ω(E) - que cresce rapidamente - e da função - que descresce rapidamente6 6 Isso ocorre apenas se a função Φ( Ē) é crescente. - ou seja,
No limite termodinâmico um pico bem pronunciado surge em algum valor E = Ē*. A localização desse pico e obtida através da relação
ou seja, quando
Substituindo a igualdade na Eq. (7) na expressão anterior obtemos
que e a mesma equação que no ensemble microcanônico define a temperatura como uma função de Ē, assim, no limite termodinâmico, a função Ē* (T, H, N) coincide com a função Ē "(T, H, N) do ensemble microcanônico.
Utilizando a distribuição de probabilidades dada pela expressão (8) , calculamos a função de partição a partir da Eq. (6), obtendo assim
Assumindo que a soma na expressão acima e dominada pelo maior termo, onde E = E*, chegamos à seguinte expressão
em concordância com o ensemble microcanônico.
Para a equivalencia com o ensemble canônico tradicional devemos demonstrar que as flutuações
são negligenciáveis no sentido de que as flutuações relativas anulam-se (i.e.) no limite termodinâmico. Como Φ (Ē) não depende explicitamente de mas depende da temperatura T, que por sua vez depende de , devemos considerar a derivada implicita
Utilizando a igualdade da expressão (7) reescrevemos T em função de Φ' Ē e a partir de onde obtemos:
Efetuando a derivada do lado direito da Eq. (10) teremos
onde podemos substituir a definição do calor específico a campo constante
Essa expressão e geral, portanto, o procedimento de verificação da equivalencia de ensembles deve ser executado para cada escolha particular da função Φ (E).
3. O modelo de Ising de alcance infinito
Consideremos um sistema com N spins de Ising (Si = ±1) que interagem por meio de uma interação de troca de alcance infinito. A fim de fornecer um limite termodinâmico bem comportado introduzimos um fator 1/N na interação de troca entre dois spins. Sem isso, a energia associada a interação de um unico spin poderia crescer linearmente com o volume da amostra e um limite termodinâmico bem definido seria impossível. Com isso, o fator 1 /N garante a extensividade mas não a aditividade do modelo. Tambem incluímos o caso de interação entre spins comum campo magnético externo H. Para esse sistema o Hamiltoniano7 7 O fator 2 na contribuição da interação de troca foi incluído por uma questão de conveniencia nos cálculos e tambem para manter a notação consistente com a utilizada na Ref. [14] . e definido por
A não-aditividade para esse sistema pode ser verificada considerando o Hamiltoniano da soma de dois de seus subsistemas . A presença de termos cruzados, denotados por , diferentes de zero, define o que chamamos de sistema não-aditivo.
Considerando a identidade
podemos reescrever o primeiro somatorio na Eq. (13) como
Dessa maneira o Hamiltoniano pode ser reescrito como
onde completamos quadrados para obter
3.1. Solução no ensemble canônico generalizado
Dado que E e auto-valor de , escolhemos
Notamos que a função Φ (E) é crescente para E ∈ (J - NJ - H, J). Além disso, utilizando a Eq. (12), e possível mostrar8 8 Consideramos aqui que Φ = Φ( E) como definido pelo vínculo na expressão (2). que no limite termodinâmico e, consequentemente, que essa escolha de Φ(E) gera um ensemble canônico generalizado equivalente ao ensemble canônico tradicional.
Utilizando a Eq. (4) obtemos, a partir da Eq. (15), a seguinte função de partição
Uma vez que estas somas são independentes (i.e. inexistem termos cruzados SiSj) podemos reescrever a Eq. (16) por meio de um produtáorio da seguinte maneira
Somando explicitamente sobre os valores dos spins e efetuando o produtoário sobre todos os N spins, obtemos
Tomando o logarítmo da função de partição generalizada, dada pela Eq. (17), obtemos a seguinte expressão
que pode ser utilizada para calcular a função Φ(E) por meio da expressão (5), ou seja
Calculamos
Entao, fazendo a substituição de na Eq. (19) e multiplicando o resultado por 1 obtemos
Consideremos a seguinte definição para a constante Tc
que, de fato, representa a temperatura cráítica do modelo relacionada àa transição de fase ferromagnética, a qual distingue as fases ordenada (ferromagnética, para T < Tc) e desordenada (paramagnetica, para T > Tc).
Em seguida, efetuamos as seguintes mudanças de variáveis
e
Dessa maneira podemos reescrever a Eq. (21) como
então, se fizermos uso da definição
obteremos uma simples equação transcendental
Por fim, como visamos o cálculo das grandezas termodinâmicas, escolhemos parametrizar a razão T/Tc. Para tal, introduzimos a variável
na Eq. (26), de onde obtemos finalmente a seguinte equação paramétrica
3.2. Grandezas termodinâmicas
A partir da Eq. (26) e de relações termodinaómicas é possáível obter equações paramétricas para grandezas como a entropia, entalpia magnetica, calor específico e magnetização em função da variável ξ. Apresentamos a seguir tal procedimento, utilizando os gráficos para ilustrar o comportamento dessas grandezas em função da razão T/Tc dada pela expressão (28).
Entropia
Considerando as seguintes identidades
reescrevemos a Eq. (18) como
A partir da definição (15) e da expressão (20) escrevemos
Assim, substituindo as expressões (29) e (30) na Eq. (6) encontramos a entropia do sistema
de onde, com o auxílio da mudança de variável definida pela igualdade (27), obtemos
O gráfico da entropia adimensional S/NkB para diversos valores de h é mostrado na Fig. 1. Notamos que
para T > Tc a entropia adimensional S/NkB tende para ln 2 = 0, 6931..., valor esperado para um sistema de spins de Ising usual (de dois estados).
Entalpia magnética
Para calcular a entalpia magnética E do sistema invertemos a expressão (23), que fornece a igualdade E= J(1 - Nu), a qual, no limite termodinâmico, e dada como
Utilizando a definição na Eq. (27), reescrevemos a expressão
como
onde substituimos a razão T=Tc dada pela expressão (28) , o que resulta em u = tanh2 (ξ) + 2h tanh (ξ). Finalmente, substituindo esse ultimo resultado para u na Eq. (33) teremos
que, junto com a Eq. (28), fornece o gráfico da entalpia magnética adimensional por spin E/NJ em função da razao T/Tc para diversos valores do campo magnético adimensional h, como mostra a Fig. 2.
Calor específico
Calculamos o calor específico a campo constante utilizando a seguinte relação da termodinâmica
Considerando as Eqs. (33) e (34) temos
Como o campo H e constante e não depende de T, reescrevemos cH como
Derivando os dois lados da Eq. (26) em relação a variável T obtemos
onde podemos isolar
Então, substituindo
Por fim, fazendo uso da definição (22) e das igualdades (27) e (28), reescrevemos a equação acima como
que é uma equaçãoo paramétrica para o calor específico a campo constante. Na Fig. 3 apresentamos o gráfico para o calor específico CH=NkB em funçãoo da razão T=Tc para diferentes valores do campo magnético adimensional h.
Magnetização
Para o cálculo da magnetização do sistema, consideramos a energia livre de Gibbs dada por G(T, H) =E (S, H) - TS, de onde extraimos a seguinte relação:
Lembrando que a derivada parcial em H é escrita em termos de h = H=2J como (2J)-1∂=∂h.
Partindo da entalpia magnética E dada pela Eq. (33) e considerando u definido como na expressão (34), calculamos
O segundo termo da Eq. (40) é obtido utilizando a entropia S dada pela Eq. (31), ou seja,
onde podemos substituir a identidade (26), o que resulta em
Substituindo os resultados das Eqs. (41) e (42) na ex pressão (40) chegamos a
que, a partir da expressão (26), pode ser reecrita como
Finalmente, considerando a mudança de variavel (27), obtemos a equação parametrica para a magnetização m = tanh (ξ), utilizada para obter o gráfico apresentado na Fig. 4.
Notamos que, pela Eq. (43) obtemos a relação x = m + h, que pode ser substituida na Eq. (44), fornecendo
Esta é exatamente a equação transcendental encontrada para esse modelo através das abordagens usuais, seja ela a teoria de campo médio ou a integração direta da função de partição (vide Ref. [14]). A partir dela e possáível obter todos os expoentes cráíticos de maneira análoga aà usual e tirar conclusões sobre a sua classe de universalidade [14, 15].
4. Conclusões
Revisamos aqui o conceito de que e possível construir uma classe de ensembles canônicos generalizados, os quais podem ser utilizados em abordagens alternativas para solucionar problemas na mecaónica estatística. Utilizando um ensemble particular dessa classe de ensembles canônicos generalizados, obtivemos a solução do modelo de Ising com interação de alcance infinito de maneira simples, isto e, sem utilizar a integração da função de partição via ponto de sela ou argumentos da teoria de campo medio. Além disso, apresentamos um procedimento via equações paramétricas que permite a caracterização de propriedades termodinâmicas tanto analiticamente quanto visualmente, o que pode ser util em estudos de outros modelos, especialmente aqueles que não apresentam aditividade.
Agradecimentos
Os autores gostariam de agradecer aos professores Alexandre S. Martinez e Nelson A. Alves pelas discussões realizadas e à CAPES pelo fomento.
Referências
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[2] Sistemas tais como gas de eietrons (modelo de Sommerfeld para condutividade), de fotons (distribuição de Plank e lei de Stephan-Boltzmann), de fonons; condensado de Bose-Einstein; etc. Vide Capitulo 4 do livro de D. Chandler, Introduction to Modern Statistical Mechanics (Oxford University Press, Nova Iorque, 1987).
[3] C. Tsallis, J. Stat. Phys. 52,479(1988).
[4] J.H. Hetherington, J. Low Temp. Phys. 66, 145 (1987); J.H. Hetherington and D.R. Stump, Phys. Rev. D 35, 1972 (1987).
[5] R.S. Johal, A. Planes and E. Vives, Phys. Rev. E 68, 056113(2003).
[6] R. Toral, Physica A 365,85(2006).
[7] M. Costeniuc, R.S. Ellis, H. Touchette and B. Turkington, J. Stat. Phys. 119,1283(2005).
[8] M. Costeniuc, R.S.E llis, H. Touchette and B. Turkington, Phys. Rev. E 73,026105(2006).
[9] R.B. Frigori, L.G. Rizzi and N.A. Alves, Eur. Phys. J. B 75 311(2010).
[10] J.V. Lopes, M.D. Costa, J.M.B.L. dos Santos and R. Toral, Phys. Rev.E 74, 046702 (2006);
[11] T. Neuhaus and J.S. Hager, Phys. Rev. E 74, 036702(2006).
[12] T. Morishita and M. Mikami, J. Chem. Phys. 127, 034104(2007).
[13] J. Kim, T. Keyes and J.E. Straub, J. Chem. Phys. 132, 224107(2010).
[14] H.E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena (Oxford University Press, Oxford, 1971).
[15] J.J. Binney, N.J. Dowrick, A.J. Fisher and M.E. Newman, The Theory of Critical Phenomena (Claredon Press, Oxford, 1999).
[16] Vide Secäo 6.10 do livro F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics (McGraw Hill, 1965).
[17] G. Castellano, J. Magn. Magn. Mater. 260,146(2003).
Recebido em 18/8/2011; Aceito em 17/1/2012; Publicado em 27/2/2012
- [1] R.K. Pathria, Statistical Mechanics (Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996), 2ª ed.
- [2] Sistemas tais como gas de eietrons (modelo de Sommerfeld para condutividade), de fotons (distribuição de Plank e lei de Stephan-Boltzmann), de fonons; condensado de Bose-Einstein; etc. Vide Capitulo 4 do livro de D. Chandler, Introduction to Modern Statistical Mechanics (Oxford University Press, Nova Iorque, 1987).
- [3] C. Tsallis, J. Stat. Phys. 52,479(1988).
- [4] J.H. Hetherington, J. Low Temp. Phys. 66, 145 (1987);
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- [9] R.B. Frigori, L.G. Rizzi and N.A. Alves, Eur. Phys. J. B 75 311(2010).
- [10] J.V. Lopes, M.D. Costa, J.M.B.L. dos Santos and R. Toral, Phys. Rev.E 74, 046702 (2006);
- [11] T. Neuhaus and J.S. Hager, Phys. Rev. E 74, 036702(2006).
- [12] T. Morishita and M. Mikami, J. Chem. Phys. 127, 034104(2007).
- [13] J. Kim, T. Keyes and J.E. Straub, J. Chem. Phys. 132, 224107(2010).
- [14] H.E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena (Oxford University Press, Oxford, 1971).
- [15] J.J. Binney, N.J. Dowrick, A.J. Fisher and M.E. Newman, The Theory of Critical Phenomena (Claredon Press, Oxford, 1999).
- [16] Vide Secäo 6.10 do livro F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics (McGraw Hill, 1965).
- [17] G. Castellano, J. Magn. Magn. Mater. 260,146(2003).
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
16 Maio 2012 -
Data do Fascículo
Mar 2012
Histórico
-
Recebido
18 Ago 2011 -
Aceito
17 Jan 2012