A indução eletromagnética: análise conceitual e fenomenológica

Electromagnetic induction: conceptual and phenomenological analysis

ARTIGOS GERAIS

A indução eletromagnética: análise conceitual e fenomenológica

Electromagnetic induction: conceptual and phenomenological analysis

R.T. da Silva; H.B. de Carvalho¹

Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Afenas, Alfenas, MG, Brasil

RESUMO

O objetivo deste trabalho é analisar a indução eletromagnética através de diferentes modelos físicos: a indução pela variação de fluxo magnético de Faraday e Maxwell; pela força de Lorentz atuando sobre uma carga livre e utilizando a transformação de campos proposta por Einstein em sua teoria da relatividade restrita e, por fim, através da eletrodinâmica de Weber. Exploramos as diferenças conceituais entre esses modelos e suas consequentes implicações na interpretação da realidade física das grandezas utilizadas.

Palavras-chave: indução eletromagnética, linhas de campo, transformação de campo, força de Weber.

ABSTRACT

The aim of this work is to analyze the electromagnetic induction through three different physical models: by the Maxwell and Faraday law related to the rate of change in the magnetic flux trough a closed circuit, by the Lorentz force acting over a free charge and utilizing the transformation of fields proposed by Einstein in his special theory of relativity and, finally, by Weber's electrodynamics. We identify the conceptual differences between these three models and their consequent implications for the interpretation of the physical reality of the utilized magnitudes.

Keywords: electromagnetic induction, field lines, field transformation, Weber's force.

1. Introdução

Um dos assuntos mais importantes do eletromagnetismo clássico é a indução eletromagnética. Este fenômeno teve e tem implicações prático-tecnológicas extremamente importantes, tais como o desenvolvimento de geradores elétricos e sistemas de radiofrequência. A indução eletromagnética pode ser associada a movimentos de translação e rotação dos circuitos elétricos e imãs que compõem um dado sistema. Neste trabalho analisamos diferentes modelos teóricos para a explicação deste fenômeno, mais especificamente na indução por translação.

O fenômeno da indução elétrica foi descoberto por M. Faraday (1791-1867) em 1831. Ele descobriu que podia induzir uma corrente elétrica em um circuito secundário variando a corrente em um circuito primário. Enquanto a corrente no primário permanecesse constante, nada era induzido no circuito secundário. Ele também verificou que ocorria indução mantendo-se a corrente no primário constante e movendo um circuito em relação ao outro. Mais ainda, também podia obter a corrente induzida no secundário aproximando ou afastando um imã permanente, ou mantendo o imã em repouso em relação à terra e aproximando ou afastando o circuito secundário. Denominamos de indução por translação a estes casos em que ocorre um movimento relativo entre o circuito primário e secundário, ou entre o ímã e o circuito secundário.

Desde a descoberta de tal fenômeno surgiram muitas teorias para explicá-lo. Apresentaremos algumas delas: (1) A teoria de Faraday adotada também por Maxwell (1831-1879), sobre a variação do fluxo das linhas de campo magnético no circuito secundário. (2) A relacionada com a formulação de H.A. Lorentz (1853-1928) para a força eletromagnética. Aqui surge uma questão: em relação a qual referencial devemos associar a velocidade que nela aparece? Dentro desta perspectiva e das consequências filosóficas relacionadas a ela, temos a formulação de A. Einstein que levou à teoria da relatividade restrita. (3) E, por fim, a proposta dada pela eletrodinâmica de W. Weber (1804-1891) que depende somente das distâncias relativas, das velocidades relativas e das acelerações relativas entre as cargas interagentes.

A explicação de Faraday para a indução de corrente elétrica quando uma fonte de campo magnético (imã permanente) se aproxima de um circuito, ou vice-versa, é baseada na existência real de linhas de campo que cortam o circuito elétrico (variação do de fluxo magnético através do circuito)[1]. Para Faraday, tais linhas de campo acompanham qualquer movimento translacional do imã. Ou seja, se o imã translada em relação ao laboratório com uma velocidade constante de 5 m/s, as linhas do campo magnético vão se mover em relação ao laboratório com 5 m/s. Maxwell tinha o mesmo ponto de vista de Faraday. No §531 de seu famoso livro Um Tratado sobre Eletricidade e Magnetismo, resumiu as experiências de Faraday na seguinte formulação[2]:

O conjunto destes fenômenos pode ser resumido em uma única lei. Quando o número das linhas de indução magnética que atravessam um circuito secundário na direção positiva é alterado, uma força eletromotriz age ao redor do circuito, a qual é medida pela razão de diminuição da indução magnética através do circuito.

Maxwell também afirmou que as linhas de força magnética acompanham o movimento translacional de sua fonte em relação a Terra. No §541 do Tratado afirmou:

A concepção que Faraday tinha da continuidade das linhas de forçca exclui a possibilidade delas começcarem a existir repentinamente num lugar onde naão havia nenhuma antes. Se, portanto, o numero de linhas que atravessam um condutor e alterado, so pode ser devido ao movimento do circuito atraves das linhas de força, ou, senão, de outro modo pelas linhas de forçca movendo- se atraves do circuito. Em qualquer caso uma corrente e gerada no circuito.

Em 1895 o físico teórico H.A. Lorentz apresentou a seguinte expressão para a força eletromagnetica F_L atuando sobre uma carga q

Nesta equacão, E e o campo eletrico atuando sobre a carga e B e o campo magnetico atuando sobre ela quando se desloca com velocidade v. Hoje em dia esta expressao e conhecida como força de Lorentz. Provavelmente Lorentz obteve a parte magnetica a partir da forca de Grassmann entre elementos de corrente. Segundo Whittaker, os primeiros a chegarem a esta forca magnetica foram J.J. Thomson (1856-1940) e O. Hea- viside (1850-1925) em 1881 e 1889, respectivamente [3]. Como dito anteriormente, nesta expressao surgem am- biguidades quanto a que referencial devemos considerar a velocidade v. Ou seja, devemos considerar v como sendo a velocidade da carga q em relacçãao a qual corpo, grandeza ou referencial? No primeiro artigo publicado por Thomson sobre este tema afirmou o seguinte [4]:

Deve ser observado que aquilo que por conveniencia chamamos de velocidade real da partícula e, de fato, a velocidade da partícula relativa ao meio atraves do qual ela estó se movendo, meio cuja permeabilidade magnetica e µ.

Ou seja, para Thomson a velocidade não e relativa ao eter nem relativa ao observador.

Quanto a Heaviside, podemos assumir que seu ponto de vista e o mesmo de Thomson. Isto pode ser visto pelo título de seu trabalho de 1889, "Sobre os efeitos eletromagneticos devido ao movimento da eletrificacçãao [cargas eletricas] atraves de um dieletrico".

Lorentz tambem nao fez nenhuma alusao à questao quando apresentou a forca magnetica. Como Lorentz ainda aceitava o eter de Maxwell, e natural que para ele esta velocidade fosse em relação ao eter e nao em relacçaão a qualquer outro referencial. Uma prova conclusiva desta afirmacçãao se encontra no posterior trabalho de Lorentz publicado em 1931: Lectures on the Theoretical Physics [5].

Ja em 1905 A. Einstein publicou seu trabalho teorico da relatividade restrita [6] tendo como motivação assimetrias encontradas a partir de diferentes referenciais adotados para a velocidade da força magnetica. Citando o proprio Einstein neste mesmo trabalho: "Como e sabido a Eletrodinômica de Maxwell - tal como atualmente se concebe - conduz, na sua aplicacçaão a corpos em movimento, a assimetrias que não parecem ser inerentes ao fenomeno". Tal assimetria citada por Einstein na verdade não existe na eletrodinômica de Maxwell, como vimos anteriormente. Ela so aparece como uma interpretacao específica do significado da velocidade que aparece na forçca de Lorentz. Para Einstein, fenômenos físicos deveriam ser invariantes mediante a mudançca de um referencial inercial para outro, o que não se constatava a partir das trans- formaçcoães galileanas para as coordenadas espaciais e para o tempo aplicadas na força de Lorentz. Einstein, em face aàs frustradas tentativas de se identificar o movimento da Terra relativo ao eter, apos obter as trans- formacçãoes de Lorentz para as coordenadas espaciais e para o tempo, as aplicou para a componente magnetica de forca de Lorentz. Passa entao a interpretar v como sendo a velocidade em relaçcãao a um referencial inercial ou a um observador. A diferenca entre a antiga visao do eletromagnetismo e a visãao baseada na teoria da relatividade e que em um referencial onde uma carga se move com v na presençca de um campo magnetico, atua sobre essa carga uma força magnetica (F_L = qv X B), ja em um outro referencial inercial que se desloca com a mesma velocidade da carga, isto e, em um referencial onde a velocidade da carga e zero (v' = 0), a forca que atua nesta carga sera de natureza eletrica (F'_L = qE'). Einstein est a introduzindo forcas que dependem do sistema de referencia, isto e , forcas que dependem do estado de movimento entre o observador e o corpo teste.

A eletrodinôamica de Weber e contemporôanea aos trabalhos de Maxwell. Weber e Maxwell mostraram que é poss ível derivar o conjunto das equações fundamentais do eletromagnetismo (lei de Gauss, lei circuital magnetica, lei da ausencia de monopolos magneticos e lei de inducao de Faraday) a partir da forca de Weber, sendo, portanto, completamente compat ível com o ele- tromagnetismo de Maxwell. Fundamentalmente a ele- trodinômica de Weber se distingue da eletrodinamica de Maxwell em dois pontos: primeiro com relacao à força que atua sobre as cargas e, em segundo lugar, com relacão ao conceito de campo. A força de Weber entre cargas eletricas leva em consideração não so as distancias relativas entre as cargas como na forca de Coulomb, mas tambem as velocidades relativas e as acéléraçõés relativas entre elas. Para Weber não existem campos e todos os fenomenos eletromagneticos sao sempre deduzidos a partir das forcas de interacao entre cargas diferentes do sistema [7].

Para o estudo da indução eletromagnetica tomamos como circuito secundario uma espira retangular condu- tora de dimensoes espaciais a e b, localizada nas proximidades de um fio condutor reto e infinito portando uma corrente constante I, como mostra a Fig. 1. Consideramos o fio e a espira no mesmo plano.

Colocamos os dois circuitos no plano xy, tendo ambos a liberdade para se movimentarem apenas na direção y. A principio admitamos um referencial inercial (O) onde o fio condutor esteja parado e a espira esteja em movimento de aproximacão do fio com velocidade -. Num segundo momento admitimos um novo referencial inercial (O') onde a espira esteja parada e o fio se deslocando com velocidade +, se aproximando da espira. Este procedimento se traduz por uma simples troca de referencial atraves do qual observamos o fenômeno. Nesta configuracão a induçao ele- tromagnetica e comumente denominada de inducão por translação. Nas duas situacoes descritas anteriormente, calculamos a forca eletromotriz induzida (fem) na espira retangular vista no sentido anti-horário, atraves dos tres modelos propostos para o estudo. Utilizaremos os índices (1) e (2) para designar a espira e o fio condutor, respectivamente.

2. A lei do fluxo proposta por Faraday e adotada por Maxwell

Faraday sintetizou os resultados de suas experiencias em uma lei, a chamada lei de Faraday da indução. Esta lei diz que o valor da fem induzida em uma espira e igual a menos a taxa de variação temporal do fluxo magnetico (Φ_B) atraves da área delimitada pela espira. Assim

O vetor campo magnetico B criado pelo fio portando corrente constante a uma distancia y = y₁ — y₂ sobre a espira áe dado por

Aqui µ₀ = 4π x 10^-7 Wb/Am e a permeabilidade do espaco livre e é o vetor de módulo unitório apontando na direção positiva do eixo z. O fator 1/y indica que o campo normal ao plano da espira varia ao longo da direcao do eixo y. Definindo o elemento de órea infinitesimal da paralelo ao campo magnetico B (Fig. 1), o fluxo magnetico sera

Portanto, de acordo com a Eq. (2), a fem induzida na espira e

onde ν₁ = dy₁/dt e ν₂ = dy₂/dt são as velocidades da espira e do fio, respectivamente, em relacão a um referencial inercial.

No referencial O a espira se encontra parada, v₁ = 0, e o fio se aproxima da espira com velocidade v₂ = . Temos então

Já para o referencial O' temos o fio parado, v₂ = 0, e a espira se movendo com velocidade v₁ = -. Neste referencial obtemos a fem da forma

Observamos que os dois referenciais preveem a mesma fem_F. Isto nos leva a concluir que a teoria de variacão de fluxos de Faraday/Maxwell não depende do referencial de observacçaão. Estes resultados estaão em acordo com o que intuitivamente esperaríamos, pois a femF não pode depender do ponto de vista do obser­vador e assim, ao contrário da afirmação de Einstein, concluímos que não existem assimetrias no eletromag- netismo de Maxwell.

3. A força de Lorentz e a transformação relativística dos campos

Para o calculo da fem utilizando a forca de Lorentz de­vemos partir da definição fundamental de fem, que e o trabalho por unidade de carga feito sobre uma partácula carregada. Assim,

Aqui dW e o elemento de trabalho realizado pela forca de Lorentz (F_L). Isto implica que, para haver uma forca atuando sobre a partácula carregada em mo­vimento, deve haver no espaçco onde ela se encontra um campo eletrico ou um campo magnetico.

Inicialmente consideramos um referencial inercial que se encontra sobre o fio portando corrente, referen­cial O. Aqui o fio esta parado, v₂ = 0, e a espira se move com velocidade v₁ = - , (Fig. 2).

Nesta configuração, as cargas livres da espira perce­bem apenas um campo magnetico gerado pela corrente no fio condutor dado pela Eq. (3). Assim a forca de Lorentz se reduz a F_L = q(v x B). A fem_L induzida na espira será dada, nestas condicoes, por

Sendo ds = dx + dy reescrevemos a integral ante­rior como

De onde obtemos

Vamos agora para o referencial O'. Aqui a espira se encontra parada, v₁ = 0, e o fio se move com velocidade v₂ = -. No referencial O' que acompanha a carga na espira (Fig. 3), a carga terá uma velocidade nula. O campo eletrostatico continua sendo nulo. Portanto, deste ponto de vista, a forca de Lorentz e nula. Consequentemente, a fem induzida na espira tambem sera nula. Existe aqui um problema. No referencial O temos uma fem induzida na espira dada pela Eq. (11). Ja no referencial O' nao ha nenhuma fem. A fem não pode depender do sistema de referencias adotado para observação.

Para resolver esse problema, Einstein propôs que os campos tem que ser relativos. Ele se apropria das trans­formações de Lorentz e as usa para os campos E e B. Estas transformacães sao dadas por [8]

Aqui γ = e o denominado fator de Lorentz, com c = 3 x 10⁸ m/s sendo o valor da velocidade da luz no vacuo.

Como nao ha campo eletrico no referencial (O) e o campo magnetico e perpendicular a velocidade, então as componentes paralelas da Eq. (12) são nulas. So­mente as componentes perpendiculares sao diferentes de zero. Como as velocidades envolvidas no problema são muito menores que c, tomamos γ ≅ 1. Utilizando o campo magnetico dado pela Eq. (3) obtemos

Visto que a velocidade das cargas livres áe zero neste referencial (O'), a forca de Lorentz somente tera uma componente eletrica. Assim

Usando a definicao de fem dada pela Eq. (9), porem agora no referencial O', temos

De onde finalmente obtemos

Outra vez obtem-se que a fem e independente do referencial de observacão. A fem_L possui ainda o mesmo valor obtido pela variação de fluxo de Fara­day/Maxwell. E importante observar que aqui foi ne- cessório adotar a ideia de campos dependentes dos re­ferenciais.

4. A indução pela eletrodinamica de Weber

Aqui nao precisamos dos conceitos de campo eletrico e magnetico, o fundamental e a forca de interação entre as cargas. A forca de Weber F₂₁ exercida pela carga q₂ sobre a carga q₁ e dada por [7]

Aqui r₁₂ = |r₁₂| = |r₁ — r₂| e a distancia entre as cargas q₁ e q₂, ₁₂ = dr₁₂/dt e a velocidade rela­tiva entre elas, ₁₂ = d²r₁₂/dt² e a aceleração relativa entre elas, ₁₂ = r₁ — r₂/r₁₂ e o vetor unitario apontando de q₂ para q₁, c e a velocidade da luz e ε₀ = 8, 85 x 10^-12 C²N^-1 m^-2 e a permissividade do espaco livre.

A única quantidade importante e a velocidade rela­tiva entre o que chamamos tradicionalmente de fonte do campo magnetico (ou circuito primario) e o cir­cuito eletrico onde esta sendo induzida a fem. Assim, a indução e sempre interpretada da mesma maneira, sem nenhuma distinçao entre cada caso estudado.

A forca de um fio condutor eletricamente neutro car­regando uma corrente constante (I) que se move em um sistema de eixos cartesianos com velocidade constante v₂, sobre uma carga q₁ tambem se movendo em relaçao ao mesmo sistema com velocidade constante v₁ (Fig. 4), e dada por [7]

na qual

Nas equaçães acima, escritas em coordenadas cilíndricas, temos que r₁ = ρ₁

₁, ϕ1 á o angulo azimutal e ρ₁ e a distancia de q₁ ao fio. A velocidade V_D á definida como velocidade de migração ou drifting dos eletrons. O termo associado com a grandeza B₂ corresponde a componente magnetica obtida classicamente atraves da força de Lorentz (Eq. (2)). Observamos então que a diferença básica entre Weber e Lorentz se resume a uma força adicional radial sobre q₁ dada por q₁E_M. Esta força nao carrega dependencia com a velocidade de q₁, de forma que podemos interpretar E_M como um campo eletrico. E_M difere conceitualmente do campo eletrostático, uma vez que admitimos inicialmente ser o fio eletricamente neutro. Este campo tem sua origem nas diferencas de velocidades entre os portadores de carga eláetrica no fio (eláetrons negativamente carregados em movimento e íons positivos em repouso) e, portanto, nao tem análogo no eletromagnetismo classico.

Calculamos a fem em dois sistemas de referencia, O (Fig. 2) e O' (Fig. 3). Observamos que a troca de um referencial por outro em nossas analises não altera os campos E_M e B₂ da Eq. (19). Atençao especial deve ser dada a velocidade v₁₂. No referencial O a espira encontra-se parada (v₁ = 0) e o fio condutor em movimento de aproximacão da espira com velocidade v₂ = . Temos aqui que a velocidade relativa será v₁₂ = v₁ — v₂ = —. Ja para o referencial O' temos o fio parado (v₁ = 0) e a espira se movendo com velocidade v₁ = —. Isto nos leva à mesma velocidade rela­tiva obtida para o referencial O, v₁₂ = v₁ — v₂ = —. Dessa forma podemos concluir que a fem calculada para a forca de Weber sera a mesma em ambos os referenciais. Outra vez a fem e independente do referencial de observaçao. Assim a fem definida na Eq. (8) para a forca de Weber integrada sobre todo o circuito e dada por

De onde obtemos

O calculo de fem_w tem como resultado um valor identico ao obtido atraves dos dois modelos anteriores.

A forca eletromotriz fem_W e calculada a partir da forca de Weber entre as cargas eletricas em movimento tanto no fio quanto na espira e depende apenas das grandezas físicas relativas: posição, velocidade e aceleração entre as cargas. Isto significa que a fem_W tem o mesmo valor para todos os observadores, mesmo quando os observadores não forem inerciais.

5. Conclusão

O modelo proposto por Faraday/Maxwell pela variacao do fluxo magnetico e relativamente simples e parte não sá da concepção da exist encia dos campos, mas tambem do movimento destes campos junto com suas respecti­vas fontes. Podemos classificar o modelo proposto por Lorentz/Einstein como o mais complexo, uma vez que introduz a ideia de campos dependentes do referencial de observaçcãao. Apesar destas novas ideias, pouco in­tuitivas, a proposta de Einstein áe mais consistente em face das importantes consequencias que traz em ou­tros campos da física. E importante ressaltar aqui que, uma vez cuidadosamente analisada a proposta de Faraday/Maxwell, podemos concluir que foi infundada a colocação de Einstein a respeito das "assimetrias que nao parecem ser inerentes ao fenômeno". As assime­trias somente aparecem a partir de uma interpretaçcaão específica do significado da velocidade que aparece na forca de Lorentz. Ja a proposta de Weber e mais funda­mental. Em seu modelo os campos não tem realidade física e sua formulacao lida somente com as forcas de interacçaão entre as cargas. Entretanto, os cáalculos ma­temáticas a que conduz seu modelo sao sobremaneira mais elaborados.

Recebido em 19/10/2011; Aceito em 17/4/2012; Publicado em 10/12/2012

• [1] M. Faraday, in Great Books of the Western World Vol. 45 (Encyclopædia Britannica Inc., Chicago, 1952), p. 257-866.
• [2] J.C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism (Dover, New York, 1954).
• [3] E. Whittaker, A History of the Theories of Aether and, Electricity. Vol. 1: The Classical Theories (Humanities Press, New York, 1973).
• [4] J.J. Thomson, Philosophical Magazine 11, 22 (1881).
• [5] H.A., Lorentz, Lectures on the Theoretical Physics, Vol. 3 (MacMilan, London, 1931).
• [6] A. Einstein, in: O Princípio da Relatividade, editado por A. Einstein, H. Lorentz, H. Weyl e H. Minkowisky, (Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1978), 2a ed., p. 47-86.
• [7] A.K.T. Assis, Eletrodinâmica de Weber - Teoria, Aplicacoes e Exercícios (Editora da UNICAMP, Campinas, 1995).
• [8] R.P. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. 2, Mainly Electromag- netism and Matter (Addison-Wesley, Reading, 1964), Seção 26.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  31 Jan 2013
• Data do Fascículo
  Dez 2012

Histórico

• Recebido
  19 Out 2011
• Aceito
  17 Abr 2012