Construção geométrica e demonstração experimental da formação da "imagem ciclópica" em uma associação de dois espelhos planos

Geometrical construction and experimental demonstration of the "cyclops image" formation in an association of two flat mirrors

PESQUISA EM ENSINO DE FÍSICA

Construção geométrica e demonstração experimental da formação da "imagem ciclópica" em uma associação de dois espelhos planos

Geometrical construction and experimental demonstration of the "cyclops image" formation in an association of two flat mirrors

Jair Lúcio Prados Ribeiro¹

Colégio Marista de Brasília, Brasilia, DF, Brasil

RESUMO

Um observador situado entre dois espelhos planos formando um ângulo diedro particular visualizará duas imagens parciais contíguas do seu rosto, com um olho único: uma "imagem ciclópica". E apresentada uma explicação sobre a formação dessa imagem, baseada em construções geométricas, além de uma proposta experimental simples, permitindo sua abordagem no ensino médio e buscando renovar o interesse pelo tema da associação de espelhos planos, o qual se encontra sedimentado nos obras didáticas, levando a uma discussão acrítica da temática.

Palavras-chave: óptica, espelho, reflexão.

ABSTRACT

An observer located between two flat mirrors forming a particular dihedral angle will see two contiguous partial images of his face, with a single eye: a "cyclops image". An explanation on the formation of this picture is presented, based on geometric constructions, along with a simple experimental proposal, allowing its approach in high school and trying to renew the interest in the problem of the association of flat mirrors, which seems to be settled in textbooks, and leads to some uncritical discussions.

Keywords: optics, mirror, reflection.

1. Introdução

Um tema tradicional na apresentação do conteúdo de reflexão da luz no ensino médio é a formação de múltiplas imagens quando um objeto é interposto entre dois espelhos planos formando um ângulo diedro entre si. A demonstração experimental dessa multiplicidade de reflexões é facilmente realizada com o uso de dois espelhos planos interligados, e a expressão que fornece o número de imagens n, dado um ângulo diedro a (em radianos) é expressa a seguir

Segundo a Ref. [1], essa expressão é válida para qualquer posição do objeto, se o número de imagens n for ímpar; se tal número for par, o objeto deve estar no plano bissetor do ângulo diedro para a expressão ser aplicável. Não é citada a possibilidade de existência de um número não inteiro de imagens, o que se justifica: afinal, a expressão é deduzida supondo objetos ópticos equivalentes a pontos materiais, sem dimensão, não podendo ser vistos parcialmente.

Entretanto, essa argumentação sobre o número de imagens está incompleta: durante a etapa de revisão desse artigo, nos foi apontado que a real diferenciação entre n par e ímpar reside no fato que os valores ímpares de imagens são discretos, isto é, ocorrem somente para o ângulo obtido pela expressão, enquanto para valores pares de n, as imagens ocorrem ao longo do intervalo entre os valores ímpares adjacentes. Ao fazermos a direta observação experimental (Fig. 1), com dois espelhos em ângulo diedro e um objeto de dimensões reduzidas (esfera plástica com cerca de 1 cm de diâmetro), buscando a proximidade com um ponto material, essa afirmação se tornou ainda mais clara: ao dispormos os espelhos em ângulo de 90º (π/2), observamos três imagens, e para o ângulo de 60º (π/3), cinco imagens. Entretanto, é possível observar quatro imagens não apenas para o ângulo de 72º (27π/5), mas para diferentes ângulos entre 60º e 90º (Fig. 1). Se o ângulo diedro estiver compreendido entre 60º e 75º (aproximadamente), uma quinta imagem pode ser vista (por exemplo, na segunda imagem obtida com ângulo de 65º), caso o objeto pontual esteja próximo a um dos espelhos e o observador mire as imagens desse objeto colocando-se junto a esse mesmo espelho.

Para um corpo extenso, entretanto, é possível a observação de uma imagem composta de duas imagens parciais, a primeira sendo formada pelos raios que refletem primeiro em E₁ e posteriormente em E₂, e a segunda conjugada pelos raios que seguirem a ordem inversa de reflexão. Assim, se o observador se colocar entre os dois espelhos e o ângulo entre os mesmos for adequado, poderá ser visualizada uma imagem formada atrás dos planos dos espelhos, diretamente à frente do observador, a qual parece conter apenas um olho, formada pela justaposição da metade da imagem do olho direito com a metade do olho esquerdo. O efeito é melhor visualizado se os olhos do observador possuírem a mesma cor, pois pessoas com olhos de cores diferentes verão o "olho único" com uma metade de cada cor. Nesse trabalho, essa justaposição de imagens parciais é chamada de imagem ciclópica do observador, em uma referência aos ciclopes, seres da mitologia grega [2] com um único olho.

2. Revisão bibliográfica

Dentre os livros-texto voltados para o ensino médio revisados [1,3-8], nenhum menciona a possibilidade de existência de uma justaposição de imagens parciais. A Ref. [1] detalha a formação das múltiplas imagens, propondo inclusive a demonstração experimental da formação de imagens quando o ângulo entre os espelhos é 90º, e a mesma argumentação também é encontrada na Ref. [3]. A Ref. [4], por sua vez, nem mesmo cita a situação de associação de espelhos planos, enquanto a obra [5] faz apenas uma breve referência à mesma, apenas para expor a Eq (1), sem justificá-la. O livro-texto [6] não faz uma exposição detalhada sobre a associação, preferindo apresentá-la apenas como uma sugestão de atividade experimental, em uma seção final do capítulo dedicado aos espelhos planos; o mesmo ocorre na Ref. [7]. Finalmente, a obra [8] apresenta uma exposição detalhada do fenômeno, semelhante ao livro [1], mas novamente não apresenta a possibilidade de imagens parciais.

Foram pesquisadas também obras voltadas ao ensino superior [9-13] e textos clássicos da óptica [14-15], a fim de verificar se um tratamento mais completo do tema estaria disponível. A Ref. [9] propõe uma rápida abordagem do tema, a qual é bastante semelhante à presente nos livros-texto de ensino médio consultados, e novamente apenas a situação de um objeto pontual é discutida. Já a Ref. [10] prefere abordar o tema mais complexo de labirintos de espelhos planos ao invés da simples associação, enquanto a obra [11] não cita a formação de imagens em associações de dois ou três espelhos planos, centrando sua discussão na trajetória da luz ao refletir em tais sistemas, deixando para o estudante a tarefa de resolver exercícios acerca das imagens formadas. O mesmo é verificado nos livros-texto [1213]: a associação de espelhos torna-se um único problema proposto na seção de exercícios. Até mesmo nas obras clássicas fundamentais da óptica consultadas [1415] não foram encontradas menções à associação de espelhos em ângulo.

Revisamos então os periódicos da área de ensino de física,² buscando abordagens teóricas ou experimentais voltadas ao tema desse trabalho, e novamente verificamos que não há preocupação com o estudo da temática da associação de espelhos planos, apontando para um eventual esgotamento da discussão desse tópico. A maior parte dos estudos sobre reflexão aborda conteúdos referentes aos espelhos curvos, e poucos são os artigos que se dedicam aos espelhos planos ou a associações de espelhos. Dentre os trabalhos revisados, encontra-se a discussão da projeção de imagens reais do Sol a partir do uso de espelhos planos [16-17], as condições de ocorrência da reflexão especular em superfícies irregulares [18], a construção de caleidoscópios com espelhos de grandes dimensões [19], a obtenção de uma pseudoimagem com espelhos cilíndricos [20] (caso que pode ser considerado análogo a uma associação), o uso da simetria presente na arte étnica no estudo das leis da reflexão [21] ou o posicionamento da imagem em um espelho ou superfície refletora plana [22-23]. Até mesmo o artigo [24], o qual faz uma extensa abordagem teórica sobre as imagens formadas em sistemas óticos com dois espelhos, não traz em seu escopo a possibilidade da associação de espelhos planos em ângulo.

Ao analisar o conjunto de obras didáticas [1,3-8], percebemos que uma razão pela qual o número não inteiro de imagens não ser citado tem uma causa comum: nas obras que chegam a trabalhar a associação de espelhos, o objeto óptico é sempre pontual, e não há sentido em se conceber imagens parciais de um ponto. Apesar de usarem esse tratamento geométrico simplificado, alguns dos livros-texto consultados [1, 3, 5, 8] apresentam, a título de exemplo, fotos de objetos extensos à frente dos espelhos, conflitando com a explanação teórica apresentada.

Pode-se oferecer outra provável razão para a ausência dessa discussão nas obras didáticas: a situação descrita nesse trabalho (justaposição de imagens parciais) não possui aplicações tecnológicas imediatas, e portanto sua contextualização é mais difícil de ser realizada, conflitando com os objetivos das obras didáticas recentes. Esse trabalho busca oferecer uma abordagem complementar desse tema, sanando essa limitação dos livros-texto consultados.

3. Construção geométrica da imagem ciclópica

É importante frisar que a imagem ciclópica descrita nesse artigo não é uma imagem única, nem mesmo plana: ela é formada pela visualização conjunta de duas imagens parciais, que se adequadamente justapostas, são observadas como contíguas, criando o efeito visual de um olho único na imagem observada. Tais imagens parciais, por sua vez, ocorrem devido às restrições que a associação de espelhos cria no campo visual do observador. Assim, parcelas das imagens conjugadas podem não estar contidas nesse campo, permitindo ao observador apenas a detecção de frações das mesmas.

A justaposição que gera a imagem ciclópica, entretanto, não ocorre para qualquer número de imagens (e também para qualquer ângulo diedro), pois é necessário que as parcelas das imagens se justaponham na região formada atrás dos planos dos espelhos, fato que somente ocorre para um número ímpar de imagens. Para a construção apresentada a seguir (Fig. 2), considera-se a formação da imagem ciclópica apenas quando o ângulo diedro é próximo de 90º, mas a mesma imagem poderia ser observada para ângulos próximos a 60º (n = 5), 45º (n = 7) ou até mesmo ângulos menores.

A Fig. 2 representa uma vista superior da situação descrita, onde os espelhos são indicados por E₁ e E₂, Buscou-se na construção da ilustração a melhor representação possível da construção geométrica da imagem ciclópica. O rosto foi simplificado por um segmento de reta AB, no qual A e B representam os olhos.

As duas primeiras imagens do segmento foram obtidas por simetria: a partir das linhas de construção perpendiculares ao espelho (pontilhadas), foram identificados os pontos imagem A₁' e B₁', sendo então construída a imagem causada pela reflexão no espelho E₁ (segmento de reta A₁' e B₁'). De forma análoga, construiu-se a imagem refletida no espelho E₂ (segmento de reta A₂' B₂'). Por simetria, foram então obtidas as imagens A₁₂' e B₁₂' de A₁' e B₁' em relação a E₂, assim como as imagens de A₂₁' e B₂₁' de A₂' e B₂' em relação a E₁, e os respectivos segmentos de reta A₁₂'B₁₂' e A₂₁'B₂₁', os quais representam as imagens finais em relação aos espelhos E₁ e E₂.

A Fig. 2 mostra que os segmentos de reta A₁₂'B₁₂' e A₂₁' B₂₁' se cruzam na bissetriz, pois os pontos A₁₂' e B₂₁' coincidem, gerando um olho único nesse ponto, o que demonstra a formação da imagem ciclópica. Ao colocarmos um conjunto de espelhos em ângulo sobre o esquema da Fig. 2, a fim de verificar experimentalmente se a ilustração estava correta, foi percebido que uma pequena alteração no ângulo de visão permite a visão do ponto, ou até mesmo de parte dos segmentos A'₁₂B'₁₂ ou A'₂₁B'₂₁. Assim, apesar da Fig. 2 informar que tais segmentos não são visíveis, é possível observálos, se a posição do observador não for frontal ao plano dos espelhos.

Um alerta para os leitores que desejarem reproduzir a construção geométrica apresentada na Fig. 2: a figura final levou algumas horas para ser corretamente elaborada. Para sua confecção, foram feitas diversas tentativas, várias das quais infrutíferas, usando o software gráfico CorelDraw X4, o qual permite uma grande precisão na correta construção das imagens, em especial nas condições de simetria. Ao longo das diversas construções, foi percebido que mesmo alterações pequenas no ângulo entre os espelhos podem fazer com que os segmentos A₁₂'B₁₂' e A₂₁'B₂₁' não venham a se cruzar (Fig. 3), fazendo com que não haja justaposição das imagens e com a visualização apenas de duas imagens distintas (segmentos A₁'B₁' e A₂'B₂'). Uma construção de boa qualidade também pode ser elaborada de maneira tradicional, com papel, lápis, régua, compasso e transferidor.

E possível ainda que os segmentos se cruzem em pontos diversos (Fig. 4), havendo nesse caso apenas uma proximidade dos pontos A₁₂' e B₂₁' (imagens dos olhos) e não uma justaposição. Assim, no caso ilustrado na Fig. 4, a pessoa que estivesse à frente dos espelhos não observaria a imagem ciclópica, mas sim o rosto mais fino, com os dois olhos mais próximos que o normal e o nariz cortado ao meio. Entretanto, essa mesma figura pode ser usada para explicar a imagem ciclópica usual: considerando A e B como os limites à esquerda e à direita da face, o ponto de encontro pode representar os olhos, e as parcelas visíveis restantes da face são representadas pelos dois segmentos de reta existentes entre o ponto de encontro e os pontos A'₂₁ e B'₂₁.

Quando esse trabalho já era considerado como pronto para ser submetido ao crivo do periódico, uma situação adicional para a formação da imagem ciclópica nos foi apresentada, de forma inusitada: por curiosidade, a esposa de um de nós tentou realizar o experimento, mas sem a informação de como os espelhos deveriam ser dispostos, colocou-os em um ângulo maior que π (180º), observando a imagem ciclópica descrita também nessa situação (Fig. 5). Decidimos incluir tal condição adicional, pois posteriormente, quando conduzimos a atividade experimental com os estudantes, vários deles também relataram essa possibilidade.

É importante frisar, entretanto, que nessa situação os espelhos não podem ser considerados como espelhos angulares, já que os raios incidentes em um não se refletem no outro e vice-versa. Durante a demonstração experimental, essa diferença se tornou evidente: a imagem formada para um ângulo superior a 180º entre os planos dos espelhos tem caráter enantiomorfo, típico de uma única reflexão, enquanto para um ângulo próximo a 90º a imagem ciclópica não apresenta caráter enantiomorfo, devido à dupla reflexão.

4. Demonstração experimental

A fim de apresentar aos estudantes de ensino médio o efeito descrito, foi utilizado um aparato experimental tradicional, simples e de baixo custo, já representado na Fig. 1, composto de dois espelhos independentes planos e quadrados, os quais podiam ser mantidos verticais, formando diferentes ângulos diedros, que podem ser medidos com um transferidor comum ou impresso em papel.³

Para a conjugação da imagem ciclópica em si, utilizou-se o programa de edição de imagens CorelDraw X4 para a criação de cinco diferentes objetos quadrados (Fig. 6), representando faces esquemáticas de formato quadrado. Esses objetos foram impressos em papel adesivo e fixados a lâminas de madeira de mesmo tamanho, as quais podiam ser mantidas na vertical. Todos os objetos possuíam a mesma largura D = 12 cm e olhos de tamanho idêntico (quadrados de 3,0 cm de lado); entretanto, a distância d entre os centros dos olhos era diferente em cada um dos objetos, perfazendo diferentes razões d/D. Cada metade dos olhos também foi pintada de cores diferentes (Fig. 6), amarelo (interior) e vermelho (exterior), a fim de tornar a observação da imagem ciclópica mais fácil, por possuir uma única cor (vermelha). A Fig. 7 representa algumas das fotos obtidas pelos estudantes durante o trabalho experimental.

Uma outra sugestão experimental, a qual infelizmente não foi conduzida junto aos estudantes, é a impressão das Figs. 2, 3, 4 e 6 desse artigo, para que os próprios alunos possam dispor sobre elas os espelhos angulares e verificarem in loco se as imagens apresentadas nessas ilustrações estão corretas, sejam elas visíveis ou não. Essa sugestão nos foi apresentada na etapa de revisão desse trabalho, e se revelou valiosa, pois permitiu a verificação imediata sobre eventuais erros de construção das imagens, ao se comparar os desenhos com as imagens obtidas na prática. Na Fig. 8, estão expostas as fotografias obtidas ao se executar tal atividade.

5. Conclusões e perspectivas

Nesse trabalho, buscamos demonstrar como pequenas alterações em um aparato experimental simples e tradicional (dois espelhos planos em ângulo) podem levar a novos questionamentos sobre um tema aparente estéril. O tratamento da associação de espelhos no ensino médio não é recente, mas a nosso ver, é feito de forma repetitiva e sem muita criatividade. Até mesmo a exposição teórica do tema parece sedimentada, conforme demonstra a leitura das Refs. [1,3-8], contribuindo para uma visão acrítica da temática.

Por vezes, conforme relatado pelos estudantes, há certa dificuldade de visualização da imagem ciclópica descrita nesse trabalho. Nossa primeira crença (que se revelou errônea) estava na falta de simetria da face ou em ajustes da posição do observador. Nenhuma dessas hipóteses, entretanto, está correta: faces simétricas são comuns e a posição do observador é facilmente ajustável. Posteriormente, na etapa de revisão desse trabalho, nos foi apontado que a dificuldade de observação dessa imagem deve-se provavelmente ao corte dos espelhos, o qual deve ser rigorosamente retilíneo para que ocorra um acoplamento preciso das faces dos mesmos, nem sempre conseguido quando o corte é feito por vidraceiros. Nos espelhos que utilizamos, de espessura não desprezível dos espelhos (cerca de 4 mm), esse acoplamento se revelou muito complexo. Uma sugestão recebida por nós para um melhor acoplamento foi o uso de espelhos comuns baratos, retirados de quadros.

A inusitada adição de uma nova condição angular, a qual permitiu obter o mesmo efeito óptico, nos demonstrou a necessidade de estarmos atentos aos questionamentos dos estudantes, ou mesmo de leigos no assunto. E comum que um professor ou pesquisador esteja tão absorto em um conteúdo ou experimento que contribuições significativas advindas dos estudantes podem passar despercebidas.

Embora não sejam mostradas fotos da imagem ciclópica dos estudantes nesse trabalho, para evitar problemas com direitos de imagem, essa foi a principal motivação para a realização do experimento por parte dos estudantes. A partir da observação do efeito, os alunos puderam comparar seus próprios rostos com as faces quadradas estilizadas, usadas como objetos, por vezes de forma curiosa e até mesmo jocosa, podendo vir a perceber que a proporção entre a distância dos olhos e a largura do rosto é variável para cada pessoa, e que o ângulo entre os espelhos que permite a observação da imagem ciclópica também é variável. Uma adaptação do experimento poderia ser proposta, buscando identificar qual a relação entre a proporção d/D e tal ângulo, ou mesmo a relação fracionária mais comum no grupo de estudantes.

Atividades experimentais em física possuem inegável importância como recurso educacional [25], especialmente nas fases iniciais de formação, mas sua importância é superestimada ou mal compreendida [26]. Uma nova abordagem de um experimento tradicional, como a exposta nesse trabalho, pode levar o professor a um melhor entendimento de tal importância.

Agradecimentos

Os autores gostariam de agradecer ao pessoal técnico da Vidraçaria Norart, pelas valiosas sugestões a respeito da construção dos espelhos que foram utilizados no aparato instrumental. O mesmo pode ser dito a respeito das diversas sugestões e críticas dos árbitros (anônimos), as quais se revelaram cruciais para a elaboração de uma interpretação física com maior acurácia do fenômeno discutido nesse trabalho.

Recebido em 29/4/2014

Aceito em 21/8/2014

Publicado em 23/10/2014

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2

Periódicos consultados: Caderno Brasileiro de Ensino de Física, Física na Escola, Revista Brasileira de Ensino de Física, The Physics Teacher e Physics Education.

3

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  28 Nov 2014
• Data do Fascículo
  Dez 2014

Histórico

• Recebido
  29 Abr 2014
• Aceito
  21 Ago 2014