Osciladores quânticos com massa dependente da posição

Quantum oscillators with position-dependent mass

Resumos

Neste trabalho investigamos as soluções da equação de Schrödinger de osciladores com massa dependente da posição utilizando o método algébrico de operadores escada e uma transformação canônica de ponto. Os resultados são ilustrados para um sistema onde m(x) ∝ x². De posse das funções de onda, calculamos a informação de Fisher e a entropia de Shannon para a posição e momentum de uma partícula no estado fundamental deste sistema.

Palavras-chave:
Informação de Fisher; entropia de Shannon; massa dependente da posição; transformação canônica de ponto

In this work we investigate the solutions of the Schrödinger equation of position-dependent mass oscillators by employing the algebraic method of ladder operators and a point canonical transformation. The results are illustrated for a system where m(x) ∝ x². From the wave functions, we calculate the Fisher information and Shannon entropy in the position and momentum for a particle in the ground state of this system.

Keywords:
Fisher information; Shannon entropy; position-dependent mass; point canonical transformation

1. Introdução

Sistemas onde a massa depende da posição são importantes não apenas do ponto de vista teórico, mas também do ponto de vista prático, pois podem ser utilizados para descrever heteroestruturas abruptas ou suaves [1], no estudo das propriedades eletrônicas de semicondutores [2], de cristais homogêneos [3], de pontos [4] e líquidos quânticos [5]. Em 2015, Macedo e Guedes [6] resolveram a equação de Schrödinger e calcularam a Informação de Fisher e a e Entropia de Shannon para três diferentes osciladores com massa dependente da posição (OMDP). As distribuições de massa consideradas na Ref. [6] foram: (i) m(x) = m₀[1 + tanh² (λx)] e (iii) m(x) = m₀[1 + (λx)²]. A primeira distribuição de massa é similar à distribuição m(x) = sech²(λx), que é utilizada na geração de uma sequência infinita de estados ligados para o problema de uma partícula livre [7]. A segunda distribuição é análoga as que são utilizadas no estudo de estados eletrônicos confinados em estruturas do tipo Al_yGa_1-yAs [8]. Já a terceira distribuição pode ser utilizada na análise das estruturas GaAs/Al_xGa_1-xAs [1], (ii)

Recentemente, na Ref. [9], estudamos classicamente um OMDP cuja distribuição de massa era dada por m(x) = m₀(x² + λ²), que é muito parecida com a distribuição de massa (iii) considerada por Macedo e Guedes [6]. Por meio do método da fatoração, estabelecemos uma correspondência entre as soluções do OMDP e do oscilador com massa constante (OMC). Analisamos ainda o espaço de fase do sistema para λ = 0, 0,25 e 1,0. Observamos que para λ = 0, as trajetórias no espaço de fase são deformadas próximo à origem devido ao fato que m(x) → 0 quando x → 0. Para λ ≠ 0, a deformação diminui e praticamente desaparece para λ = 1,0. Mostramos assim que para sistemas tipo OMDP para os quais as equações de Hamilton ficam muito complicadas, a análise das trajetórias no espaço de fase fornece uma boa descrição da dinâmica do sistema em consideração.

O objetivo deste trabalho, como uma extensão natural daquele apresentado na Ref. [9], é obter as soluções da equação de Schrödinger para o sistema com m(x) = m₀(x² + λ²), e de posse dessas soluções calcular a informação de Fisher e a entropia de Shannon para o estado fundamental.

Este trabalho encontra-se assim dividido. Na seção 2, mostraremos como obter a forma do operador energia cinética, T(x), e resolver a correspondente equação de Schrödinger para sistemas OMDP usando o método algébrico de operadores escada e uma transformação canônica de ponto. Na Seção 3, calculamos a informação de Fisher e a entropia de Shannon para o sistema considerado e apresentamos uma análise dos resultados. Por fim, na Seção 4, apresentamos alguns comentários finais.

2. Solução da equação de Schrödinger - Álgebra de Heisenberg e a TCP

Na Ref. [9], vimos que para uma dada distribuição de massa m(x), o hamiltoniano clássico é dado por

(1)

onde X₀ sendo uma constante de integração. e , com

Infelizmente, a extensão do hamiltoniano clássico para o quântico em casos onde a massa depende da posição, não é trivial como em casos onde a massa é constante ou varia com o tempo. O problema surge do fato que para sistemas com massa dependente da posição, a massa não comuta com o momentum. De acordo com von Roos [10], para que o hamiltoniano que descreve o sistema seja hermitiano, o operador energia cinética deve ser escrito como

(2)

onde m = m(x), p = −iℏ^d/_dx e α, β e γ satisfazem a relação de vínculo

(3)

Dessa forma, a equação de Schrödinger independente do tempo (ES) para estados estacionários é dada por

(4)

Com T(x) sendo dado pela Eq. (2) no caso de OMDP.

Existem diversos artigos que discutem sobre qual é a forma correta do operador T(x). Por exemplo, em 1966, BenDaniel e Duke [11] consideraram α = γ = 0, β = −1. Em 1969, Gora e Williams [12] estudaram o caso α = −1, β = γ = 0. Zhu e Kroemer [13], em 1983, analisaram sistemas com α = γ = −β = 0 e, em 1993, o caso α = 0, β = γ = −14]., foi estudado por Li e Kuhn [

Como mencionamos na Ref. [9], o procedimento utilizado para obter as soluções da equação de Schrödinger para sistemas tipo OMDP é baseado em buscar transformações que permitam tratar o problema de OMDP da mesma forma que fazemos para sistemas tipo OMC. Assim, inicialmente consideremos o OMC (com m = 1). O espectro de energia e os autoestados do hamiltoniano ℏ = 1, podem ser obtidos de duas maneiras [15], a saber:, onde consideramos

(a) Método algébrico, que consiste em fatorar o hamiltoniano em termos de dois operadores, b⁻ e b⁺, definidos como

(5)

Neste caso o hamiltoniano é dado por

(6)

Pode-se mostrar facilmente que estes operadores satisfazem as seguintes propriedades:

(a.1) Os operadores b⁻ e b⁺ são conjugados hermitianos (auto-adjuntos)

(7)

(a.2) Os operadores b⁻ e b⁺ obedecem à álgebra de Heisenberg

(8a)

(8b)

Como consequência dessas propriedades, e considerando ϕ₀ como o estado fundamental do sistema descrito por h (veja Eq. (6)), temos as seguintes relações

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Resolvendo a Eq. (9), obtemos o estado fundamental e, aplicando sucessivamente o operador b⁺ sobre ϕ(y), chegamos aos demais autoestados (Eq. (12)).

(b) Método analítico, que consiste em resolver diretamente a equação diferencial associada à equação de Schrödinger. Levando-se em consideração a normalização de estados ligados, as autofunções normalizadas (ϕ_n(y)) são identificadas em termos dos polinômios de Hermite expressos por

(14)

Voltemos agora para o problema da solução da equação de Schrödinger para o OMDP (veja Eq. (4)). Considerando α = γ = a e β = 2b, podemos reescrever o operador energia cinética como

(15)

com a nova relação de vínculo sendo dada por a + b = −1/2. Uma vez que H_a é dado por

(16)

vamos supor que possamos fatorá-lo na forma

(17)

utilizando os seguintes operadores auto-adjuntos

(18a)

(18b)

onde W_a(x) é denominado de superpotencial. Observe que podemos ainda reescrever as Eqs. (18) na forma

(19a)

(19b)

onde ’ significa derivada com respeito a x. A relação entre V_a(x) e W_a(x) é obtida da seguinte maneira. Considerando uma função arbitrária f(x), obtemos a partir da Eq. (16) que

(20)

Por outro lado, utilizando a Eq. (17) combinada com as Eqs. (19.a) e (19.b) temos

(21)

Comparando as Eqs. (20) e (21), obtemos a seguinte expressão

(22)

Não é difícil mostrar que a relação de comutação entre

(23)

é dada por e

Impondo que W_a(x) é expresso por

(24)

, obtemos que

Substituindo a Eq. (24) na Eq. (22) chegamos à seguinte expressão para V_a(x)

(25)

Na Ref. [9] mostramos que a expressão clássica de V_a(x) é dada por

(26)

Assim, para que haja concordância entre as expressões clássica e quântica de V_a(x), devemos escolher a = −1/4. Dessa forma, a hamiltoniana quântica do sistema é dada simplesmente por

(27)

onde a constante X₀ é usualmente tomada de maneira a tornar V_a(x = 0) = 0.

De maneira análoga ao OMC quântico, as propriedades de

(28)

(29)

(30)

(31)

com a equação de autovalores de H_-1/4(x, p) sendo expressa por

(32)

onde E_n = n + 1/2. e garantem que

A TCP consiste em considerarmos as seguintes substituições na Eq. (32)

(33)

(34)

obtendo assim a expressão

(35)

ou seja, a equação de autovalores do OMC deslocado de−X₀, cujas soluções são bastante conhecidas. Logo, as autofunções de H_−1/4(x, p) serão dadas por

(36)

Estas soluções satisfazem automaticamente a seguinte condição de normalização

(37)

3. Resultados e discussão – Princípio da Incerteza de Heisenberg, Informação de Fisher e Entropia de Shannon

A partir das soluções da equação de Schrödinger dadas pela Eq.(36) podemos obter os valores de várias grandezas físicas, incluindo as incertezas na posição (Δx) e no momentum (Δp) que são utilizadas no cálculo do Princípio de Incerteza de Heisenberg (PIH) [16], que impõe à mecânica quântica um caráter intrínseco sobre incertezas nas medidas de observáveis físicos. O PIH nos diz que para um dado sistema físico a seguinte relação deve ser obedecida: ΔxΔp ≥ ℏ/2. Qualitativamente, o PIH estabelece um limite inferior ao produto das incertezas da posição e do momento, revelando um aspecto da natureza, em nível atômico, totalmente diverso daquele a que estamos habituados, ou seja, quanto mais sabemos acerca da posição da partícula, menos podemos dizer a respeito de seu momento, e vice-versa. Devido ao fato de as incertezas (Δx) e (Δp) serem obtidas a partir da densidade de probabilidade da função de onda (|ψn(x)|²), dizemos que o PIH é associado a medidas globais de |ψn (x)|².

Recentemente, foram propostas diferentes relações de incerteza, as chamadas relações de incerteza entrópicas, que podem fornecer novos limites inferiores ao produto das incertezas. Entre outras, mencionamos a relação de incerteza obtida a partir da informação de Fisher e da entropia de Shannon.

A informação de Fisher foi estabelecida em 1925 [17] como uma maneira de medir a quantidade de informação que um observável X carrega em relação a um dado parâmetro θ para o qual a densidade de probabilidade de X varia, ou seja, para o qual a densidade de probabilidade seja uma função explícita de X e θ, X, θ) (

A entropia de Shannon [18] estabelece o conceito de informação e define-o como tudo aquilo que reduz a incerteza. Essa incerteza é definida para cada conjunto de elementos que se tenha. Por exemplo, como varia a idade dos alunos de uma sala. A Entropia de Shannon para um conjunto de elementos discretos X = {x_i}, onde a cada elemento está associada uma densidade de probabilidade {x_i)}, é dada por

(38)

(

Observe que se temos certeza do resultado de um dado experimento, ou seja, se o conjunto X for constituído de um único elemento x₁, então x₁) = 1 e x_i) = 0 para i ≠ 1. Dessa maneira, a entropia de Shannon está relacionada com o grau de incerteza e quantifica, portanto, a informação. Quanto menor for S_X menor é o grau de incerteza e maior será a informação que se tem.((

A informação de Fisher de um observável unidimensional θ(∈ ℝ) com uma densidade de probabilidade θ) é dada por [19]

(39)

(

Assim, a informação de Fisher da posição de um sistema quântico, cuja densidade de probabilidade no espaço das posições é x) = |ψ_n (x, t)|², será

ou seja,

(40)

(

Da mesma maneira, a informação de Fisher para o momento será dada por

(41)

onde φ (p,t) é a transformada de Fourier de ψ (x,t), ou seja

(42)

Como mostram as Eqs. (40) e (41), as informações de Fisher são associadas a medidas locais das densidades de probabilidades. A informação de Fisher e os desvios padrão de posição e momento de osciladores harmônicos estão relacionadas pelas inequações de Stam [20] e Cramer-Rao [21], dadas respectivamente, por

(43)

e

(44)

Por sua vez, a entropia de Shannon de um observável unidimensional θ com uma densidade de probabilidade θ) é dada por [22]

(45)

(

Assim, as entropias de Shannon no espaço da posição e do momento são, respectivamente

(46)

(47)

que também são associadas a medidas globais das densidades de probabilidades. A partir das expressões para S_x e S_p, podemos estabelecer a seguinte relação de incerteza entrópica [23, 24] para problemas unidimensionais

(48)

Substituindo m (x) = m₀(x² + λ²) na Eq. (36), os estados estacionários para este sistema são

(49)

onde consideramos m₀ = 1 e .

Como o princípio de incerteza estabelecido para o OMC é mínimo para o estado fundamental, vamos considerar apenas a função de onda para n = 0 no cálculo das informações de Fisher e entropias de Shannon. Neste caso, temos que ψ₀ (x, t) é dada por

(50)

As Figs. 1(a) e 1(b) mostram as densidades de probabilidade no espaço da posição ₀ (x) = |ψ₀ (x)|² e do momento ₀ (p) = |φ₀ (p)|² para λ = 0, λ = 0,2 e λ = 0,4, enquanto as Figs. 2(a) e 2(b) mostram as mesmas quantidades, ₀ (x) = |ψ₀ (x)|² e ₀ (p) = |φ₀ (p)|², para λ = 0,6, λ = 0,8 e λ = 1.

Figura 1
Densidades de probabilidade no espaço da posição ₀ (x) = |ψ₀(x)|² e do momento ₀ (p) = |φ₀(p)|² para λ = 0 (linha grossa), λ = 0, 2 (linha pontilhada) e λ = 0, 4 (linha fina). Nos cálculos consideramos m₀ = 1.

Figura 2
Densidades de probabilidade no espaço da posição ₀ (x) = |ψ₀(x)|² e do momento ₀ (p) = |φ₀(p)|² para λ = 0, 6 (linha grossa), λ = 0, 8 (linha pontilhada) e λ = 1 (linha fina). Nos cálculos consideramos m₀ = 1.

Nas Figs. 3(a) e 3(b) mostramos a variação das incertezas na posição (Δx₀) e no momentum (Δp₀) em função do parâmetro λ. Ao aumentarmos λ, observamos que Δx₀ diminui. Podemos entender este resultado a partir da variação de ₀ (x) mostrada nas Figs. 1(a) e 2(a). Observamos que a largura de ₀ (x) diminui, o que torna a partícula mais localizada à medida em que λ aumenta, diminuindo a incerteza na posição. Nesse cenário devíamos esperar que tanto a incerteza para o momento, Δp₀, como a informação de Fisher na posição, F_x, também aumentassem, enquanto a entropia de Shannon, S_x, diminuísse. Entretanto, observamos da Fig. 3(b) que à medida em que λ aumenta, Δp₀ diminui no intervalo 0 ≤ λ ≤ 0,6, ao invés de aumentar como esperado. Para λ > 0,6, Δp₀ sempre aumenta.

Figura 3
Dependência das incertezas (a) Δx₀ e (b) Δp₀ com relação ao parâmetro λ. Nos cálculos consideramos m₀ = 1.

Nas Figs. 4(a) e 4(b) mostramos o comportamento de F_x e F_p, enquanto nas Figs. 5(a) e 5(b) os de S_x e S_p, em função da variação de λ. Consideremos as variações de F_x e F_p. Como já mencionado, deveríamos esperar um aumento de F_x e uma diminuição de S_x; o contrário ocorrendo para F_p e S_p. Entretanto, observamos que no intervalo 0 ≤ λ ≤ 0,6 tanto F_x quanto F_p diminuem enquanto λ aumenta. A partir de λ = 0,6, F_x aumenta e F_p diminui.

Figura 4
Dependência das informações de Fisher (a) F_x e (b) F_p com relação ao parâmetro λ. Nos cálculos consideramos m₀ = 1.

Figura 5
Dependência das entropias de Shannon (a) S_x, e (b) S_p com relação ao parâmetro λ. Nos cálculos consideramos m₀ = 1.

Consideremos agora o comportamento de S_x e S_p mostrado nas Figs. 5(a) e 5(b), respectivamente. Observamos que no intervalo 0 ≤ λ ≤ 0,4, S_x tem um pequeno aumento, enquanto S_p diminui de forma mais acentuada. Já no intervalo 0,4 < λ ≤ 2, observamos que S_x diminui, enquanto que S_p aumenta.

Para entendermos esses resultados, consideremos, mais uma vez, o comportamento de ₀ (x) com relação ao parâmetro λ mostrado nas Figs.1(a) e 2(a). Observamos que, no intervalo 0 ≤ λ ≤ 1,0, a dispersão nos valores de posição da partícula torna-se menos deformada na origem e sua largura mais estreita. Como ₀ (x) torna-se mais localizado com o aumento de λ, é razoável supor que os comportamentos de F_x, F_p, S_x e S_p observados no intervalo 0 ≤ λ ≤ 0,6, sejam por causa da deformação que ocorre em ₀ (x) para pontos próximos da origem. Para λ > 0,6, os comportamentos de F_x, F_p, S_x e S_p correspondem àqueles esperados quando ocorre uma diminuição na dispersão da posição. Em outras palavras, a partícula fica mais localizada, aumentando F_x e diminuindo S_x.

As deformações observadas em ₀ (x), por causa da forma de m(x), não são percebidas pela incerteza Δx₀ (veja Fig. 1(a)) porque o integrando x²P₀(x) é sempre nulo na origem. Para verificarmos a consistência dessa explicação, vamos analisar o comportamento de ₀ (x) em função de λ para a distribuição de massa considerada na Ref.[6], ou seja, m (x) = m₀ [1+ (λx)²], pois nesse sistema as quantidades F_x, F_p, S_x e S_p são bem comportadas, no sentido que sempre crescem ou decrescem quando λ varia. Nas Figs. 6(a) e 6(b) mostramos o comportamento de ₀ (x) para (a) λ = 0, λ = 0,2 e λ = 0,4 e (b) λ = 0,6, λ = 0,8 e λ = 1. Observamos que ₀ (x) não apresenta deformações, pois independentemente do valor de λ, a massa deste sistema nunca se anula, seja na origem ou em qualquer outro valor de posição.

Figura 6
Variação de ₀ (x) para o sistema m (x) = m₀ [1+ (λx)²], para (a) λ = 0 (linha grossa), λ = 0.2 (linha pontilhada) e λ = 0.4 (linha fina) e (b) λ = 0.6 (linha grossa), λ = 0.8 (linha pontilhada) e λ = 1 (linha fina). Nos cálculos consideramos m₀ = 1.

Mas, ao contrário de Δx₀, a incerteza Δp₀ percebe as deformações. Da mesma maneira que Δx₀, o desvio padrão Δp₀ depende do integrando p²₀ (p). A diferença está no fato que as deformações de ₀ (p) não se encontram em p = 0, mas sim nas regiões −3.5 ≤ p ≤ −1.5 e 1.5 ≤ p ≤ 3.5 (veja as Figs. 1(b) e 2(b)). Assim, como nas outras quantidades, atribuímos o comportamento não usual de Δp₀, no intervalo 0 ≤ λ ≤ 0,6, a essas deformações. A partir de λ > 0,6 as deformações em ₀ (p) desaparecem e o comportamento de Δp₀ passa a concordar com o que é esperado quando Δx₀ diminui.

4. Conclusões

Neste trabalho estudamos o oscilador harmônico quântico com massa dependente da posição (OMDP). Utilizamos a álgebra de operadores escada juntamente com o método da TCP para obter a função de onda exata de um OMDP. Este procedimento consiste em decompor a hamiltoniana que descreve o sistema quântico OMDP (Eq. (16)) em termos de dois operadores auto-adjuntos, 19(a) e 19(b)) e impondo a álgebra de Heisenberg sobre estes operadores, obtivemos uma expressão geral para o potencial V_a(x) (Eq. (25)) em termos da distribuição de massa m(x) e da constante de vínculo a. Para que haja concordância entre as expressões quântica (Eq. (25)) e clássica (Eq. (26)) de V_a(x), escolhemos a = −1/4. De posse das expressões de T(x) e V_−1/4(x), obtivemos a equação diferencial associada a equação de Schrödinger de um OMDP (Eq. (32)), cuja solução pode ser obtida reduzindo-a a equação de autovalores do oscilador harmônico com massa constante através das transformações expressas pelas Eqs. (33) e (34). e e . Utilizando as definições de (Eqs.

Em particular, consideramos o sistema com distribuição de massa dada por m (x) = m₀ (x² + λ²). Após obtermos a função de onda, determinamos numericamente as informações de Fisher, as entropias de Shannon além das incertezas para o estado fundamental deste sistema. Tanto a entropia de Shannon quanto a informação de Fisher estão sendo investigadas como possíveis substitutas das incertezas que aparecem no princípio de incerteza de Heisenberg.

Observamos que ao aumentarmos λ, Δx₀ diminui. Entretanto o comportamento de Δp₀, F_x, F_p, S_x e S_p é um pouco mais complexo. Se Δx₀ sempre diminui, F_x e Δp₀ deveriam sempre aumentar e S_x diminuir. Atribuímos o comportamento não usual de Δp₀, F_x, F_p, S_x e S_p no intervalo 0 ≤ λ ≤ 0,6, às deformações que surgem nas densidades de probabilidade ₀ (x) e ₀ (p) em função da forma de m(x) considerada. Para λ > 0,6, quando as deformações tornam-se menores e desaparecem, os comportamentos de Δp₀, F_x, F_p, S_x e S_p correspondem àqueles esperados quando Δx₀ diminui.

Confirmamos esta hipótese, analisando o comportamento de ₀ (x) em função de λ, para o sistema estudado na Ref. [6], onde m (x) = m₀ [1+ (λx)²]. Como mostrado nas Figs. 6(a) e 6(b), ₀ (x) não apresenta nenhuma distorção em qualquer valor de posição, e, como consequência os comportamentos de Δp₀, F_x, F_p, S_x e S_p seguem os previstos para quando Δx₀ diminui. Observamos que a igualdade na inequação de Stam (Eq. (43)) é satisfeita para qualquer valor de λ, enquanto que a igualdade na inequação de Cramer-Rao (Eq. (44)) é satisfeita apenas para λ > 1,1.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao CNPQ pelo auxílio financeiro.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  Jun 2016

Histórico

• Recebido
  03 Dez 2015
• Revisado
  26 Jan 2016
• Aceito
  14 Fev 2016