Oscilador harmônico: Uma análise via séries de Fourier

Oliveira, Samuel Rocha de

doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2017-0001

Resumos

Mostramos que o método das séries de Fourier para resolver a equação do oscilador harmônico simples foi mal utilizado no artigo “Estados ligados em um potencial delta duplo via transformadas seno e cosseno de Fourier” publicado na Revista Brasileira de Ensino de Física v. 36, n. 2.

Palavras-chave:
oscilador harmônico; séries de Fourier

We show that the Fourier series method for the solution of the harmonic oscillator equation was misused in the article “Bound states in a double delta potential via Fourier sine and cosine transforms” published in the Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 36, n. 2.

Keywords:
harmonic oscillator; Fourier series

1. Comentário

A ideia apresentada em [¹[1] A.S. de Castro, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 2701 (2014).] é resolver a equação

(1)

\frac{d^{2} x (t)}{d t^{2}} + w_{0}^{2} x (t) = 0

com $w_{0} > 0$ usando a série (trigonométrica) de Fourier

(2)

x (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (n w t) + b_{n} sen (n w t)),

para funções periódicas de período $T$ em que $w = 2 π ∕ T$ . A substituição de série de Fourier na equação (1), assumindo a convergência uniforme para que a diferenciação e o somatório comutem, fornece a seguinte equação:

(3)

\begin{array}{l} w_{0}^{2} \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (n^{2} w^{2} - w_{0}^{2}) \\ \times (a_{n} \cos (n w t) + b_{n} sen (n w t)) = 0. \end{array}

Em virtude da independência linear das funções constante $w_{0}^{2}$ , $cos (n w t)$ e $sen (n w t)$ , $n \geq 1$ , conclui-se que

w_{0}^{2} a_{0} = 0 \Rightarrow a_{0} = 0,

pois, por hipótese inicial, $w_{0} \neq 0$ , e

\begin{array}{l} (n^{2} w^{2} - w_{0}^{2}) a_{n} = 0, \\ (n^{2} w^{2} - w_{0}^{2}) b_{n} = 0, \\ n \geq 1. \end{array}

O artigo chegou à primeira conclusão com um argumento inconsistente com o método e se precipitou em afirmar $n^{2} w^{2} - w_{0}^{2}$ , $n \geq 1$ sem levar em consideração que essa equação fixa um único valor para $n w$ , pois $w_{0}$ na equação (1) é uma constante dada. A solução correta é como segue. Para $n = ñ$ se obtém que

(4)

ñ^{2} w^{2} = w_{0}^{2}

sendo $a_{ñ}$ e $b_{ñ}$ arbitrárias, digamos $a_{ñ} = A$ e $b_{ñ} = B$ . Por outro lado, para $n \neq ñ$ se obtém $a_{n} = 0$ e $b_{n} = 0$ . E assim a solução da equação (1) é

(5)

x (t) = A \cos (w_{0} t) + B sen (w_{0} t) .

Referências

^[1]
A.S. de Castro, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 2701 (2014).

Datas de Publicação

Publicação nesta coleção
2017

Histórico

Recebido
02 Jan 2017
Revisado
03 Fev 2017
Aceito
03 Fev 2017

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[1] ^[1]
A.S. de Castro, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 2701 (2014).

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