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Revista Brasileira de Ensino de Física

versão impressa ISSN 1806-1117versão On-line ISSN 1806-9126

Rev. Bras. Ensino Fís. vol.40 no.2 São Paulo  2018  Epub 18-Dez-2017

http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-rbef-2017-0247 

Artigos Gerais

Estimando parâmetros cosmológicos a partir de dados observacionais

Estimating cosmological parameters from observational data

Gival Pordeus da Silva Neto*  1  2 

1Departamento de Física Teórica e Experimental, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Av. Sen. Salgado Filho, 3000 - Lagoa Nova, CEP. 59078-970, Natal, RN, Brasil

2CAIC José Joffily, Secretaria de Estado da Educação, Governo da Paraíba, R. José Marques Ferreira, 100 - Malvinas, CEP. 58432-545, Campina Grande, PB, Brasil

RESUMO

Neste trabalho são realizadas análises estatísticas capazes de estimar significativamente os valores atuais de alguns dos principais parâmetros cosmológicos, em particular, a taxa de expansão do Universo H0 (Constante de Hubble), a densidade de matéria Ω0,m, a densidade de energia escura Ω0,Λ, a idade do Universo t0 e o parâmetro de desaceleração q0. Além disso, são abordados observáveis importantes como as Oscilações Acústicas dos Bárions e o Parâmetro de Hubble, além do Método Qui-quadrado e alguns conceitos e equações básicas da Cosmologia. A partir da descrição detalhada apresentada, objetiva-se dar uma ideia para os não especialistas de como estes valores podem ser obtidos a partir de dados observacionais disponíveis na literatura. Por último, é realizado uma comparação dos resultados obtidos neste trabalho com os obtidos por grandes grupos internacionais como a Planck Collaboration e o WMAP. Os resultados são bem restritivos e em acordo com os estimados pela Planck Collaboration e o WMAP.

Palavras-chave: Modelo ΛCDM; Parâmetros Cosmológicos; Constante de Hubble; Oscilações Acústicas dos Bárions; Método Qui-quadrado

ABSTRACT

In this work, it is performed statistical analyzes capable of estimating the current value of some of the main cosmological parameters, in particular, the rate of expansion of the Universe H0(Hubble Constant), the density of matter Ω0,m, the density of dark energy Ω0,Λ, the age of the Universe t0 and the deceleration parameter q0. In addition, it is discussed important observables as the Baryon Acoustic Oscillations and the Hubble Parameter, besides the Chi-square Method and some basic concepts and equations of Cosmology. From the detailed description presented it is intended to give an idea to non-specialists of how these values can be obtained from observational data available in the literature. Lastly it is performed a comparison of the results obtained in this work with those obtained by large international groups as the Planck Collaboration and the WMAP. The results are very restrictive and in agreement with those estimated by Planck Collaboration and the WMAP.

Keywords: ΛCDM Model; Cosmological Parameters; Hubble Constant; Baryon Acoustic Oscillations; Chi-square Method

1. Introdução

Hoje, a Cosmologia pode ser definida como sendo a ciência que estuda a origem, estrutura e a evolução do Universo. Seu principal objetivo é entender como o Universo se formou, porque possui as características observadas hoje e saber como o mesmo será no futuro.

O surgimento da Cosmologia moderna se deu a partir do desenvolvimento da teoria da Relatividade Geral (RG), publicada por Einstein em 1915 1. Essa teoria é fundamental para construir um modelo cosmológico, pois é a teoria gravitacional que melhor lida com os paradoxos associados a um espaço que se estende ao infinito e que melhor explica as observações e fenômenos estudados até o momento.

Por sua vez, a Cosmologia Observacional é uma subárea da Cosmologia que se desenvolveu bastante nos últimos anos, motivada principalmente pela grande evolução tecnológica dos instrumentos utilizados em observações astronômicas. Tal desenvolvimento foi essencial para tornar a Cosmologia uma ciência de precisão, e assim, acabar com o seu caráter puramente especulativo e filosófico. Um dos principais objetivos da Cosmologia Observacional é medir o valor dos mais diversos parâmetros cosmológicos a partir de observações astronômicas.

Atualmente, o modelo cosmológico que fornece melhor ajuste com os dados observacionais é o Modelo ΛCDM (Lambda Cold Dark Matter), também conhecido como Modelo Padrão ou Modelo de Concordância Cósmica. Esse modelo tem como base três pilares: a Expansão do Universo, a Nucleossíntese Primordial e a Radiação Cósmica de Fundo.

É uma prática padrão em Cosmologia, especificar modelos cosmológicos através de alguns parâmetros. Daí, para obter-se a versão do modelo que melhor descreve o Universo, é necessário determinar observacionalmente o valor destes parâmetros. Quanto mais restritiva e acurada for a determinação, melhor e mais precisa será a descrição do Universo fornecida por este modelo.

Neste trabalho foram realizadas análises estatísticas usando dados observacionais do Parâmetro de Hubble (DOH(z)) e do Pico das Oscilações Acústicas dos Bárions (BAO) em um Modelo ΛCDM Plano, objetivando estimar os valores de alguns dos principais parâmetros deste modelo, a saber, H0, Ω0,m, Ω0,Λ, q0 e t0. Além disso, com uma descrição detalhada e objetiva da análise, é esperado que mesmo os profissionais que não tenham afinidade com tais técnicas, compreendam e possam ter uma ideia de como é possível estimar os valores dessas e de outras grandezas.

2. Cosmologia: fundamentos teóricos

Nesta seção, são apresentados de forma sucinta e objetiva, os fundamentos teóricos básicos da Cosmologia padrão moderna, necessários para a compreensão adequada do trabalho.

2.1. A expansão do Universo e a Constante de Hubble

No início do século XX, acreditava-se que o Universo era estático. Contrapondo-se a essa concepção, Alexander Friedmann em 1922 e Georges Lemâitre em 1927, obtiveram soluções para equações de Einstein que descreviam modelos de Universo dinâmico. No entanto, a concepção de um Universo estático só foi abandonada no início da década de 1930. Principalmente após os trabalhos do astrônomo americano Edwin P. Hubble [2,3], onde foi possível concluir que há um aumento sistemático da velocidade de recessão (afastamento) das galáxias com a distância, como sugere a Figura 1. Essa figura permite concluir que o Universo está em expansão, pois se ele fosse estático, estatisticamente devia-se observar tanto velocidades positivas (de recessão) como negativas (de aproximação) [4]. Em seu trabalho [2], Hubble propôs uma relação linear entre a velocidade de recessão e a distância, ou seja2,

Figura 1 Relação entre a velocidade de recessão e a distância. Esquerda: figura 1 da referência [2]. Direita: figura 5 da referência [3] (extraída de [5]). 

υ=H0d, (1)

onde H0 é uma constante de proporcionalidade, chamada de Constante de Hubble. Seu valor representa a taxa atual de expansão do Universo. Por motivo de conveniência, usualmente a Contante Hubble é expressa em termo de um parâmetro adimensional h,

H0h100kms1Mpc1, (2)

onde, hoje se sabe que 0,60 < h < 0,90. Em Cosmologia, medidas de velocidade normalmente são expressas em km · s−1 e de distância em megaparsec (Mpc), onde 1Mpc ≃ 3,26 · 106 anos luz ≃3,08 × 1022m.

A Constante de Hubble é sem dúvida uma das constantes mais fundamentais da Cosmologia. Ela está relacionada com diversas grandezas cosmológicas, como por exemplo, as distâncias físicas entre objetos astronômicos, a idade do Universo e sua densidade de energia. Portanto, por ser crucial para qualquer modelo cosmológico moderno, é de extrema importância a determinação mais exata possível do seu valor, para assim termos um modelo cosmológico que seja o mais acurado possível.

É importante ressaltar que a equação (1), só é válida para ”pequenas” distâncias, ou equivalentemente, pequenos desvios para o vermelho3, onde a relação v = cz é válida [4]. Por outro lado, a expressão

υp=H(t)dp, (3)

conhecida como Lei de Hubble, é sempre válida. A grandeza vp e dp representa a velocidade e distância própria (ou física), respectivamente. Já a quantidade H(t), chamada de Parâmetro de Hubble, representa a taxa de expansão do Universo em um dado tempo t, sendo portanto, H0 o valor atual de H(t), ou seja, H0H(t = t0). Neste contexto a equação (1) é um caso particular da equação (3). Na verdade, a Lei de Hubble é uma consequência da homogeneidade e isotropia do Universo, uma vez que essa é a única lei de expansão compatível com um Universo homogêneo e isotrópico4 [5,6].

O Parâmetro de Hubble é definido em termos do fator de escala da seguinte forma5:

H(t)a˙(t)a(t). (4)

O fator de escala, aqui denominado pela letra a(t), é uma quantidade fundamental quando se estuda um Universo que se expande. Ele indica, por exemplo, como as distâncias cosmológicas variam com o tempo. Assim, através dele, podemos saber o quanto elas eram menores no passado quando comparadas com essas mesmas distâncias medidas hoje. Da equação (4), têm-se que quanto maior for a variação do fator de escala em um certo intervalo de tempo, maior será a taxa de expansão do Universo neste mesmo intervalo.

2.2. Geometria, dinâmica e os componentes do fluido cosmológico

As equações básicas da RG são as do campo gravitacional, conhecidas como as equações de campo de Einstein [7,8]:

GμvRμv12gμvRΛgμv=8πGc4Tμv, (5)

onde Gμν é o tensor de Einstein, que contém as propriedades geométricas do espaço-tempo, Tμν é o tensor energia-momento, que representa a distribuição da matéria-energia, Rμν é o tensor de Ricci, R é o escalar de curvatura de Ricci, G é a constante gravitacional, Λ é a constante cosmológica e 8πGc4 é a constate de Einstein.

Para estudar a dinâmica cósmica, baseada na equação (5), é preciso de antemão determinar a métrica e as componentes do tensor energia-momento. Para obter o tensor energia-momento Tμν, supõe-se que o Universo seja preenchido por um fluido perfeito, ou melhor, uma soma de fluidos perfeitos (radiação, matéria, entre outros), cujo o tensor energia-momento é [9]:

Tμv=i(ρi+pic2)uμuvipigμv, (6)

onde ρi é a densidade do fluido, pi é a pressão do fluido, gμν é o tensor métrico (ver equação (7)) e uμ = (c2,0,0,0) é a quadri-velocidade medida no referencial comóvel. Devido a homogeneidade e isotropia, a pressão pi e a densidade ρi só dependem do tempo.

Para determinar a métrica, Einstein fez uso de um princípio simplificador chamado de Princípio Cosmológico. Este considera que em escala suficientemente grande o Universo é espacialmente homogêneo e isotrópico. Homogeneidade é a afirmação de que o Universo tem a mesma aparência em cada ponto, enquanto isotropia é a afirmação de que o Universo tem a mesma aparência em todas as direções [10]. O Princípio Cosmológico permaneceu apenas uma hipótese inteligente até que dados empíricos sólidos confirmando a homogeneidade e isotropia em grande escala fossem finalmente obtidos no final do século XX [11]. Pesquisas sugerem que o Universo passa a ser realmente homogêneo e isotrópico em escalas superiores a 100Mpc [6,12]; em escalas menores existem grandes inomogeneidades, como galáxias, aglomerados e superaglomerados de galáxias.

Espaços homogêneos e isotrópicos possuem o maior grupo de simetria possível, restringindo fortemente a geometria admissível para esses espaços. A métrica mais geral que descreve um Universo em expansão e que satisfaz estas restrições impostas pelo Princípio Cosmológico, é a métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW), que expressa em coordenadas esféricas comóveis possui a seguinte forma [9,13]:

ds2=gμvdxμdxv=c2dt2a2(t)×[dr21kr2+r2dθ2+r2sen2θdϕ2], (7)

onde xμ = (x0 = ct, x1 = r, x2 = θ, x3 = ϕ) e gμν é o tensor métrico, gμv=˙diag(c2,a21kr2,a2r2,a2r2sin2(θ)) .

Essa métrica é caracterizada por duas quantidades: o fator de escala a(t) e a constante k, que determina se o Universo é espacialmente plano (k = 0), esférico (k = 1) ou hiperbólico (k = −1) [9,13]. A Figura 2 ilustra superfícies bidimensionais com k = 1, 0 e − 1, que pode possibilitar alguma intuição das análogas tridimensionais.

Figura 2 Três superfícies bidimensionais: a esférica tem k = 1, a plana tem k = 0 e a em forma de sela tem k = −1. Em superfícies curvas (k≠0) a soma dos ângulos de um triângulo não é igual a 180° a circunferência de um círculo não é igual a 2π vezes o raio e as geodésicas que se iniciam paralelas, não permanecem paralelas (adaptado da referência [15]). 

De posse das componentes do tensor de Einstein Gμν e do tensor energia-momento Tμν, é possível resolver a equação (5), que devido o elevado grau de simetria e por muito dos termos se anularem, o cálculo leva apenas à duas equações independentes, que são [9]:

a˙2=8πG3a2iρi+13a2c2Λc2k (8)

e

a¨a=4πG3i(ρi+3pic2)+13c2Λ. (9)

Essas duas equações governam a dinâmica do Universo, determinando a evolução temporal do fator de escala a(t), e são conhecidas como as equações de Friedmann-Lemaître. No caso Λ = 0, essas equações são muitas vezes chamadas simplesmente de equações de Friedmann.

Assumindo que os fluidos são não interagentes, é possível obter das equações (8) e (9), uma importante relação que expressa a conservação da matéria-energia, dada por:

ρ˙i+3a˙a(ρi+pic2)=0. (10)

Em cosmologia, é habitual assumir que cada componente do fluido cosmológico possui uma equação de estado da forma pi = ωiρic2 [13]. Daí, substituindo essa relação na equação (10) e supondo ωi constante, é possível mostrar que a densidade de cada fluido evolui independentemente, da seguinte forma:

ρi(t)=ρ0,i(a(t)a0)3(1+ωi) (11)

onde, ωi é o parâmetro da equação de estado, ρ0,i e a0 representam os valores atuais da i-ésima componente constituinte e do fator de escala, respectivamente.

Em geral, os modelos cosmológicos modernos consideram o Universo constituído por três componentes: matéria, radiação e constante cosmológica [9]. A componente da matéria é formada por dois tipos diferentes, a matéria bariônica, constituída basicamente de bárions (prótons, nêutrons e todos os corpos formados deles) e a matéria escura6, uma forma mais exótica de matéria constituída por partículas fundamentais, que estão além do modelo padrão da física de partículas. A componente de radiação, por sua vez, inclui os fótons e também partículas ultra-relativísticas com massas não nulas, como os neutrinos. Já a constante cosmológica, é normalmente interpretada como um componente do Universo que tem ω = −1 e, portanto, pΛ = −ρΛc2 [14].

Por serem bem diluídas as componentes da matéria não-relativística obedecem a lei dos gases perfeitos,

pi=ρiμiKTi, (12)

onde μi é a média das massas das partículas da i-ésima componente. Além disso, a temperatura T e a média quadrática das velocidades térmicas υi2 de tais componentes, estão associadas pela relação 3KTi = μi υi2 [14]. Portanto, lembrando que foi suposto a equação de estado pi = ωiρic2, têm-se que:

pi=ρi3υi2ωi=υi23c2. (13)

Logo, para as componentes da matéria não-relativística, as quais υm2 c2, obtêm-se que ωm ≃ 0.

Por outro lado, a pressão dos fótons7 ou de qualquer outro componente relativística, é dada por pr = ρrc2/3, logo, ωr = 1/3. Uma componente de partículas com massa mas altamente relativística ( υm2 ~ c2), também terá ωr = 1/3, já uma ligeiramente relativística (0 < υm2 < c2), terá 0 < ω < 1/3.

Na Tabela 1, é apresentado o valor de ω e a dependência explícita da densidade com o fator de escala para cada componente do fluido cósmico. Dessa dependência é possível concluir que no passado distante, onde a(t)/a0 ≪ 1, a dinâmica do Universo foi dominada pela radiação (ρa(t)−4), logo depois, dominada pela matéria (ρa(t)−3) e atualmente uma dinâmica dominada pela constante cosmológica.

Tabela 1 Valor do parâmetro da equação de estado ω e lei de evolução da densidade ρ(t) para os principais componentes do fluido cósmico. 

Componentes ω ρ(t)
Matéria (bariônica e escura) 0 ρ0,m(a(t)a0)3
Radiação (fótons e neutrinos) 1/3 ρ0,r(a(t)a0)4
Constante cosmológica − 1 ρ 0,Λ

2.3. Parâmetros cosmológicos

Ao definir ρΛ ≡ Λc2/8πG e assumir

ρtotal=jρj, (14)

sendo jr, m e Λ, é possível mostrar, substituindo a equação (4) na (8), que:

c2ka2H(t)2=(8πG3H(t)2ρtotal1). (15)

Nota-se desta expressão que o Universo é espacialmente plano (ou seja, k = 0) somente se a densidade total ρtotal for igual a uma densidade crítica, dada por:

ρcrit=3H(t)28πG, (16)

cujo valor atual é:

ρ0,crit=3H028πG=1,8781029h2gramascm3. (17)

É conveniente definir, a partir da densidade crítica, parâmetros adimensionais de densidade da seguinte forma:

Ωj(t)ρj(t)ρcrit=8πG3H(t)2ρj(t). (18)

Além disso, é também prática comum definir o parâmetro adimensional de densidade de curvatura como

Ωkc2ka2H(t)2. (19)

Assim, pode-se escrever a equação (15) em termos dos parâmetros adimensionais de densidade, como segue:

Ωk=1ΩtotalΩk+Ωr+Ωm+ΩΛ=1. (20)

Da equação (20), é possível concluir que:

Ωtotal=1 Ωk=0 plano(k=0)Ωtotal>1 Ωk<0 esférico(k=1)Ωtotal<1 Ωk>0 hiperbólico(k=1).

Por outro lado, substituindo as equações (11) e (17) na equação (18), obtêm-se:

Ωj(t)=Ω0,jH02H(t)2(a(t)a0)3(1+ωj). (21)

Fazendo uso desta equação juntamente com as informações da Tabela 1 e da equação (20), é possível mostrar que:

E(p;t)H(t)H0=[Ω0,k(a(t)a0)2+Ω0,r(a(t)a0)4+Ω0,m(a(t)a0)3+Ω0,Λ]12, (22)

onde, E(p;t) é o parâmetro adimensional de Hubble e p ≡ Ω0,l (lk, r, m ou Λ). É importante notar que toda a Cosmologia está contida em E(p;t).

Geralmente, o estudo da aceleração do Universo em modelos cosmológicos é realizado através da definição do parâmetro de desaceleração q(t), definido da seguinte forma:

q(t)aa¨a˙2=a2a˙2a¨a=1H2a¨a, (23)

usando a equação (9) e alguns dos parâmetros já apresentados, é possível mostrar que8:

q(t)=12ρcritiρi(1+3ωi)ΩΛ=Ωm2+ΩrΩΛ. (24)

Para o tempo presente t = t0, torna-se:

q0=Ω0,m2+Ω0,rΩ0,Λ. (25)

Sendo assim, a taxa de expansão do Universo é constante se q0 = 0, desacelerada se q0 > 0, e acelerada se q0 < 0.

2.4. O desvio para o vermelho cosmológico

Quantitativamente o desvio para o vermelho de uma linha espectral é definido da seguinte forma: z ≡ (λ0 − λ)/λ, onde λ0 é o comprimento de onda medido ao atingir o observador e λ é o comprimento de onda emitido, ou seja, o medido na fonte.

O desvio para o vermelho cosmológico é uma consequência da expansão do espaço, devido o mesmo causar um alongamento no comprimento de onda da radiação (ver Figura 3), enquanto esta está em trânsito entre o ponto de emissão e o de observação. Esse alongamento ocorre de forma progressiva e varia proporcionalmente ao fator de escala, λ ∝ a [16]. Com isso, têm-se λ0/λ = a(t0)/a(t), que junto com a definição de z, permite obter uma importante relação entre o desvio para o vermelho cosmológico e o fator de escala9:

Figura 3 Uma visão esquemática do alongamento do comprimento de onda da radiação enquanto a mesma se propaga da galáxia A à B (adaptado da referência [15]). 

1+z=a(t0)a(t), (26)

onde a(t) e a(t0) é o valor do fator de escala no momento da emissão t e da observação t0, respectivamente. Em um Universo em expansão, têm-se a(t0) > a(t), resultando em um z > 0, ou seja, um desvio para o vermelho. Caso contrário, em um Universo em contração, têm-se a(t0) < a(t) resultando em um z < 0, ou seja, um desvio para o azul.

2.5. Idade do Universo e o tempo retrospectivo

Fazendo uso da equação (26), pode-se expressar H(t) e E(p;t) como funções de z. Além disso, da mesma têm-se a0da = −(1 + z)−2dz = −a2dz, e portanto,

cdta=cdtdadaa=cdaH(t)a2dt=aa0dzH(z). (27)

A partir dessa relação, pode-se obter uma expressão que represente a idade do Universo em um z qualquer, ou seja:

t(z)=0t(z)dt=zaa0dzH(z)=zdz(1+z)H(z). (28)

A idade total do Universo t0, é obtida tomando z = 0 na equação anterior,

t0=1H00dz(1+z)E(p;z). (29)

A relação de tempo retrospectivo é definida como a diferença entre a idade do Universo hoje (t0) e sua idade quando um raio de luz foi emitido em um particular desvio para o vermelho (t(z)). Assim, subtraindo a equação (28) da equação (29), têm-se a relação tempo retrospectivo,

tL(z)=t0t(z)=1H00zdz(1+z)E(p;z). (30)

2.6. Modelo ΛCDM Plano

O Modelo ΛCDM é considerado o atual modelo padrão da Cosmologia, por ser o modelo mais simples e que melhor se ajusta às observações e aos dados experimentais. Esse modelo cosmológico considera o Universo dominado por energia escura (na forma de constante cosmológica Λ), matéria escura fria CDM (não relativística) e com uma contribuição de apenas, aproximadamente, 4,9% de matéria bariônica. Além disso, considera a constante cosmológica o mecanismo causador da expansão acelerada do Universo, muitas vezes interpretada como energia do vácuo, com equação de estado dada por:

pΛ=ρΛc2=Λc48πG. (31)

O Modelo ΛCDM considera desprezível a densidade de energia da radiação100,r ≃ 0), frente à densidade de matéria e energia escura. Além do mais, considera o Universo com curvatura espacial nula (k = 0,Ω0,k = 0), como sugerem as observações da Radiação Cósmica de Fundo (WMAP 9 anos: Ω0,k=0,00270,0038+0,0039 [17], Colaboração Planck: |Ω0,k| < 0,005 [18], ambos com 95% de confiança estatística). Portanto, para um Modelo ΛCDM Plano, têm-se que:

Ωtotal=1 Ω0,m+Ω0,Λ=1, (32)

logo:

E(Ω0,m;z)=H(z)H0=Ω0,m(1+z)3+(1Ω0,m) (33)

e o parâmetro atual de desaceleração q0, torna-se:

q0=32Ω0,m1. (34)

Por outro lado, substituindo a equação (33) na (29) e integrando, obtêm-se a seguinte expressão para a idade atual do Universo:

t0=23H01Ω0,mln(1+1Ω0,mΩ0,m). (35)

Veja que a expressão de t0 só depende de dois parâmetros, H0 (ou, equivalentemente h) e Ω0,m, já a de q0 apenas de um, Ω0,m. Assim, uma vez determinados os valores destes parâmetros, é possível estimar também o valor t0 e de q0.

3. Método estatístico e dados observacionais

3.1. Método Qui-quadrado

Suponha que uma grandeza F, em um determinado modelo, é verdadeiramente expressa por uma função Fteo. = F({αm}, z), onde {αm} são os parâmetros deste modelo. Suponha também uma coleção de N dados observacionais/experimentais {zi, Fiobs , σi}, onde Fiobs . corresponde a medida da grandeza Fteo. quando a grandeza z é igual a zi e σi corresponde a incerteza associada a medida de Fiobs . Assim sendo, a estatística de qui-quadrado (χ2) é expressa da seguinte forma:

χ2=i=1N(F({αm},z)Fiobs.σi)2. (36)

O Método Qui-quadrado consiste em minimizar a estatística de qui-quadrado, variando os parâmetros do modelo. Esta técnica baseia-se na premissa de que o modelo é qualitativamente correto, e é ajustado para minimizar (via χ2) as diferenças entre o Fteo. e o Fobs.. Tais diferenças são consideradas como sendo devido somente as flutuações estatísticas [19]. Na prática, busca-se (por meios de computadores) os valores dos parâmetros que minimizam a estatística de qui-quadrado, pois esses são os que maximizam a função densidade de probabilidade (L) de obter a coleção de dados usados, uma vez que esta é:

L(χ2)e12χ2. (37)

Uma das melhores características deste método é que ao mesmo tempo que se estima os parâmetros, verifica-se também a qualidade do ajuste, ou seja, determina se a função ajustada do modelo é verossímil11. Isto é feito certificando se o valor do qui-quadrado mínimo ( χmín.2 ) é próximo do número de graus de liberdade (ν), que é dado por ν = Nm, onde m é o número de parâmetros livres e N o de dados observacionais. Isto porque o valor mais provável do χ2, obtido pela condição de máximo da função de densidade de probabilidade, é aproximadamente igual ao ν [20]. Portanto, quanto mais próximo for o valor do χmín.2 do valor de ν, melhor é o ajuste do modelo aos dados observacionais [19], ou ainda, quanto mais próximo for o qui-quadrado reduzido (χred2) de 1, uma vez que:

χred2χmín2v. (38)

Tendo encontrado os valores de melhor ajuste para os parâmetros, ou seja, aqueles que resultam no χmín.2 ou, equivalentemente, os que fornecem o ponto de máximo de L(Lmax.=Ce12χmín.2) , nos resta saber as regiões de confiança estatística para eles. Tais regiões são definidas por [19]

χβ2=χmín.2+Δχ2(m,β), (39)

onde, Δχ2 representa o valor que delimita a região β de confiança estatística. Na Tabela 2 são mostrados os valores de Δχ2 que definem as três regiões de confiança estatística mais utilizadas.

Tabela 2 Os valores de Δχ2(m, β) que definem as regiões de confiança estatística. 

β m = 1 m = 2 m = 3
68,3% (1σ) 1,00 2,30 3,53
95,4% (2σ) 4,00 6,17 8,02
99,7% (3σ) 9,00 11,8 14,2

Em geral, os modelos cosmológicos possuem dois ou mais parâmetros. Para analisar cada um deles separadamente, faz-se uso de uma técnica chamada de marginalização, que consiste na integração da função densidade de probabilidade sobre todos os valores possível do parâmetro indesejado. Por exemplo, suponha uma função densidade de probabilidade L(α1, α2) de dois parâmetros α1 e α2, a função densidade de probabilidade marginalizada do parâmetro α1, será dada por:

L(α1)=L(α1,α2)dα2. (40)

Por fim, note que substituindo a equação (39) na (37), têm-se

L(Δχ2)=Lmax.e12Δχ2. (41)

Isso implica que para um único parâmetro, a região de 1σ de confiança estatística é dada pela largura total de L na altura

L=Lmax.e120,6065Lmax.. (42)

já a região de 2σ é dada pela largura total de L na altura

L=Lmax.e20,1353Lmax., (43)

e assim por diante (ver Figura 8).

3.2. Oscilações Acústicas dos Bárions

O Universo primordial foi muito quente e denso. Houve um período em que os fótons estavam acoplados com os bárions formando um único fluido ionizado. Nesse mesmo período aglomerados de matéria escura já começavam a se formar e atrair a matéria bariônica para seu interior através da atração gravitacional. No entanto, a pressão da radiação (fótons) sobre os bárions impedia a aglutinação e produziam ondas acústicas neste fluido (fóton-bárion), as quais hoje dá-se o nome de Oscilações Acústicas dos Bárions (BAO - do inglês Baryon Acoustic Oscillations).

Com a expansão do Universo, a densidade e temperatura desse fluido diminuíram, permitindo que os fótons desacoplem da matéria bariônica, passando assim a se propagar livremente. Logo, como a pressão dos fótons sobre os bárions deixa de existir, é de se esperar um ”congelamento”na distribuição de bárions com um excesso de densidade em regiões próximas ao horizonte acústico12 dessa onda. A Figura 4, ilustra de forma exagerada como os remanescentes desse fenômeno manifestam-se na distribuição atual dos diversos objetos astronômicos. Uma boa analogia deste processo são as ondas geradas na superfície de um lago ao cair sobre ele pingos de chuva. Se esse lago, com suas ondas concêntricas geradas pelos pingos de chuva subitamente congelasse, teríamos registradas na superfície gelada do lago as ondas produzidas.

Figura 4 Concepção artística produzido pelo projeto BOSS (Baryon Oscillation Spectroscopic Survey) mostrando as esferas de bárions (galáxias) em torno dos aglomerados iniciais de matéria escura. As galáxias possuem uma ligeira tendência a se alinhar ao longo das bordas das esferas. O traço branco representa o raio do horizonte acústico. Crédito: Zosia Rostomian, Lawrence Berkeley National Laboratory. 

Excesso de densidade como o mencionado pode ser mensurável através da função de correlação ξ(s). A função de correlação mede se há desvios da distribuição espacial aleatória das galáxias. Em uma distribuição puramente aleatória, a probabilidade dP de achar uma galáxia no volume dV1 e uma outra no volume dV2 é dP = n2dV1dV2, onde n é a densidade numérica das galáxias. Desvios do comportamento aleatório introduzem uma correção

dP=n2dV1dV2[1+ξ(s)], (44)

que define a mencionada função de correlação [21]. Portanto, se em uma separação espacial específica, o valor de ξ(s) é positivo, indica que nessa separação existe uma maior probabilidade de se encontrar uma outra galáxia, visto que há um excesso de galáxias nessa separação, oposto a isso, valores negativos de ξ(s) indicam um deficit delas, logo uma menor probabilidade, já valores nulos, indicam uma distribuição aleatória (homogênea e uniforme).

A partir de um levantamento abrangendo uma região de 0,72h-3 Gpc3, com uma amostra de 46.748 galáxias vermelhas luminosas em 0,16 < z < 0,47, o SDSS (Sloan Digital Sky Survey) construiu uma função de correlação de larga escala que mostra um pico bem definido em uma separação comóvel13 de 100h−1Mpc [22], como mostra a Figura 5. Isso implica que, dada uma galáxia formada em um pico de densidade, existe uma probabilidade maior de se encontrar outra galáxia a uma distância de 100h−1Mpc, que por sua vez, é aproximadamente igual ao horizonte acústico na época da recombinação (rs ≈ 150Mpc). Note que, a função de correlação possui um valor maior em separações comóveis inferiores a 50h−1Mpc, isso ocorre devido a ação da força gravitacional, que atrai as estruturas para o pico de densidade, fazendo com que exista um excesso de probabilidade de encontrar uma galaxia mais próxima do pico.

Figura 5 O pico acústico bariônico na função de correlação ξ(s). As linhas coloridas representam modelos com diferentes valores para Ω0,CDMh2, 0, 12 (linha verde), 0, 13 (linha vermelha) e 0, 14 (linha azul), todos com Ω0,bh2 = 0, 024 e com um leve pico acústico em 100h−1Mpc, com exceção da linha magenta que representa um modelo CDM puro (sem matéria bariônica). (extraído de [22]). 

O levantamento realizado pelo SDSS [22] obteve um pico das BAO em z*≈ 0,35. Para um Universo sem curvatura espacial, esse pico pode ser descrito por um parâmetro adimensional A, definido por D. J. Eisenstein et al. [22] como sendo,

A(p;z*)Ω0,mE(p;z*)1/3(1z*0z*dzE(p;z))23. (45)

Para z*≈ 0,35 eles obtiveram A(p;0,35) = 0,469 ± 0,017.

Atualmente existem medidas do pico das BAO em diferentes desvios para o vermelho, um exemplo que se destaca são as medidas obtidas da função de correlação do conjunto final de dados do WiggleZ Dark Energy Survey em um desvio para o vermelho z* = 0,44, 0,60 e 0,73, que resultaram em A(0,44) = 0,474 ± 0,034, A(0,60) = 0,442 ± 0,020 e A(0,73) = 0,424 ± 0,021 [23]. Para simplificar o cálculo numérico realizado neste trabalho, utilizou-se apenas uma das medidas do parâmetro A(z*), a medida obtida pelo levantamento SDSS em z* = 0,35.

3.3. Dados observacionais de H(z)

O Parâmetro de Hubble, como já definido anteriormente, expressa a taxa com que o Universo se expande em um dado z. Este parâmetro carrega em si muitas características do modelo cosmológico. Na literatura é muito comum encontrá-lo expresso como sendo H(z) = H0E(p;z). No caso específico do modelo ΛCDM plano (ver equação 33) toma a seguinte forma:

H(z)=H0Ω0,m(1+z)3+(1Ω0,m). (46)

A determinação de H(z) em diferentes pontos da evolução do Universo pode nos ajudar a melhor entender a dinâmica de sua expansão, além disso, tem se mostrado bastante útil na realização de testes cosmológicos, como o desenvolvido neste trabalho. Na Tabela 3, são apresentada as 18 medidas de H(z) usadas nas nossas análises.

Tabela 3 Dados observacionais de H(z). A unidade das grandezas H(z) e σH(z) estão em km s−1 Mpc−1

z H(z) σH (z) Ref. z H(z) σH (z) Ref.
0,090 69 12 [24] 0,352 83 14 [26]
0,170 83 8 [25] 0,593 104 13 [26]
0,270 77 14 [25] 0,680 92 8 [26]
0,400 95 17 [25] 0,781 105 12 [26]
1,750 202 40 [25] 0,875 125 17 [26]
1,300 168 17 [25] 1,037 154 20 [26]
1,430 177 18 [25] 0,179 75 4 [26]
1,530 140 14 [25] 0,199 75 5 [26]
0,880 90 40 [27] 0,480 97 62 [27]

Existem hoje diferentes métodos para medir H(z). O mais conhecidos deles é o que utiliza diferença de idade de galáxias [28, 29], desenvolvido por R. Jimenez e A. Loeb [28]. Eles realizaram as primeiras medidas de H(z) usando medições de diferença de idade (Δt) entre duas galáxias que evoluíram passivamente e se formaram ao mesmo tempo, mas que estavam separadas por um pequeno intervalo de desvio para o vermelho (Δz). As quantidades medidas estão relacionadas com o Parâmetro de Hubble pela seguinte relação14:

H(z)=1(1+z)dzdt, (47)

haja vista que pode-se inferir a derivada dz/dt a partir da relação Δzt [28].

4. Resultados

Nesta seção, usando o Método Qui-quadrado no âmbito do Modelo ΛCDM Plano, são apresentadas as estimativas dos parâmetros H0, Ω0,m e alguns outros correlacionados.

4.1. Análise estatística individual

A análise estatística utilizando o BAO é realizada a partir do seguinte χ2:

χBAO2=(A(p;z*)0,4690,017)2, (48)

onde A(p;z*) é a expressão teórica, dada pela equação (45), 0,469 é o valor observacional de A para um z = 0,35 e 0,017 é a incerteza associada a medida do A.

A partir do χBAO2 são gerados os contornos no plano h − Ω0,m mostrado na Figura 6 (à esquerda), onde as regiões cinzas da mais escura para a mais clara correspondem as regiões de confiança estatística de 1σ, 2σ e 3σ, respectivamente. Deste plano, nota-se que o BAO sozinho não restringe o valor h (ou equivalentemente H0). Isso já era esperado, uma vez que o A(p;z) é independente de H0. Por outro lado, esta análise apresenta fortes restrições ao valor de Ω0,m, com o melhor ajuste em Ω0,m = 0,270, que equivale a um Ω0,Λ = 0,730. No entanto, usou-se aqui um único dado observacional, logo a análise usando apenas o BAO não possui significado estatístico relevante. Mas pode fornecer informações de regiões descartáveis em uma análise conjunta com outros observáveis, como por exemplo, os DOH(z). Neste contexto o uso do BAO torna-se bastante relevante.

Figura 6 Contornos no plano h − Ω0,m gerados pela estatística de qui-quadrado. Esquerda: referente a análise usando as Oscilações Acústicas dos Bárions (BAO). Direita: referente a análise usando os Dados Observacionais de H(z) (DOH(z)). As regiões cinzas da mais escura para a mais clara correspondem as regiões de confiança estatística de 1σ, 2σ e 3σ, respectivamente. 

Já a análise estatística utilizando os DOH(z), é realizada tendo como χ2, a expressão:

χH(z)2=i=1N(H(p;zi)teóricoHiobsσiobs)2, (49)

onde o H(p;zi)teórico é o Parâmetro Hubble teórico, dado pela equação (46), Hiobs representa o valor observacional de H(z) e σiobs , a incerteza associada a medida de Hiobs .

A Figura 6 (à direita) mostra os contornos no plano h − Ω0,m gerados pelo χH(z)2 , onde as regiões cinzas da mais escura para a mais clara correspondem as regiões de confiança estatística de 1σ, 2σ e 3σ, respectivamente. Ao contrário da análise com o BAO, esta apresenta significativa restrição ao valor de h e uma não tão relevante ao valor do Ω0,m. Nesta análise, são obtidos os seguintes valores: h=0,6890,049+0,051 , Ω0,m=0,317+0,1030,082 e um χred2=0,73 , em 1σ de confiança estatística.

Além disso, a partir desses resultados pode-se estimar, usando as equações (32), (34) e (35), o Ω0,Λ, a idade total do Universo e o seu parâmetro de desaceleração, respectivamente. Nesse sentido, obtêm-se: Ω0,Λ=0,683+0,1030,082 (1σ de confiança estatística) e, no melhor ajuste, t0 = 13,48 G anos e q0 = −0,524.

4.2. Análise estatística conjunta: DOH(z) + BAO

A análise estatística conjunta é realizada a partir do seguinte χ2:

χH(z)+BAO2=i=1N(H(p;zi)teóricoHiobsσiobs)2+(A(p;z*)0,4690,017)2, (50)

a partir dessa expressão, são produzidos os contornos (preenchidos com cores cinzas) no plano h − Ω0,m, exibidos na Figura 7, onde novamente, da parte mais escura para a mais clara, temos as regiões de confiança estatística de 1σ, 2σ e 3σ, respectivamente. Como bem mostra a Figura 7, a análise conjunta mostra-se bem eficaz, uma vez que a análise com o BAO (linhas tracejadas azuis) complementa a análise usando os DOH(z) (linhas tracejadas verdes) ao restringir o Ω0,m de forma mais efetiva. Os resultados obtidos foram: h=0,7090,038+0,029 e Ω0,m=0,280+0,0400,030 em 1σ de confiança estatística e h=0,7090,057+0,051 e Ω0,m=0,280+0,0600,050 em 2σ de confiança estatística, com um χred2=0,73 . Mais uma vez, usando os valores citados de h e Ω0,m obtêm-se um Ω0,Λ=0,720+0,0400,030 (1σ de confiança estatística) e, no melhor ajuste, t0 = 13,56 G anos e q0 = −0,580.

Figura 7 Contornos no plano h - Ω0,m gerados pela estatística de qui-quadrado. Os contornos preenchidos nas cores cinzas são referentes a análise conjunta dos DOH(z) mais BAO, os contornos representados pelas linhas verdes tracejadas são referentes a análise usando somente os DOH(z), já os representados pelas linhas azuis tracejadas são referentes à análise usando somente ao BAO. 

A Figura 8 mostra a função densidade de probabilidade marginalizada do parâmetro h (figura à esquerda) e do Ω0,m (figura à direita). As linhas horizontais são os cortes nas regiões de 1σ (68,3%) e 2σ (95,4%) de confiança estatística. Para se obter a função para o h, marginaliza-se sobre o parâmetro Ω0,m e, da mesma forma, para se obter a função para o Ω0,m, marginaliza-se sobre o parâmetro h. As estimativas obtidas para o h, ou equivalentemente H0 (ver equação 2) e o Ω0,m são exibidas na Tabela 4. A partir dessas estimativas, usando a propagação de incertezas, pode-se estimar também os parâmetros Ω0,Λ, q0 e t0, cujos resultados na região de 1σ de confiança estatística são: Ω0,Λ = 0,720 ± 0,022, t0 = 13,62 ± 0,50 Ganos e q0 = −0,580 ± 0,033.

Figura 8 Função de densidade de probabilidade do parâmetro h (à esquerda) e Ω0,m (à direita), obtidas a partir da análise conjunta. As duas linhas horizontais são os cortes nas regiões de 1σ e 2σ de confiança estatística. 

Tabela 4 Estimativas dos parâmetros H0 (km s−1 Mpc−1), Ω0,m e Ω0,Λ, referentes a análise conjunta. 

DOH(z) + BAO H 0 Ω0,m
1σ (68,3%) 70,6 ± 2,1 0,280 ± 0,022
2σ (95,4%) 70,64,1+4,2 0,2800,042+0,049
χred2 0,75 0,75

É importante elucidar que em todas as análises realizadas neste trabalho, não foram considerados erros sistemáticos. Segundo D. Stern et al. [27], a diferença de idade relativa, um dos métodos empregado para obter as medidas de H(z), possui de 2 a 3% de erros sistemáticos. Ao incluir 3% de erros sistemáticos em quadratura (σtotal2=σest2+σsit2) para todas as medidas de H(z), obtêm-se a partir da análise conjunta (DOH(z) BAO): h = 0,710 ± 0,030 e Ω0,m = 0,280 ± 0,031 em 1σ de confiança estatística. Logo, vê-se que a inclusão dos erros sistemáticos nas análises não altera significativamente os valores de melhor ajuste, no entanto, produz um aumento das incertezas.

5. Comparação com os resultados do Planck e do WMAP

A Radiação Cósmica de Fundo (RCF) é sem dúvida uma das maiores e mais importantes fontes de informação contemporânea para o estudo do Universo, sendo assim, crucial para o desenvolvimento da Cosmologia. Ao longo dos anos, vários experimentos foram desenvolvidos para estudar acuradamente a RCF. Os de maior destaque foram: o satélite COBE (Cosmic Background Explorer), lançado em 1989, o satélite WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), lançado pela NASA em 2001 e o satélite espacial Planck lançado pela Agência Espacial Europeia (ESA - European Space Agency), em 14 de maio de 2009.

A partir dos dados obtidos por estes satélites, é possível estimar com bastante precisão os mais diversos parâmetros cosmológicos, inclusive todos os abordados neste artigo. Na Tabela 5 são apresentadas as estimativas obtidas por dois grandes grupos, uma referente a análise dos dados de nove anos do WMAP [17] e a outra dos dados do Planck [18], além das obtidas neste trabalho (expostas na Tabela 4), todas na região de 1σ de confiança estatística. Como se pode ver, as estimativas realizadas neste artigo, usando a análise conjunta dos DOH(z) e o BAO, além de serem bastantes restritivas, são dentro da região de confiança estatística, compatíveis com as obtidas pelos dois grupos já citados.

Tabela 5 Três estimativas diferentes para os parâmetros H0, Ω0,m, Ω0,Λ, t0 e q0, referentes a análise conjunta dos DOH(z) e BAO, aos dados do WMAP e do Planck, respectivamente. As estimativas com o simbolo † foram obtidos usando a propagação de incerteza. Todas estão na região de 1σ de confiança estatística. 

Estimativas H0 (km s−1 Mpc−1) Ω0,m Ω0,Λ t0 (G anos) q 0
DOH(z) + BAO 70, 6 ± 2, 1 0, 280 ± 0, 022 0, 720 ± 0, 022 13, 62 ± 0, 50 − 0, 580 ± 0, 033
WMAP 9 anos 2013 [17] 70, 0 ± 2, 20 0, 279 ± 0, 0231 0, 721 ± 0, 025 13, 74 ± 0, 11 − 0, 581 ± 0, 027
Colaboração Planck 2016 [18] 67, 81 ± 0, 92 0, 308 ± 0, 012 0, 692 ± 0, 012 13, 799 ± 0, 038 − 0, 538 ± 0, 013

6. Conclusão

Neste artigo, além de abordar e discutir alguns conceitos e fundamentos teóricos da Cosmologia Moderna, foi realizada uma análise estatística, usando os DOH(z) e o BAO em um modelo ΛCDM Plano, capaz de estimar de forma significativa os valores dos seguintes parâmetros cosmológicos: H0, Ω0,m, Ω0,Λ, t0 e q0.

Dos resultados apresentados, conclui-se que a melhor e mais restritiva estimativa é obtida através da análise conjunta dos dois observáveis, DOH(z) e BAO (a Figura 7 ilustra bem esta afirmação). Na análise conjunta, ao marginalizar sobre o parâmetro Ω0,m, foi obtido um H0 = 70,6 ± 2,1 km s−1 Mpc−1, em 1σ de confiança estatística e da mesma forma, ao marginalizar sobre o parâmetro h, foi obtido um Ω0,m = 0,280 ± 0,022, em 1σ de confiança estatística (ver Figura 8). Usando estas duas medidas e a propagação de incertezas em um modelo ΛCDM plano, estimou-se um Ω0,Λ = 0,720 ± 0,022, t0 = 13,62 ± 0,50 Ganos e um q0 = −0,580 ± 0,033, na região de 1σ de confiança estatística.

Por meio das definições detalhadas dos parâmetros cosmológicos e da descrição didática e objetiva dos princípios envolvidos na análise estatística, espera-se que mesmos os leitores sem afinidade com tais técnicas compreendam e até possam fazer uso desse método de estimativa de parâmetros cosmológicos.

Por fim, comparando as estimativas realizadas neste artigo com as desenvolvidas por dois grandes grupos, o WMAP [17] e a Colaboração Planck [18], conclui-se que, apesar da simplicidade e dos poucos dados usados, as estimativas aqui apresentadas, em 1σ de confiança estatística, estão em ótimo acordo com as apresentadas por estes dois grupos, como bem mostra a Tabela 5.

Agradecimentos

Agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e ao Departamento de Física Teórica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (DFTE-UFRN) pelo suporte financeiro a esse projeto. Gostaria de agradecer também ao amigo Gesiel Rodrigues da S. Neto e a minha esposa Esther G. Jácome Lino, pela leitura e as várias sugestões.

1Detalhes sobre a história da Cosmologia nesses últimos 100 anos, seus maiores avanços e suas principais questões ainda em aberto, são encontrados na referência [1]

2Para mais informações sobre a descoberta da expansão do Universo e a Lei de Hubble, é sugerida a leitura das referências [1,2,4]

3Deslocamento para o vermelho das linhas espectrais, representada pela letra z (ver seção 2.4.).

4Para mais detalhes ver seção 1.1 da referência [6].

5Neste artigo, usa-se a notação para representar a derivada da grandeza com relação ao tempo, ou seja: a˙dadt e a¨d2adt2 .

6É chamada de escura porque não emite e nem interage de forma significativa com a radiação, tornado-se assim, impossível ”vê-la”.

7Mesmo sem possuir massa, os fótons possuem momento e, portanto, exercem pressão.

8É importante notar que, im ou r, e que ωm = 0 e ωr = 1/3.

9Esta relação é obtida com detalhes na seção 8.4.1 da referência [15].

10Exceto, claro, na era da radiação.

11Porém, é necessário que as incertezas tenham sido estimadas corretamente.

12Distância percorrida por essa onda acústica do início da perturbação até o desacoplamento.

13Separação (ou distância) entre as galáxias medida em coordenadas comóveis, ou seja, em um sistema de coordenadas que acompanha a expansão do Universo.

14Esta expressão é obtida a partir da equação (27), usando o fato que a/a0 = 1/(1 + z).

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Recebido: 05 de Agosto de 2017; Revisado: 04 de Novembro de 2017; Aceito: 09 de Novembro de 2017

* Endereço de correspondência: givalpordeus@hotmail.com.

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