## Print version ISSN 1806-1117On-line version ISSN 1806-9126

### Rev. Bras. Ensino Fís. vol.41 no.2 São Paulo  2019  Epub Sep 21, 2018

#### http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-rbef-2018-0151

Artigos Gerais

Distribuição binomial negativa e multiplicidades em colisões entre prótons

Negative binomial distribution and multiplicities in proton collisions

1Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro, Laboratório de Ciências Matemáticas, Campos dos Goytacazes, RJ, Brasil

Resumo

Palavras-chave: Distribuições de Multiplicidades; Distribuição Binomial Negativa; Produção Múltipla de Partículas; Colisões de Prótons

Abstract

Particle production in proton collision experiments provides fundamental information on the mechanisms of initial energy conversion of protons in a number of secondary particles by measuring their Multiplicity Distribution in strong nuclear interactions. In this context, the Negative Binomial Model has been extensively used in theoretical studies and parameterization of experimental information, making it important to know the hypotheses involved in the elaboration of the model, in order to provide adequate application and interpretation of results. We thus conduct a discussion of the Negative Binomial Model based on the realization of a classic random experiment, which leads and assists in obtaining the analytical expression of the Probability Function. We also express the said Function of Probability in terms of the Gamma Function, the multiplicity variable and the average multiplicity adopting a mathematical procedure not found in the specific literature. Implications of the application of the model in the study of Multiplicities Distributions in collisions between protons are discussed.

Keywords: Multiplicity distributions; Negative Binomial distritibution; Multiparticle production; Proton collisions

1. Introdução

2. Sobre a definição de distribuição de probabilidade

Admitimos que os leitores tenham conhecimentos sobre conceitos de probabilidades tais como experimento aleatório, eventos, espaço amostral e definição clássica para cálculo de probabilidades. No trabalho com probabilidades definimos os eventos e então calculamos a probabilidade de ocorrência desses eventos usando a definição clássica para o cálculo de probabilidades [18,19]. Baseado em exemplo discutido na Ref. [18], considere o experimento aleatório: “lançamento de duas moedas honestas”, o qual tem como espaço amostral o conjunto cc,cr,rc,rr, onde “c” representa cara e “r” coroa. Calculando as probabilidades dos eventos:

A = Ocorrência de nenhuma cara;

B = Ocorrência de uma cara;

C = Ocorrência de duas caras;

obtemos:

P(A)=14,P(B)=12,P(C)=14. (1)

Um procedimento matemático formal pode ser adotado para o cálculo dessas probabilidades. Procedimento esse que consiste em representar os eventos por números ao invés de palavras. Isso pode ser feito introduzindo o conceito de Variável Aleatória (VA) X e definida, nesse exemplo específico, como:

X:Número de caras. (2)

Como estamos agora interessados na representação dos eventos através de números, e não mais por palavras, observamos então que X pode assumir os valores X=0,1,2 para representar os eventos A, B e C, e com as seguintes correspondências:

X = 0 → Ocorrência de nenhuma cara (Evento A);

y = 1 → Ocorrência de uma cara (Evento B);

X = 2 → Ocorrência de duas caras (Evento C).

Em notação geral escrevemos:

X=x1,x2,...,x,... (3)

para indicar os possíveis valores da VA X. Esquematicamente:

Nas duas colunas numéricas da Tabela 1, identificamos o conjunto X,P(X), o qual é denominado Distribuição de Probabilidade da VA X[20], de fácil representação gráfica. Observamos que o tratamento sobre VA é naturalmente mais abrangente [18,20]. Efetuamos aqui uma discussão direcionada para introduzir o conceito de Função de Probabilidade.

Tabela 1 Valores possíveis para a variável aleatória X, definida em (2), e respectivos valores das probabilidades.

X P(X) Evento correspondente
0 1/4 Nenhuma cara (A)
1 1/2 Uma cara (B)
2 1/4 Duas caras (B)

2.1. Distribuição de probabilidade - Modelo de Bernoulli

X: Número de sucessos em única realização de um experimento de Bernoulli. (4)

Sendo que o experimento é realizado uma única vez, a VA X assume os valores iguais a 1 e 0, onde X=1 indica a ocorrência do resultado sucesso e X=0 indica a ocorrência de fracasso. Assim X=0,1 e podemos escrever: P(S)=P(X=1)=p e P(F)=P(X=0)=q, na forma tabular:

A expressão analítica que representa a Função de Probabilidade no modelo de Bernoulli é então escrita na forma:

P(X=x)=pxq1x, (5)

produzindo, naturalmente, os valores indicados na Tabela 2. Notamos que a Função de Probabilidade é definida como a função que atribui a cada valor assumido pela VA a probabilidade do evento correspondente [18].

Tabela 2 Representação tabular dos resultados da realização de um experimento de Bernoulli.

X P(X)
0 q
1 p

2.2. Eventos independentes e multiplicação de probabilidades

A multiplicação dos valores das probabilidades, p e q, que decorrem da independência entre as várias realizações do mesmo experimento aleatório, é condição necessária para a dedução da expressão analítica da Função Distribuição de Probabilidade no Modelo Binomial Negativo, a partir de uma generalização do Modelo de Bernoulli. Em geral, discussões envolvendo independência entre eventos são abordadas juntamente com discussões sobre probabilidade condicional [18,19]. Assim, considere dois eventos A e B e que pertencem ao mesmo espaço amostral. Define-se probabilidade condicional de ocorrer o evento A sabendo-se que ocorreu o evento B, denotada por P(A/B), na forma [19]:

P(A/B)=P(AB)P(B), (6)

onde P(AB) denota a probabilidade de intersecção entre os eventos A e B[19], ou seja, denota a probabilidade de ocorrer o evento A e o evento B. P(A) e P(B) denotam probabilidades de ocorrência dos eventos A e B, tal que P(B)0 em (6).

Como exemplo de aplicação da probabilidade condicional considere o experimento aleatório “lançamento de um dado”, onde definimos os eventos:

A = Sair o número 4; e

B = Sair número par.

O cálculo da probabilidade condicional resulta P(A/B)=13, significando a probabilidade de sair o número 4 sabendo que ocorreu número par no lançamento do dado. Notamos agora que importante consequência da definição de probabilidade condicional é obtida ao escrevermos a expressão (6) na forma [19]:

P(AB)=P(A/B).P(B). (7)

A expressão (7) é também referida como “Teorema da Multiplicação de Probabilidades” [19]. Referente à independência, dois eventos A e B são independentes se a informação de ocorrência de B não altera a probabilidade atribuída ao evento A [19,20], assim escrevemos:

P(A/B)=P(A). (8)

Substituindo (8) em (7) define-se [18,19] formalmente que os eventos A e B são independentes se, e somente se,

P(AB)=P(A).P(B). (9)

A última expressão significa que a probabilidade de ocorrer um evento A e um evento B, sendo eles independentes, é calculada pelo produto das probabilidades de ocorrência desses eventos. A Eq. (9) é generalizada para o caso em que temos a ocorrência de vários eventos independentes. Portanto, se os eventos A1, A2, ......, Am, são independentes [18] então:

P(i=1mAi)=P(A1).P(A2)......P(Am). (10)

É oportuno notar que se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, então eles são eventos dependentes, pois se A ocorre o evento B não ocorre. Ou seja, a ocorrência de um evento condiciona a não ocorrência do outro evento [18].

3. Função de probabilidade - Modelo Binomial Negativo e Aplicação

Obtemos nesta Seção a Função de Probabilidade no modelo Binomial Negativo subsidiados pelos elementos apresentados na última Seção. Recorremos à analogia com a realização de um experimento aleatório simples para exemplificar algumas etapas da elaboração do modelo.

3.1. Lançamentos de uma moeda e a Função de Probabilidade

Considere várias repetições do experimento “lançamento de uma moeda honesta”. Como discutido em 2.1, cada lançamento é um experimento de Bernoulli havendo, naturalmente, dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos. Na Seção anterior definimos sucesso como a ocorrência de cara com valor de probabilidade p, a qual permanece constante em cada repetição do experimento e fracasso a ocorrência de coroa com probabilidade q. Considere agora que dentre as várias possíveis repetições do experimento desejamos obter dois sucessos e adotamos a letra k para essa indicação. Assim k = 2 significa que queremos obter 2 sucessos (2 caras) em várias repetições do experimento aleatório “lançamento de uma moeda honesta”. Se atribuirmos à VA X o significado: “número de vezes que devemos repetir o experimento até se obter 2 sucessos”, temos que X poderá assumir os valores numéricos:

X=2,3,4,5,....... (11)

Naturalmente, se queremos obter k = 2 sucessos o experimento terá que ser repetido no mínimo 2 vezes, implicando assim que o primeiro valor possível para a VA será o número de sucessos desejados, como indicado em (11). A situação exemplificada é generalizada no contexto do Modelo Binomial Negativo, onde a VA é formalmente enunciada como [18, 19]:

X: Número de repetições de um experimento de Bernoulli até se obter um número k de sucessos. (12)

Então X poderá assumir os valores:

X=k,k+1,k+2,k+3,....... (13)

Ressaltamos que a definição da VA, em (12), tem como implicação que o resultado da última repetição do experimento será sempre sucesso, visto que devemos repetir o experimento até obter o número k de sucessos pretendidos. Para orientar a obtenção da Função de Probabilidade construímos a representação indicada na Tabela 3 reportando-nos novamente ao experimento aleatório “lançamento de uma moeda”. Também fixamos a ocorrência de dois sucessos, k = 2, ou seja, duas caras e que são representadas na Tabela 3 por sua probabilidade de sucesso p. Na primeira linha horizontal indicamos os números de repetições, considerando até cinco repetições do experimento e sendo essa uma escolha arbitrária. Na primeira coluna à esquerda indicamos alguns valores possíveis da VA e que representam o número total de repetições do experimento aleatório. Na última coluna à direita são indicadas as proporcionalidades entre a Função de Probabilidade, P(X=x), e os valores das probabilidades de sucesso, p, e de fracasso q. Como devemos efetuar sucessivas repetições do experimento até obtermos os dois sucessos pretendidos (k = 2), apresentamos a seguinte interpretação da Tabela 3:

Tabela 3 Representação possível para orientar a obtenção da Função de Probabilidade no Modelo Binomial Negativo considerando o experimento aleatório “lançamento de uma moeda honesta”. A ocorrência de sucesso numa repetição do experimento é representada por p e a de fracasso por q. As repetições do experimento aleatório e seus resultados são independentes entre si, implicando na multiplicação das probabilidades p e q. Usamos negrito para destacar o deslocamento da probabilidade associada ao evento sucesso nas combinações possíveis. Na última coluna à direita são indicadas a proporcionalidade entre a Função de Probabilidade e as probabilidades p e q

x=2 p p P(X=2)αpp ou P(X=2)αp2
x=3 p q p P(X=3)αqp2
q p p P(X=3)αqp2
x=4 p q q p P(X=4)αq2p2
q p q p P(X=4)αq2p2
q q p p P(X=4)αq2p2
x=5 p q q q p P(X=5)αq3p2
q p q q p P(X=5)αq3p2
q q p q p P(X=5)αq3p2
q q q p p P(X=5)αq3p2

x = 2: tem como significado obter k = 2 sucessos, em x = 2 repetições do experimento aleatório, sendo p a probabilidade constante em cada repetição.

x = 3: significa obter k = 2 sucessos em x = 3 repetições do experimento, e assim sucessivamente.

x=3P(X=3)αpqp, significando k = 2 sucessos em x = 3 repetições independentes do experimento. Esse caso implica que um dos resultados é fracasso, com probabilidade q. Devemos então considerar também a outra configuração possível, ou seja,

P(X=3) α qpp, ou P(X=3) α qp2.

Importante observar, nesse caso, que a probabilidade de obter k = 2 sucessos em x = 3 repetições do experimento é calculada por:

P(X=3)=2qp2, (14)

onde o fator 2 expressa o número das duas configurações possíveis. Prosseguindo em nossa interpretação, para x = 4 existem as configurações:

P(X=4)αpqqpP(X=4)αq2p2,
P(X=4)αqpqpP(X=4)αq2p2,
P(X=4)αqqppP(X=4)αq2p2.

Como há 3 configurações possíveis, referentes à obtenção de k = 2 sucessos em x = 4 repetições do experimento, escrevemos:

P(X=4)=3q42p2. (15)

Ressaltamos que o fator 3 expressa o número de configurações possíveis nesse caso. Antes de prosseguirmos é conveniente expressar a Função de Probabilidade em termos das variáveis x e k. Assim a Eq. (15) é, ainda parcialmente, reescrita na forma:

P(X=x)=3qxkpk. (16)

Nas Eqs. (14) e (15) os fatores 2 e 3 representam respectivamente os números de configurações possíveis e são agrupamentos denominados Combinações[19]. Exemplificamos o cálculo do número das combinações possíveis nesse modelo recorrendo novamente ao exemplo da Tabela 3, de obter k = 2 sucessos em x = 4 repetições do experimento. Como o resultado da última repetição é sempre sucesso temos que o outro sucesso (2 − 1) = 1, ou (k − 1), poderá ocorrer em qualquer uma das outras (4 − 1) = 3, ou (x − 1), repetições do experimento. O fator 1 representa a exclusão do sucesso que ocorre no último lançamento. Em outras palavras, desde que a última repetição resulta sempre em sucesso, o outro sucesso poderá ocorrer no 1º, 2º ou 3º lançamentos. Sendo assim, o número de combinações possíveis é calculado por [18, 19]:

4121=3!1!2!=3. (17)

De forma geral:

x1k1=(x1)!(k1)!(xk)!. (18)

Assim, em razão das Eqs. (16), (17) e (18), a expressão analítica da Função de Probabilidade, Eq. (16), é escrita na forma:

P(X=x)=x1k1qxkpk (19)

ou ainda:

P(X=x)=x1k1(1p)xkpk. (20)

Com a finalidade de propiciar a conexão entre os conceitos sobre a DBN e a quantidade física Distribuição de Multiplicidade, tecemos alguns comentários no sentido de ilustrar de forma simples e qualitativa essa quantidade física. Como mencionado, prótons são partículas com complexa estrutura interna composta de quarks e glúons. A Distribuição de Multiplicidade é sensível ao número de colisões entre quarks e glúons contidos nos prótons colidentes e, em geral, aos mecanismos fundamentais de produção de partículas [22]. Especificamente, nas colisões entre dois prótons pode haver a criação de 2 partículas, ou de 4, ou de 6 ou, de forma geral, pode haver a produção de “n” partículas. Notamos que “n” é um número par devido à conservação da carga elétrica no processo de produção de novas partículas [1]. Para abordagem do problema definimos a VA:

N: Número de partículas produzidas na colisão. (21)

Tal que:

N=2,4,6,...,n,.... (22)

A utilização da DBN [10], da superposição de duas DBN [11, 23], ou de modelos matemáticos de produção de partículas que utilizam a DBN ou casos limites dela como um elemento do modelo [9, 24 25-26] tem fornecido adequadas parametrizações das Distribuições de Multiplicidades. Assim, efetuamos procedimentos matemáticos necessários à aplicação da DBN em análises envolvendo DM, na qual a Função de Probabilidade Binomial Negativa é usualmente expressa em termos da Função Gama e também eliminando-se a variável x e o valor da probabilidade p da expressão (19). Em nosso tratamento vimos que (xk), na Eq. (20), representa o número de fracassos em x repetições do experimento no qual esperamos obter k sucessos. Introduzimos a variável “n” escrevendo:

n=xkx=n+k. (23)

Substituindo (23) em (19) resulta que:

Pk,p(n)=n+k1k1qnpk. (24)

Para facilitar o uso da relação complementar [20] seguinte:

n+ll=n+ln, (25)

efetuamos a mudança de variável: l=k1 na expressão (24) obtendo

Pk,p(n)=n+llqnpk. (26)

Usando então a relação (25) e notando que p+q=1, a Eq. (26) é reescrita na forma:

Pk,p(n)=n+k1n(1p)npk, (27)

ou equivalentemente

Pk,p(n)=(n+k1)!n!(k1)!(1p)npk. (28)

Devido à introdução da variável ”n” e seu significado, Eq. (23), a expressão (28) fornece a probabilidade de ocorrer n fracassos e (k1) sucessos em qualquer ordem, antes de ocorrer um número k de sucessos num experimento de Bernoulli com probabilidade de sucesso p[3]. Cálculos envolvendo fatoriais são, em geral, algebricamente trabalhosos tornando-se então conveniente expressar a Eq. (28) em termos da Função Gama e definida [27] como:

Γ(n)=0exxn1dx, (29)

que converge se n > 0. Se n for um número inteiro positivo, recorremos à identidade [27]:

n!=Γ(n+1). (30)

Assim, os fatoriais presentes na Eq. (28) são expressos em termos da Função Gama, a saber:

(k1)!=Γ(k). (31)
(n+k1)!=Γ(n+k). (32)

Substituindo (30), (31) e (32) na Eq. (28) resulta:

Pk,p(n)=Γ(n+k)Γ(n+1)Γ(k)(1p)npk. (33)

Decorre ainda que em aplicações práticas, com frequência, a probabilidade p não é conhecida, entretanto o valor médio da uma amostra de dados experimentais pode ser obtido [28]. Assim, sendo < n > a multiplicidade média do conjunto N de partículas produzidas nas colisões entre prótons, a mesma é relacionada à probabilidade p de sucesso pela equação [3]:

p1=1+<n>kp=kk+<n>. (34)

Substituindo (34) em (33) resulta que:

P(n,k,<n>)=Γ(n+k)Γ(n+1)Γ(k)[1k<n>+k]n×[k<n>+k]k. (35)

Após efetuarmos algum trabalho algébrico na Eq. (35) obtemos a Função de Probabilidade na forma frequentemente utilizada em investigações de multiplicidades [3]:

P(n,k,<n>)=Γ(n+k)Γ(n+1)Γ(k)[<n>/k1+<n>/k]n×1[1+<n>/k]k. (36)

A forma analítica da DBN depende agora dos valores dos parâmetros < n > e k, que podem ser determinados em ajustes da Eq. (36) aos dados experimentais correspondentes. A expressão (36) permite também versátil elaboração de gráficos e consequentes comparações com os dados experimentais, se comparada com a Eq. (28). Valendo-se da Eq. (36) apresentamos na Figura 2 gráficos da DBN. No painel esquerdo da figura o valor de k é fixado, enquanto os valores médios, < n >, são variados. Nota-se que a medida que < n > diminui ocorre o estreitamento da distribuição. No painel da direita < n > é mantido constante e a medida que k diminui verifica-se a abertura da distribuição.

4. Discussão e considerações finais

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Recebido: 24 de Maio de 2018; Revisado: 20 de Agosto de 2018; Aceito: 20 de Agosto de 2018

*Endereço de correspondência: pcbeggio@gmail.com.

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