Resumo
Neste trabalho propusemos uma abordagem iterativa analítica em que a evolução temporal foi substituída pelo número de iterações. E para o caso de um sistema massa-mola obtivemos sua velocidade e sua posição em função do tempo como somas parciais de séries que convergiram para as funções trigonométricas que são as soluções do oscilador harmônico simples.
Palavras-chave:
Oscilador Harmônico Simples; Método Analítico; Mecânica
Abstract
In this work we propose an analytical iterative approach in which the temporal evolution was replaced by the number of iterations. And for the case of a mass-spring system we obtained its velocity and its position as a function of time as partial sums of series that converged to the trigonometric functions that are the solutions of the simple harmonic oscillator.
Keywords:
Simple Harmonic Oscillator; Analytical Method; Mechanics
1. Introdução
Muitas vezes o professor em sala de aula tenta convencer e demonstrar aos seus estudantes que a ciência, neste caso em questão a física, é algo em constante evolução, e que as ciências naturais buscam a compreensão da natureza. Essa compreensão baseia-se especificamente na modelagem dos fenômenos físicos. Muitos recursos vem sendo desenvolvidos com o intui-to de avançar no processo de ensino-aprendizagem [1[1] M.A. Moreira, N.T. Massoni e F. Ostermann, Rev. Bras. Ensino Fís. 29, 127 (2007). [2] M.A. Moreira e I. Krey, Rev. Bras. Ensino Fís. 28, 353 (2006). [3] A. Llancaqueo, M.C. Caballero e M.A. Moreira, Rev. Bras. Ensino Fís. 25, 399 (2003).–4[4] V.O. Almeida e M.A. Moreira, Rev. Bras. Ensino Fís. 30, 1806 (2008).], principalmente recursos computacionais [5[5] I.S. Araujo, E.A. Veit e M.A. Moreira, Rev. Bras. Ensino Fís. 26, 179 (2004). [6] R.R. Oliveira e L. Ferracioli, Ens. Pesqui. Educ. Ciênc. 17, 685 (2015). [7] M.E. de Andrade, Simulação e modelagem computacional com o software Modellus: aplicações práticas para o ensino de física (Editora Livraria da Física, São Paulo, 2016) [8] C.H.S. Verbeno, R.M.A. da Silva, R. Maziero, T. Gomes e L. Ferracioli, Rev. Bras. Ensino Ciên. e Tecn. 9 24 (2016).–9[9] G.S. Maciel, Proposta de uma Sequência Didática Sobre Tópicos de Física Quântica Através do Uso de Simulações Computacionais e da Determinação da Constante de Planck Com Leds Aplicado ao Ensino Médio. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Espírito Santo, Espírito Santo, 2016.] e experimentais [10[10] R.T. Prado e L. Ferracioli, Rev. Prof. Fís. 1, 1 (2017). [11] J.C. dos Santos e A.G. Dickman, Rev. Bras. Ensino Fís. 41, 1 (2019).–12[12] L.V. Soares, Aprendizagem Significativa Através da Construção de Experimentos Pelos Alunos do Ensino Médio Técnico. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Espírito Santo, Espírito Santo, 2015.]. Propõe-se então neste trabalho, um modelo analítico alternativo para obtenção das funções horárias do oscilador harmônico simples (ohs) [22][22] H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica (Blucher, São Paulo, 2002), v. 1, p. 86. como recurso didático, levantando a questão da problematização de uma proposta analítica alternativa às usuais. É importante ressaltar que o intuito não é desenvolver um método melhor nem de mais fácil resolução, e sim um método alternativo, no qual possamos obter as funções horárias para o ohs sem a necessidade de resolvermos diretamente as equações diferencias ou utilizar métodos numéricos ou modelagens computacionais. A escolha do ohs foi pelo fato de além do mesmo ser utilizado em uma vasta gama de sistemas físicos [13[13] S. Bose, D. Home e S. Mal, Phys. Rev. Lett. 120, 210402 (2018). [14] X. Xu, T. Purdy e J.M. Taylor, Phys. Rev. Lett. 118, 223602 (2017). [15] N. Paul et al., Phys. Rev. Lett. 118, 032501 (2017). [16] M.F. Bocko e R. Onofrio, Rev. Mod. Phys. 68, 755 (1996). [17] G. Salerno, T. Ozawa, H.M. Price e I. Carusotto, Phys. Rev. B. 93, 085105 (2016). [18] J.I. Jiménez-Aquino, R.M. Velasco e F.J. Uribe, Phys. Rev. E. 79, 061109 (2009). [19] J.I. Jiménez-Aquino, R.M. Velasco e F.J. Uribe, Phys. Rev. E. 77, 051105 (2008). [20] M. Teubner, Phys. Rev. A. 72, 042703 (2005).–21[21] Y. Zhang, Rev. Bras. Ensino Fís. 37, 4314 (2015).], é um problema simples e sua solução é dada em termos de funções ele-mentares (equações (3) e (4). E devido a isto, é frequentemente abordado em textos de física básica [22[22] H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica (Blucher, São Paulo, 2002), v. 1, p. 86., 23[23] H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica (Blucher, São Paulo, 2002), v. 2, p. 40.]. Uma das maneiras de resolver o ohs é partindo da Lei de Hooke [23][23] H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica (Blucher, São Paulo, 2002), v. 2, p. 40. para obter suas funções horárias e . Assim
a equação (2) é uma equação diferenciável homogênea de segunda ordem, onde é a frequência natural do sistema massa-mola e sua solução é do tipo
com
onde A e B podem ser determinados pelas condições iniciais e , resultando em
e
As equações (5) e (6) são as funções horárias para o ohs. Na seção a seguir iremos descrever uma abordagem iterativa analítica para obtermos estas equações como um recurso alternativo.
2. Abordagem Iterativa para o Oscilador Harmônico Simples
Vamos considerar aqui um sistema massa-mola clássico, e consideraremos o movimento relativo da massa reduzida m em um sistema de dois corpos. Em um tempo inicial o sistema tem posição inicial e velocidade inicial , o sistema se propaga livremente em uma trajetória retilínea até a sua primeira iteração subsequente em
e
onde muda sua velocidade para
O sistema segue, novamente, uma trajetória retilínea até sua segunda iteração em
O qual muda sua velocidade para
Assim na enésima iteração
e
O vetor posição , muda continuamente, descrevendo uma trajetória poligonal. Nesta abordagem a velocidade (momento linear se quisermos dar um tratamento semi-clássico [24][24] B.R. Segatto, J.C.S. Azevedo e M.M. de Souza, J. Phys. A: Math. Gen. 36 5155 (2003).) muda discretamente. As variáveis contínuas tempo e posição entram na descrição do movimento como se fossem parâmetros discretos somente porque esses eventos de iteração são nossos pontos de referência para a contagem do tempo. As equações (13) e (14) são relações genéricas válidas para qualquer sistema não relativístico discreto. Para o ohs considerado aqui é natural esperarmos que
Uma vez que, e temos
o qual define nosso ohs discreto. Dentre infinitas possibilidades nós iremos escolher a mais simples matematicamente
e
onde é uma constante positiva. As equações (13) e (14) tornam-se então
e
A combinação recursiva das equações (19) e (20) leva a
e
onde e são funções polinomiais de e , é o maior inteiro em , com
e
seria a posição no instante se não houvesse ite-ração entre e , enquanto seria a velocidade no instante se todas iterações forem iguais a primeira; seria a posição final se houvesse apenas uma iteração neste intervalo de tempo, e assim por diante. Sucessivas re-iterações nas equações (25) e (26) tornam se
e
Usando agora e a identidade
(vide Apêndice A), temos
e
substituindo (30) e (31) em (21) e (22) , obtemos
e
Podemos reescrever as equações (32) e (33) da seguinte forma
e
onde
e
Para , entretanto, a seguinte aproximação é válida
(vide Apêndice B) e então
e
Os últimos somatórios das equações (39) e (40) são somas parciais das séries representando suas respectivas funções trigonométricas [25][25] J. Stewart, Cálculo (Cengage Learning, São Paulo, 2014), v. 2, p. 684..
Os gráficos destas somas parciais estão mostrados nas Fig. 1 e Fig. 2 para n = 25, Fig. 3 e Fig. 4 para n = 50 e Fig. 5 e Fig. 6 para n = 100. Observamos nestas figuras que e convergem inicialmente para suas respectivas funções trigonométricas cos(wt) e sen(wt) somente para valores de , uma vez que, o módulo das amplitudes de oscilação de e são muito maiores que um para os demais valores de .
Amplitude para n = 50 e sua respectiva função trigonométrica. Vemos claramente que as amplitudes dimi-nuem para maiores quando comparados com n = 25.
Amplitude para n = 50 e sua respectiva função trigonométrica. Assim como para , as amplitudes diminuem para maiores quando comparados com n = 25.
Entretanto, analiticamente os somatórios das equações (39) e (40) podem ser vistos como limites assintóticos quando em suas respectivas séries finitas de combinatoriais. E as equações (32) e (33) tornam-se soluções gerais do ohs.
e
As equações (12) e (17) definem a evolução temporal na abordagem iterativa aqui proposta, entretanto, as soluções (41) e (42) devem satisfazer duas condições para recuperarmos a solução do ohs e . Na mecânica um dos elementos constitutivos é assumir a existência de uma lei causal conectando os diversos estados do sistema [26][26] A.E. de Santana, Rev. Bras. Ensino Fís. 41, e20180145 (2019).. Podemos então especificar pela reta real () ou seja, é uma coordenada, em que cada valor de é chamado de instante de tempo. Consequentemente, as equações (41) e (42) podem ser interpretadas como solução do ohs. Devemos destacar que a abordagem aqui proposta é de iteração e não de interação fundamental do ponto de vista físico.
3. Considerações Finais
Neste trabalho, foi proposto uma abordagem iterativa para a solução do ohs com o intuito de mostrar que é possível através de um método alternativo ao normalmente utilizado obter suas funções horárias. Não foi nosso intuito dar uma interpretação física ao método em si, o estamos considerando apenas como uma ferramenta matemática. Entretanto esta abordagem pode servir como base para analisar outros sistemas físicos, a saber as forças fundamentais. Não devemos esquecer,que o potencial harmônico, embora seja uma ferramenta extremamente útil em todos os ramos da física moderna, não é em si uma interação fundamental.
Agradecimentos
Ao Professor Manoelito Martins de Souza e ao Julio Cesar Azevedo da Silva pela colaboração, aos árbitros anônimos pelas valiosas sugestões e aos órgãos de fomento CNPq, CAPES e FAPES.
Referências
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[1]M.A. Moreira, N.T. Massoni e F. Ostermann, Rev. Bras. Ensino Fís. 29, 127 (2007).
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[2]M.A. Moreira e I. Krey, Rev. Bras. Ensino Fís. 28, 353 (2006).
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[4]V.O. Almeida e M.A. Moreira, Rev. Bras. Ensino Fís. 30, 1806 (2008).
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[9]G.S. Maciel, Proposta de uma Sequência Didática Sobre Tópicos de Física Quântica Através do Uso de Simulações Computacionais e da Determinação da Constante de Planck Com Leds Aplicado ao Ensino Médio Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Espírito Santo, Espírito Santo, 2016.
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[25]J. Stewart, Cálculo (Cengage Learning, São Paulo, 2014), v. 2, p. 684.
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[26]A.E. de Santana, Rev. Bras. Ensino Fís. 41, e20180145 (2019).
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
28 Out 2019 -
Data do Fascículo
2020
Histórico
-
Recebido
12 Dez 2018 -
Revisado
24 Ago 2019 -
Aceito
09 Set 2019