Resumo
Este trabalho tem como objetivo introduzir e discutir a metodologia de Shaw-Deser para descrever a interação entre matéria e radiação via simetria de calibre (abeliana/não abeliana). Nas entrelinhas, a mensagem que pretendemos passar é como a “impressão digital” da simetria de calibre local está contida na simetria de calibre global, por meio de uma interação corrente-campo (Dirac/Schwinger) e uma análise mais algébrica (iterativa), complementando a abordagem geométrica de Yang-Mills/Utiyama.
Palavras-chave:
Teoria de Campos; Teorias de calibre
Abstract
The aim of this work is to present and discuss the Shaw-Deser methodology to describe the interaction between matter and radiation by gauge symmetry (abelian/non-abelian). Between the lines, the message we intend to convey is how the “ fingerprint ” of local gauge symmetry is contained in global gauge symmetry, through a current-field interaction (Dirac/Schwinger) and a more algebraic (iterative) analysis, complementing the geometrical approach of Yang-Mills/Utiyama.
Keywords:
Field theory; Gauge theory
1. Conceitos Preliminares
Como sabemos a busca por uma teoria unificada que consiga descrever as interações da natureza (eletromagnética, fraca, forte e gravitacional) vem de longa data, com o princípio de calibre [1][1] L. O'Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory (Princeton University Press, Princeton, 1997). protagonizando esse busca e por conseguinte, com simetria de calibre determinando a interação entre matéria, radiação e suas auto-interações.
Quem primeiro apontou na direção de que o princípio de calibre advindo do eletromagnetismo poderia ser extendido para descrever outras interações (gravitacional) foi Weyl [2][2] H. Weyl, Preuss Akad. Wiss. 465, 29 (1918)., na tentativa da simetria de calibre ser elevada a um nível mais fundamental. Tendo em vista o desenvolvimento e a descrição das interações fortes por Heisenberg, Tamm e Yukawa [3[3] W. Heisenberg, I. Z. Physik 77, 1 (1932). [4] I.G. Tamm, Nature 133, 981 (1934).-5[5] H. Yukawa, Proc. Phys. Math. Soc. Jpn. 17, 48 (1935).], em que partículas nucleares (protons e neutrons) estariam trocando mésons (píons), Yang and Mills retomam o empreendimento de Weyl [1[1] L. O'Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory (Princeton University Press, Princeton, 1997)., 6[6] H. Weyl, Zeit. f. Physik 330, 56 (1929).], no esforço de explicar a interação forte generalizando a simetria de fase (isospin global) para um patamar local [7][7] C.N. Yang e R. Mills, Phys. Rev. 96, 191 (1954)., onde aparece o conceito de derivada covariante. Porém, como era bem sabido por Pauli [8][8] N. Straumann, em The Ninth Marcel Grossmann Meeting, editado por V.G Gurzadyan, R.T Jantzen e R. Ruffini (World Scientific, Singapore, 2002), as partículas intermediadoras dessa interação associada a simetria de isospin local são não massivas, contradizendo o fato da interação forte ser descrita por uma interação de curto alcance e partículas massivas. Paralelamente ao trabalho de Yang-Mills, Utiyama estabelece um cojunto de diretrizes para construir uma teoria de gauge para todos os grupos de Lie semi-simples e inclui também no estudo, a relação entre a gravitação na formulação de tetradas e o eletromagnetismo via conexão [9[9] R. Utiyama, Phys. Rev. 101, 1597 (1597)., 10[10] O.A. Acevedo, R.R. Cuzinatto, B.M. Pimentel e P.J. Pompeia, Rev. Bras. Ens. Fis. 40, e4302 (2018).]. Nos dias atuais, o caráter geométrico das interações fundamentais ainda é explorado [11[11] M.D. Maia, Geometry of the Fundamental Interactions (Springer-Verlag, New York, 2011)., 12[12] R. Aldrovandi e J.G. Pereira, An Introduction to Geometrical Physics (World Scientific, Cingapura, 2017), 2ª ed.].
Por outro lado, colateralmente a prescrição de Yang-Mills/Utiyama, e praticamente na mesma época, Shaw desenvolve sua abordagem [13[13] R. Shaw, Problem of Particle Types and Other Contributions to the Theory of Elementary Particles. Tese de Doutorado, Cambridge University, Cambridge (1955)., 14[14] J.C. Taylor, Gauge Theories In The Twentieth Century (World Scientific Publishing Company, Singapore, 2001).], com incentivo diferente. Tendo em vista a atenção dada por Dirac na análise da simetria de calibre da época [15][15] P.A.M. Dirac, Il Nuovo Cim. 7, 925 (1950). e o trabalho de Schwinger [16][16] J. Schwinger, Phys. Rev., 91 713 (1953)., Shaw percebeu que a simetria de calibre do eletromagnetismo U(1) apresentado na sua forma real bidimensional SO(2) poderia ser generalizado para SU(2), onde teríamos campos vetoriais auto-interagindo, extendendo o trabalho de seu orientador de doutorado (Salam) sobre campos escalares com auto-interação [17][17] A. Salam, Phys. Rev. 82, 217 (1951).. Implicitamente na abordagem de Shaw, vemos um forte apelo de implementarmos na lagrangiana termos do tipo corrente-campo () com o intuito de obtermos uma simetria de calibre local. Sendo assim, o objetivo ao longo do texto é de analisar minuciosamente esse apelo por meio da abordagem contída no trabalho de Deser [18[18] S. Deser, General Relativity and Gravitation 1, 9 (1970). [19] S. Okubo, Introduction To General Relativity, lectures notes Preprint UR-695 (University of Rochester, Rochester, 1978).-20[20] M. Blagojevic, Gravitation and gauge symmetries (Routledge, Abingdon, 2001).].
Portanto o artigo é organizado da seguinte forma: Na Secção-2 e Secção-3 estudamos a simetria de calibre abeliana U(1) no caso da eletrodinâmica. Na Secção-4 exploramos novamente a simetria de calibre abeliana U(1) porém no caso da eletrodinâmica escalar. Na Secção-5 analisamos a simetria de calibre não abeliana SU(2). Por fim, as conclusões estão na Secção-6.
2. Simetria U(1)
Com o intuito de introduzir a simetria de calibre abeliana (global-local), vamos relembrar como a mesma surge de uma linguagem relativística descrevendo a interação entre matéria e radiação [21[21] J. Foster e J.D. Nightingale, A Short Course in General Relativity (Springer, New York, 2006), 3ª ed., 22[22] L.D. Landau e E.M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields (Butterworth-Heinemann, Oxford, 1987), 4ª ed.].
2.1. Radiação (fótons)
Dessa forma, inicialmente, construimos uma ação que represente as equações de movimento relativística associada a interação de uma partícula com um campo eletromagnético externo na forma covariante
onde é o intervalo associado a medidas de distância no espaço de Minkowski. Conseqüentemente aplicando o princípio da mínima ação
juntamente com as identidades
encontramos a equação que representa a força de Lorentz na forma covariante
Partículas se movendo a velocidades newtonianas () interagem com o campo eletromagnético da seguinte forma
onde na aproximação tempo próprio passou a ser o tempo coordenado.
Definimos os campos elétricos e magnéticos em termos do 4-potencial a partir da equação anterior
Observe que os campos elétricos e magnéticos definidos anteriormente são invariantes perante a trasformação de calibre abeliana
onde é necessário utilizar a identidade vetorial Os campos elétricos e magnéticos são os campos que realmente tem conteúdo físico no sentido de representarem os verdadeiros graus de liberdade apresentados na natureza. Já o 4-potencial possui uma liberdade de escolha a qual estamos representando pelas transformações de calibre (local)
A partir do conjunto de equações (6) encontramos
onde além de aplicar o rotacional e o divergente utilizamos as identidades vetoriais
Por outro lado, podemos também sintetizar em uma linguagem covariante como correntes eletromagnéticas (fontes) geram campos, por meio da seguinte ação
cujas equações de movimento, pelo pricípio da mínima ação de Hamilton, são dadas por
Se impormos que é invariante pela transformação de calibre em eq. (8) temos como consequência uma equação de continuidade para a 4-corrente , . Desse modo, com a finalidade de mater a simetria de calibre apenas correntes conservadas devem se acoplar com campos eletromagnéticos na forma corrente-campo (). Por fim, a equação (12) pode ser escrita em termos dos campos eletromagnéticos e das componentes da 4-corrente
Portanto as equações clássicas de movimento de na presença de fontes podem ser unificadas (Maxwell)
tendo em vista eq. (9) e eq. (13). Observe que a dinâmica é dada pelas equações que tem variações temporais dos campos.
2.2. Matéria (elétrons)
Assim como campos relativísticos descrevem a radiação, o mesmo deve acontecer com a matéria [23][23] S.S. Schweber, An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory (Row, Peterson and Company, New York, 1961).. Como sabemos uma partícula relativística é descrita cinemáticamente pelas seguinte equações
onde somos conduzidos a uma equação de Klein-Gordon-Fock (KGF)
Agora podemos aplicar o procedimento de Dirac para encontrar uma equação de primeira ordem a partir de uma equação de segunda ordem (KGF). Um conjunto de equações diferenciais em primeira ordem é escrita de maneira geral na forma
em que são certas matrizes, é a matriz identidade e é um vetor coluna. Sendo assim devemos ter que
ou seja,
em que para que essa igualdade seja verdadeira, as condições
devem ser obedecidas. Estas condições conduzem a , e também
Por fim tendo em vista que deve representar uma densidade de carga elétrica associada a uma equação de continuidade, construímos a ação de Dirac
Observe que a ação é invariante pela transformação de calibre (global)
Tendo em vista o Teorema de Emmy Noether a transformação global acima (infinitesimal) esta associada a uma simetria
Sendo assim
3. Eletrodinâmica
Como foi visto anteriormente, sabemos como descrever radiação e matéria por meio de campos relativísticos de Maxwell e Dirac respectivamente, e sabemos também que a interação entre os mesmos advém de um acoplamento corrente-campo em que a corrente é uma quantidade conservada. Consequentemente temos a seguinte densidade de lagrangiana
O termo de interação corrente-campo () pode ser escrito em termos dos diagramas de Stüeckelberg-Feynman (vértice) [24[24] E. Stüeckelberg, Phys. Acta 14, 588 (1941). [25] E. Stüeckelberg, Helv. Phys. Acta 14, 588 (1941). [26] J. Lacki, H. Ruegg and G. Wanders e E.C.G. Stueckelberg, An Unconventional Figure of Twentieth Century Physics (Birkhäuser Verlag AG, Basel, 2008). [27] R. Feynman, Rev. Mod. Phys. 20, 367 (1948). [28] S.S. Schweber, QED and the Men Who Made It (Princeton University, New Jersey, 1994). [29] A.C. Aguilar, Rev. Bras. Ens. Fis. 40, e4205 (2018).-30[30] V. Pleitez, Rev. Bras. Ens. Fis. 40, e4208 (2018).], vide Figura 1.
Ao escrevermos a equação anterior explícitamente
vemos o surgimento da derivada covariante [31][31] P.A.M. Dirac, The Principle of Quantum Mechanics (Oxford University Press, London, 1958), 4ª ed.. A simetria de calibre abeliana e local é dada pelas seguintes transformações de campos (infinitesimais)
Portanto a simetria de calibre global garante uma corrente conservada, a qual acoplada com o campo na forma corrente-campo nos gera uma densidade de Lagrangiana total com simetria de calibre local, em que é possível observar naturalmente o surgimento do conceito de derivada covariante. Sendo assim, podemos dizer que a simetria de calibre global contém a “impressão digital” da simetria de calibre local.
4. Eletrodinâmica Escalar
Da mesma forma que no caso anterior, vamos aplicar a idéia de interação corrente-campo para o caso onde a matéria é descrita por campos escalares (KGF) [32[32] J.D. Bjorken e S.D. Drell, Relativistic quantum mechanics (MC Graw Hill Book Company, New York, 1964). [33] J.D. Bjorken e S.D. Drell, Relativistic quantum fields (McGraw-Hill Book Company, New York, 1965). [34] L. Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge University Press, Cambridge, 1996), 2ª ed.-35[35] A.F. Ferrari, A.A. Nogueira e C. Palechor, Rev. Bras. Ens. Fis. 40, e3315 (2018).].
4.1. Equações de segunda ordem
No momento é de nosso conhecimento que a matéria pode ser descrita por campos escalares complexos pela seguinte equação de movimento , a qual pode ser escrita em termos da seguinte densidade de lagrangiana
em que a operação significa que as lagrangianas são equivalentes a menos de um termo de superfície e temos uma simetria de calibre global
Sendo assim, utilizando o teorema de Emmy Noether, a transformação global acima (infinitesimal) esta associada a uma simetria
onde definimos uma corrente conservada
Agora ao aplicar a metodologia corrente-campo temos a seguinte densidade de Lagrangiana
Em termos dos diagramas de Stüeckelberg-Feynman a interação ( pode ser escrita em termos de um vértice, vide Figure 2. Podemos aplicar novamente o teorema de Emmy Noether, via eq. (30) e encontrar novamente a seguinte corrente conservada
Deste modo, pensando de maneira iterativa, podemos aplicar novamente a metodologia corrente-campo encontrando a seguinte densidade de lagrangiana
onde ao utilizarmos novamente o teorema de Emmy Noether não geramos mais termos para a corrente conservada e dessa forma paramos por aqui com a iteração. Novamente em termos dos diagramas de Stüeckelberg-Feynman a interação pode ser escrita em termos de um vértice, vide Figure 3.
Sendo assim ao incluirmos a radiação temos a seguinte densidade de lagrangiana total
em que novamente noção de derivada covariante surge naturalmente de uma simetria global e interação corrente-campo.
Como foi possível observar, novamente por meio da simetria global e do acoplamento corrente-campo é possível gerar uma simetria de calibre local, porém diferentemente da eletrodinâmica, a eletrodinâmica escalar precisa de um ingrediente a mais, que no caso é o processo de iteração. Na primeira iteração geramos um vértice de interação (Feynman) e na segunda iteração geramos um segundo vértice, que no caso é suficiente para se ter uma simetria de calibre local.
4.2. Equações de primeira ordem
É possível também escrever a densidade de Lagrangiana que descreve o comportamento de campos escalares complexos em eq. (28) no formalismo de primeira ordem
em que é um campo auxiliar que reduz a ordem. Pelas equações de movimento temos que
e a simetria de calibre global continua sendo ditada por eq. (29).
Neste caso novamente pelo teorema de Emmy Noether em eq. (30) a simetria de calibre global nos conduz a seguinte corrente conservada
Logo ao aplicar a metodologia corrente-campo temos a seguinte densidade de Lagrangiana
e portanto, ao encontrar as equações de movimento temos o seguinte
onde naturalmente temos o surgimento da derivada covariante e a garantia de uma simetria de calibre local. Substituindo eq. (40) em eq. (39) temos ao incluirmos a radiação eq. (35).
Por fim, curiosamente, ao reduzirmos a ordem, obtemos a simetria de calibre local e a idéia de derivada covariante por meio de uma simetria de calibre global diretamente, sem a necessidade de iterações e com a informação contída em apenas um vértice ( e Figura 2), diminuindo assim o número de diagramas de Stüeckelberg-Feynman necessários para descrever a interação entre campos escalares complexos e campos vetoriais. Podemos também descrever o comportamento de campos escalares por meio do formalismo de Duffin-Kemmer-Petiau [36][36] T.R. Cardoso e B.M. Pimentel, Rev. Bras. Ens. Fis. 38, 3 (2016)., onde temos uma equação na forma de Dirac e sendo assim de primeira ordem, e um vértice tipo eletrodinâmica (Figura 1).
5. Simetria SU(2)
Neste momento estamos aptos a analisar uma simetria de calibre não abeliana (global-local) [37[37] J.B. Neto, Eletrodinâmica Quântica, notas de curso (IF/UFRJ, Rio de Janeiro, 1988)., 38[38] V. Rubakov, Classical Theory of Gauge Fields (Princeton University Press, Princeton, 2002).], sempre explorando como o conceito de simetria global e o acoplamento do tipo corrente-campo nos leva a uma simetria local (Shaw-Deser) [18[18] S. Deser, General Relativity and Gravitation 1, 9 (1970). [19] S. Okubo, Introduction To General Relativity, lectures notes Preprint UR-695 (University of Rochester, Rochester, 1978).-20[20] M. Blagojevic, Gravitation and gauge symmetries (Routledge, Abingdon, 2001).]. O protótipo dessa idéia pode ser visto na análise de Shaw para a simetria [1[1] L. O'Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory (Princeton University Press, Princeton, 1997)., 13[13] R. Shaw, Problem of Particle Types and Other Contributions to the Theory of Elementary Particles. Tese de Doutorado, Cambridge University, Cambridge (1955)., 14[14] J.C. Taylor, Gauge Theories In The Twentieth Century (World Scientific Publishing Company, Singapore, 2001).]. Como a inspiração para esse estudo é baseada na descrição de interações em física nuclear com conceitos do eletromagnetismo (simetria de calibre), vamos emprestar a seguinte nomeclatura: Hadrons são as partículas que carregam a interação forte e são divididas em bárions (prótons e neutrons) e mésons (píons). Vamos chamar o estudo da interação entre os hadrons de hadrodinâmica.
5.1. Matéria (bárions)
Seguindo a fenomenologia associada a interação forte (isospin), com o intuito de descrever o comportamento de prótons e neutrons (núcleons), escrevemos uma densidade de Lagrangiana em termos de um dublete de campos de Dirac
Por comodidade, geralmente omitimos os indices internos
A densidade de Lagrangiana anterior é invariante pela seguinte transformação
em que , sendo uma matriz unitária () pertencente ao conjunto de matrizes com entradas no corpo dos números complexos. Pois bem, matrizes unitárias satisfazem os aximomas de um grupo de transformações (associatividade, existência do elemento neutro e existência do elemento simétrico) [39][39] M. Hamermesh, Group Theory and its Application to Physical Problems (Addison-Wesley Publishing Company, Boston, 1962)..
Agora de maneira geral, matrizes unitárias podem ser escritas como , onde é uma matrix hermitiana (). Como sabemos, matrizes hermitianas satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (associatividade, comutatividade, elemento identidade, elemento inverso, compatibilidade e distributividade) [40][40] T.M. Apostol, Calculus vol. 1, One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra (John Wiley and Sons, New York, 1991), 2ª ed. e sendo assim no presente caso podemos escrever em termos da seguinte base
Portanto, a menos de uma fase global (), com os resultados anteriores podemos dizer que a matriz possui a seguinte forma
em que , e é o símbolo de Levi-Civita com . Por fim, pela identidade concluímos que . Representamos o grupo de transformações especiais (), unitárias (U) e em 2 dimensões pela seguinte nomeclatura, . O grupo de transformações é um exemplo contido em uma estrutura matemática mais abstrata e geral conhecida como grupos de Lie [41[41] A. Das e S. Okubo, Lie Groups and Lie Algebras for Physicists (World Scientific Publishing Company, Singapura, 2014)., 42[42] L.A. Ferreira, Lecture Notes on Lie Algebras and Lie Groups, disponível em: http://www.ifsc.usp.br/~laf/algebra/notes.pdf
http://www.ifsc.usp.br/~laf/algebra/note...
].
Como pode ser visto, a ação associada ao dublete de férmions () é invariante pela seguinte transformação de calibre infinitesimal (global)
em que
Por meio do Teorema de Emmy Noether a transformação de simetria global acima (infinitesimal) esta associada a uma carga conservada
onde definimos a seguinte corrente conservada , sendo uma carga.
Consequentemente, a prescrição do acoplamento corrente-campo nos leva a seguinte densidade de lagrangiana associada ao dublete de férmions minimamente acoplados com campos vetoriais externos (Maxwell)
Por meio dos diagramas de Stüeckelberg-Feynman a interação pode ser escrita em termos de um vértice, vide Figure 4.
Agora a questão que nos resta é como inserir na densidade de Lagrangiana anterior a radiação, assunto abordado na próxima subsecção. Mas antes, vamos encontrar a transformação que os campos vetorias devem ter de tal forma que a transformação de calibre global em eq. (45) passa a ser local e depender de ponto e uma simetria de calibre local de . Para isso basta escrevermos eq. (49) em termos do conceito de derivada covariante
e impormos que deve se transformar de tal forma que
A solução para esse problema será a seguinte transformação de calibre (infinitesimal) local para os campos
5.2. Radiação (mésons)
Seguindo os passos do eletromagnetismo, campos que se acoplam com correntes conservadas na forma corrente-campo devem possuir a seguinte simetria de calibre local
Desse modo construímos a seguinte densidade de Lagrangiana
Como podemos observar, a densidade de Lagrangiana anterior é invariante pela seguinte simetria global (rotações)
sendo a matrix transposta de . De maneira geral podemos escrever da seguinte modo , dessa forma e sendo assim as matrizes são anti-simétricas e constituem um espaço vetorial. Podemos escrever G na seguinte base , em que é o símbolo de Levi-Civita.
Portanto, com os resultados anteriores, podemos dizer que a matriz possui a seguinte forma (Lie) [41[41] A. Das e S. Okubo, Lie Groups and Lie Algebras for Physicists (World Scientific Publishing Company, Singapura, 2014)., 42[42] L.A. Ferreira, Lecture Notes on Lie Algebras and Lie Groups, disponível em: http://www.ifsc.usp.br/~laf/algebra/notes.pdf
http://www.ifsc.usp.br/~laf/algebra/note...
].
em que , . Observe que temos a seguinte identidade de Jacobi
sendo [,] o comutador. Por fim, pela identidade concluímos que . Representamos o grupo de transformações especiais (), ortogonais (O) e em 3 dimensões pela seguinte nomeclatura, . Como podemos perceber, é uma representação de no corpo dos reais.
Como pode ser visto, a ação associada ao triplete de bosons vetoriais () é invariante pela seguinte transformação de calibre infinitesimal (global)
Agora, utilizando a experiência que tivemos no caso do campo escalar com auto-interação, vamos reduzir a ordem da Lagrangiana associada ao triplete de bosons vetoriais por meio de um conjunto de campos auxiliares ()
com o intuito de estudar a relação entre campos vetoriais com auto-interação e a simetria de calibre (global/local) de maneira direta. Dessa forma a transformação de calibre infinitesimal (global) é dada por
em que
Agora, por meio do Teorema de Emmy Noether a transformação de simetria global acima (infinitesimal) esta associada a uma carga conservada
onde definimos a seguinte corrente conservada
Seguindo a prescrição de Shaw-Deser de interação corrente-campo juntamente com a experiência obtida na análise do campo escalar escrevemos a seguinte densidade de Lagrangiana
onde temos como consequência a seguinte equação de movimento para o campo auxiliar
Dessa forma, a densidade de Lagrangiana associada ao triplete de campos vetorias pode ser escrita do seguinte modo
A densidade de Lagrangiana anterior é invariante pela transformação de calibre local vista em eq. (52). Para demonstrar o fato anterior é necessário utilizar a identidade de Jacobi
que é habitual na literatura.
Por motivos de completeza, vamos encontrar a densidade de Lagrangiana associada ao triplete de campos vetoriais em eq. (66) com a prescrição de Shaw-Deser de interação corrente-campo juntamente com o método iterativo, sem reduzir a ordem da Lagrangiana com um campo auxiliar. Novamente por meio do Teorema de Emmy Noether a transformação de simetria global em eq. (58) (infinitesimal) esta associada a seguinte carga conservada
onde definimos a seguinte corrente conservada
sendo uma carga associada (proporcional) a constante de acoplamento universal . Seguindo a prescrição de Shaw de interação corrente-campo e o método iterativo visto para campos escalares auto-interagentes escrevemos a seguinte densidade de Lagrangiana
onde via os diagramas de Stüeckelberg-Feynman a interação pode ser escrita em termos de um vértice, vide Figure 5. Esse vértice também descreve a interação , vista anteriormente no formalismo de redução de ordem. Podemos aplicar novamente o teorema de Emmy Noether
e definir novamente a seguinte corrente conservada
Neste caso, acoplando novamente as correntes com os campos, chegamos ao seguinte resultado
e percebemos que ao utilizarmos novamente o teorema de Emmy Noether não geramos mais termos para a corrente conservada e sendo assim paramos por aqui com o método iterativo. Com os diagramas de Stüeckelberg-Feynman a interação pode ser escrita em termos de um vértice, vide Figure 6.
Agora para que eq. (73) seja equivalente à eq. (70) e dessa forma, por meio de uma simetria de calibre global obtermos uma simetria de calibre local, devemos resolver o seguinte sistema de equações
O sistema de equações anterior nos leva a seguinte equação polinomial de segundo grau
cuja resolução nos conduz ao seguinte resultado
em que observamos a relação entre a simetria de calibre local e a universalidade da constante de acoplamento, proporcional a .
Portanto os resultados anteriores nos levam a sintetizar a seguinte lagrangiana
em que a simetria de calibre não abeliana e local é dada pelas seguintes transformações de campos (infinitesimais)
Como vimos, foi possível construir a auto-interação entre campos vetoriais pela prescrição de Shaw-Deser e o acoplamento corrente-campo, usando como guia a simetria de calibre (global/local) e a experiência que tivemos na análise do campo escalar complexo. Agora o estudo da auto-interação de campos escalares foi estudado em grande parte por Salam, e serviu de estímulo para a leitura de Shaw no caso vetorial.
6. Comentários Finais
Conforme foi possível testemunhar ao longo do texto, a simetria de calibre local obtida e escrita nos moldes de uma interação corrente-campo (), desempenha um papel crucial na determinação da dinâmica de interação (vértices) entre matéria e radiação.
No primeiro ato estudamos como a simetria de calibre nos leva a uma dinâmica de interação entre campos fermiônicos e vetoriais.
No segundo ato estudamos novamente a simetria de calibre , porém a mesma nos levou a descrever a interação entre campos escalares e vetoriais. Essa análise acabou sendo um pouco mais sutil devido ao fato de campos escalares serem descritos por equações de segunda ordem. Ao moldarmos a simetria de calibre local em termos de uma interação corrente-campo necessitamos de um processo de iterações e acabamos gerando 2 vértices descrevendo a interação porém ao utilizarmos campos auxiliares para reduzir a ordem das equações que descrevem o comportamento dos campos escalares (primeira ordem), obtivemos a dinâmica de maneira direta e com apenas 1 vértice.
Por fim no terceiro ato utilizamos toda experiência adquirida e ferramentas associadas as análises anteriores da simetria de calibre para explorar a simetria de calibre . O desafio para manifestar essa simetria de calibre local do ponto de vista de interações corrente-campo () acabou sendo maior, tanto na introdução de campos auxiliares para reduzir a ordem quanto na utilização do método iterativo. O desfecho dessa investigação é que além das interações entre campos fermiônicos e campos vetoriais teríamos também auto-interações entre campos vetoriais.
Agora um ponto que devemos complementar é a questão da massa para as partículas intermediadoras de interação em teorias de calibre não abelianas. Essa questão só foi revisitada após o entendimento de mecânismos geradores de massa via o conceito de quebra espôntanea de simetria, no contexto de unificação da interação eletromagnética com a interação fraca (Teoria Eletrofraca) [43[43] S. Weinberg, Phys. Rev 19, 21 (1967)., 44[44] J.L. Lopes, Gauge Field Theories an Introduction (Pergamom Press, Oxford, 1981).]. A agenda para o entendimento dessa unificação nos moldes de uma simetria de calibre , se inicia com o trabalho de Fermi e a interação corrente-corrente () para descrever o decaimento beta, ganha apreço com os trabalhos envolvendo o dublete de de Schwinger e Glashow, sendo necessário a extensão para com o intuito de incluir o conceito de carga elétrica por meio da idéia de Gell-Mann e Nishijima (hiper-carga) e culmina com a inclusão de mecânismos geradores de massa não somente para férmions (Yukawa) mas também para campos vetoriais (Higgs). Por outro lado, a discussão sobre a interação forte do ponto de vista de uma teoria de calibre passa a ser dada pela simetria , onde teríamos uma dinâmica de interação entre quarks (matéria) e gluons (radiação).
Outra questão que foi levantada no texto foi o uso de campos auxiliares para se estudar a simetria de calibre. No caso do texto o campo auxiliar foi utilizado para reduzir a ordem da Lagrangiana mas no contexto geral da física campos auxiliares podem ser utilizados para se estudar a simetria de calibre em teorias com campos vetoriais massivos (Stüeckelberg) [45][45] H. Ruegg e M.R. Altaba, International Journal of Modern Physics A 19, 3265 (2004)., como multiplicador de Lagrange quântico para se fixar o calibre (Nakanishi) [46][46] N. Nakanishi e I. Ojima, Covariant Operator Formalism of Gauge Theories and Quantum Gravity, Lecture Notes in Physics (World Scientic, Singapore, 1990), v. 27. ou mesmo como um campo de fundo mantendo a simetria de calibre em todas as etapas do cálculo (DeWitt) [47][47] L.F. Abbott, Acta Physica Polonica B 13, 33 (1982)..
Apesar de termos analisado ao longo do trabalho como a simetria de calibre dita a dinâmica das interações fundamentais no modelo padrão (interações eletromagnéticas, fraca e forte), poderíamos utilizar o método interativo ou a redução de ordem para estudar a simetria de calibre em gravidade também, em que as raizes para o estudo estariam nos trabalhos de Gupta, Kraichnan e Feynman [48[48] S.N. Gupta, Phys. Rev. 96, 1683 (1954). [49] R.H. Kraichnan, Phys. Rev. 98, 1118 (1955). [50] R.P. Feynman, Acta Physica Polonica 24, 697 (1963).-51[51] R.P. Feynman, F.B Morinigo e W.G Wagner, Feynman Lectures On Gravitation (Westview Press, Boulder, 1995).] e cuja dinâmica também poderia ser introduzida nos moldes de uma interação corrente-campo [18[18] S. Deser, General Relativity and Gravitation 1, 9 (1970). [19] S. Okubo, Introduction To General Relativity, lectures notes Preprint UR-695 (University of Rochester, Rochester, 1978).-20[20] M. Blagojevic, Gravitation and gauge symmetries (Routledge, Abingdon, 2001).]. Poderíamos também estudar como a simetria de calibre molda a dinâmica quântica das interações, com a inclusão dos fantasmas [52][52] G. Scharf, Gauge field theories spin one and spin two 100 years after general relativity (Dover Publications, Nova York, 2016).. Na literatura quem explorou e abstraiu vastamente a aplicação do objeto corrente-campo () na física foi Schwinger, primeiramente introduzindo o formalismo de integração funcional e análise de Green por meio do princípio variacional da ação quântica [53[53] J. Schwinger, Symbolism of Atomic Measurements (Springer, New York, 2001). [54] J. Schwinger, Phys. Rev. 74, 1439 (1948).-55[55] C.A.M. Melo, B.M. Pimentel e J.A. Ramirez, Rev. Bra. Ens. Fís. 35, 4302 (2013).] e posteriormente, de maneira inabitual e talvez excêntrica, apimentando a discussão da dinâmica dos campos via sua Teoria das Fontes [56][56] J. Schwinger, Particles, Sources and Fields (Perseus Books, Boston, 1973), v. 1, 2 e 3.. Por meio da Teoria das fontes, Schwinger também esculpiu a dinâmica quântica associada ao efeito Casimir em termos de fontes (correntes), campos e o conceito de espalhamento e se livrando das partículas virtuais associadas aos diagramas bolhas na visualização de Feynman [57][57] F.A. Barone, A.A. Nogueira e B.M. Pimentel, Rev. Bras. Ens. Fis. 38, e3317 (2016).. Concluímos então o presente ensaio, chamando atenção para o fato do objeto corrente-campo () estar ditando como se descreve a dinâmica na versão contemporânea da Física, inicialmente dada por Newton ().
Agradecimentos
Os autores agradecem J. A. Helayël-Neto pelo material sobre o assunto. D. R. da Silva agradece a Capes pelo apoio financeiro. Os autores agradecem o parecerista anônimo pelas observações cuidadosas.
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Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
21 Out 2020 -
Data do Fascículo
2020
Histórico
-
Recebido
13 Abr 2020 -
rev-received
07 Set 2020 -
Aceito
08 Set 2020