Considerações sobre a determinação do coeficiente γz

Resumos

In this work, the γz coefficient, used to evaluate final second order effects in reinforced concrete structures, is studied. At the start, the influence of the structural model in determination of γz coefficient is evaluated. Next, a comparative analysis of γz and B2 coefficient, usually employed to evaluate second order effects in steel structures, is performed. In order to develop the study, several reinforced concrete buildings of medium height are analysed using ANSYS-9.0 [1] software. The results show that simplified analysis provide more conservative values of γz. It means that, for structures analysed by simplified models, large values of γz don't imply, necessarily, in significant second order effects. Furthermore, it was checked that γz can be determinated from B2 coefficients of each storey of the structures and that, for all the analysed buildings, the average values of the B2 coefficients are similar to γz.

reinforced concrete; structural model; B2 Coefficient

Considerações sobre a determinação do coeficiente γ_z

D. M. Oliveira^I; N. A. Silva^II; C. F. Bremer^III; H. Inoue^IV

^IUniversidade Federal de Minas Gerais, Escola de Engenharia, Deptº de Engenharia de Materiais e Construção, [e-mail], Av. Antônio Carlos 6627, bl. 1, sala 3315, Pampulha, 31270-901, Belo Horizonte, MG, Brasil

^IIUniversidade Federal de Minas Gerais, Escola de Engenharia, Deptº de Engenharia de Estruturas, [e-mail], Av. Antônio Carlos 6627, bl. 1, Pampulha, 31270-901, Belo Horizonte, MG, Brasil

^IIIUniversidade Federal de Minas Gerais, Escola de Arquitetura, Deptº da Tecnologia da Arquitetura e do Urbanismo, [e-mail], Rua Paraíba 697, Funcionários, 30130-140, Belo Horizonte, MG, Brasil

^IVUniversidade Federal de São João del-Rei, Campus Alto Paraopeba, Deptº Multidisciplinar de Tecnologia, Ciências Humanas e Sociais, [e-mail], Rod. MG 443, km 7, caixa postal 131, 36420-000, Ouro Branco, MG, Brasil

RESUMO

Neste trabalho apresenta-se um estudo do coeficiente γ_z, empregado para indicar a necessidade ou não de se considerar os efeitos de segunda ordem globais na análise das estruturas de concreto armado. Inicialmente, procura-se avaliar a influência do modelo estrutural adotado no cálculo de γ_z. Em seguida, realiza-se uma análise comparativa do coeficiente γ_z e do coeficiente B₂, comumente empregado para avaliar os efeitos de segunda ordem em estruturas de aço. Para conduzir o estudo, diversos edifícios de médio porte de concreto armado são processados utilizando o programa computacional ANSYS-9.0 [1]. Os resultados obtidos permitem verificar que análises menos refinadas tendem a fornecer valores de γ_z mais conservadores. Isto significa que, para estruturas analisadas por meio de modelos simplificados, a obtenção de altos coeficientes γ_z não implica necessariamente em efeitos de segunda ordem significativos. Além disso, mostra-se que o γ_z pode ser calculado a partir dos coeficientes B₂ determinados para cada pavimento das estruturas, e que, para todos os edifícios analisados, os valores médios dos coeficientes B₂ apresentam boa proximidade em relação ao γ_z.

Palavras-chave: concreto armado, modelo estrutural, coeficiente γ_z, coeficiente B₂.

1. Introdução

Atualmente tem se tornado comum a construção de estruturas mais econômicas e esbeltas, e edifícios mais elevados e arrojados.

Quanto mais alto e esbelto o edifício, maiores são as solicitações presentes, principalmente as decorrentes das ações laterais. Nestes casos, a análise da estabilidade e a avaliação dos efeitos de segunda ordem passam a assumir fundamental importância no projeto estrutural.

Os efeitos de segunda ordem surgem quando o estudo do equilíbrio da estrutura é efetuado considerando a configuração deformada. Dessa forma, as forças existentes interagem com os deslocamentos, produzindo esforços adicionais. Os esforços de segunda ordem introduzidos pelos deslocamentos horizontais dos nós da estrutura, quando sujeita a cargas verticais e horizontais, são denominados efeitos globais de segunda ordem.

Sabe-se que todas as estruturas são deslocáveis. Entretanto, em algumas estruturas, mais rígidas, os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, consequentemente, os efeitos globais de segunda ordem têm pequena influência nos esforços totais, podendo então ser desprezados. Estas estruturas são denominadas estruturas de nós fixos. Nestes casos, as barras podem ser dimensionadas isoladamente, com suas extremidades vinculadas, onde são aplicados os esforços obtidos pela análise de primeira ordem.

Por outro lado há estruturas mais flexíveis, cujos deslocamentos horizontais são significativos e, portanto, os efeitos globais de segunda ordem representam uma parcela importante dos esforços finais, não podendo ser desprezados. É o caso das estruturas de nós móveis, para as quais deve-se realizar uma análise de segunda ordem.

De acordo com a NBR 6118:2007 [2], se os efeitos globais de segunda ordem forem inferiores a 10% dos respectivos esforços de primeira ordem a estrutura pode ser classificada como de nós fixos. Caso contrário (efeitos globais de segunda ordem superiores a 10% dos de primeira ordem), a estrutura é classificada como de nós móveis.

A NBR 6118:2007 [2] também estabelece que a classificação das estruturas pode ser feita por meio de dois processos aproximados, o parâmetro de instabilidade α e o coeficiente γ_z. Porém, o coeficiente γ_z vai além do parâmetro α, uma vez que ele também pode ser utilizado para avaliar os esforços finais, que incluem os de segunda ordem, desde que seu valor não ultrapasse 1,3. Entretanto, é óbvio que, para que os efeitos de segunda ordem possam ser avaliados satisfatoriamente, é necessário que o coeficiente γ_z seja calculado com precisão.

Vale ressaltar que o coeficiente γ_z deve ser empregado em estruturas de concreto armado. Para avaliar os efeitos de segunda ordem em estruturas de aço, deve ser utilizado o coeficiente B₂. Este coeficiente, analogamente ao γ_z, também é capaz de fornecer uma estimativa dos esforços finais de uma estrutura, desde que seu valor não ultrapasse um determinado limite.

Dentro deste contexto, o presente trabalho pretende, inicialmente, verificar a influência do modelo estrutural adotado no cálculo do coeficiente γ_z. Assim, são determinados os valores de γ_z para dois edifícios de médio porte de concreto armado, considerando cinco modelos tridimensionais distintos, desenvolvidos utilizando o programa computacional ANSYS-9.0 [1]. Os resultados obtidos permitem identificar quais modelos são mais adequados para a prática de projeto, e também aqueles cuja utilização pode se mostrar desvantajosa e anti-econômica.

Além disso, busca-se realizar um estudo comparativo dos coeficientes γ_z e B₂. Para conduzir o estudo, inicialmente é desenvolvida uma expressão que relaciona estes parâmetros. Em seguida, são calculados os valores de γ_z e B₂ para diversos edifícios de médio porte de concreto armado, utilizando o programa computacional ANSYS-9.0 [1].

2. Coeficiente γ_z

A NBR 6118:2007 [2] prescreve que o coeficiente γ_z, válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro pavimentos, pode ser determinado a partir de uma análise linear de primeira ordem, reduzindo-se a rigidez dos elementos estruturais, para considerar a não-linearidade física de forma aproximada.

Para cada combinação de carregamento, calcula-se o valor de γ_z por meio da seguinte expressão:

sendo:

- M_1,tot,d (momento de primeira ordem): soma dos momentos de todas as forças horizontais (com seus valores de cálculo) da combinação considerada, em relação à base da estrutura, ou seja, pode-se escrever:

sendo que F_hid é a força horizontal aplicada no pavimento i (com seu valor de cálculo) e h_i é a altura do pavimento i.

- ΔM_tot,d (acréscimo de momentos após a análise de primeira ordem): soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura (com seus valores de cálculo), na combinação considerada, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação:

sendo que P_id é a força vertical atuante no pavimento i (com seu valor de cálculo) e u_i é o deslocamento horizontal do pavimento i.

Lembrando-se que os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados desde que não representem acréscimo superior a 10% dos respectivos esforços de primeira ordem, uma estrutura poderá ser classificada como de nós fixos se seu γ_z< 1,1.

A NBR 6118:2007 [2] estabelece que os esforços finais (primeira ordem + segunda ordem) podem ser avaliados a partir da "majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95γ_z", desde que γ_z não ultrapasse 1,3. No entanto, segundo o Projeto de Revisão da NBR 6118:2000 [3], os valores finais dos esforços poderiam ser obtidos pela "multiplicação por 0,95γ_z dos momentos de primeira ordem", também com a condição de que γ_z< 1,3. Entende-se, portanto, que o γ_z deixou de ser o coeficiente majorador dos momentos de primeira ordem, e passou a ser o coeficiente majorador das ações horizontais.

Segundo Franco & Vasconcelos [4], a utilização do γ_z como majorador dos momentos de primeira ordem fornece uma boa estimativa dos resultados da análise de segunda ordem; o método foi empregado com sucesso em edifícios altos com γ_z da ordem de 1,2 ou mais. Vasconcelos [5] acrescenta que este processo é valido mesmo para valores de γ_z inferiores a 1,10, casos nos quais as normas técnicas permitem não considerar os efeitos de segunda ordem.

Ressalta-se ainda que, segundo Vasconcelos [6], o processo de avaliação dos efeitos de segunda ordem por meio da multiplicação dos momentos de primeira ordem por γ_z baseia-se na hipótese de que as sucessivas linhas elásticas produzidas pela ação da força vertical aplicada na estrutura com os nós deslocados se sucedem segundo uma progressão geométrica. De fato, verificou-se que, em numerosos casos, até o valor γ_z = 1,3, esta hipótese é válida com erro inferior a 5%. No entanto, há algumas situações particulares em que a hipótese formulada no desenvolvimento do método não se aplica, ou se aplica com maiores erros. Como exemplos destes casos excepcionais, Vasconcelos [6] cita: quando houver mudança brusca de inércias entre pavimentos (em especial entre o térreo e o primeiro andar), no caso de pés-direitos muito diferentes entre os pavimentos, casos de transição de pilares em vigas, quando existirem torções do pórtico espacial ou recalques não uniformes nas fundações, e outros.

Oliveira [7] realizou uma avaliação da eficiência do coeficiente γ_z como majorador dos esforços de primeira ordem (não só dos momentos fletores, mas também das forças normais e cortantes) e como majorador das ações horizontais, para a obtenção dos esforços finais, que incluem os de segunda ordem. O estudo foi realizado para estruturas que apresentaram valores máximos de γ_z da ordem de 1,3, ou seja, para as quais, segundo a NBR 6118:2007 [2], o processo simplificado de avaliação dos esforços finais utilizando o coeficiente γ_z ainda é válido. Constatou-se que o coeficiente γ_z deve ser utilizado como majorador dos momentos de primeira ordem (e não das ações horizontais) para a obtenção dos momentos finais. No caso da força normal nos pilares e da força cortante nas vigas, a majoração pelo coeficiente γ_z não se faz necessária, uma vez que, para estes esforços, os valores obtidos em primeira e em segunda ordem são praticamente os mesmos.

3. Coeficiente B₂

Para a avaliação dos efeitos de segunda ordem em estruturas de aço, o AISC/LRFD [8] adota o método aproximado de amplificação dos momentos de primeira ordem pelos fatores de majoração B₁ e B₂. O momento fletor solicitante de segunda ordem, M_Sd, deve, então, ser determinado por meio da seguinte expressão:

sendo M_nt o momento fletor solicitante de cálculo, assumindo não existir deslocamento lateral na estrutura, e M_lt o momento fletor solicitante de cálculo devido ao deslocamento lateral do pórtico; ambos M_nt e M_lt são obtidos por análises de primeira ordem. O coeficiente de amplificação B₁ representa o efeito P-δ, relacionado à instabilidade da barra, ou aos efeitos locais de segunda ordem; B₂ considera o efeito P-Δ, relacionado à instabilidade do pórtico, ou aos efeitos globais de segunda ordem.

O coeficiente B₂ pode ser calculado, para cada pavimento da estrutura, como:

sendo ΣN_Sd o somatório das forças normais de compressão solicitantes de cálculo em todos os pilares e outros elementos resistentes a forças verticais do pavimento, ∆_0h o deslocamento horizontal relativo, L o comprimento do pavimento e ΣH_Sd o somatório de todas as forças horizontais de cálculo no pavimento que produzem ∆_0h.

Segundo Silva [9], se em todos os pavimentos o coeficiente B₂ não superar o valor de 1,1 a estrutura pode ser considerada pouco sensível a deslocamentos horizontais e, neste caso, os efeitos globais de segunda ordem podem ser desprezados. Quando o maior B₂ estiver situado entre 1,1 e 1,4, o método aproximado B₁-B₂ pode ser utilizado para o cálculo do momento fletor, sendo os demais esforços (força normal e força cortante) obtidos diretamente da análise de primeira ordem. Finalmente, quando B₂ > 1,40, recomenda-se a realização de uma análise elástoplástica rigorosa de segunda ordem. Silva [9] ainda acrescenta que, caso 1,1 < B₂ < 1,2, pode-se, alternativamente, calcular os momentos fletores com base em uma análise de primeira ordem realizada com os esforços horizontais majorados pelo maior B₂.

Nota-se então que, assim como o coeficiente γ_z, o coeficiente B₂ constitui um "indicador" da importância dos efeitos globais de segunda ordem em uma estrutura. Dessa forma, no próximo item, busca-se obter uma expressão capaz de relacionar estes parâmetros.

4. Relação entre os coeficientes γ_z e B₂

A figura [1] mostra uma estrutura composta por três pavimentos de comprimentos iguais (L). Nesta figura, estão também representadas as forças de cálculo verticais (P_id) e horizontais (F_hid) atuantes em cada pavimento i, juntamente com seus respectivos deslocamentos horizontais (u_i).

Para o cálculo de γ_z, equação (1), é necessário determinar os valores de M_1,tot,d e ∆M_tot,d. Pelas equações (2) e (3), tem-se, respectivamente:

O coeficiente B₂, dado pela equação (5), apresenta valores diferenciados para cada pavimento da estrutura. Assim, denominando-se o coeficiente B₂ do pavimento i de B_2,i e as parcelas (L.ΣH_Sd) e (∆_0h.ΣN_Sd) de M_i e ∆M_i, respectivamente, obtém-se:

• 1º pavimento:

• 2º pavimento:

• 3º pavimento:

Somando-se M₁, M₂ e M₃, equações (8), (11) e (14), e ∆M₁, ∆M₂ e ∆M₃, equações (9), (12) e (15) resulta:

Comparando as equações (17) e (18) com as equações (6) e (7) pode-se escrever:

Substituindo as equações (19) e (20) na equação (1), o coeficiente γ_z fica definido como:

Invertendo a equação (21) tem-se:

Substituindo as equações (10), (13), (16) e (19) na equação (22), obtém-se:

Finalmente pode-se escrever a equação (23) como:

sendo as constantes c₁, c₂ e c₃ dadas respectivamente por:

Logo, para uma estrutura composta por n pavimentos, o coeficiente γ_z pode ser calculado em função do coeficiente B₂ como:

5. Influência do modelo estrutural adotado no cálculo de γ_z

Como comentado anteriormente, a NBR 6118:2007 [2] estabelece que o coeficiente γ_z pode ser determinado a partir de uma análise em primeira ordem das estruturas. No entanto, esta análise pode ser realizada utilizando vários tipos de modelos estruturais. Por exemplo, um edifício pode ser modelado considerando as lajes como diafragmas rígidos ou representando-as por meio de elementos de casca. Além disso, a excentricidade existente entre o eixo da viga e o plano médio da laje pode ou não ser levada em conta. Dessa forma, para avaliar a possível influência do modelo estrutural no valor de γ_z, serão determinados os coeficientes γ_z para dois edifícios em concreto armado, considerando cinco modelos tridimensionais distintos, desenvolvidos utilizando o programa computacional ANSYS-9.0 [1]. Os resultados destes modelos serão, então, analisados e comparados.

5.1 Edifícios e modelos analisados

O primeiro edifício analisado, mostrado na figura [2], é composto por dezesseis pavimentos (com pé-direito de 2,9 m) e apresenta simetria em ambas as direções X e Y. Adotou-se 20 MPa para a resistência característica do concreto à compressão e coeficiente de Poisson igual a 0,2.

O segundo edifício, representado na figura [3], é composto por dezoito pavimentos (com pé-direito de 2,55 m) e não possui qualquer simetria. O concreto apresenta resistência característica à compressão e coeficiente de Poisson iguais a 30 MPa e 0,2, respectivamente.

Cada edifício foi analisado utilizando cinco modelos tridimensionais distintos. No primeiro modelo os pilares e vigas são representados através de elementos de barra (definidos no ANSYS-9.0 [1] como "beam 4" e "beam 44", respectivamente) e as lajes por meio de elementos de casca (denominados "shell 63"). Os elementos "beam 4" e "beam 44" apresentam seis graus de liberdade em cada nó: três translações e três rotações, nas direções X, Y e Z. O elemento "shell 63" possui quatro nós, cada nó apresentando seis graus de liberdade, os mesmos dos elementos de barra. O elemento "beam 44", utilizado para representar as vigas, permite levar em conta a excentricidade existente entre o eixo da viga e o plano médio da laje. Assim, este modelo simula a situação real entre as lajes e as vigas, como apresentado na figura [4]. Vale comentar que a ligação entre as vigas e os pilares, quando seus eixos não coincidiram, foi realizada utilizando barras rígidas, conforme mostra a figura [5].

O segundo modelo difere do anterior apenas pela substituição do elemento "beam 44" pelo elemento "beam 4" para representar as vigas. Dessa forma, neste modelo o plano médio da laje coincide com o eixo da viga, figura [6], uma vez que o elemento "beam 4" não permite a consideração de excentricidades.

No terceiro modelo, os pilares e vigas são representados através do elemento "beam 4" e as lajes são tratadas como diafragmas rígidos, isto é, admite-se que elas têm rigidez infinita no próprio plano e rigidez nula transversalmente. No programa computacional ANSYS-9.0 [1], a hipótese de diafragma rígido é incorporada ao modelo através de um comando específico, que relaciona os graus de liberdade dos nós que compõem o plano da laje. Assim, define-se um nó "mestre", correspondente ao ponto que representa todos os nós do pavimento. Os demais nós, denominados "escravos", possuem os seus próprios graus de liberdade e aqueles representados pelo nó "mestre".

O quarto modelo, como o anterior, é também constituído apenas por barras (representando os pilares e vigas através do elemento "beam 4"), porém sem considerar a hipótese de diafragma rígido.

Finalmente, o último modelo difere do anterior apenas pela substituição do elemento "beam 4" pelo elemento "beam 44" para representar as vigas, possibilitando assim a consideração da excentricidade existente entre o eixo da viga e o plano médio da laje.

Nota-se então que, nos modelos 3, 4 e 5, o sistema estrutural é constituído apenas por barras, uma vez que as lajes não são modeladas (diferentemente dos modelos 1 e 2, nos quais as lajes são representadas através de elementos de casca). Em todos os modelos, a rigidez à torção das vigas foi reduzida, reproduzindo o efeito da fissuração.

A tabela [1] resume as principais características dos modelos empregados.

5.2 Considerações de projeto

As ações atuantes nos edifícios dividem-se em dois grupos: as ações verticais e as ações horizontais.

As ações verticais são compostas pelas cargas permanentes e pela carga acidental ou sobrecarga. As cargas permanentes consideradas foram os pesos próprios das estruturas, as cargas de alvenaria e o revestimento das lajes. As cargas acidentais foram determinadas de acordo com as prescrições da NBR 6120:1980 [12].

As principais ações horizontais que devem ser levadas em conta no projeto estrutural são as forças devidas ao vento e as relativas às imperfeições geométricas (desaprumo). No entanto, de acordo com a NBR 6118:2007 [2], esses carregamentos não precisam ser superpostos, podendo ser considerado apenas o mais desfavorável (aquele que provoca o maior momento total na base da estrutura). Segundo Rodrigues Júnior [13], "para edifícios altos, assim como no caso da escolha da carga variável principal, é possível comprovar que, na grande maioria dos casos práticos, o vento corresponde à situação mais desfavorável". Dessa forma, neste trabalho, o carregamento horizontal aplicado às estruturas foi o correspondente à ação do vento, considerado mais desfavorável que o desaprumo, tanto para a direção X quanto para a direção Y. Vale ressaltar que as forças de arrasto foram calculadas de acordo com as prescrições da NBR 6123:1988 [14].

Os coeficientes aplicados às ações, definidos a partir da combinação última normal que considera o vento como a ação variável principal, foram determinados segundo as recomendações da NBR 6118:2007 [2].

5.3 Resultados obtidos

O coeficiente γ_z foi calculado a partir da análise linear em primeira ordem das estruturas, para as cargas verticais agindo simultaneamente com as ações horizontais. Nesta análise considerou-se a não-linearidade física de forma simplificada, como estabelece a NBR 6118:2007 [2], reduzindo a rigidez dos elementos estruturais.

Os valores de γ_z (nas direções X e Y) obtidos para ambos os edifícios e considerando todos os modelos utilizados estão apresentados na tabela [2].

Observa-se na tabela [2] que, com exceção do modelo 1, todos os modelos forneceram praticamente os mesmos valores de γ_z, tanto para o edifícioiquanto para o edifício II. Portanto, a presença ou não de simetria não exerceu qualquer influência nos resultados obtidos. Além disso, os valores de γ_z calculados a partir do modelo 1, o mais sofisticado (pois é o único, dentre todos os modelos adotados, que considera, simultaneamente, a representação das lajes como elementos de casca e a excentricidade existente entre o eixo da viga e o plano médio da laje), são bastante inferiores aos dos demais modelos. Isto significa que análises mais simplificadas tendem a fornecer resultados mais conservadores. Dessa forma, pode-se afirmar que, para estruturas analisadas por meio de modelos simplificados, a obtenção de altos valores de γ_z não implica necessariamente em efeitos de segunda ordem significativos: considerando os resultados do modelo 1, o edifício I seria classificado como de nós fixos nas duas direções e o edifício II, na direção Y. No entanto, segundo os demais modelos, ambas as estruturas seriam classificadas como de nós móveis nas direções X e Y. Assim, sob este ponto de vista, a utilização de modelos menos refinados se mostra desvantajosa e anti-econômica, uma vez que pode resultar em efeitos de segunda ordem bastante relevantes, quando na realidade não devem ser.

É importante mencionar que, obviamente, quanto menor é o valor do coeficiente γ_z, mais rígida é a estrutura, o que é facilmente constatado pela análise da equação (1). Se os deslocamentos horizontais da estrutura forem bastante grandes, de forma que o acréscimo de momentos ΔM_tot,d se torne aproximadamente igual ao momento M_1,tot,d, ou seja, ΔM_tot,d / M_1,tot,d ≅ 1, o coeficiente γ_z tenderá ao infinito. Este seria o caso de uma estrutura infinitamente flexível. Por outro lado, para uma estrutura infinitamente rígida, isto é, que não se deslocasse sob a ação das cargas, a parcela ΔMtot,d seria nula, e, consequentemente, o coeficiente γ_z seria igual a 1. Com base nestas considerações, pode-se afirmar, observando os valores de γ_z apresentados na tabela [2], que os edifícios, se analisados utilizando o modelo 1, apresentam-se bem mais rígidos do que se analisados considerando os demais modelos. Além disso, verifica-se que este acréscimo considerável na rigidez é devido à representação das lajes como elementos de casca associada à consideração da excentricidade existente entre o eixo da viga e o plano médio da laje, não sendo suficiente levar em conta apenas um destes fatores, como pode ser constatado observando os resultados dos modelos 2 e 5. Assim, pelas tabelas [1] e [2], pode-se também afirmar que a representação das lajes por meio de elementos de casca (modelo 2) ou a consideração da hipótese de diafragma rígido (modelo 3) não contribuíram, isoladamente, para o acréscimo na rigidez das estruturas, observado no modelo 1. Da mesma forma, a consideração da excentricidade existente entre o eixo da viga e o plano médio da laje no modelo de barras (modelo 5) não alterou os resultados anteriormente obtidos (modelo 4), indicando que a substituição do elemento "beam 4" pelo elemento "beam 44" para representar as vigas não mostrou-se vantajosa na ausência de lajes.

Finalmente, partindo-se do princípio que o modelo 1, o mais sofisticado e que envolve o maior trabalho computacional, geralmente não é adotado pelo meio técnico, inclusive para o cálculo do coeficiente γ_z, e considerando que todos os outros modelos forneceram resultados praticamente idênticos, no próximo item deste trabalho os edifícios serão analisados utilizando o modelo 4, o mais simples. No entanto, vale comentar que, na prática de projeto, o modelo 1 deve ser preferencialmente utilizado, uma vez que representa com maior precisão o comportamento real da estrutura e fornece valores de γ_z bem inferiores aos obtidos pelos demais modelos, o que leva a uma maior economia e, em muitos casos, dispensa a realização de análises que considerem, de forma simplificada ou não, os efeitos de segunda ordem.

6. Estudo comparativo dos coeficientes γ_z e B₂

Com o objetivo de realizar um estudo comparativo entre os coeficientes γ_z e B₂, foram calculados os valores destes parâmetros para diversos edifícios de médio porte em concreto armado, incluindo aqueles que já foram objeto de estudo no item 5.

Os edifícios foram então processados em primeira ordem, utilizando modelos tridimensionais no programa computacional ANSYS-9.0 [1], sendo os pilares e vigas representados através do elemento "beam 4" (conforme o modelo 4, descrito no item anterior).

Como já mencionado, as ações atuantes nos edifícios dividem-se em dois grupos: as ações verticais (compostas pelas cargas permanentes e pela carga acidental ou sobrecarga) e as ações horizontais (correspondentes à ação do vento nas direções X e Y). Os coeficientes aplicados às ações, definidos a partir da combinação última normal que considera o vento como a ação variável principal, foram determinados segundo as recomendações da NBR 6118:2007 [2].

6.1 Resultados obtidos

Na tabela [3] estão apresentados os valores de γ_z (único para toda a estrutura) e de B₂ (determinado para cada pavimento) obtidos para o primeiro edifício analisado ("edifício I"), nas direções X e Y.

Observa-se na tabela [3] que, em diversos pavimentos do edifício I, o coeficiente B₂ supera o valor de 1,1, tanto na direção X quanto na direção Y. Dessa forma, a estrutura pode ser considerada muito sensível a deslocamentos horizontais, e, neste caso, os efeitos globais de segunda ordem não podem ser desprezados. O coeficiente γ_z fornece uma classificação análoga, ou seja, considera a estrutura como de nós móveis em ambas as direções X e Y.

Vale lembrar que o coeficiente γ_z pode ser calculado a partir dos valores de B₂, utilizando a equação (28). Assim, basta determinar as constantes ci para cada pavimento, dadas pela equação (29).

Nesta equação, a parcela pode ser escrita como:

Substituindo os valores de F_hid (forças de cálculo horizontais atuantes em cada pavimento da estrutura), dados nas tabelas [4] e ^[5], na equação (30), obtém-se:

Ainda considerando a equação (29), a parcela deve ser calculada para cada pavimento da estrutura; os resultados obtidos estão apresentados nas tabelas [4] e ^[5], juntamente com todos os dados necessários para a determinação das constantes ci e do coeficiente γ_z, nas direções X e Y.

Verifica-se nas tabelas [4] e ^[5] que, como era esperado, os valores de γ_z calculados a partir dos coeficientes B₂ coincidem com os anteriormente obtidos, apresentados na tabela [3].

A tabela [6] apresenta os valores dos parâmetros γ_z e B₂ para outros edifícios analisados (cujas características podem ser encontradas em Oliveira [7]), juntamente com a classificação das estruturas, nas direções X e Y. Entretanto, no caso do coeficiente B₂, estão apresentados apenas os valores médio (B_2,méd) e máximo (B_2,máx) dos pavimentos. Ressalta-se que, segundo Silva [9], uma estrutura pode ser considerada pouco sensível a deslocamentos horizontais se, em todos os seus pavimentos, o coeficiente B₂ não superar o valor de 1,1. Se B₂ for maior que esse valor em pelo menos um pavimento, a estrutura será considerada muito sensível a deslocamentos horizontais. Dessa forma, a classificação dos edifícios é realizada analisando o valor de B_2,máx obtido.

Observa-se na tabela [6] que, em todos os casos, os coeficientes γ_z e B₂ forneceram a mesma classificação das estruturas. Além disso, os valores de γ_z e B_2,méd se mostraram extremamente próximos, sendo que a maior diferença, correspondente à direção X do edifício I, gira em torno de 3,4%. Vale comentar também que, na grande maioria dos casos, B_2,méd apresentou-se inferior a γ_z.

7. Considerações finais

Este trabalho procurou realizar um estudo do coeficiente γ_z, empregado para indicar a necessidade ou não de se considerar os efeitos de segunda ordem globais na análise das estruturas de concreto armado. Para conduzir o estudo, diversos edifícios de médio porte de concreto armado foram processados utilizando o programa computacional ANSYS-9.0 [1].

Inicialmente, avaliou-se a influência do modelo estrutural adotado no cálculo de γ_z. Com base nos estudos realizados, verificou-se que análises menos refinadas tendem a fornecer valores de γ_z mais conservadores. Isto significa que, para estruturas analisadas por meio de modelos simplificados, a obtenção de altos valores de γ_z não implica necessariamente em efeitos de segunda ordem significativos. Sendo assim, cabe ao meio técnico, ao adotar modelos simplificados, estar ciente de que sua utilização pode, em muitos casos, se mostrar desvantajosa e anti-econômica, resultando em efeitos de segunda ordem bastante relevantes, quando na realidade não devem ser.

Na prática de projeto, modelos mais sofisticados (nos quais as lajes são representadas como elementos de casca e é considerada a excentricidade existente entre o eixo da viga e o plano médio da laje), embora envolvam maior trabalho computacional, deveriam ser preferencialmente utilizados, uma vez que representam com maior precisão o comportamento real das estruturas e fornecem valores de γ_z bem inferiores aos obtidos por modelos mais simplificados, o que leva a uma maior economia e, em muitos casos, dispensa a realização de análises que considerem, de forma aproximada ou não, os efeitos de segunda ordem.

Em seguida, realizou-se uma análise comparativa do coeficiente γ_z e do coeficiente B₂, comumente empregado para avaliar os efeitos de segunda ordem em estruturas de aço. Para conduzir o estudo, inicialmente foi desenvolvida uma equação que relaciona estes parâmetros. Posteriormente, foram calculados os valores de γ_z e B₂, para diversos edifícios de médio porte em concreto armado. A partir dos resultados obtidos, observou-se que os valores médios dos coeficientes B₂ (B_2,méd) apresentaram boa proximidade em relação ao γ_z e que, em todos os casos, os parâmetros γ_z e B₂ forneceram a mesma classificação das estruturas.

No entanto, um importante aspecto merece ser destacado em relação ao coeficiente γ_z: ao contrário do coeficiente B₂, ele apresenta um valor único para toda a estrutura, embora, como constatado em diversos trabalhos (Carmo [15], Lima & Guarda [16] e Oliveira [17]), os efeitos de segunda ordem sofram variações ao longo da altura do edifício. Isto significa que, caso o coeficiente γ_z seja utilizado como majorador dos momentos de primeira ordem, como sugere Oliveira [7], os momentos finais poderiam ser subestimados em alguns pavimentos, e superestimados em outros.

Assim, uma melhor estimativa dos momentos finais poderia ser realizada utilizando ambos os coeficientes γ_z e B₂, que é calculado para cada pavimento da estrutura e cujo valor médio se aproxima de γ_z. O majorador dos momentos de primeira ordem seria então, diferenciado para cada pavimento i da estrutura, e dado por (B_2,i /B_2,méd).γ_z. Embora neste trabalho não tenham sido realizados estudos mais específicos sobre o assunto, acredita-se que esta seja uma alternativa bastante lógica e racional para levar em conta a variação dos efeitos de segunda ordem com a altura dos pavimentos nos edifícios de concreto armado.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  28 Fev 2013
• Data do Fascículo
  Fev 2013

Histórico

• Recebido
  20 Jan 2012
• Aceito
  25 Set 2012