Modelos Volumétricos de Dupla Entrada para Aplicar em Povoamentos Florestais Brasileiros

Double Entry Volumetric Models for Use in Brazilian Forest Stands

RESUMO

O objetivo deste trabalho foi apresentar alguns modelos volumétricos de dupla entrada desenvolvidos para quantificar o volume de madeira no Brasil. Como estudo de caso, dados de 180 árvores-amostra de Eucalyptus urophylla e Eucalyptus grandis com idade entre 5 a 7 anos foram utilizados. Para avaliar o desempenho dos modelos volumétricos foram adotados os critérios estatísticos: erro padrão residual, coeficiente de determinação ajustado, média dos erros absolutos, soma de quadrados dos erros relativos, média dos erros percentuais, desvio padrão dos erros, coeficiente de determinação, raiz quadrada do erro médio e análise da distribuição de resíduos. Selecionou-se um modelo volumétrico desenvolvido a partir da equação de fator de forma adaptado ao modelo biomatemático de Gompertz.

Palavras-chave:
inventário florestal; equações volumétricas; biometria florestal

ABSTRACT

This study aimed to present some double entry volumetric models developed to quantify the volume of wood in Brazil. As a case study, we used data of 180 trees-sample of Eucalyptus urophylla and Eucalyptus grandis aged 5-7 years. To evaluate the volumetric models performance, we used the following statistical criteria, standard error of the estimate, adjusted coefficient of determination, mean absolute error, sum of squared of relative errors, average of percentage error, standard deviation of the errors, determination coefficient between actual and predicted volume, square root of the average error and analysis of the distribution of residuals. We selected a volumetric model developed from the form factor equation adapted to the Gompertz’s biomathematical model.

Keywords:
forest inventory; volumetric equations; forest biometrics

1 INTRODUÇÃO

Modelos volumétricos são muito difundidos no Brasil. Estudos sobre eles, incipientes e de grande importância, foram realizados durante a década de 1970, cabendo citar: Veiga (1972), Ferreira et al. (1977), Paula (1977), Siqueira (1977), Higushi et al. (1979), Machado (1979) e Silva & Schneider (1979). Esses trabalhos, associados ao surgimento dos computadores, alavancaram vários outros na década de 1980, notadamente, méritos devem ser creditados aos trabalhos feitos por: Veiga & Brasil (1981), Paula et al. (1983), Silva & Carvalho (1984), Campos et al. (1985) e Couto & Bastos (1987).

A partir da década de 1990, principalmente, com o avanço tecnológico na área de informática, estudos sobre a aplicabilidade de modelos volumétricos no Brasil intensificaram-se grandemente. Vários desses estudos foram efetuados nas mais variadas situações de povoamentos florestais brasileiros, dentre muitos outros, cabe citar os trabalhos com acácia conduzidos por: Veiga et al. (2000), Schneider & Tonini (2003) e Muller et al. (2014); trabalhos com eucalipto conduzidos por: Franco et al. (1997), Schneider et al. (1997), Andrade & Scolforo (2003), Thiersch et al. (2006), Silva et al. (2009), Rocha et al. (2010), Soares et al. (2010), Azevedo et al. (2011a, b) e Miguel et al. (2014); trabalhos com pinus conduzidos por: Silva et al. (1994), Gomes et al. (1997), Couto & Vettorazzo (1999), Machado et al. (2002), Thomas et al. (2006), Moraes (2009), Pelissari et al. (2011) e Melo et al. (2013); trabalhos com espécies nativas conduzidos por: Scolforo et al. (1994), Rezende et al. (2006), Rolim et al. (2006), Machado et al. (2008), Colpini et al. (2009), Imaña-Encinas et al. (2009), Carvalho et al. (2010), Thaines et al. (2010), Silva et al. (2011), Fraga et al. (2014) e Silva & Santana (2014).

Diante disso, nota-se que houve uma hegemonia de estudos sobre modelos volumétricos nos últimos 25 anos no Brasil, totalizando 77% dos trabalhos desenvolvidos. Para aclarar, do total de trabalhos referidos, destacam-se 23% de estudos desenvolvidos até a década de 1980 (período com cerca de 20 anos), 14% em cerca de 10 anos (1990 a 1999) e os restantes 63% nos últimos 15 anos (2000 a 2014). Consequentemente, nesses últimos 45 anos, os modelos volumétricos mais avaliados no Brasil foram: Schumacher e Hall, Stoate, Spurr, Meyer, Naslund, Ogaya, Takata e Honer. Dentre esses, 41% dos trabalhos mostraram superioridade do modelo de Schumacher e Hall, 14%, do modelo Spurr, 17%, do modelo Meyer e 28%, dos demais. Detalhes desses modelos e respectivas referências bibliográficas podem ser vistos em Veiga (1972), Loetsch et al. (1973) e Miguel et al. (2014).

A situação sobre modelos volumétricos, caracterizada anteriormente, permite inferir sobre um dos motivos pelos quais o modelo volumétrico de Schumacher e Hall é o mais difundido no Brasil. No entanto, como se obtiveram 41% de resultados favoráveis a esse modelo, então há cerca de 60% de incertezas no seu emprego como sendo o mais adequado para povoamentos florestais brasileiros. Muitos trabalhos corroboram essa expectativa, conforme se nota nos estudos conduzidos por Veiga (1972), Machado (1979), Silva & Carvalho (1984), Couto & Bastos (1987), Scolforo et al. (1994), Veiga et al. (2000), Machado et al. (2002), Andrade & Scolforo (2003), Schneider & Tonini (2003), Thiersch et al. (2006), Rezende et al. (2006), Imaña-Encinas et al. (2009), Carvalho et al. (2010), Ferreira et al. (2011), Pelissari et al. (2011), Miguel et al. (2014), dentre muitos outros. Portanto, devido a tais resultados, é preciso cautela ao se utilizar o modelo volumétrico de Schumacher e Hall sem uma prévia comparação com outras opções de modelagem da relação volumétrica.

Diante desse contexto e considerando o significativo avanço da tecnologia de informática, aliado à grande divulgação de conhecimentos técnico-científicos sobre modelos volumétricos e ao fato de a maioria desses terem sido propostos no século passado, entre as décadas de 1930 e 1950, nota-se que é imprescindível desenvolver e/ou criar modelos volumétricos. Assim, o objetivo deste trabalho foi propor novos modelos volumétricos de dupla entrada para aplicação na quantificação do volume de madeira de árvores no Brasil baseando-se nas seguintes hipóteses teóricas:

• Hipótese 1 (H0₁): O modelo volumétrico de Schumacher e Hall pode ser utilizado sem prévia comparação com outros modelos volumétricos;

• Hipótese 2 (H0₂): É possível desenvolver modelos volumétricos mais eficientes e estáveis que os modelos em realce na literatura florestal brasileira.

2 MATERIAL E MÉTODOS

Visando apresentar uma perspectiva sobre a aplicabilidade dos modelos volumétricos desenvolvidos neste trabalho foi feito um estudo de caso utilizando dados do híbrido entre Eucalyptus urophylla e Eucalyptus grandis (UROG) obtidos na cubagem de 180 árvores-amostra selecionadas em plantios localizados no nordeste da Bahia, com idade entre 5 e 7 anos. Nessas 180 árvores-amostra foram medidos o diâmetro do tronco nas posições: 0,1 m, 0,3 m, 0,7 m, 1,3 m, 2 m e, a partir daí, a cada metro, até um diâmetro de, aproximadamente, 2 cm.

O cálculo do volume real do fuste das 180 árvores-amostra de UROG foi feito pela aplicação sucessiva da fórmula de Smalian. Já, no cálculo do volume total, acrescentaram-se, ao volume do fuste, o volume do ponteiro e o da cepa, considerados como um cone e um cilindro, respectivamente. Assim, para esses cálculos de volume foram utilizados:

$$(v_{cp})=\frac{\left(\pi \right)\left(d_{\mathrm{0,1}}^2\right)\left(\mathrm{0,1}\right)}{\left(40.000\right)}$$,

$$(v_{tr})={\displaystyle \sum _{j=1}^n\left[\frac{\left(\pi \right)\left(d_{1j}^2+d_{2j}^2\right)\left({\mathcal{l}}_j\right)}{\left(80.000\right)}\right]}$$,

$$(v_{pt})=\frac{\left(\pi \right)\left(d_n^2\right)\left({\mathcal{l}}_{pt}\right)}{\left(120.000\right)}$$

e

$$(v)=v_{cp}+v_{tr}+v_{pt}$$.

em que: $(v_{cp})=$ volume da cepa, ou, toco; $\pi$ = constante, valendo 3,14159...; d_0,1 = diâmetro do tronco medido à 0,1 m (cm); $(v_{tr})=$ volume do tronco ou fuste, d₁ e d₂ = diâmetros medidos nas extremidades de cada j-ésima seção de cubagem (cm); ${\mathcal{l}}_j$ = comprimento de cada j-ésima seção de cubagem (m); $(v_{pt})=$ volume do ponteiro ou ponta, d_n = último diâmetro medido no tronco (cm); ${\mathcal{l}}_{pt}$ = comprimento da ponta (m); e $(v)=$ volume total.

Os volumes totais, obtidos nas 180 árvores-amostra de UROG, foram empregados no ajuste e na avaliação de uma grande gama de modelos volumétricos desenvolvidos e, também, de alguns modelos volumétricos com bom desempenho em povoamentos florestais brasileiros. Para esse propósito, 90 árvores-amostra foram empregadas no ajuste dos modelos volumétricos, outras 90, com dados independentes, na avaliação da predição do volume. Os modelos volumétricos avaliados, bem como respectivas formas de validação, são descritos a seguir.

2.1 Proposição de novos modelos para relação volumétrica de árvores

A base teórica adotada neste trabalho para desenvolver modelos volumétricos foi a quantidade de madeira cabível em um cilindro, obtida a partir da equação de fator de forma. Para isso, inicialmente, a partir dos fatores de forma:

$(f{f}_h)=\frac{(v)}{\left[\frac{\pi {(d)}^2(h)}{40000}\right]}$ e $f{f}_{(h-\mathrm{1,3})}=\frac{(v)}{\left[\frac{\pi {(d)}^2(h-\mathrm{1,3})}{40000}\right]}$, respectivamente, obtiveram-se:

$v1=\left[\frac{\pi {(d)}^2(h)(\overline{f}{\overline{f}}_{(h)})}{40000}\right]$ e $v2=\left[\frac{\pi {(d)}^2(h-\mathrm{1,3})(\overline{f}{\overline{f}}_{(h-\mathrm{1,3})})}{40000}\right]$; em que $\overline{f}{\overline{f}}_{(h)}$ e $\overline{f}{\overline{f}}_{(h-\mathrm{1,3})}$ são os fatores de forma médios obtidos para cilindros com comprimento entre 0,0 m a h e entre 1,3 m e h, respectivamente, com diâmetro igual ao diâmetro do tronco medido a 1,3 m (d).

Assumindo que a média de v1 e v2 estima melhor o volume, obteve-se que: $v=\frac{\left(\frac{\pi }{40000}\right)\left(d^2\right)(h)(\overline{f}{\overline{f}}_{(h)})+\left(\frac{\pi }{40000}\right)\left(d^2\right)(h-\mathrm{1,3})(\overline{f}{\overline{f}}_{(h-\mathrm{1,3})})}{2}$. Nessa, ao fazer $a=\overline{f}{\overline{f}}_{(h)}$ e $b=\overline{f}{\overline{f}}_{(h-\mathrm{1,3})}$, obteve-se: $v=\frac{\pi \left(d^2\right)[a(h)+b(h-\mathrm{1,3})]}{80000}$, ou, ainda: $v=\frac{\pi \left(d^2\right)[(a+b)(h)-b(\mathrm{1,3})]}{80000}$. Fazendo-se $b_0=\frac{\pi (-b)(\mathrm{1,3})}{80000}$ e $b_1=\frac{\pi (a+b)}{80000}$, o resultado é: $(v_i)=\left(d_i^2\right)[b_0+b_1(h_i)]+({\epsilon }_{}^{}{}_i)$, o qual se trata do modelo volumétrico de Ogaya (1968), cuja em que: i = i-ésima árvore-amostra, d = diâmetro medido a 1,3 m do terreno (cm), h = altura total (m), b₀ e b₁ = coeficientes de regressão a serem estimados e $\epsilon$ = erro aleatório do modelo utilizado; os demais já foram definidos anteriormente.

O modelo volumétrico de Ogaya, ajustado aos dados de 90 árvores-amostra de UROG, teve suas estimativas estudadas nas diferentes formas funcionais do modelo estatístico: $y_{(i)}=(x{1}_i)[{\delta }_1+{\delta }_2(x{2}_i)]+({\epsilon }_i)$. Nesse caso, $y_{(i)}=v_i$, ou, $y_{(i)}=\sqrt{v_i}$, ou, ainda: $y_{(i)}=(v_i)/(d_i)$, foi relacionado, com as várias combinações, aos pares das variáveis independentes: $x{k}_{(i)}=(d_i)$, $x{k}_{(i)}=(1+d_i)$, $x{k}_{(i)}=Ln(d_i)$, $x{k}_{(i)}=\left(\frac{1}{d_i}\right)$, $x{k}_{(i)}=(h_i)$, $x{k}_{(i)}=(h_i-1)$, $x{k}_{(i)}=Ln(h_i)$, $x{k}_{(i)}=\left(\frac{1}{h_i}\right)$, $x{k}_{(i)}=\left(\frac{h_i}{d_i}\right)$ e $x{k}_{(i)}=\left(d_i^2{h}_i\right)$, em que k =1 ou 2 e vice-versa.

Ressalta-se que, esse estudo de modelagem a partir do modelo de Ogaya também foi realizado com a aplicação de modelos biomatemáticos nas seguintes formas funcionais:

$$y_i=x{1}_i{}^{{\delta }_1}{\delta }_2{\left[1-\exp \left(-{\delta }_{3}x{2}_i{}^{{\delta }_4}\right)\right]}^{{\delta }_5}+{\epsilon }_i$$(1) - Chapman-Richards

$$y_i={\delta }_1{\left[1-\exp \left(-{\delta }_2{x}_i{}^{{\delta }_3}\right)\right]}^{[1/(1-{\delta }_4)]}+{\epsilon }_i$$(2) - Chapman-Richards

$$y_i={\delta }_1{\left[1-\exp \left(-{\delta }_2{x}_i{}^{{\delta }_3}\right)\right]}^{}+{\delta }_i$$(3) - Monomolecular

$$y_i=\frac{{\delta }_1}{1+\exp {\left(-{\delta }_2{x}_i{}^{{\delta }_3}\right)}^{}}+{\epsilon }_i$$(4) - Logística

$$y_i={\delta }_1{\left[1+\exp \left(-{\delta }_2{x}_i{}^{{\delta }_3}\right)\right]}^{{\delta }_4}+{\epsilon }_i$$(5) - Logística

$$y_i={\delta }_1\exp {\left[\exp \left(-{\delta }_2{x}_i^{{\delta }_3}\right)\right]}^{}+{\epsilon }_i$$(6) - Gompertz

$$y_i=\exp \left\{\frac{{\delta }_1\left[1-\exp \left(-{\delta }_2{x}_i{}^{{\delta }_3}\right)\right]}{{\delta }_4}\right\}+{\epsilon }_i$$(7) - Gompertz

em que: ${\delta }_1$ a ${\delta }_4$ = coeficientes a serem estimados, Ln = logaritmo neperiano, exp = inverso de Ln e os demais já foram definidos anteriormente.

Ressalta-se, também, que uma grande quantidade de modelos volumétricos foi desenvolvida a partir das várias opções de modelagem geradas com o modelo de Ogaya, com e/ou sem a aplicação dos Modelos 1-7. Assim, numa análise preliminar, a partir da soma de quadrados dos erros e da análise da distribuição de resíduos, foram selecionados 47 novos modelos volumétricos. Desses, com base no coeficiente de determinação ajustado, erro padrão residual e análise da distribuição de resíduos, selecionaram-se os seguintes modelos volumétricos novos:

$$(v)=b_1{d}^{({\delta }_1-1)}\exp {\left[{\delta }_2+{(h-1)}^{{\delta }_3}\right]}^{}+\epsilon$$ (8)

$$(v)={(1+d)}^{{\delta }_1}\exp \left[{\delta }_2+{\delta }_3\left(\frac{d}{h}\right)\right]+\epsilon$$ (9)

$$(v)={\delta }_1{(1+d)}^{{\delta }_2}\exp \left[1-{\left(\frac{d}{h}\right)}^{{\delta }_3}\right]+\epsilon$$ (10)

$$(v)={\delta }_1{(1+d)}^{{\delta }_2}\exp \left(h^{{\delta }_3}\right)+\epsilon$$ (11)

$$\sqrt{(v)}=\left(\frac{{\delta }_1}{{\delta }_2}\right)-\left\{{\delta }_1(d+{\delta }_3)+{\delta }_2\left[1-{(d^{2}h)}^{{\delta }_4}\right]\right\}+\epsilon$$ (12)

$$\sqrt{(v)}=\frac{{\left[{\delta }_1(d^{2}h)-{\delta }_2\right]}^{{\delta }_3}}{\exp {\left[1-{\delta }_4(1/d)\right]}^{}}+\epsilon$$ (13)

$$\sqrt{(v)}=\frac{{\left[{\delta }_1(d^{2}h)-{\delta }_2\right]}^{{\delta }_3}}{1+\exp {\left[-{\delta }_4(1/d)\right]}^{}}+\epsilon$$ (14)

$$\sqrt{(v)}=\left[{\delta }_1+{(h-1)}^{{\delta }_2}\right]\exp \left\{1-\exp \left[{\delta }_3{\left(\frac{h}{d}\right)}^{{\delta }_4}\right]\right\}+\epsilon$$ (15)

$$\left(\frac{v}{d}\right)={\delta }_1{d}^{\left({\delta }_2-1\right)}{}^{}{\left[1+\exp \left(-{\delta }_{3}h\right)\right]}^{}{}^{\left(\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\delta }_4$}\right.\right)}+\epsilon$$ (16)

$$\left(\frac{v}{d}\right)={\delta }_1{d}^{\left({\delta }_2-1\right)}{}^{}{\left[{\delta }_3+({\delta }_4-{\delta }_3)\exp \left(-{\delta }_{5}h\right)\right]}^{}+\epsilon$$ (17)

$$\left(\frac{v}{d}\right)=d^{\left({\delta }_1-1\right)}{}^{}{\left[-{\delta }_2+\exp \left({\delta }_{3}h\right)\right]}^{}+\epsilon$$ (18)

$$\left(\frac{v}{d}\right)=d^{\left({\delta }_1-1\right)}{}^{}{\left[{\delta }_2+\exp \left(-{\delta }_3+h^{{\delta }_4}\right)\right]}^{}+\epsilon$$ (19)

É importante destacar que os Modelos 8-12, 17-19 foram desenvolvidos a partir do estudo de relações não lineares com as variáveis que contemplam o modelo de Ogaya. Já os Modelos 13-16 caracterizam-se pela aplicação do modelo de Ogaya de forma simultânea com os modelos bio-matemáticos monomolecular e logístico, Modelos 13, 14, Gompertz, no Modelo 15, e de Chapman-Richards, no Modelo 16.

2.2 Avaliação dos modelos volumétricos

As equações volumétricas, estimadas a partir dos novos Modelos Volumétricos de 8-19, foram avaliadas por meio de um teste de validação com 90 árvores-amostra, contendo dados diferentes daqueles utilizados no ajuste e seleção preliminar desses modelos. Para esse propósito, foram utilizados os critérios estatísticos: $SQER={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(\frac{{\epsilon }_i}{v_i}\right)}^2}$, $MEA=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\epsilon }_i}}{n}$, $R^2=1-\frac{SQE}{SQT}$, $RQEM=\sqrt{\left(\frac{SQE}{n}\right)}$, $DPE=\sqrt{{}_{}\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\epsilon }_i^2}-\frac{{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{\epsilon }_i}\right)}^2}{n}\right]}$ e $MEP=\left[{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\frac{{\epsilon }_i}{v_i}\right)100}\right]\left(\frac{1}{n}\right)$; em que ${\epsilon }_i=\left(v_i-{\widehat{v}}_i\right)$, $SQE={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\epsilon }_i^2}$, $SQT={\displaystyle \sum _{i=1}^n{v}_i^2}-\frac{{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n{v}_i}\right)}^2}{n}$, SQER = soma de quadrado dos erros relativos, ${\epsilon }_i$ = erro ou diferença entre volume real e estimado/predito (m³), $v_i$ = volume total real (m³), MEA = média dos erros absolutos, n = número de árvores-amostra utilizadas, R² = coeficiente de determinação entre volume real e predito, SQE = soma de quadrados dos erros, SQT = soma de quadrados total, RQEM = raiz quadrada do erro médio, DPE = desvio padrão dos erros, MEP = média dos erros porcentuais e ${\widehat{v}}_i$ = volume total estimado/predito (m³).

Os critérios de avaliação, que foram também utilizados por Andrade & Leite (2001), Schneider & Tonini (2003), Imaña-Encinas et al. (2009), Carvalho et al. (2010), Pelissari et al. (2011) e Silva et al. (2011), foram incluídos em um somatório de notas obtidas por classe de diâmetro, que variou conforme a classificação de cada uma das estatísticas analisadas. Nesse caso, o modelo que apresentou a menor soma geral de notas, incluindo-se todas as classes de diâmetro, classificou-se em 1º lugar.

Visando comparação com os Modelos 8-19, alguns modelos volumétricos em realce na literatura florestal brasileira foram avaliados, destacando-se os seguintes:

$$Ln\left(v\right)=b_0+b_{1}Ln(d)+b_{2}Ln(h)+Ln(\epsilon )$$ (20)

$$\left(v\right)=b_0+b_1(d^{2}h)+(\epsilon )$$ (21)

$$\left(v\right)=b_0+b_1(d)+b_2(d^2)+b_3(dh)+b_4(d^{2}h)+(\epsilon )$$ (22)

$$\left(v\right)=b_0+b_1(d^2)+b_{2}Ln(d^{2}h)+b_3(d{h}^2)+b_4(h^2)+(\epsilon )$$ (23)

$$\left(v\right)=\frac{(d^{2}h)}{{\left[b_0+b_1(d)\right]}^{}}+(\epsilon )$$ (24)

$$(v)={(d)}^2[b_0+b_1(h)]+(\epsilon )$$ (25)

Os Modelos Volumétricos 20-25, que se referem aos modelos de Schumacher e Hall, Spurr, Meyer, Näslund, Takata e Ogaya, respectivamente, foram considerados usuais para efeito de comparação porque, conforme explanado na introdução deste estudo, representam cerca de 75% dos trabalhos que apresentaram tais modelos como os mais adequados para quantificar o volume de madeira no Brasil.

Outros dois novos modelos, gerados a partir de 9 e 11, foram incluídos nessa avaliação: o Modelo 26 é uma forma linear do Modelo 9 e o Modelo 27, uma forma linear aproximada do Modelo 11:

$$Ln\left(v\right)=b_0+b_1\left(\frac{d}{h}\right)+b_{2}Ln(1+d)+Ln(\epsilon )$$ (26)

$$Ln\left(v\right)=b_0+b_{1}Ln\left(h\right)+b_{2}Ln(1+d)+Ln(\epsilon )$$ (27)

Destaca-se que, devido às transformações feitas na variável dependente dos Modelos 12-20, 26, 27, o erro padrão residual (EPR) e o coeficiente de determinação ajustado (R²aj) foram recalculados, aplicando-se: $EPR=\sqrt{\left(\frac{SQE}{n-p}\right)}$ e $R^{2}aj=1-\left(\frac{SQE}{SQT}\right)\left[\frac{\left(n-1\right)}{\left(n-p\right)}\right]$, em que: b₀ a b₄ = parâmetros a serem estimados, p = número de coeficientes a serem estimados no modelo; os demais já foram definidos anteriormente.

3 RESULTADOS E DISCUSSÃO

Os dados obtidos, divididos em seis classes de diâmetro com amplitude de 3 cm e tendo 30 árvores-amostra cada, representaram uma variação de diâmetros entre 5,1 e 22,9 cm e de alturas totais entre 10,3 e 32,0 m (Tabela 1).

Tabela 1
Distribuição de frequência de 180 árvores-amostra de UROG separadas em lotes de dados de ajuste e validação.

Table 1. Frequency distribution of 180 sample trees of UROG separated in the data set for adjustment and for validation.

cd (cm)	Classe de altura (m)								Total
	9,5	12,5	15,5	18,5	21,5	24,5	27,5	30,5
6,5	5 (6)	9 (6)	1 (3)	-	-	-	-	-	15 (15)
9,5	0 (2)	6 (6)	5 (4)	4 (3)	-	-	-	-	15 (15)
12,5	-	3 (2)	3 (7)	5 (3)	3 (2)	1 (1)	-	-	15 (15)
15,5	-	-	2 (3)	4 (4)	8 (5)	0 (2)	1 (1)	-	15 (15)
18,5	-	-	1 (0)	3 (1)	3 (4)	4 (9)	4 (1)	-	15 (15)
21,5	-	-	-	0 (2)	2 (4)	7 (7)	2 (2)	4 (-)	15 (15)
Total	5 (8)	18 (14)	12 (17)	16 (13)	16 (15)	12 (19)	7 (4)	4 (0)	90 (90)

• cd = classe de diâmetro; valores entre parênteses = dados de validação.

Os resultados obtidos para os Modelos 8-19 (Tabela 2) mostram que houve um bom ajuste desses novos modelos, para os quais, numa análise preliminar associada à distribuição de resíduos, aceitou-se EPR ≤ 8% e R²aj ≥ 99%. Nessa Tabela 2, também, estão apresentados os resultados dos três melhores modelos usuais, quais sejam: modelos de Schumacher e Hall (20), Näslund (23) e Ogaya (25). Tais modelos, apesar de R²aj e EPR estarem fora dos limites preestabelecidos, apresentaram boa distribuição de resíduos, similar às situações obtidas com os Modelos 12-18.

Tabela 2
Estatísticas obtidas para 17 modelos volumétricos, sendo 14 modelos novos e 3 considerados usuais em análises volumétricas do tronco de árvores no Brasil.

Table 2. Statistics obtained for 17 volumetric models, 14 new models and 3 considered usual in volumetric analysis of the trunk of trees in Brazil.

Novos modelos volumétricos não lineares
md	${\widehat{\delta }}_1$	${\widehat{\delta }}_2$	${\widehat{\delta }}_3$	${\widehat{\delta }}_4$	${\widehat{\delta }}_5$	SQE	EPR	R2aj	NG
8	2,776	–10,519	0,357	-	-	0,01633	7,94	99,05	250 3
9	–9,190	–1,424	3,045	-	-	0,01617	7,90	99,06	333
10	1,596	2,60E-05	3,024	-	-	0,01637	7,95	99,04	388
11	0,361	4,4E-05	1,893	-	-	0,01625	7,92	99,05	364
12	0,0056	98,592	0,00977	0,462	-	0,01740	8,24	98,97	230 2
13	0,0181	1,86E-04	0,526	2,904	-	0,01709	8,17	98,99	292 5
14	4,10E-04	8,00E-05	0,559	13,740	-	0,01677	8,09	99,01	250 3
15	5,530	1,451	1,793	0,0771	-	0,01667	8,07	99,02	187 1
16	0,00567	1,785	0,0423	0,240	-	0,01669	8,07	99,01	350
17	0,0123	1,777	–0,229	0,011	–0,0168	0,01646	8,06	99,02	306
18	1,774	1,0001	7,2E-05	-	-	0,01790	8,31	98,96	312
19	1,776	–1,1E-04	9,369	0,346	-	0,01652	7,98	99,04	296
Modelos volumétricos usuais
md	${\widehat{b}}_0$	${\widehat{b}}_1$	${\widehat{b}}_2$	${\widehat{b}}_3$	${\widehat{b}}_4$	SQE	EPR	R2aj	NG
20	–9,779	1,766	1,062	-	-	0,01803	8,34	98,95	274 4
23	–1,74E-02	2,48E-04	5,77E-03	2,88E-05	–2,45E-04	0,01772	8,27	98,97	484
25	1,41E-04	2,93E-05	-	-	-	0,02277	9,37	98,67	489
Novos modelos volumétricos lineares
md	${\widehat{b}}_0$	${\widehat{b}}_1$	${\widehat{b}}_2$	-	-	SQE	EPR	R2aj	NG
26	–9,2056	–1,3369	3,0285	-	-	0,01646	7,97	99,04	317
27	–10,3215	1,0527	1,9281	-	-	0,01730	8,17	98,99	297

• md = n do modelo; NG = nota geral obtida incluindo-se todas as classes de diâmetro, cujos números sobrescritos 1 a 5 referem-se à classificação do modelo de acordo com o menor resultado de NG.

Na Tabela 2, também, observa-se que NG = 187 indica o Modelo 15 como o melhor de todos, seguido dos Modelos 12, 8, 14, classificados em segundo e terceiros lugares, com 230, 250 e 250 pontos, respectivamente. Dentre os modelos usuais, o Modelo 20 foi o que melhor se classificou, ficando em quarto lugar, com NG de 274 pontos.

Os resultados obtidos para os modelos selecionados 15 e 20 (Tabela 2) foram iguais para R²aj, sendo de 0,990 e EPR de 8,07% e 8,34%, respectivamente. Em trabalhos, exclusivamente com eucalipto, conforme se nota em: Franco et al. (1997), Schneider et al. (1997), Andrade & Leite (2001), Leite & Andrade (2003), Thiersch et al. (2006), Rocha et al. (2010), Azevedo et al. (2011a), Miguel et al. (2014) e Muller et al. (2014), as estatísticas R²aj e EPR variaram de 0,875 a 0,994 e de 4,76% a 10,37%. Portanto, valores que englobam os resultados obtidos neste estudo.

Especificamente, para eucalipto com idade dentro das que compõem este estudo, conforme se nota em: Schneider et al. (1997), Andrade & Leite (2001), Leite & Andrade (2003), Thiersch et al. (2006), Soares et al. (2010), Rocha et al. (2010), Azevedo et al. (2011b) e Miguel et al. (2014), os valores de R²aj e EPR variaram entre 0,910 a 0,995 e de 4,66% a 9,16%, respectivamente. Portanto, para os Modelos Volumétricos 15, 20, os valores de R²aj e EPR (Tabela 2) estão dentro do nível de precisão nos seus ajustes.

A análise da distribuição de resíduos, de maneira geral, mostrou para o Modelo 15 um comportamento mais homogêneo ao longo do eixo zero, tendo a grande maioria dos resíduos oscilado em $\pm 10\%$ (Figura 1a versus Figura 1c), com proximidade de 95% para o Modelo 15 e de 81% para o Modelo 20 (Figura 1b versus Figura 1d). No caso de se considerarem erros oscilando em $\pm 5\%$, essa situação apresenta proximidade de 65% para o Modelo 15 e de 48% para o Modelo 20 (Figura 1b versus Figura 1d). Essa análise da Figura 1, complementando a da Tabela 2, indica o Modelo 15 como o melhor dentre todos os modelos volumétricos avaliados neste trabalho.

Figura 1
Distribuição de resíduos para os Modelos 15, 20.

A Figura 2 indica que o Modelo 15 apresenta a menor variação dos erros em torno do eixo zero, com tendência à subestimação de forma menos pronunciada que o Modelo 20. Assim, entre as avaliações de um grande número de equações, as estimativas obtidas para o Modelo 15 revelaram-se como as de melhor desempenho, ou seja:

Figura 2
Esquema dos cinco números obtidos para os Modelos 15, 20 (valores residuais em porcentagem: mínimo, primeiro quartil, mediana, terceiro quartil e máximo).

$$\widehat{v}={\left\{\left[\mathrm{5,5295}+{(h-1)}^{\mathrm{1,4510}}\right]\exp \left\{1-\exp \left[\mathrm{1,7931}{\left(\frac{h}{d}\right)}^{\mathrm{0,0771}}\right]\right\}\right\}}^2$$ (28)

Na comparação entre os Modelos 10, 11, que têm a mesma base ${\delta }_1{(1+d)}^{{\delta }_2}$, nota-se superioridade do Modelo 11, com 364 pontos contra 388 do Modelo 10. Análise similar também pode ser feita com os Modelos 13, 14, os quais têm o mesmo numerador: ${\left[{\delta }_1(d^{2}h)-{\delta }_2\right]}^{{\delta }_3}$. Nota-se que o Modelo 14 é o melhor, com 250 pontos contra 292 do Modelo 13. Também pode-se fazer a comparação entre os Modelos 16, 17, os quais têm a mesma base: ${\delta }_1{d}^{\left({\delta }_2-1\right)}$. Nota-se que o Modelo 17 é melhor, com 306 pontos contra 350 do Modelo 16. Por fim, na comparação entre os Modelos 18 e 19, os quais têm a mesma base: $d^{\left({\delta }_1-1\right)}$, nota-se que o Modelo 19 é melhor, com 296 pontos contra 312 do Modelo 18.

Confrontando-se os dois novos Modelos 26, 27 com os Modelos 9, 11, nota-se que houve redução de NG de 333 pontos (Modelo 9) para 317 (Modelo 26) e de 364 pontos (Modelo 11) para 297 (Modelo 27). Isso indica que se deve preferir o ajuste linear e que, entre os Modelos 26, 27, a variável Ln(h) é preferível à variável $\left(\frac{d}{h}\right)$ devido o Modelo 27 apresentar o menor NG (297 contra 317) e melhor distribuição de resíduos, pois tais modelos diferem apenas na variável independente que acompanha o parâmetro b₁.

Diante das análises feitas neste estudo, pôde-se decidir pela rejeição da hipótese H0₁ e aceitação da hipótese H0₂ ressaltando-se que, se fossem avaliados somente modelos volumétricos em realce na literatura brasileira, o modelo de Schumacher e Hall seria selecionado, implicando na aceitação da hipótese H0₁. No entanto, como alguns dos novos modelos volumétricos foram superiores ao de Schumacher e Hall, resultando na aceitação da hipótese H0₂, então sempre se devem comparar vários modelos de volumes, independentemente do objetivo a que se refere o uso de modelos volumétricos no Brasil.

É claro que, em futuras repetições deste estudo, baseadas em outras espécies florestais e/ou diferentes situações de povoamento florestal, poderão ocorrer decisões diferentes. Por isso, em outros estudos de caso com avaliação de modelos volumétricos sugere-se que sejam novamente avaliadas as hipóteses H0₁ e H0₂.

4 CONCLUSÕES

Os resultados obtidos permitiram concluir que o Modelo 15, de formulação $\sqrt{(v)}=\left[{\delta }_1+{(h-1)}^{{\delta }_2}\right]\exp \left\{1-\exp \left[{\delta }_3{\left(\frac{h}{d}\right)}^{{\delta }_4}\right]\right\}+\epsilon$, é o mais adequado para o clone UROGR em condições semelhantes a este estudo de caso. Isso levou à rejeição da hipótese H0₁ e à aceitação da hipótese H0₂. Também pôde-se concluir que:

• -

  Dentre os modelos em realce no Brasil, o modelo de Schumacher e Hall foi o de melhor desempenho;

• -

  Dentre todos os modelos volumétricos avaliados, o modelo de Schumacher e Hall foi classificodo em 4º lugar;

• -

  Os Modelos Volumétricos 8, 12 e 14, das formulações $(v)=b_1{d}^{({\delta }_1-1)}\exp {\left[{\delta }_2+{(h-1)}^{{\delta }_3}\right]}^{}+\epsilon$, $\sqrt{(v)}=\left(\frac{{\delta }_1}{{\delta }_2}\right)-\left\{{\delta }_1(d+{\delta }_3)+{\delta }_2\left[1-{(d^{2}h)}^{{\delta }_4}\right]\right\}+\epsilon$ e $\sqrt{(v)}=\frac{{\left[{\delta }_1(d^{2}h)-{\delta }_2\right]}^{{\delta }_3}}{1+\exp {\left[-{\delta }_4(1/d)\right]}^{}}+\epsilon$, respectivamente, além do Modelo 15, foram superiores ao modelo de Schumacher e Hall. Portanto, o modelo de Schumacher & Hall só pode ser utilizado, sem precisar de comparação com outros modelos volumétricos, se tais modelos já são existentes antes dos modelos desenvolvidos neste trabalho e, ou, em outros que podem surgir;

• -

  É sempre necessário avaliar vários modelos volumétricos a fim de se decidir pelo mais apropriado ao cenário de estudo;

• -

  Em análise de modelos volumétricos não se pode deixar de fazer a análise da distribuição de resíduos atrelada às estatísticas de precisão e/ou de validação de equações volumétricas ajustadas.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  2017

Histórico

• Recebido
  02 Mar 2015
• Aceito
  23 Maio 2016