Um estudo de soluções para um problema de segunda ordem com múltiplos pontos de fronteira

Um estudo de soluções para um problema de segunda ordem com múltiplos pontos de fronteira

A.L.M. Martinez^I; C.A.P. Martinez^I; T.S.Pinto^I; E.V. CastelaniII, ^*

^ICoordenação de Matemática, COMAT, UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Campus Cornelio Procópio, Av. Alberto Carazzai, 1640, 86300-000 Cornelio Procópio, PR, Brasil. E-mails: [e-mail]; [e-mail]; [e-mail]

^IIDepartamento de Matemática, DMA, UEM - Universidade Estadual de Maringá, Av. Colombo, 5790, 87020-900, Maringá, PR, Brasil. E-mail: [e-mail]

RESUMO

No presente artigo consideramos um problema de valor de fronteira não linear com múltiplos pontos. Dois resultados de existência de solução são estabelecidos: o primeiro utilizando a Alternativa de Leray-Schauder e o segundo utilizando o Teorema de ponto fixo de Banach. Motivados pelo segundo resultado, apresentamos um método numérico. Exemplos não clássicos são utilizados para testar o método citado.

Palavras-chave: alternativas de Leray-Schauder, soluções numéricas, Teorema de ponto fixo de Banach.

ABSTRACT

In this paper we consider a nonlinear order multi-point boundary value problem. Two results of existence of solution are established: the first using Alternative of Leray-Schauder's type and the second using the Banach fixed point theorem. Motivated by the second result, we present a numerical method. Nonclassical examples are used to test the method cited.

Keywords: alternative of Leray-Schauder, numerical solutions, Banach fixed point theorem.

1. INTRODUÇÃO

Neste artigo apresentaremos um estudo de existência de solução considerando o seguinte problema de valor de fronteira não linear:

onde são funções contínuas e, possivelmente, não lineares. Este problema é conhecido na literatura como problema de segunda ordem com múltiplos pontos de fronteira, ou simplesmente, com m-pontos. Os primeiros resultados de existência de solução foram apresentados por II'in e Moiseev [5, 6] cuja equação considerada foi:

De acordo com [7], equações com múltiplos pontos surgem em problemas que modelam fluxos viscoelásticos, inelásticos e deformação de vigas. Devido a importância dessa classe de problemas em diversas aplicações, muitos autores têm desenvolvido estudos considerando variações e generalizações de (1.2). A maior parte desses estudos são relacionados à existência de solução, recomendamos as referências [3, 4, 8, 9, 10] para maior detalhamento dos resultados e técnicas utilizadas.

Em [8, 9], Ma realizou um estudo de existência de solução para duas equações com múltiplos pontos, mantendo linearidade na fronteira, onde os resultados obtidos fazem uso da Alternativa de Leray-Schauder. Posto que a equação dada em (1.1) tem condições gerais de fronteira, vamos, fazendo uso também da Alternativa de Leray-Schauder, demonstrar um resultado de existência de solução e portanto, complementar os estudos apresentados em [8, 9]. A apresentação deste resultado dar-se-á na Seção 2.

Se por um lado existem vários artigos dedicados à existência de solução, por outro lado pouca atenção é dada aos métodos numéricos, sobretudo, quando as condições de fronteira são gerais, como é o caso de (1.1). Em [2], o problema (1.1) considerando m = 3 e L = 1 e abordado e um resultado de existência e unicidade de solução é obtido através do Teorema de ponto fixo de Banach. Tal resultado fornece uma sequência iterativa que sob determinadas condições locais em f e g converge para a solução de (1.1). Naturalmente este resultado motiva a elaboração de métodos numéricos. Dessa forma, os estudos apresentados em [2] contemplam, ainda, a apresentação de dois algoritmos. Neste sentido, na Seção 3, apresentamos uma adaptação do Algoritmo 1 de [2] para m > 3 e L > 0 bem como uma generalização do resultado de existência e unicidade via Teorema de ponto fixo de Banach. No intuito de testar o novo algoritmo e validar o teorema, exemplos não clássicos são fornecidos.

Devido ao propósito deste trabalho precisamos introduzir o seguinte teorema.

Teorema 1.1. Seja E um espaço de Banach, C E um subconjunto fechado e convexo, um conjunto aberto em C e p . Então cada função contínua T : → C admite pelo menos uma das propriedades seguintes:

(Al) Τ possui um ponto fixo em .

(A2) Existe u ee λ ∈ (0, 1) tal que u = λT(u) + (1 - λ)p.

Este resultado é conhecido como Altenativa de Leray-Schauder. Uma demonstração deste teorema pode ser encontrada em [1].

2. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO

Seja E = C¹ [0, L] oespaco de Banach de todas as funções continuamente diferenciáveis em [0, L] com a norma

Iniciamos esta seção observando que as soluções de (1.1) podem ser escritas como

onde G é a função de Green

Assim, u é uma solução de (1.1) se, e somente se, u e um ponto fixo do operador T : E → E definido por:

Vamos detalhar algumas propriedades de G. Note que

Assim, G satisfaz:

Utilizando (2.2), podemos verificar importantes propriedades do operador definido em (2.1). De fato, para cada x ∈[0, L] temos:

Então,

Observação 1. Note que se u ∈ E, então T u satisfaz (Tu)(0) = 0. Assim, temos que

Para garantir a existência de solução de (1.1) precisamos da seguinte hipótese:

(H1) Existem constantes positivas α, A, B tais que:

Teorema 2.1. Suponha que (H1) ocorre. Então (1.1) possui solução u* E tal que

Demonstração. Utilizaremos o Teorema 1.1 com Observe que o operador Τ : → Ε é completamente contínuo pelo teorema Arzelà-Ascoli. Agora, suponha que exista u e e λ ∈ (0, 1) com u(x) = λTu(x). De acordo com a observação 1 e utilizando (H1) e (2.3) obtemos:

Portanto, . Dessa forma, a conclusão (A2) do Teorema 1.1 nao pode acontecer. Consequentemente, concluímos que (A1) deve ocorrer. Assim, existe u* ∈ E tal que

Exemplo 1. Neste exemplo, vamos considerar os elementos que definem o problema (1.1) da seguinte forma:

Escolhendo as constantes

podemos verificar que as condições impostas em (H1) são satisfeitas e portanto, existe uma solução u ∈ E tal que . De fato,

3. SOLUÇÕES ITERATIVAS

Nesta seção apresentamos um resultado que mostra a existência e unicidade de solução pelo Teorema do ponto fixo de Banach. Embora clássico, este estudo é muito importante a fim de estabelecer algoritmos para resolver o problema proposto. Começamos esta seção, considerando a sequência iterativa:

Para demonstrar a existência de limite da sequência definida acima, precisamos das seguinte: hipóteses.

(H 2) Existem constantes λ f > 0 e λ_g > 0 tais que

para todo

Teorema 3.1. Suponha que (H1), (H2) e (H3) ocorrem. Então (1.1) possui uma solução única u tal que, Além disso, esta solução é o limite da sequência iterativa u^k+1 = T (u^k).

Demonstração. Para mostrarmos que Τ aplica em , onde , basta procedermos de maneira similar a demonstração do Teorema 2.1. Desta forma, resta demonstrar apenas que T é uma contração. De fato:

Assim, podemos aplicar (H2) e consequentemente obtemos:

Finalmente, segue de (H3) que T e uma contração e portanto, pelo do Teorema de ponto fixo de Banach, temos o resultado.

O último teorema nos permite estabelecer as condições para a convergência local de algoritmos que utilizam a sequência iterativa:

u^k+1= T (u^k).

Neste sentido, apresentamos a seguir, um método numérico que estende o Algoritmo 1 apresentado em [2].

Algoritmo A

1. Defina uma malha uniformemente espacada {xj} em [0, L].

2. Escolha uma aproximação inicial u⁰_j= u⁰(xj).

3. Para k = 1, 2, 3,...

(a) Calcule u^k (η₁), u^k (η₂),u^k (η_m-2) usando interpolação por spline cúbica.

(b) Calcule u^'kj utilizando diferenças finitas (central).

(c) Calcule u^k_j⁺¹ usando u^k+1 = T(u^k)

onde as integrais (dadas por (8)) são calculadas através da regra de trapézios.

4. Teste a convergência.

Observação 2.Note que, quando consideramos o Algoritmo A com m = 3 e L = 1 este Algoritmo fica reduzido ao Algoritmo 1.

Exemplo 2. Neste exemplo, vamos considerar os termos que definem o problema (1.1) da seguinte forma:

f (x, u, u') = u(u² + υ ²)

g(y) = 0.591470984807897 + y²

Exemplo 3. Neste exemplo, vamos considerar os termos que definem o problema (1.1) da seguinte forma:

f (x, u, u') = u(u² + υ ²)

g(y) = 0.420735492403948 + 0.392943630388474y₁ + 0.472478473157369y₂

A solução exata, tanto no Exemplo 2 como no Exemplo 3, e u(x) = sen(x).

Exemplo 4.Neste exemplo, vamos considerar os termos que definem o problema (1.1) da seguinte forma:

A solução exata e u(x) = 1 - cos(x).

Os resultados numéricos são apresentados nas Tabelas 1, 2 e 3, onde foi considerado

Agora podemos fazer um teste adicional. De acordo com o Teorema 2.1 podemos afirmar que o Exemplo 1 possui solução, mas não conhecemos esta solução. Vamos aplicar o Algoritmo A neste problema com o intuito de encontrar uma aproximação para esta solução. Neste sentido, vamos considerar

como critério de parada para o algoritmo.

Testando o Exemplo 1 com η = (0.25 0.5 0.75) e n = 20, o Algoritmo A teve seu critério de parada satisfeito após 5 iterações. Os resultados numéricos são apresentados na Tabela 4 e o gráfico da solução obtida e mostrado na Figura 1. Ainda, podemos observar que a solução encontrada pelo algoritmo no Exemplo 1 aparentemente verifica a condição , o que sugere ser esta a solução garantida pelo Teorema 2.1.

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste trabalho apresentamos um resultado teórico de existência de solução para o problema (1.1) utilizando a Alternativa de Leray-Schauder. Também, analisamos a existência de soluções iterativas e exploramos exemplos com condições não lineares para testar o algoritmo estudado. O desempenho do algoritmo nos exemplos testados e promissor, no sentido de que todas as soluções foram encontradas. Embora a técnica de cálculo de integrais utilizada seja simples, nós pudemos identificar que ao modificar o algoritmo com outras técnicas de integração (extrapolação e via spline) a precisão dos resultados e ordem de convergência foram pouco alteradas. Isto se deve a dois fatores: diferenças finitas (que limitam a qualidade da solução) e a proximidade dos valores de η do extremo L pois neste, o valor da solução é desconhecido, enquanto que proximo de 0 o valor da solução e fixo (u(0) = 0).

Recebido em 30 setembro, 2012

Aceito em 12 agosto, 2013

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Autor correspondente: Emerson Vitor Castelani 1 2 3

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  08 Nov 2013
• Data do Fascículo
  Ago 2013

Histórico

• Recebido
  30 Set 2012
• Aceito
  12 Ago 2013