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Formulações semi-discretas para a equação 1D de Burgers

Resumos

Neste trabalho fizemos comparações entre formulações semi-discretas para a obtenção de soluções numéricas para a equação 1D de Burgers. As formulações consistem em discretizar o domínio temporal via métodos implícitos multi-estágios de segunda e quarta ordem: aproximantes de Padé R11 e R22; e o domínio espacial via métodos de elementos finitos: mínimos quadrados (MEFMQ), Galerkin (MEFG) e Streamline-Upwind Petrov-Galerkin (SUPG). Conhecendo as soluções analíticas da equação 1D de Burgues, para diferentes condições iniciais e de fronteira, foram realizadas análises dos erros numéricos a partir das normas L2 e L∞. Verificamos que o método com o aproximante de Padé R22 adicionado as formulações MEFMQ, MEFG e SUPG, aumentou a região de convergência das soluções numéricas e apresentou maior precisão quando comparado as soluções obtidas por meio do aproximante de Padé R11. Constatamos que o método R22 amenizou as oscilações das soluções numéricas associadas as formulações MEFG e SUPG.

equação de Burgers; aproximantes de Padé; métodos implícitos multi-estágios; métodos de elementos finitos


In this work we compare semi-discrete formulations to obtain numericalsolutions for the 1D Burgers equation. The formulations consist in the discretization ofthe time-domain via multi-stage methods of second and fourth order: R11 and R22 Padé approximants, and of the spatial-domain via finite element methods: least-squares (MEFMQ), Galerkin (MEFG) and Streamline-Upwind Petrov-Galerkin (SUPG). Knowing the analytical solutions of the 1D Burgues equation, for different initial and boundary conditions, analyzes were performed for numerical errors from L2 and L∞ norm. We found that the R22 Padé approximants, added to the MEFMQ, MEFG, and SUPG formulations, increased the region of convergence of the numerical solutions, and showed greater accuracy when compared to the solutions obtained by the R11 Padé approximants. We note that the R22 Padé approximants softened the oscillations of the numerical solutions associated to the MEFG and SUPG formulations.

Burgers equation; Padé approximants; implicit multi-stage methods; finite element methods


Formulações semi-discretas para a equação 1D de Burgers

C.A. Ladeia* * Autor correspondente: Neyva Maria Lopes Romeiro ** Doutoranda da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. , ** * Autor correspondente: Neyva Maria Lopes Romeiro ** Doutoranda da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. ; N.M.L. Romeiro; P.L. Natti; E.R. Cirilo

Departamento de Matemática, UEL, 86051-990 Londrina, PR, Brasil. E-mails: cibele_mat_uel@yahoo.com.br; nromeiro@uel.br; plnatti@uel.br; ercirilo@uel.br

RESUMO

Neste trabalho fizemos comparações entre formulações semi-discretas para a obtenção de soluções numéricas para a equação 1D de Burgers. As formulações consistem em discretizar o domínio temporal via métodos implícitos multi-estágios de segunda e quarta ordem: aproximantes de Padé R11 e R22; e o domínio espacial via métodos de elementos finitos: mínimos quadrados (MEFMQ), Galerkin (MEFG) e Streamline-Upwind Petrov-Galerkin (SUPG). Conhecendo as soluções analíticas da equação 1D de Burgues, para diferentes condições iniciais e de fronteira, foram realizadas análises dos erros numéricos a partir das normas L2 e L. Verificamos que o método com o aproximante de Padé R22 adicionado as formulações MEFMQ, MEFG e SUPG, aumentou a região de convergência das soluções numéricas e apresentou maior precisão quando comparado as soluções obtidas por meio do aproximante de Padé R11. Constatamos que o método R22 amenizou as oscilações das soluções numéricas associadas as formulações MEFG e SUPG.

Palavras-chave: equação de Burgers, aproximantes de Padé, métodos implícitos multi-estágios, métodos de elementos finitos.

ABSTRACT

In this work we compare semi-discrete formulations to obtain numericalsolutions for the 1D Burgers equation. The formulations consist in the discretization ofthe time-domain via multi-stage methods of second and fourth order: R11 and R22 Padé approximants, and of the spatial-domain via finite element methods: least-squares (MEFMQ), Galerkin (MEFG) and Streamline-Upwind Petrov-Galerkin (SUPG). Knowing the analytical solutions of the 1D Burgues equation, for different initial and boundary conditions, analyzes were performed for numerical errors from L2 and L norm. We found that the R22 Padé approximants, added to the MEFMQ, MEFG, and SUPG formulations, increased the region of convergence of the numerical solutions, and showed greater accuracy when compared to the solutions obtained by the R11 Padé approximants. We note that the R22 Padé approximants softened the oscillations of the numerical solutions associated to the MEFG and SUPG formulations.

Keywords: Burgers equation, Padé approximants, implicit multi-stage methods, finite element methods.

1 INTRODUÇÃO

Com a evolução da mecânica computacional ocorreu a intensificação de pesquisas na resolução numérica de equações diferenciais com impactos positivos para a sociedade [19 ]. Devido à vasta aplicabilidade destas pesquisas em problemas que envolvem processos convectivos e difusivos [7,9,10,13,20,21 ], interessa-nos as formulações numéricas que possam ser aplicadas a estes problemas, em especial à equação de Burgers [5,6,7,8,15,16,24,25 ].

Vários autores apresentaram soluções numéricas para a equação 1D de Burgers, usando métodos de elementos finitos [6,7,8,13,14,16,22,24,25 ], de elementos de contorno [15 ], de diferenças finitas [8,10,14 ], assim como alternativas para resolver o termo não linear convectivo como esquemas upwind [9,10 ] e técnicas de linearização [6,13,16 ]. Neste contexto faremos comparações de formulações semi-discretas para a equação 1D de Burgers, onde utilizaremos formulações semi-discretas para a discretização temporal e espacial e realizaremos uma linearização no termo convectivo. Esta linearização altera o tamanho do elemento em cada etapa usando a informação a partir do passo anterior [6,13,16 ] transformando a equação de Burgers em um problema linear local.

As formulações semi-discretas consistem em discretizar o domínio temporal utilizando métodos implícitos multi-estágios e o domínio espacial via métodos de elementos finitos [8,24,25 ]. Em particular, para resolver a equação 1D de Burgers, consideramos os métodos implícitos multi-estágios de segunda ordem, R11, e de quarta ordem, R22, e três formulações de métodos de elementos finitos: mínimos quadrados (MEFMQ), Galerkin (MEFG) e Streamline-Upwind Petrov-Galerkin (SUPG).

Como o objetivo deste trabalho é, conhecido a solução analítica da equação 1D de Burgers, determinar quais formulações semi-discretas apresentam soluções numéricas com precisão em um intervalo maior de tempo, aumentando desta forma a região de convergência, apresentamos resultados comparativos entre as soluções e simulações numéricas para diferentes tempos. Apresentamos também tabelas com os cálculos dos logaritmos dos erros entre as formulações utilizando as normas L2 e L.

Desta forma, este artigo encontra-se estruturado como segue: a Seção 2 apresenta a equação 1D de Burgues na forma geral e também na forma padrão de operador; na Seção 3 é apresentada a discretização espacial obtida por meio dos aproximantes de Padé; na Seção 4 são apresentadas as formulações de elementos finitos, utilizadas na discretização espacial da equação 1D de Burgues; na Seção 5 é introduzida a técnica de linearização do termo convectivo transformando a equação de Burgers em um problema linear local; a Seção 6 mostra os resultados numéricos obtidos no trabalho e finalmente as conclusões são apresentadas na Seção 7.

2 EQUAÇÃO 1D DE BURGERS

Seja a equação 1D de Burgers definida em um domínio Ω = [a, b ] ⊂ R limitado e aberto com fronteira Γ = ∂Ω, satisfazendo

u_t(x,t)+ u(x,t)u_x(x,t) - u_xx(x,t) = f(x,t)

onde є = , Re é o número adimensional de Reynolds; u(x,t) é a componente da velocidade do fluido na direção do eixo x e f(x,t) representa o termo fonte. A equação (2.2) é uma condição inicial com u0 sendo uma função dada e (2.3) é uma condição de fronteira do tipo Dirichlet, sendo c0 uma constante.

Reescrevendo (2.1) na forma padrão de operador, temos

onde L(u) = uux - єuxx representa o operador espacial e descreve a soma dos operadores não linear e linear, convectivo e difusivo, respectivamente.

3 DISCRETIZAÇÃO TEMPORAL

Muitas técnicas numéricas para a discretização temporal são utilizadas para resolver equações diferencias parciais [8,9,23 ]. Consideramos a técnica passo de tempo obtida por meio dos aproximantes de Padé, cuja aproximação para o operador de evolução é dada por

que permite transportar a solução numérica em um determinado tempo tn = nΔt para o próximo tempo tn+1 = tn+ Δt, sendo Δt um passo de tempo. Nesta situação, a evolução de Et), obtida a partir do desenvolvimento da série de Taylor, é dada por meio do operador exponencial, ou seja

Assim, a técnica de passo de tempo de várias ordens pode ser obtida usando os aproximantes de Padé para o operador exponencial eh, sendo h = Δt [5,8 ]. Os primeiros aproximantes de Padé para eh encontram-se apresentados na Tabela 1.

Em [11,18 ] os autores mostram que a aproximação de Padé RLM é incondicionalmente estável se satisfaz a condição M-2 < L < M. Assim, as técnicas de multi-estágios implícitas empregadas na parte da discretização temporal, utilizadas neste trabalho, são incondicionalmente estáveis com erro de truncamento de ordem Ot2n) [5 ]. Logo, podemos reescrever o método implícito na seguinte forma de operador

onde o vetor Δu tem n componentes (ou nestágios) [8 ] e Δut é a derivada parcial de Δu com respeito ao tempo. Substituindo (2.4) em (3.7) e considerando que o operador L é linear com coeficientes constantes, temos que

com Δu, W, Δf, e w dependentes do método escolhido. Para os métodos implícitos R11 e R22, os valores de Δu, W, Δf, e w encontram-se definidos nas seções 3.1 e 3.2. Devido à limitação de espaço, definimos apenas as formulações compactas destes métodos, outros detalhes podem ser obtidos em [8,12 ].

3.1 Método de segunda ordem

A formulação compacta R11, Crank-Nicolson [8,12 ], é dada por

3.2 Método de quarta ordem

A formulação compacta R22 [8,12 ] é

4 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL

Neste trabalho utilizamos o método de elementos finitos para a discretização espacial. Este método introduz funções bases {φ0,...,φm} que geram o subespaço onde está sendo procurada a solução exata, com suporte localizado nos pontos nodais dos elementos [14 ]. Para definir as funções bases realizamos uma discretização no intervalo [a,b ], dividindo-o em m sub-intervalos (ou elementos) ej = (xj-1,xj), j = 0,1,...,m, de comprimento hj = xj- xj-1.

Seja uh uma função teste linear em cada elemento ej e contínua sobre [a,b ] satisfazendo as condições de fronteira uh(a) = c0 = uh(b). Escolhendo os valores u0, u1, u2,...,um nos nós xj, como parâmetros para descrever uh(x) e expressando-os sobre cada elemento ej, obtemos uh(x) = com x ∈ ej, onde

Podemos escrever uh(x), sobre todo o domínio [a,b ], como sendo

onde

são as funções bases e φj(x) é uma função linear seccionalmente contínua, com valor um para o nó xj e nulo para os outros nós. Portanto, uh(xj) = uj. Especificamente, se temos u0 = c0 então (4.12) satisfaz as condições de fronteira (2.3) e para os parâmetros u1,u2,...,um valores arbitrários. Todas as funções uh(x) constituem o espaço das funções teste Vh. Considere oespaço de Hilbert V = H10(Ω), onde V é o conjunto das soluções tentativas. Assim, seja Vh o subespaço de dimensão finita do espaço de dimensão infinita V, formado por funções lineares seccionais geradoras de um conjunto de m elementos de V denotado por Vh = [φ0,...,φm ].As funções bases φj são obtidas a partir do método de elementos finitos, considerando a partição a = x0 < x1 < x2 ... < xm-1 < xm = b.

4.1 Método de elementos finitos via mímimos quadrados

O método de elementos finitos via mímimos quadrados (MEFMQ) consiste em aproximar os termos da parte espacial de (2.1) por meio de uma formulação variacional [14 ], obtida usando o método de mínimos quadrados que minimiza o quadrado da integral do resíduo.

Seja V o espaço de Hilbert e defina o funcional

onde F(u) = ∫Ω [u(x)ux(x)-єuxx(x)-f(x) ]2dx para todo x ∈ Ω sobre todos os uV. Minizando F com respeito a uj+1 para j = 0,1,2,...,m, e usando a derivada de Gâteaux [1 ], podemos resolver o seguinte problema variacional: achar uj+1V tal que

onde definimos o funcional bilinear aM(u;·,·):V×VR e o funcional linear FM(u;·): VR por [17 ]

Obtido a formulação variacional, podemos resolver a parte espacial de (2.1) utilizando MEFMQ, considerando o subespaço VhV, que consiste em: determinar uma solução aproximada uhj+1Vh tal que

onde v = ux.

4.2 Método elementos finitos via Galerkin

Uma segunda aproximação para a parte espacial de (2.1) é realizada através do método deGalerkin (MEFG) [2,4 ]. Seja V o espaço de Hilbert e dada a formulação fraca, podemos resolver o seguinte problema: determinar uj+1V tal que

onde definimos o funcional bilinear aG(u;·,·):V×VR e o funcional linear FG(·):VR por [17 ]:

Para resolver a parte espacial de (2.1), utilizando MEFG, consideramos VhV, no qual o problema agora consiste em determinar uma solução aproximada uhj+1Vh tal que

4.3 Método estabilizado Streamline-Upwind Petrov-Galerkin

O método estabilizado Streamline-Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) contorna as limitações do método de Galerkin [3 ]. O SUPG é uma combinação da formulação de Galerkin com termos baseados no resíduo, em nível de elementos. Estes termos são balanceados por parâmetros de estabilização, resultando em formulações variacionais consistentes com as propriedades de estabilização, superiores às da aproximação de Galerkin [3,7 ].

Assim, o método estabilizado SUPG para aproximar a parte espacial de (2.1), consiste em determinar uhVh tal que

onde = vh e ESUPG(uh;vh,wh) indicam os termos de perturbação adicionados à formulação variacional padrão (4.21). Estes termos são adicionados de forma a preservar a consistência do método para obter a estabilidade numérica, dada pela expressão

sendo P(w) = a perturbação da função teste, enquanto o termo residual R e o parâmetro τ são definidos, respectivamente por [7 ]:

Para resolver a parte espacial do problema (2.1) utilizando SUPG, consideramos VhV para n = 0,1,2,...,N, que consiste em determinar uma solução aproximada uhn+1Vh tal que

5 LINEARIZAÇÃO DO TERMO CONVECTIVO

Várias técnicas para resolver o termo convectivo da equação de Burgers podem ser encontradas na literatura [6,7,9,13,16 ]. Neste trabalho, realizamos uma linearização no termo convectivo de (2.1), que consiste em alterar o tamanho do elemento em cada etapa utilizando a informação do passo anterior [6,13,16 ], transformando a equação de Burgers em um problema linear local. Para isto, multiplicamos ambos os lados de (2.1) por uma função teste wV e integramos, resultando em

Como a solução de (2.1)-(2.2) é procurada sobre o domínio a < x < b, com condições de fronteira em x = a e em x = b, consideramos o subespaço de dimensão finita VhV, onde as funções bases φj são obtidas a partir do método elementos finitos, utilizando a partição de tamanho hj = xj-xj-1, mapeada por uma coordenada local σ, onde xj = xj-1+ σhj, 0 < σ < 1 [6 ]. Logo, construímos uma função teste uh e escolhemos os valores u0,u1,u2..., um nos nós xj. Podemos então reecrever a equação (5.27) como

∀ φi(x), φj(x) ∈ Vh, onde η = , ζ = são localmente constantes sobre cada elemento e wh = φi(x), para i = 0,1,2,...,m, é definida como uma função teste.

Convém observar que neste trabalho a parte temporal de (5.28) é discretizada utilizando os aproximantes de Padé, R11 e R22, e a parte espacial via formulações dos métodos de elementos finitos: MEFMQ, MEFG e SUPG.

6 RESULTADOS NUMÉRICOS

Todos os resultados apresentados na sequência resultam das formulações semi-discretas abordadas. Apresentamos análises dos erros numéricos a partir das normas L2 e L, comparando as soluções numéricas com as soluções analíticas dos exemplos avaliados.

6.1 Exemplo 1

A equação 1D de Burgers definida em (2.1) com condição inicial

e condições de fronteira u(0,t) = 0 = u(1,t) tem como solução analítica [16 ]

Considerando o domínio 0 < x < 1 e k = 2, apresentamos nas Figuras 1a-1f os resultados das formulações semi-discretas comparados com o resultado analítico, para os tempos t = 0.5 e t = 1, com Δt = 0.5, Re = 105 e uma malha de 50 elementos lineares, o que equivale a h = 0.02.





Observamos que o aproximante de Padé R11 adicionado as formulações MEFMQ, MEFG e SUPG, apresentou oscilações mais evidentes no tempo final t = 1 conforme Figuras 1a-1c, mas ressaltamos a ocorrência de menor intensidade para o caso MEFMQ+R11, Figura 1a. Ao incluirmos o aproximante de Padé R22 nas formulações MEFMQ, MEFG e SUPG, verificamos que as oscilações foram amenizadas, Figuras 1d-1f.

Para uma avalição mais precisa das formulações semi-discretas, calculamos os logaritmos dos erros considerando malhas com h = 1/50 e h = 1/1000 para os tempos t = 0.5 e t = 1 com Δt = 0.5 e Re = 105, tais resultados encontram-se na Tabela 2.

A partir dos resultados apresentados na Tabela 2, confirmamos que o aproximante de Padé R22 em conjunto com as formulações MEFMQ, MEFG e SUPG aumentou a região de convergência das soluções numéricas e apresentou maior precisão quando comparado as soluções obtidas por meio de aproximantes de Padé R11, considerando h = 1/50. Melhorando o refinamento na direção espacial, isto, é, tomando h = 1/1000, observamos que a formulação MEFMQ+R11 mostrou-se mais precisa entre todas as formulações, não havendo então a necessidade de um método oneroso para a discretizaçao no tempo.

6.2 Exemplo 2

Seja um problema de propagação uniforme de choque [22 ], para a equação 1D de Burgers (2.1), com condição inicial dada por

cuja solução analítica é dada por [22 ]

Considerando o domínio -0.5 < x < 0.5 e as condições de fronteira satisfazendo u(-0.5,0) = 0.5 e u(0.5,0) = 1.5, apresentamos nas Figuras 2a-2f os resultados das formulações semi-discretas comparados com o resultado analítico, para os tempos t = 0.05 e t = 0.1, com Δt = 3.3×10-4, Re = 104 e uma malha com 3000 elementos lineares.





Podemos observar nas Figuras 2d-2f que ao adicionarmos o aproximante de Padé R22 nas formulações MEFMQ, MEFG e SUPG, obtivemos um aumento na região de convergência das soluções numéricas, assim como uma maior precisão das soluções quando comparadas as obtidas por meio do aproximante de Padé R11, vide Figuras 2a-2c.

Porém, confrontando MEFMQ+R22 com as formulações MEFG+R22 e SUPG+R22 observamos ainda a ocorrência de pequenas oscilações na vizinhança do choque, Figura 2d, quando h = 1/3000. Estas oscilações persistem quando utilizamos h = 1/4000, como pode ser confirmado observando a Tabela 3, onde apresentamos os cálculos dos logaritmos dos erros entre as formulações estudadas. Uma alterantiva para amenizar estas oscilações seria utilizar um estabilizador no MEFMQ.

Por fim, verificamos que ao utilizarmos Δt da ordem de 10-4 as formulações MEFG+R22 e SUPG+R22 possibilitaram resultados mais apurados quando comparadas às demais formulações semi-discretas, independente do refinamento do espaço.

7 CONCLUSÃO

O trabalho forneceu uma comparação entre as formulações semi-discretas para resolver a equação 1D de Burgers, para diferentes condições iniciais e de fronteira. Observamos que o aproximante de Padé R22 adicionado as formulações MEFMQ, MEFG e SUPG apresentou soluções aproximadas com convergência mais rápida e maior precisão em comparação ao R11. Também, o método R22 amenizou consideravelmente as oscilações quando usado nas formulações MEFG e SUPG.

Verificamos no Exemplo 1 que melhorando o refinamento na direção espacial a formulação MEFMQ+R11 mostrou-se mais precisa entre as demais formulações, não havendo a necessidade de um método oneroso para a discretização no tempo. Enquanto que no Exemplo 2 as formulações MEFG+R22 e SUPG+R22 possibilitaram resultados mais apurados quando comparadas às outras formulações semi-discretas, independente do refinamento do espaço. Salientamos então que, para os exemplos apresentados, predominou a escolha da formulação para a discretização temporal e espacial.

Notamos ainda que os erros obtidos nas formulações semi-discretas, ao refinarmos a malha, diminuiram consideravelmente, apresentando concordância entre as soluções numéricas com a solução exata independente da formulação utilizada.

Recebido em 26 março, 2013

Aceito em 7 julho, 2013

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    Autor correspondente: Neyva Maria Lopes Romeiro
    **
    Doutoranda da Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
  • Datas de Publicação

    • Publicação nesta coleção
      07 Mar 2014
    • Data do Fascículo
      Dez 2013

    Histórico

    • Recebido
      26 Mar 2013
    • Aceito
      07 Jul 2013
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