Adaptividade e Estimativas de Erro Orientadas por Metas Aplicadas a um Benchmark Test de Propagação de Onda

RESUMO

O objetivo deste artigo é estudar a eficiência e a robustez de técnicas adaptativas e estimativas de erro orientadas por metas para um benchmark test. As técnicas utilizadas aqui são baseadas em um simples pós-processo das aproximações de elementos finitos. As estimativas de erro orientadas por metas são obtidas por analisar o problema direto e um problema auxiliar, o qual está relacionado com a quantidade de interesse específico. O procedimento proposto é válido para quantidades lineares e não-lineares. Além disso, são discutidas diferentes representações para o erro e é analisada a influência do erro de dispersão. Os resultados numéricos mostram que as estimativas de erro fornecem boas aproximações ao erro real e que a técnica de refino adaptativo proposta conduz a uma redução mais rápida do erro.

Palavras-chave:
Estimativas de Erro; Adaptividade Orientada por Meta; Benchmark Test

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the efficiency and robustness of adaptive techniques and goal-oriented error estimates for a benchmark test. The techniques used here are based on a simple post-process of the finite element approximations. The goal-oriented error estimates are obtained by analyzing the direct problem and an auxiliary problem related to a specific quantity of interest. The proposed procedure is valid for both linear and non-linear quantities. Different error representations are discussed and the influence of the dispersion error is analyzed. The numerical results show that the error estimates provide fairly good approximations of the actual error and that the proposed adaptive refinement technique leads to a faster reduction of the error.

Keywords:
error estimates; goal-oriented adaptivity; Benchmark Test

1 INTRODUÇÃO

Integrated Multiphysics Design Database¹ foi lançado em março de 2009, visando a fornecer uma ferramenta computacional para a avaliação geral de incertezas e obter referências com orientações úteis para a validação de futuros produtos em áreas multidisciplinares, tais como: engenharias, telecomunicações, aeroespacial, energia, biomecâ nica, medicina e ciência da computação. O objetivo é gerar um banco de dados que possibilite a avaliação da eficiência de forma inovadora. Este banco de dados é organizado pela Universidade de Jyväskylä, na Finlândia, a qual organizou dois eventos para engajar e envolver a comunidade científica e tecnológica. O primeiro, realizado em dezembro de 2009, foi concentrado na apresentação e análise de benchmark tests acadêmicos. O segundo, realizado em março de 2010, preocupou-se com a apresentação, análise e discussão de resultados para benchmark tests industriais, bem como acadêmicos.

Neste artigo estudamos o problema dado pela propagação de ondas de um radar, que envolve o fenômeno de scattering, descrito pela onda refletida a partir de uma onda que incide sobre um obstáculo acusticamente rígido. O problema é simulado através da equação de Helmholtz e o obstáculo é composto de três elipses. Este problema foi desenvolvido como um benchmark test para o segundo evento, denominado como Industrial and Academic Database Workshop, realizado na Finlândia em março de 2010. Em particular, o exemplo foi desenvolvido para estudar o problema inverso de recuperar uma pressão específica na superfície das duas elipses pequenas. O objetivo de problemas inversos é recuperar a posição das elipses pequenas. Embora o objetivo original era estudar o problema inverso completamente, subproblemas menores também foram considerados para estudar e avaliar o desempenho de diferentes métodos. Em particular, neste trabalho substancial esforço foi empregado para estudar o comportamento de algoritmos adaptativos para o cálculo do campo acústico em normas globais ou em quantidades de interesse específicas. Para mais informações e detalhes sobre a definição do problema veja o testcase TA2.

Aqui o benchmark test é utilizado para analisar e demonstrar a eficiência e robustez da estratégia de refino adaptativo proposta em⁵. O processo de refino pode ser resumidamente esquematizado como: 1) estimar o erro de discretização; 2) desenvolver a estratégia de refino h adaptativo; e finalmente, 3) gerar uma nova malha. O mais importante neste procedimento é definir uma estimativa de erro confiável.

O artigo está estruturado da seguinte maneira: a Seção 2 apresenta a descrição do problema geral de Helmholtz a ser resolvido. A Seção 3 introduz o procedimento para avaliar o erro em quantidades de interesse não-lineares. As ideias e conceitos empregados no processo de refino adaptativo são resumidos na Seção 4. Finalmente, na Seção 5 a técnica de adaptatividade orientada por metas proposta é testada para o benchmark test. A relação entre as diferentes representações do erro e influência do erro de dispersão dos problemas direto e adjunto também são abordados.

2 PROBLEMA MODELO

Considere o problema de propagação de onda acústica governado pela equação de Helmholtz em um domínio limitado Ω. O contorno Γ é assumido ser suficientemente suave e está dividido em três partes disjuntas, Γ_D , Γ_N e, Γ_R onde são aplicadas condições de contorno de Dirichlet, Neumann e Robin, respectivamente. A solução fraca do problema é a amplitude complexa da pressão acústica u ∈ U, verificando

(2.1)

onde

(2.2)

e o símbolo U e V são os espaços solução e teste definidos como U: = {u ∈ H ¹(Ω), u|Γ_D = u_D } e V: = {υ ∈ H ¹(Ω), υ|Γ_D = υ_D }, respectivamente, onde H ¹(Ω) é o espaço de Sobolev usual. Os dados prescritos, f, g, m e β, são assumidos ser suficientemente suaves e κ é o número de onda associado ao problema. denota o complexo conjugado. Aqui,

O objetivo da maioria das simulações de elementos finitos é determinar quantidades específicas (em inglês denominadas de outputs), as quais dependem da solução obtida das equações diferenciais parciais que governam o problema. Essas quantidades de interesse são aproximadas usando a aproximação de elementos finitos de u, isto é u_H , e estratégias de avaliação de erro orientadas por metas visam a estimar o erro cometido em tais quantidades e, possivelmente, fornecer limites para o erro.

As quantidades de interesse consideradas aqui são funcionais não-lineares da solução, denominadas como J(u), e o objetivo é avaliar o erro cometido quando aproximamos estas quantidades usando a aproximação de elementos finitos. Especificamente, o objetivo é avaliar e controlar a quantidade

(2.3)

3 AVALIAÇÃO DE ERRO PARA QUANTIDADES DE INTERESSE NÃO-LINEARES

A maioria das técnicas existentes para avaliar o erro em quantidades de interesse não-lineares introduz uma linearização da quantidade de interesse. A mesma abordagem é usada aqui, sendo assim conveniente obter, mais explicitamente, as contribuições linear, quadrática e os termos de ordem superior de J(u). Para este fim, J(u) é expandida introduzindo a primeira e segunda derivadas de Gateaux de J(·) em u_H , ou seja,

(3.1)

onde ℓ^O = (υ) = [D _υ J](u_H ) · (υ), 2Q(υ₁, υ₂) = ³), (⁴).(uH) · (υ1, υ2) e o funcional Wcontém os termos de ordem superior, veja(

Usando essa decomposição e tendo em conta que e = u - uH, o erro na quantidade de interesse pode ser reescrito como

(3.2)

Portanto, fica claro que para estimar o erro na quantidade de interesse é suficiente estimar os termos linear, quadrático e de ordem superior separadamente, ℓ^O (e), Q(e,e) e W(e), respectivamente.

A avaliação a-posteriori das quantidades de interesse não-lineares baseia-se em obter uma boa aproximação de ℓ^O (e), Q(e,e) e W(e). Isto traduz-se em encontrar uma nova solução melhorada u*, baseada em informações conhecidas a-priori, ou seja u_H , de tal forma que u* aproxima a solução real u muito melhor do que u_H . Assim, uma estimativa de erro calculável é facilmente obtida por

(3.3)

produzindo também uma estimativa correspondente para a quantidade de interesse, dada por

(3.4)

Esta aproximação do erro na quantidade de interesse é obtida a partir da equação 3.2 substituindo o erro real e pela sua aproximação e*. Assim, a chave da questão em qualquer técnica de estimativa de erro é produzir adequadamente uma solução melhorada u*.

Na prática, uma vez que o termo que mais contribui para o erro na quantidade de interesse é o termo linear, representações alternativas são utilizadas para o termo ℓ^O (e*), enquanto que nenhum esforço adicional é empregado para os termos de ordem superior. Estas representações alternativas envolvem a introdução do problema auxiliar adjunto associado à contribuição linear da quantidade de interesse selecionada, juntamente com a sua aproximação de elementos finitos, ψ_H , e uma solução melhorada adequadamente ψ*.

Mais especificamente, a técnica para avaliar o erro em uma quantidade de interesse não-linear pode ser esquematizada como:

1. Calcule a aproximação de elementos finitos do problema primal: ache u_H ∈ U_H tal que

(3.5)

onde U_H ⊂ U e VH ⊂ V são os espaços associados a malha de elementos finitos.

1. Introduz o problema adjunto associado com a contribuição linear da quantidade de interesse selecionada: ache ψ ∈ V tal que

(3.6)

e calcule sua aproximação de elementos finitos: ache ψ_H ∈ V tal que

(3.7)

1. Recupere a aproximação para o erro na quantidade de interesse através dos quatro seguintes passos:

2. Recupere as soluções melhoradas u* e ψ* a partir de u_H e ψ_H em uma malha de referência mais fina, e calcule as estimativas do erro

(3.8)

1. Considere a representação usual

(3.9)

onde ^_RP (·) e ^_RD (·) representam os resíduos dos problemas primal e adjunto na forma fraca, associados com as aproximações u_H e ψ_H respectivamente,

(3.10)

e = u - u_H e ε = ψ - ψ_H .

1. Calcule a estimativa do termo linear ℓ^O (e), seja por meio de

(3.11)

1. Calcule uma das seguintes estimativas para a quantidade de interesse total

(3.12)

ou

(3.13)

As estratégias apresentadas pelos autores são utilizadas aqui para recuperar as soluções melhoradas u* e ψ*, a partir de u_H e ψ_H , respectivamente. Uma técnica simples e barata de pós-processo é utilizada para recuperar as aproximações u* e ψ* de u e ψ em uma malha de referência mais fina, associada ao tamanho característico da malha h << H. Assim, u* ∈ U_h e ψ* ∈ V_h , onde U_h e V_h são os espaços discretos funcionais associados à malha de referência mais fina, U_H ⊂ U_h ⊂ U e V_H ⊂ V_h ⊂ V.

Para malhas suficientemente refinadas, o erro na quantidade de interesse é controlado pelo termo linear, já que as contribuições quadrática e de ordem superior convergem mais rapidamente para zero. Assim, o procedimento proposto é fazer uso da estimativa disponível, e*, para obter uma estimativa simples e barata das contribuições não-lineares. Ou seja, as contribuições quadrática e de ordem superior para o erro, Q(e,e) e W(e), respectivamente, são avaliadas por meio da reconstrução do erro primal e* utilizado para avaliar a parte linear do erro, isto é,

(3.14)

Uma descrição precisa deste procedimento pode ser encontrada em⁵ juntamente com alguns detalhes de implementação numérica.

4 REFINO ADAPTATIVO

Atualmente, a técnica de refino adaptativo de malhas é uma ferramenta essencial para obter simulações altamente confiáveis com baixo custo. Os principais ingredientes do processo adaptativo proposto são: refino h , ou seja, as novas malhas são obtidas pela divisão dos elementos da malha; indicadores ótimos, o refino é organizado com o objetivo de alcançar a igualdade de erro em cada elemento da nova malha; processo iterativo, o objetivo em cada passo do refino é reduzir o erro global calculado até que o erro diminua abaixo de uma tolerância especificada pelo usuário.

Além disso, avaliar e medir o erro através de alguma norma funcional nem sempre é suficiente para muitas aplicações. Na prática, o usuário de elementos finitos está interessado em magnitudes específicas, extraídas da solução global por algum pós-processo. Como mencionado anteriormente, estas grandezas são referenciadas como quantidades de interesse. Estratégias de avaliação do erro orientadas por metas visam a estimar o erro cometido nestas quantidades e, possivelmente, fornecer limites para o erro.

Isto requer a obtenção de indicadores de erro locais que permitam decidir os elementos a serem marcados para o refino, ou seja, aqueles com maiores contribuições para o erro total. Assim, para determinar a contribuição de cada elemento para o erro total, distribuições espaciais das estimativas do erro são obtidas pela decomposição da estimativa global em uma soma de contribuições locais em cada elemento da malha, induzida por U_H .

As estimativas para o erro na quantidade de interesse são da forma

(4.15)

onde o termo linear ℓ^O (e*) é substituído por _^RP (ε*) ou _^RD (e*), dependendo da representação selecionada para o termo linear. Visto que o termo linear é o termo predominante ao erro na quantidade de interesse, neste trabalho, o processo adaptativo é conduzido por ℓ^O (e*). Assim, a estimativa global para o termo linear ℓ^O (e*) é decomposta em uma soma de contribuições locais em cada elemento e estas quantidades locais são usadas para designar o processo adaptativo.

4.1 Indicadores locais

A restrição das formas integrais a(·, ·), ℓ(·) e ℓ^O (·) para cada elemento da malha Ω_k produz as contribuições elementares denotadas por a_k (·, ·),ℓ_k (·) e (·) tal que

(4.16)

Similarmente, os resíduos primal e adjunto são decompostos como

(4.17)

onde (·): ℓk(·) - ak(uH, ·) e (·): ℓk(·) - ak(·,ψH).

Assim, as representações para a contribuição linear do erro na quantidade de interesse, dado pela equação 3.9, são associadas as distribuições elementares do erro

(4.18)

É importante mencionar que, enquanto as quantidades do erro global são iguais em ambas representações, as quantidades locais (e) representam contribuições elementares diferentes ao erro e, além disso, elas não são necessariamente positivas, nem mesmo números reais.(ε) e

Analogamente, as estimativas globais

(4.19)

são associadas aos indicadores de erro locais : = (ε*) e (e*), tal que: =

(4.20)

Uma simples estratégia adaptativa é empregada, utilizando os indicadores locais produzidos durante o cálculo da estimativa para a quantidade de interesse, para guiar a quantidade de interesse não-linear a uma precisão prescrita. Ou seja, o algoritmo termina se

(4.21)

onde , Δtol é uma precisão final desejada e prescrita pelo usuário, e em cada nível de refino, os elementos marcados para refinar são aqueles com maiores valores à contribuição linear local representa qualquer uma das seguintes contribuições locais ou .

4.2 Critério de remalhamento

Em problemas acústicos, as contribuições locais não são necessariamente positivas e, de fato, ao contrário do que ocorre em problemas térmicos ou de elasticidade, podem ser números complexos. Assim, para selecionar os elementos com maiores contribuições locais, o módulo dos valores é considerado. As seguintes estratégias utilizadas são:

• Estratégia 1: os elementos a serem refinados são aqueles que verificam

(4.22)

Note que este algoritmo de marcação visa a obtenção dos elementos com contribuição de erro local igual. Entretanto, isso não é equivalente a obter uma distribuição do erro espacial uniforme, uma vez que os elementos com maior área são penalizados. A fim de obter uma distribuição de erro espacial uniforme, as contribuições locais são ponderadas pela área do elemento, produzindo o seguinte critério de marcação.

• Estratégia 2: os elementos a serem subdivididos são os que verificam

(4.23)

onde A_k é a área do elemento Ω_k e A _Ω é a área do domínio completo Ω. Note que as expressões 4.22 e 4.23 são equivalentes em malhas uniformes, onde todos os elementos tem a mesma área, uma vez que neste caso A_k = A_Ω/n_el é constante.

5 APRESENTAÇÃO DO BENCHMARK TEST

Nesta seção utilizamos o benchmark test, dado pelo problema da propagação de ondas de radar, para o estudo das técnicas de estimativas de erro e de refino adaptativo descritas nas seções anteriores. O problema de ondas de radar em questão envolve o scattering a partir de um obstáculo acusticamente rígido, onde o obstáculo é composto de três elipses, veja a Figura 1.

Figura 1
Problema de scattering: espalhamento de uma onda refletida a partir de uma onda que atinge o obstáculo rígido composto por três elipses.

São considerados dois domínios computacionais diferentes contendo as elipses: um domínio retangular de dimensões 30 × 20 e um domínio circular de raio r=25, veja a Figura 2.

Figura 2
Descrição da geometria e condições de contorno da onda plana refletida pelas três elipses, onde o contorno exterior é descrito por dois domínio distintos, um retangular (superior) e outro circular (inferior).

O problema de scattering consiste em calcular a onda refletida , solução da equação deHelmholtz com f = 0. Para este problema condições de contorno Neumman são aplicadas no obstáculo, isto é ∇u_r · n = -∇u_i · n, e condições de contorno Bayliss-Gunzberger-Turkel (BGT)⁶ de primeira ordem são aplicadas nos contornos fictícios exteriores, ou seja

(5.24)

onde ζ é a curvatura na superfície refletora. Para o caso do contorno exterior retangular ζ =0, a equação 5.24 se reduz à condição de Robin usual, que é equivalente a condição BGT-0, de ordem zero. Sabe-se que uma condição BGT-0 não é muito precisa em implementações práticas⁷. Para o contorno exterior circular de raio r, a curvatura é dada por ζ =1/r. Portanto, é esperado que a aproximação do domínio circular produza erros menores, devido as aproximações das condições de contorno.

Em particular, aqui este benchmark test é utilizado para analisar a proposta de refino adaptativo para quantidades de interesse específico. Embora a quantidade de interesse mais relevante para este problema seja a scattering cross-section, uma meta inicial não tão ambiciosa foi considerada aqui: obter a média do módulo ao quadrado da solução refletida em Γ^O e Ω^O , respectivamente.

Assim, o problema simplificado de predizer o ruído ou uma eventual redução dele em uma área específica do domínio é considerada como a quantidade de interesse específica. Para isso, o objetivo é aplicar a medição do módulo da solução refletida. Especificamente, para o exemplo com o contorno exterior retangular, a quantidade de interesse é a média do módulo da solução ao quadrado sobre a faixa do contorno Γ^O , mostrada na parte superior da Figura 2, isto é J ₁(u_r ), definida como

(5.25)

onde u, W ₁(υ) = 0 e as contribuições linear e quadrática são é o comprimento da faixa no contorno. Uma vez que este a quantidade de interesse depende quadraticamente de

(5.26)

Note que (υ) é um número real coincidindo com

(5.27)

Para o exemplo com contorno exterior circular, a quantidade de interesse é a norma L ² do módulo ao quadrado da solução sobre o subdomínio Ω^O , mostrado na Figura 2, ou seja, J ₂(u_r ), definida por

(5.28)

onde ^O . Novamente, sendo a quantidade de interesse quadrática W ₂(υ) = 0, representa a área do subdomínio Ω

(5.29)

Observe que, por simplicidade de cálculo para o contorno exterior circular, ao invés de considerar uma faixa dentro do domínio, um subdomínio Ω^O é utilizado. Neste caso, Ω^O é obtido a partir de Γ^O expandindo a faixa a uma largura de 1m.

As Figuras 3 e 4 mostram as aproximações de Galerkin dos problemas primal e adjunto, para o número de onda κ = π /4, correspondente aos contornos fictícios retangular e circular, respectivamente. Analogamente, as Figuras 5 e 6 mostram as aproximações correspondentes para o número de onda κ = π.

Figura 3
Aproximações de elementos finitos do problema primal (superior) e da solução adjunta (inferior) para o número de onda κ = π /4, para a malha de 16212 nós, correspondente ao problema de contorno exterior retangular.

Figura 4
Aproximações de elementos finitos do problema primal (superior) e da solução adjunta (inferior) para o número de onda κ = π /4, para a malha de 26584 nós, correspondente ao problema de contorno exterior circular.

Figura 5
Aproximações de elementos finitos do problema primal (superior) e da solução adjunta (inferior) para o número de onda κ = π para a malha de 16212 nós, correspondente ao problema de contorno exterior retangular.

Figura 6
Aproximações de elementos finitos do problema primal (superior) e da solução adjunta (inferior) para o número de onda κ=π para a malha de 26584 nós, correspondente ao problema de contorno exterior circular.

Como esperado, ambas aproximações fornecem resultados similares para o campo acústico, nas proximidades onde é avaliada a quantidade de interesse e ao redor do obstáculo. Note que, para melhor visualização das legendas e dos resultados as soluções estão apresentadas fora de escala, uma vez que o domínio com contorno circular é maior que o retangular, como descrito anteriormente (Fig. 2) com as respectivas dimensões.

A Figura 7 apresenta a parte real da aproximação do problema adjunto com contorno exterior circular para κ = π /4, destacando a parte retangular do domínio referente ao problema com contorno exterior retangular e ao lado direito apresenta a aproximação correspondente a este problema em escala. Além disso, como era esperado os valores para as contribuições lineares das quantidades de interesse J ₁ e J ₂ são similares, (uh) = 0.43467.(uh) = 0.38442 e

Figura 7
Parte real da aproximação de elementos finitos do problema adjunto para o contorno exterior circular (à esquerda) com o retângulo destacado e a aproximação correspondente ao problema com contorno exterior retangular (à direita) para o número de onda κ = π/4.

Em(⁵) uma nova técnica de pós-processo para recuperar a solução melhorada u* é introduzida. Esta nova técnica utiliza um ajuste complexo-exponencial por minímos quadrados e substitui a técnica padrão de ajuste polinomial. As duas estratégias (polinomial e exponencial) são comparadas e a nova técnica fornece resultados muito mais precisos na maioria das aplicações consideradas. Isto se deve ao fato que as aproximações obtidas pelo ajuste exponencial respeitam a natureza e o caráter da solução do problema de onda. Portanto, neste artigo as estimativas da contribuição linear ao erro na quantidade de interesse η := ℓO(e), são obtidas utilizando esta nova estratégia de pós-processo. Estas estimativas são denotadas por ηε = RP(ε*) e ηe = RD(e*). Note que em(⁵) as mesmas estimativas eram denotadas pelo sub-índice exp para distinguir do ajuste polinomial.

Para ver o quão eficiente é o desempenho dos estimadores, são necessários os valores verdadeiros do erro J(u) - J (uH) ou ℓO(e), entretanto as soluções analíticas dos problemas considerados não são disponíveis. Um valor preciso para o erro verdadeiro é obtido por usar uma aproximação suficientemente precisa, uh de u, em uma malha de referência mais fina, isto é, as estimativas são comparadas com os valores de referência J(uh) - J(uH) e ηh := ℓO(eh), respectivamente.

Note que o valor de referência ηh também pode ser obtido a partir de uma representação fiel do problema adjunto ψh, uma vez que ηh = ℓO(eh) = RP(ψh) = RP(εh). Observe também que ηh = RD(eh) = RP(εh) mostra que a qualidade das estimativas depende da qualidade do aproximações e* ≈ eh e ε* ≈ εh. A exatidão dessas aproximações está intimamente relacionada com o chamado erro de poluição ou de dispersão. A influência deste erro dispersão nas estimativas para as quantidades de interesse é analisada usando as estimativas para o erro de dispersão. Estas estimativas são denotadas por Ee e Eε para os problemas primal e ajunto, respectivamente.

Primeiramente, a contribuição linear do erro Tabela 1 mostra os valores dos erros de referência relativos, isto é ρh = E ^ε/κ e _^Ee /κ. Note que, mesmo que os erros são maiores para κ = π as estimativas comportam-se de modo semelhante, fornecendo erros relativos similares. O erro de dispersão é uma importante fonte de erro para esse problema e está intimamente associado ao comportamento das representações η^ε e η^e . Na verdade, a representação utilizando a recuperação do erro adjunto, ε*, é ligeiramente melhor do que a representação utilizando a recuperação do erro primal e*. Assim, o erro de dispersão pode ser utilizado para escolher a representação do erro para obter a aproximação para a quantidade de interesse. = (eh)/(uH) e ρe = ηe/(ur) é analisada para uma malha uniforme refinada em uma série de malhas não-estruturadas para ambos os números de onda. A (uH), e suas estimativas correspondentes ρε = ηε/(uH), juntamente com as estimativas para o erro de dispersão relativo, =

Note também que aumentando o valor de κ não envolve uma deterioração das estimativas.De fato, os índices de efetividade melhoram. Na verdade, para a representação η^ε, o índice de efetividade ρ^e /ρ_h diminui de 0.58 a 0.40 para a primeira malha, e de 0.89 para 0.81 namalha final.

Tabela 1
Estimativas para o erro no termo linear e_h ) relativo à u_H ) e o erro de dispersão relativo para os problemas primal e adjunto em um conjunto de malhas refinadas uniformementes.((

É interessante notar que um comportamento similar é obtido para o problema com o contorno retangular e a quantidade de interesse J ₁(u_r ).

A Tabela 2 mostra as estimativas obtidas para a quantidade de interesse J ₁(u_r ), referente ao parâmetro κ = π /4, utilizando três malhas uniformemente refinadas para a geometria do contorno exterior retangular. Para ilustrar a influência dos diferentes termos que contribuem para o erro na quantidade de interesse, as contribuições linear e quadrática são mostradas separadamente. Observe que, o termo linear fornece uma boa aproximação para o erro total uma vez que o termo quadrático converge rapidamente para zero. Para todas as malhas o erro de dispersão é menor para o problema adjunto, o que faz com que a representação η^ε seja mais precisado que η^e .

Tabela 2
Estimativas para a quantidade de interesse não-linear J₁(u_r) para κ = π /4 e para seu erro, incluindo as contribuições linear e quadrática para a quantidade de interesse e os erros de dispersão para os problemas primal e adjunto.

		número de nós
	1065	4123	16212
J(uh )	3.3862e-2	4.2634e-2	4.734e-2
J(uH )	2.4265e-2	3.7859e-2	4.5476e-2
J(uH ) + ηε + Q(e *, e *)	2.6712e-2	3.9939e-2	4.6638e-2
J(uH ) + ηe + Q(e *, e *)	2.6622e-2	3.9867e-2	4.6588e-2
ηε	2.4350e-3	2.0785e-3	1.1621e-3
ηe	6.3456e-3	2.0068e-3	1.1117e-3
Q(e*, e*)	1.2202e-5	1.2984e-6	1.0155e-7
E ε	5.945e-3	1.4779e-3	3.5560e-4
Ee	8.7771e-3	3.9217e-3	1.5675e-3

A convergência das estimativas para um procedimento de refino uniforme e um adaptativo, usando a estratégia dada na equação 4.23, são mostrados na Figura 8. Note que, o refino adaptativo leva a uma redução mais rápida do erro e também observe que os indicadores locais, associados as estimativas, comportam-se adequadamente uma vez que as curvas de convergência das estimativas estão de acordo com as de referência. A curva associada a estimativa de referência η_h , para κ = π /4, o refino uniforme tem uma convergência de O(n_np )^2/3. Entretanto, para as estimativas η^ε e η^e , há um pequeno intervalo onde a solução está em um estágio pré-assintótico⁷. Observe que quando o número de onda κ é maior, por exemplo κ = π, o intervalo pré-assintótico também aumenta devido ao maior erro de dispersão.

Figura 8
Convergência do erro relativo para a quantidade de interesse J₁(u_r) para κ = π /4 (esquerda) e κ = π (direita), para processo de refino uniforme e adaptativo da solução de referência comparada com as soluções melhoradas, respectivamente.

A Figura 9 mostra as contribuições elementares locais de η^ε, para o erro na quantidade de interesse na malha inicial do problema com geometria retangular, referente ao dois númerosde onda κ = π /4 e κ = π. Além disso, uma malha intermediária e a malha final produzidas pelo processo adaptativo associado com esta estimativa são mostrados na Figura 10. Note que o procedimento adaptativo refina em torno do obstáculo mas também refina ao redor da faixa no contorno, onde é avaliada e calculada a quantidade de interesse da solução.

Figura 9
Mapas locais do erro para a contribuição ao termo linear à quantidade de interesse J₁(u_r) usando a representação η^ε para κ=π/4 (esquerda) e κ=π (direita).

Figura 10
Malhas intermediária e final adaptadas para o contorno exterior retangular. Para κ=π/4 (superior) com 3050 e 17916 nós e para κ=π (inferior) com 3842 e 23635 nós.

Finalmente, a Figura 11 mostra os elementos marcados para ser refinados para o problema com contorno circular no primeiro passo, e uma malha intermediária e a malha final produzidas pelo procedimento adaptativo associado à estimativa η^ε para o número de onda κ = π/4. Pode-se observar que as regiões refinadas em ambas as geometrias são muito semelhantes. Entretanto, uma vez que o domínio circular é um pouco maior, neste caso, o processo adaptativo refinou áreas não incluídas no domínio retangular.

Figura 11
Elementos destacados para serem refinados no primeiro passo da estratégia proposta (esquerda) e malhas intermediária (meio) e final (direita) adaptadas com 2790 e 14207 nós para o contorno exterior circular com κ=π/4.

6 CONCLUSÃO

Uma estratégia simples e eficaz de adaptatividade orientada por meta foi apresentada e aplicada ao benchmark test dado pelo problema de scattering de ondas de um radar. Duas diferentes representações para o erro nas quantidades de interesse foram estudadas. Também foi analisada e comprovada que a exatidão destas representações, que envolvem o pós-processo das aproximações de elementos finitos para os problemas primal e adjunto, está relacionada ao erro de dispersão dos problemas correspondentes.

O processo adaptativo foi aplicado para duas quantidades de interesse não-lineares. Em ambos os casos, os indicadores locais que guiam a adaptatividade são obtidos a partir das aproximações linearizadas da quantidade de interesse. A parte linear da quantidade de interesse é o termo predominante, visto que as contribuições de ordem superior convergem mais rápido a zero.

Através da análise desenvolvida aqui e dos resultados numéricos obtidos, comprova-se que as estimativas de erro fornecem boas aproximações ao erro real e apresentam uma taxa de convergência adequada. Além disso, a técnica de refino adaptativo proposta conduz a uma redução mais rápida do erro.

REFERÊNCIAS

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  Jan-Apr 2016

Histórico

• Recebido
  22 Maio 2014
• Aceito
  12 Jan 2016