RESUMO
Nesse artigo a equação de Laplace foi utilizada para representar uma distribuição de temperaturas estacionárias no primeiro quadrante no plano cartesiano com diferentes condições de fronteira, tendo sido examinada com detalhes, a luz da transformada de Fourier em seno e cosseno. Após obter a solução formal para cada exemplo, foi possível, usando as equações de Cauchy-Riemann obter cada campo de escoamento de calor. Em um dos exemplos analisados, o campo de velocidade do escoamento tem a forma de um vórtice livre com centro na origem, e desse modo, foi estabelecida uma relação adimensional entre a magnitude do vórtice e a condição de Dirichlet imposta na fronteira. Um exemplo, em particular, foi incluído para mostrar a limitação do uso do método utilizado nesse estudo para a obtenção de soluções explícitas para a equação de Laplace.
Palavras-chave:
Equação de Laplace; isotermas; distribuição de temperatura; intensidade do vórtice livre
ABSTRACT
In this paper the Laplace equation was used to represent a distribution of stationary temperatures in the first quadrant in the Cartesian plane with different boundary conditions, having been examined in detail, the light of the sine and cosine Fourier transform. After obtaining the formal solution for each example, it was possible, using the Cauchy-Riemann equations to obtain each field of heat flow. In one of the examples analyzed, the velocity field of the flow is in the form of a free vortex with center at the origin, and an dimensionless relationship between the vortex magnitude and the Dirichlet condition imposed at the boundary has been established. An example, in particular, was included to show the limitation of the this method to obtain explicit solutions for the Laplace equation
Keywords:
Laplace Equation; isotherms; flow line; temperature distribution; intensity of free vortex
1 INTRODUÇÃO
Segundo Debnath e Bhatta 1010 L. Debnath & D. Bhatta. “Integral transforms and their applications”. A Chapman & Hall Book, 3 ed. (2015), 700 pp., a transformada de Fourier em seno e cosseno constituem um método operacional eficiente para resolver algumas equações diferenciais parciais que aparecem notadamente em estudos avançados e na pesquisa, como por exemplo, a equação de Laplace que em sua versão bidimensional 77 R.V. Churchill. “Fourier series and boundary value problems”. McGraw-Hill Kogakusha, LTD, 2 ed. (1963). é dada por
Entre outras aplicações, a equação de Laplace pode ser usada na análise dos campos eletrostáticos, onde a função potencial elétrico em um meio dielétrico, sem cargas elétricas, obedece à equação (1.1) de acordo com as dimensões espaciais 33 W.E. Boyce & R.C. DiPrima. “Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno”. LTC, Rio de Janeiro, 6 ed. (1999).. Em um escoamento bidimensional incompressível e irrotacional de um campo de velocidades de um fluido, a função de corrente e de potencial do campo satisfazem a equação de Laplace 1111 R. Fox, P.J. Pritchard & A.T. Mcdonald. “Introdução à mecânica dos fluidos”. LTC, Rio de Janeiro, 3 ed. (2011).. Entre os métodos disponíveis para lidar com a equação de Laplace em um quarto do plano, a transformada de Fourier em seno e cosseno são vantajosas, pois reduzem a equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem. Já para resolver a equação de Laplace no plano xy, onde x ou y é finito o método de sepação de variáveis pode ser adotado como foi utilizado por Iório 1212 V. Iório. “EDP Um Curso de Graduação. Coleção Matemática Universitária”. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPQ (1991). ou ainda, usando a série de Fourier dupla como pode ser visto em Carslaw e Jaeger 55 H.S. Carslaw & J.C. Jaeger. “Conduction of Heat in Solids”. Clarendon Press-Oxford, 2 ed. (2011).. Castro 66 A.S. Castro. Estados ligados em um potencial delta duplo via transformadas seno e cosseno de Fourier. Revista Brasileira de Ensino de Física, 36(2) (2014), 1-5. usou as transformadas de Fourier em seno e cosseno para estudar um potencial delta duplo com base na equação de Schrödinger. Também Negero 1313 N.T. Negero. Fourier transform methods for partial differential equations. International Journal of Partial Differential Equations and Applications, 2(3) (2014), 44-57. utilizou a transformada de Fourier em seno para obter a solução formal da equação de Laplace em um meio plano, entre outros exemplos de interesse analisados no referido estudo.
Debnath e Bhatta 1010 L. Debnath & D. Bhatta. “Integral transforms and their applications”. A Chapman & Hall Book, 3 ed. (2015), 700 pp. adotaram esse método para resolver a equação de Laplace em um quarto de plano com condições de fronteira constante usando a transformada de Fourier em seno. Uma descrição detalhada da aplicação da transformada de Fourier em seno e cosseno para equações diferenciais parciais, incluindo a equação de Laplace, é apresentada por Trim 1414 D.W. Trim. “Applied Partial Differential Equations”. PWS-KENT, Boston, MA (1990).. Entretanto, são poucos os trabalhos e livros que relacionam a solução dessa equação com o campo de escoamento de calor como fazem Brown e Churchill 44 K.W. Brown & R.V. Churchill. “Variáveis Complexas e Aplicações”. McGraw Hill Education, 9 ed. (2015).. Nesse sentido, o foco principal desse artigo é resolver com detalhes a equação de Laplace na representação de distribuição de temperaturas em uma placa homogênea delgada bidimensional com diferentes condições de fronteiras do tipo Dirichlet e Neumann usando a transformada de Fourier em seno e cosseno, de modo a relacionar cada solução da equação, com a sua harmônica conjugada para obter informações sobre o campo de velocidade de cada escoamento de calor analisado. Um dos exemplos tem o escoamento de calor na forma de um vórtice livre, e desse modo, uma relação adimensional pode ser estabelecida entre a magnitude do vórtice e a condição de Dirichlet sobre a fronteira.
Observação: Um vórtice irrotacional é um escoamento giratório, onde as linhas de corrente apresentam um padrão circular ou espiral e vão se distanciando à medida em que se afastam do centro.
2 MÉTODOS
Nesta seção são apresentadas as equações de Cauchy-Riemann e o teorema da convolução da transformada de Fourier em cosseno. No apêndice APÊNDICE Neste apêndice são apresentadas a transformada de Fourier em seno e cosseno e duas de suas propriedades, bem como o teorema de Cauchy. Teorema A.2. Seja f (x) uma função que é seccionalmente contínua sobre todo o intervalo finito no eixo x e que nos pontos de descontinuidade, x o , é definida como 12fxo++fxo-) e que seja absolutamente integrável. Então em todo ponto x onde f (x) é derivável, a função f (x) é representada pela fórmula integral de Fourier (4), para todo x real, f x = 1 π ∫ 0 ∞ ∫ - ∞ ∞ f ξ cos α ξ - x d ξ d α . (A.1) Usando a identidade trigonométrica relativa ao cos(αξ-αx)=cos(αξ)cos(αx)+sen(αξ)sen(αx) a equação (A.1) pode ser reescrita como f x = ∫ 0 ∞ A α cos α x + B α s e n α x d α , (A.2) onde A α = 1 π ∫ - ∞ ∞ f ξ cos α ξ d ξ (A.3) e B α = 1 π ∫ - ∞ ∞ f ξ s e n α ξ d ξ . (A.4) Suponhamos que f(x) é uma função ímpar. Daí, f(ξ)cos(αξ) é uma função ímpar e, portanto Aα=0, enquanto f(ξ)sen(αξ) é uma função par, então B α = 2 π ∫ 0 ∞ f ξ s e n α ξ d ξ . (A.5) Das equações (A.2) e (A.5) a expressão de f(x) em termos dos coeficientes de Fourier B(α) em senos é dada por f x = 2 π ∫ 0 ∞ s e n α x ∫ 0 ∞ f ξ s e n α ξ d ξ d α . (A.6) Considerando f(x) com as hipóteses do Teorema A.2 e pela equação (A.6) a transformada de Fourier em seno, F s (x), da função f(x) é dada por F s α = ∫ 0 ∞ f ξ s e n α ξ d α . (A.7) Enquanto sua fórmula de inversão, F-1Fsα=fx é dada utilizando as equações (A.6) e (A.7) por f x = 2 π ∫ 0 ∞ F s α s e n α x d α . (A.8) Note que a equação (A.6) é a representação integral de Fourier em seno de f(x). Tal tipo de equação é denominado equação integral singular por tratar-se de uma integral imprópria (4). Pode-se observar, que pelo menos teoricamente, a função incógnita dessa equação pode ser calculada pela equação (A.7). A seguir, será dado um lema que, sob certas condições, condições estas, diga-se de passagem, plausíveis em aplicações físicas, permite que essa função incógnita seja calculada por meio de uma equação algébrica, em vez do uso direto da equação (A.7). Lema A.1. Sejam f e g funções integráveis. A transformada de Fourier em seno é linear, isto é, F s a f x + b g x = a F s f x + b F s g x , (A.9) onde a e b são duas constantes reais arbitrárias. Lema A.2. Suponhamos que f , f' e f'' são funções contínuas para x ≥ 0 e que f ; f' tendem a zero, quando x tende ao infinito. Se, além disso, f é absolutamente integrável, isto é, ∫ 0 ∞ f x d x < ∞ , então F s f ' ' α = - α 2 F s α + α f 0 , (A.10) onde o simbolo F s { f}(a) tem o mesmo sentido de F s (a). , são definidas as transformadas de Fourier em seno e cosseno.
2.1 Harmônicas Conjugadas
Diz-se que as funções reais u(x, y) e v(x, y) são funções harmônicas em um domínio D se ambas tem derivadas parciais contínuas de primeira e segunda ordem em D e satisfazem a equação de Laplace dada pela equação (1.1). Além disso, se suas derivadas de primeira ordem satisfazem as equações de Cauchy-Riemann 44 K.W. Brown & R.V. Churchill. “Variáveis Complexas e Aplicações”. McGraw Hill Education, 9 ed. (2015)., isto é,
então v(x, y) é uma conjugada harmônica da função u(x, y).
A função potencial complexa do escoamento é dada por , onde o conjugado da função , nos dá o campo de velocidade (Brown e Churchill 44 K.W. Brown & R.V. Churchill. “Variáveis Complexas e Aplicações”. McGraw Hill Education, 9 ed. (2015).)
Teorema 2.1. (Teorema da Convolução) Se , onde denotam as transformadas de Fourier inversa em cosseno respectivamente de F e G, então
desde que f (x) e g(x) sejam funções pares quando estendidas a 14 14 D.W. Trim. “Applied Partial Differential Equations”. PWS-KENT, Boston, MA (1990). .
3 EXEMPLOS
Nos exemplos a seguir, a equação (1.1) é usada para a representação de distribuição de temperaturas, u(x, y) em regime estacionário como uma placa bidimensional delgada Ω, onde . Estamos supondo que a placa encontra-se em isolamento térmico na direção do eixo z. Desse modo, não há presença de fontes ou poços 44 K.W. Brown & R.V. Churchill. “Variáveis Complexas e Aplicações”. McGraw Hill Education, 9 ed. (2015).. Além disso, são admitidas as seguintes condições suplementares: quando > ou quando .
Exemplo 1:
Vamos admitir a equação (1.1) com as condições de fronteira dadas por
As condições dadas pelas equações (3.1), ( 3.2) são chamadas condições de Dirichlet. De modo a facilitar a obtenção da solução para o problema proposto, usaremos o princípio de superposição de soluções de equações diferenciais parciais lineares (EDP) para expressar u(x, y) como a soma de duas funções u 1(x, y) e u 2(x, y) satisfazendo respectivamente as equações:
e
Aplicando a transformada de Fourier em seno, F s na variável y na equação (3.3) e usando a linearidade da mesma tem-se
onde
Das equações (3.4) e (3.9) temos que para cada fixado, uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem homogênea na variável x dada por
A solução da equação (3.10) pode ser resolvida usando métodos conhecidos 33 W.E. Boyce & R.C. DiPrima. “Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno”. LTC, Rio de Janeiro, 6 ed. (1999).), (11 J.C. Araújo, R.G. Márquez & Y.A.R. Huaroto. “Equações diferencias ordinárias: teoria básica e aplicações com o uso do Maple”. Ed. Clube de Autores, Joinville (2016). obtendo assim,
onde c 1 e c 2 são duas constantes arbitrárias. Para que U 1(x, ξ) permaneça limitada quando devemos fazer . Logo a equação (3.11) pode ser escrita como
onde c 1 pode ser obtido aplicando F s na equação (3.5), isto é,
Das equações (3.12) e (3.13) resulta
Aplicando a transformada inversa de Fourier em seno, com relação à variável y na equação (3.14) tem-se
Procedendo de modo análogo para as equações (3.6), (3.7) e (3.8) aplicamos {F s} na variável x na equação (3.6) para obter
onde
Das equações (3.8) e (3.16) temos que para cada fixado, uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem homogênea na variável y é dada por
A solução geral da equação (3.17) tem a forma,
onde d 1 e d 2 são constantes arbitrárias.
Novamente, para que U 2(ξ, y) permaneça limitada quando devemos considerar . Logo a equação (3.18) pode ser escrita como
onde d 1 pode ser obtido aplicando F s na equação (3.7), isto é,
Das equações (3.19) e (3.20) obtem-se
Aplicando a transformada inversa de Fourier em seno, na equação (3.21) tem-se
Das equações (3.15) e (3.22) resulta a solução formal u(x, y) do exemplo (1) dada por
A seguir, veremos dois casos particulares do exemplo 1 em que a equação (3.23) pode ser efetivamente calculada.
Caso 1: Vamos supor que as condições de temperaturas na fronteira Ω são dadas por
onde a e b são duas constantes reais positivas; . Para determinar a solução da equação de Laplace com as condições dadas no caso (1), necessitamos da transformada de Fourier em seno da função constante, que não é apresentada na literatura, como por por exemplo em 55 H.S. Carslaw & J.C. Jaeger. “Conduction of Heat in Solids”. Clarendon Press-Oxford, 2 ed. (2011).), (88 R.V. Churchill. “Operational mathematics”. McGraw-Hill, New York, 3 ed. (1972), 337 pp.), (99 J. Crank. “The mathematics of diffusion”. Clarendon Press, Oxford, second ed. (2011), 414 pp.), (1010 L. Debnath & D. Bhatta. “Integral transforms and their applications”. A Chapman & Hall Book, 3 ed. (2015), 700 pp. e 1414 D.W. Trim. “Applied Partial Differential Equations”. PWS-KENT, Boston, MA (1990).. Vamos provar que
onde c é uma constante real. De fato,
A integral imprópria pode ser vista em 22 J.C. Araújo & R.G. Márquez. Transformadas de Fourier em seno e cosseno: aplicações no cálculo integral e na equação de Laplace. Revista Eletrônica Paulista de Matemática, 11, 136-154..
Das equações (3.23) e (3.25) tem-se
Segundo Churchill (Tabela D.1) 88 R.V. Churchill. “Operational mathematics”. McGraw-Hill, New York, 3 ed. (1972), 337 pp.
Usando a linearidade da transformada inversa de Fourier F -1 em seno, e das equações (3.25) e (3.28) obtemos
Assim,
e
Das equações (3.27), (3.30) e (3.31) tem-se
ou ainda, usando a identidade trigonométrica resulta
A equação (3.33) é verificável, isto é, satisfaz a equação de Laplace na região Ω e as condições de fronteira dadas em (3.24).
Fazendo na equação (3.33) a solução obtida coincide com a da equação de Laplace em um quarto de plano proposto por Debnath e Bhatta 1010 L. Debnath & D. Bhatta. “Integral transforms and their applications”. A Chapman & Hall Book, 3 ed. (2015), 700 pp. com as condições .
Das equações de Cauchy-Riemann tem-se que a harmônica conjugada v(x, y) da função u(x, y) é dada por
A função potencial complexa do escoamento 44 K.W. Brown & R.V. Churchill. “Variáveis Complexas e Aplicações”. McGraw Hill Education, 9 ed. (2015). é dada por , onde u(x, y) e v(x, y) são dados respectivamente pelas equações (3.33) e (3.34). Desde que o conjugado de dá o campo de velocidade do escoamento resulta que
onde , portanto o campo de escoamento é conservativo, logo irrotacional. A velocidade escalar do campo do escoamento de calor é obtida da eq (3.35) por
Da equação (3.36) tem-se que velocidade de escoamento é infinita próxima a origem. As curvas , sendo c 1 uma constante positiva são denominadas isotermas de temperaturas 44 K.W. Brown & R.V. Churchill. “Variáveis Complexas e Aplicações”. McGraw Hill Education, 9 ed. (2015).. Essas isotermas são lineares. De fato, da eq (3.33) tem-se , onde e . Já as curvas , sendo c 2 uma constante positiva, são denominadas linhas de corrente ou linhas de escoamento de calor. Essas linhas de escoamento são arcos de circunferências concêntricas na origem no primeiro quadrante. De fato, da equação (3.34) tem-se onde . Como as linhas de escoamento são circulares, forma-se um vórtice irrotacional 1111 R. Fox, P.J. Pritchard & A.T. Mcdonald. “Introdução à mecânica dos fluidos”. LTC, Rio de Janeiro, 3 ed. (2011).. Logo, as partículas fluidas de calor não giram durante o escoamento. Pode-se estabelecer uma relação adimensional entre K, a intensidade do vórtice com os parâmetros de temperaturas a e b. Para esse tipo de vórtice a função de corrente v(x, y) é dada (Fox 1111 R. Fox, P.J. Pritchard & A.T. Mcdonald. “Introdução à mecânica dos fluidos”. LTC, Rio de Janeiro, 3 ed. (2011).) por
ou
Das equações (3.34) e (3.36) tem-se a relação (adimensional)
Se , o campo é no sentido horário e caso contrário o campo gira no sentido anti-horário. A Fig. 1 mostra o perfil de isotermas de temperaturas e das linhas de escoamento em uma sub-região próximo à origem para o caso e . A Fig. 2 mostra o campo de velocidade em uma sub-região próxima a origem.
Caso 2: Vamos supor que as condições de temperaturas na fronteira Ω são dadas por
A transformada de Fourier em seno, aplicada nas condições dadas por (3.41) resulta nas equações
onde F s (ξ) é obtida da tabela apresentada por Churchill88 R.V. Churchill. “Operational mathematics”. McGraw-Hill, New York, 3 ed. (1972), 337 pp. Das equações (3.23) e (3.42) tem-se a solução na forma
A primeira integral da eq (3.43) pode ser calculada diretamente da equação (3.30) para obter
enquanto a segunda integral pode ser obtida a partir da fórmula proposta por Churchill 77 R.V. Churchill. “Fourier series and boundary value problems”. McGraw-Hill Kogakusha, LTD, 2 ed. (1963). do seguinte modo
Das equações (3.43), (3.44) e (3.45) tem-se a solução para o problema com as condições caso 2 dada por
A equação (3.46) é verificável, isto é, satisfaz a equação de Laplace em Ω e as condições de fronteira estabelecidas na equação (3.41).
Das equações de Cauchy-Riemann tem-se que a harmônica conjugada da função u(x,y) é dada por
Do conjugado de tem-se o campo de velocidade do escoamento dado por
onde . A velocidade escalar do campo do escoamento de calor é obtida da eq (3.48) por
onde
As isotermas de temperaturas , são dadas implicitamente por
enquanto as linhas de escoamento , são também dadas implicitamente na forma
Em particular, se , da equação (3.51) as isotermas são circunferências dadas pela equação
com centro sobre o eixo x dado por e raio . Analogamente usando a eq (3.52) as linhas de escoamento são circunferências dadas pela equação
com centro sobre o eixo y dado por e raio .
A Fig.(3) mostra o perfil de isotermas de temperaturas e das linhas de escoamento em uma sub-região Ω próximo à origem para o caso e do caso 2. A Fig.(4) mostra o campo de velocidade em uma sub-região próxima a origem.
Caso 3: Vamos supor que as condições de temperaturas na fronteira de Ω (1.1) e (2.1) são dadas por
A transformada de Fourier em seno, aplicada nas condições dadas por (3.55) resulta nas equações
Das equações (3.23) e (3.56) tem-se a solução na forma
As integrais da equação (3.57) podem ser calculadas diretamente da equação (3.45) para obter
A equação (3.58) é verificável, isto é, satisfaz a equação de Laplace em Ω e as condições de fronteira estabelecidas em (3.55). Das equações de Cauchy-Riemann, tem-se que a harmônica conjugada v(x,y) da função u(x,y) é dada por
Como o conjugado da função nos dá o campo de velocidade do escoamento , resulta que
onde
As isotermas de temperaturas, são circunferências da forma
com centro e raio .
Assim, para cada constante, é associada uma isoterma circular. As linhas de escoamento, , com constante são também circunferências dadas por
com centro e raio .
A Fig.(5) mostra o perfil de isotermas de temperaturas e das linhas de escoamento em uma sub-região Ω próximo à origem, considerando e do caso 3. A Fig.(6) mostra o campo de velocidade em uma sub-região próxima à origem utilizando esses parâmetros.
Exemplo 2:
Nesse exemplo consideramos a equação de Laplace (1.1), com as condições de fronteiras do tipo Neumann e Dirichlet dadas por
Essas condições constituem um caso particular de um problema mais geral proposto por Trim 1414 D.W. Trim. “Applied Partial Differential Equations”. PWS-KENT, Boston, MA (1990).. É interessante notar que se forem adotadas as condições
as soluções são as mesmas. Aplicando a transformada de Fourier em cosseno na variável y na equação de Laplace resulta a equação diferencial ordinária na variável x dada por
onde, . Desde que obtemos
cuja a solução geral é dada por
Para que U(ξ, y) permaneça limitada quando devemos fazer . Logo a equação (3.68) pode ser escrita como
Desde que , a equação (3.69) pode ser escrita na forma
ou ainda como
onde . Segundo Churchill 77 R.V. Churchill. “Fourier series and boundary value problems”. McGraw-Hill Kogakusha, LTD, 2 ed. (1963).
Logo,
onde
Aplicando o teorema da convolução para F c na equação (3.71) obtemos
Das equações (3.74) e (3.75) tem-se a solução formal da equação de Laplace com as condições dadas em (3.64) por
Dependendo da função g(ξ), a solução dada pela equação (3.75) é verificável. A integral imprópria do termo em colchetes da equação (3.76) pode ser obtida por antiderivação em um intervalo finito, portanto se g(ξ) for constante nesse intervalo e zero fora dele, como uma função Heaviside, soluções explicitas da equação (3.76) são obtidas. Esse artifício foi utilizado por Churchill 77 R.V. Churchill. “Fourier series and boundary value problems”. McGraw-Hill Kogakusha, LTD, 2 ed. (1963). para resolver a equação de Laplace representando uma distribuição de temperaturas estacionárias em um quadrante usando as condições dadas pela equação (3.65). Vamos admitir que a condição de Dirichlet da equação (3.64) seja dada na forma
onde a é uma constante real positiva. Das equações (3.76) e (3.77) tem-se
A equação (3.78) resolvida dá a solução verificável
Da equação (3.79) obtemos
e
Das equações (3.80) e (3.81) e das equações de Cauchy-Riemann temos a função de escoamento dada por
Do conjugado de tem-se o campo de velocidade do escoamento dado por
A velocidade escalar do campo do escoamento de calor é obtida das equação (3.80) e (3.81) por
As isotermas de temperaturas, são circunferências com centro no eixo x de coordenadas e raio , onde , com .
De fato, aplicando a tangente na equação (3.79) e igualando à constante c 1 tem-se as equações das isotermas dadas por
As linhas de escoamento, , com c 2 constante são também circunferências dadas por
com centro no eixo y dado por (0, k 2) e raio , onde e . A Fig.(7) mostra o perfil de isotermas de temperaturas e das linhas de escoamento em uma sub-região próximo à origem para o caso , e do exemplo 2. A Fig.(8) mostra o campo de velocidade em uma sub-região próxima a origem do exemplo 2.
Exemplo 3:
Nesse exemplo, o domínio da região Ω onde a equação de Laplace (1.1) foi alterado e a fronteira têm as condições de Dirichlet dadas por
onde a é uma constante positiva. Além disso, . Essa aplicação é baseada no exemplo dado por Debnath e Bhatta, onde eles consideram 1010 L. Debnath & D. Bhatta. “Integral transforms and their applications”. A Chapman & Hall Book, 3 ed. (2015), 700 pp.. Nosso objetivo foi mostrar a limitação do uso da transformada de Fourier em seno para regiões do plano, onde uma das extensões x ou y é finita. Aplicando a transformada de Fourier em seno, F s com respeito a variável x na equação (1.1) obtemos a equação diferencial linear ordinária homogênea de segunda ordem na variável y para cada fixado dada por
Com as condições de Dirichlet dadas por
e
A solução geral da equação (3.88) tem a forma
Das equações (3.89) e (3.91) resulta
ou ainda,
Desde que , a equação (3.93) pode ser posta na forma
Aplicando a transformada inversa de Fourier em seno na variável x, na equação (3.94) tem-se a solução formal dada por
A equação (3.95), apesar da simplificação obtida por meio da condição , não pode ser explicitamente calculada da integral imprópria. Entretanto, para grandes valores de L pode ser considerada a seguinte solução explícita,
Quando L tende ao infinito na equação (3.95) tem-se
Assim, para grandes valores de L podemos escrever de modo aproximado que
A equação (3.98) satisfaz a equação de Laplace e as condições de fronteira dadas pela equação (3.87). No limite o problema dado seria um caso particular do caso 2 fazendo .
4 CONCLUSÕES
Alguns exemplos de distribuição de temperaturas em regime estacionário em uma placa homogênea delgada bidimensional paralela ao plano xy na região do primeiro quadrante representados pela equação de Laplace e com condições de Dirichlet e Neumann foram resolvidos utilizando a transformada de Fourier em seno e cosseno. A obtenção de cada solução analítica tornou possível o cálculo da respectiva harmônica conjugada. Essas funções foram então combinadas para obter o campo de velocidade de cada escoamento de calor, as isotermas de temperaturas e as linhas de escoamento. Foi obtida uma relação adimensional entre a magnitude do vórtice livre do escoamento e a condição de Dirichlet especificada na fronteira de calor em um dos exemplos analisados. Um exemplo, em particular, foi incluído para mostrar a limitação do uso do método utilizado nesse estudo para a obtenção de soluções explícitas para a equação de Laplace.
REFERÊNCIAS
-
1J.C. Araújo, R.G. Márquez & Y.A.R. Huaroto. “Equações diferencias ordinárias: teoria básica e aplicações com o uso do Maple”. Ed. Clube de Autores, Joinville (2016).
-
2J.C. Araújo & R.G. Márquez. Transformadas de Fourier em seno e cosseno: aplicações no cálculo integral e na equação de Laplace. Revista Eletrônica Paulista de Matemática, 11, 136-154.
-
3W.E. Boyce & R.C. DiPrima. “Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno”. LTC, Rio de Janeiro, 6 ed. (1999).
-
4K.W. Brown & R.V. Churchill. “Variáveis Complexas e Aplicações”. McGraw Hill Education, 9 ed. (2015).
-
5H.S. Carslaw & J.C. Jaeger. “Conduction of Heat in Solids”. Clarendon Press-Oxford, 2 ed. (2011).
-
6A.S. Castro. Estados ligados em um potencial delta duplo via transformadas seno e cosseno de Fourier. Revista Brasileira de Ensino de Física, 36(2) (2014), 1-5.
-
7R.V. Churchill. “Fourier series and boundary value problems”. McGraw-Hill Kogakusha, LTD, 2 ed. (1963).
-
8R.V. Churchill. “Operational mathematics”. McGraw-Hill, New York, 3 ed. (1972), 337 pp.
-
9J. Crank. “The mathematics of diffusion”. Clarendon Press, Oxford, second ed. (2011), 414 pp.
-
10L. Debnath & D. Bhatta. “Integral transforms and their applications”. A Chapman & Hall Book, 3 ed. (2015), 700 pp.
-
11R. Fox, P.J. Pritchard & A.T. Mcdonald. “Introdução à mecânica dos fluidos”. LTC, Rio de Janeiro, 3 ed. (2011).
-
12V. Iório. “EDP Um Curso de Graduação. Coleção Matemática Universitária”. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPQ (1991).
-
13N.T. Negero. Fourier transform methods for partial differential equations. International Journal of Partial Differential Equations and Applications, 2(3) (2014), 44-57.
-
14D.W. Trim. “Applied Partial Differential Equations”. PWS-KENT, Boston, MA (1990).
APÊNDICE
Neste apêndice são apresentadas a transformada de Fourier em seno e cosseno e duas de suas propriedades, bem como o teorema de Cauchy.
Teorema A.2. Seja f (x) uma função que é seccionalmente contínua sobre todo o intervalo finito no eixo x e que nos pontos de descontinuidade, x o , é definida como ) e que seja absolutamente integrável. Então em todo ponto x onde f (x) é derivável, a função f (x) é representada pela fórmula integral de Fourier (4), para todo x real,
Usando a identidade trigonométrica relativa ao a equação (A.1) pode ser reescrita como
onde
e
Suponhamos que f(x) é uma função ímpar. Daí, f(ξ)cos(αξ) é uma função ímpar e, portanto , enquanto f(ξ)sen(αξ) é uma função par, então
Das equações (A.2) e (A.5) a expressão de f(x) em termos dos coeficientes de Fourier B(α) em senos é dada por
Considerando f(x) com as hipóteses do Teorema A.2 e pela equação (A.6) a transformada de Fourier em seno, F s (x), da função f(x) é dada por
Enquanto sua fórmula de inversão, é dada utilizando as equações (A.6) e (A.7) por
Note que a equação (A.6) é a representação integral de Fourier em seno de f(x). Tal tipo de equação é denominado equação integral singular por tratar-se de uma integral imprópria (4). Pode-se observar, que pelo menos teoricamente, a função incógnita dessa equação pode ser calculada pela equação (A.7). A seguir, será dado um lema que, sob certas condições, condições estas, diga-se de passagem, plausíveis em aplicações físicas, permite que essa função incógnita seja calculada por meio de uma equação algébrica, em vez do uso direto da equação (A.7).
Lema A.1. Sejam f e g funções integráveis. A transformada de Fourier em seno é linear, isto é,
onde a e b são duas constantes reais arbitrárias.
Lema A.2. Suponhamos que f , f' e f'' são funções contínuas para e que f ; f' tendem a zero, quando x tende ao infinito. Se, além disso, f é absolutamente integrável, isto é, , então
onde o simbolo F s { f}(a) tem o mesmo sentido de F s (a).
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
10 Jun 2019 -
Data do Fascículo
Jan-Apr 2019
Histórico
-
Recebido
02 Abr 2018 -
Aceito
25 Out 2018