Resumo em Português:

Resumo O artigo analisa como a escola e, em particular, a matemática escolar, operavam como parte dos processos de subjetivação de escolares descendentes de imigrantes alemães do Rio Grande do Sul (RS), no período da Campanha de Nacionalização. De modo específico, discute os rituais da matemática escolar nos quais a tática da manifestação da verdade operava, examinando as práticas matemáticas presentes nesses rituais, quais conhecimentos matemáticos eram ali transmitidos e como esses eram ensinados. As ferramentas teóricas utilizadas no estudo são vinculadas às teorizações de Michel Foucault. O material de pesquisa consiste em narrativas de sete pessoas que estudaram naquele contexto e período. O exercício analítico identificou dois rituais da matemática escolar que operavam sobre os indivíduos. Sua análise possibilitou concluir que, por se considerarem indivíduos superiores, os alunos sentiam-se impelidos a serem bons em matemática, isto é, assumia-se como verdade que eles eram, efetivamente, superiores, e utilizavam-se os rituais da matemática escolar para reforçar essa manifestação.

Resumo em Inglês:

Abstract The paper analyzes how school and, in particular, school mathematics, worked as part of subjectivation processes for schoolchildren of German-immigrant descendants in Rio Grande do Sul (RS) during the Nationalization Campaign period. Specifically, it discusses the rituals of school mathematics in which the manifestation of truth tactic operated, examining the mathematical practices present in these rituals, which mathematical knowledge was transmitted then and how it was taught. The theoretical tools used in the study are linked to Michel Foucault’s theorizations. The research material consists of seven people narratives, who studied in that context and period. The analytical exercise identified two rituals for school mathematics which worked on the individuals. Their analysis made it possible to conclude that, because the schoolchildren considered themselves superior individuals, they felt driven to be good at mathematics, that is, it was assumed as true that they were indeed superior and rituals of school mathematics were used to reinforce this manifestation.

Resumo em Português:

Resumo O artigo apresenta, um a um, os cinco manuscritos que compõem o que se pode chamar da Aritmética Elementar de Charles Sanders Peirce, quais sejam, aqueles chamados: Aritmética Elementar de Lydia Peirce, Aritmética Elementar (com sugestões para professores), Aritmética Elementar de Peirce (Sobre o Método Psicológico), Aritmética Elementar de C. S. Peirce e suas principais características, e Aritmética Prática. Traz, também, algumas considerações acerca da primeira tradução desses textos para a língua portuguesa e de alguns aspectos da trajetória dos escritos de Peirce, publicados ou não, até que projetos específicos de sistematização e publicação fossem criados. Assim, este texto trata de arrematar uma hermenêutica inicial já iniciada em outros textos dos mesmos autores.

Resumo em Inglês:

Abstract This paper aims to present the five manuscripts of the so-called Peirce’s Primary Arithmetics (Lydia Peirce’s Primary Arithmetic; Primary Arithmetic (with suggestions to teachers); Peirce’s Primary Arithmetic upon the psychological method; C.S.Peirce’s Vulgar Arithmetic: its main features, and Practical Arithmetic) and to sketch some remarks on the process of translating such manuscripts to Portuguese. This article is the last study related to some initial and brief hermeneutics already started in the other articles published by the same authors.

Resumo em Espanhol:

Resumen La historia de la Investigación Operacional se inserta en la historia de los grandes acontecimientos tecnológicos y científicos del siglo XX, y hacer una reconstrucción histórica de su surgimiento y evolución, objetivo de este artículo, es una manera de entender, además del desarrollo de la matemática aplicada, la movilización de la ciencia durante la Segunda Guerra Mundial y los contextos social y político que la originaron. Otra vertiente de esa historia es su influencia en el surgimiento de otras ciencias y aplicaciones, cuyos desdoblamientos durante la posguerra contribuyeron al aumento de la racionalización de la sociedad moderna. El objetivo de la investigación no es detallar sus técnicas, sino entender sus orígenes y desarrollo, cuyo éxito es atribuido a la práctica interdisciplinar. Los resultados de la investigación posibilitan la discusión de temas tales como la interdisciplinariedad; interacciones entre resolución de problemas prácticos e investigación; valorización de la matematización y globalización de procedimientos y métodos; modelado matemático y, por fin, cómo el conocimiento científico puede ser moldeado por los intereses políticos y sociales.

Resumo em Inglês:

Abstract The history of Operational Research is part of the history of great technological and scientific developments of the twentieth century and make a historical reconstruction of its emergence and evolution, objective of this paper, as one way to further understand the development of applied mathematics, the mobilization of science during the Second World War, and the social and political contexts from which it was originated. Another aspect of this history is its influence on the development of other sciences and applications, which split the post-war period and contributed to the increased rationalization of modern society. The purpose of this research is not detailing its technique, but understanding its origins and development, which success is attributed to the interdisciplinary practice. The results of the research made it possible to discuss topics such as interdisciplinarity; interactions between practical problem solving and research; appreciation of mathematization and globalization of procedures and methods; mathematical modeling and, finally, how scientific knowledge can be shaped by political and social interests.

Resumo em Português:

Resumo O objetivo deste artigo é discorrer sobre duas ações de formação continuada e como elas se constituíram em ambientes colaborativos de aprendizagem. Tais ações focalizaram a realização de atividades experimentais como software GeoGebra, nas quais participaram pesquisadores e professores de Matemática da Educação Básica. Ademais, alguns dados empíricos são apresentados e discutidos aqui, com a finalidade de elucidarmos as discussões acerca de duas dessas atividades. Tais ações de formação continuada compõem o cenário de investigação de uma pesquisa de doutorado de cunho qualitativo, que está em desenvolvimento, vinculada a um projeto temático de grande envergadura que vem sendo realizado dentro do Grupo de Pesquisa em Informática, outras Mídias e Educação Matemática (GPIMEM). Uma das ações aconteceu na cidade de Bauru/SP e a outra na cidade de Coimbra, em Portugal. As atividades abordadas nessas ações, assim como nas demais desenvolvidas em outros projetos de pesquisa do grupo, de modo geral, tem um enfoque teórico-metodológico de natureza experimental. Conclui-se que os professores, ao mesmo tempo em que realizaram tais atividades e opinaram acerca de outros conteúdos matemáticos que poderiam ter sido contemplados nelas, estudaram as funcionalidades do software, tecendo críticas às abordagens propostas, culminando em sugestões de adaptações, tornando-as viáveis para serem aplicadas em suas respectivas salas de aula. Por fim, evidencia-se que a participação em tais ações lhes possibilitou vislumbrar maneiras para se constituir ambientes colaborativos de aprendizagem também em seus respectivos contextos de trabalho.

Resumo em Inglês:

Abstract The aim of this article is to discuss two actions of continuing education, and how they constituted themselves in collaborative learning environments. These actions focused on the accomplishment of experimental activities with the GeoGebra software, in which researchers and teachers of Basic Education Mathematics participated. In addition, some empirical data are presented and discussed here, in order to elucidate the discussions about two of these activities. These actions of continuing education compose the research scenario of a qualitative doctoral research that is under development, linked to a thematic project of large scale that has been carried out within the Research Group in Informatics, Other Media and Mathematics Education (GPIMEM). One of the actions happened in the city of Bauru/SP, and the other in the city of Coimbra, Portugal. The activities addressed in these actions, as well as those developed in the group’s other research projects, generally have a theoretical-methodological approach of an experimental nature. It is concluded that teachers, while performing such activities and opining about other mathematical contents that could have been contemplated in them, studied the software functionalities, criticizing the proposed approaches, culminating in suggestions of adaptations, making them viable to be applied in their respective classrooms. Finally, it is evident that participation in such actions enabled them to glimpse ways to create collaborative learning environments in their respective work contexts.

Resumo em Português:

Resumo As discussões matemáticas constituem uma forma poderosa para promover a aprendizagem dos alunos ao favorecerem a apresentação, justificação, argumentação e sistematização dos raciocínios associados ao trabalho com tarefas matemáticas. O professor desempenha um papel preponderante na condução da discussão, sendo chamado a realizar um conjunto de ações de ensino, tendo por base o seu conhecimento didático. Neste artigo apresentamos as práticas de discussão de dois professores de Matemática do 8.° ano de escolaridade, com o objetivo de compreender como conduzem discussões em tópicos de Álgebra. O estudo é qualitativo interpretativo e baseia-se no estudo de caso de dois professores, que integram um grupo colaborativo. Os resultados mostram que os professores estruturam a discussão matemática em três momentos principais e gerem o discurso com vista à generalização de ideias algébricas. Para isso, empreendem um conjunto de ações de ensino que favorecem a apresentação, justificação e argumentação de diversas estratégias de resolução.

Resumo em Inglês:

Abstract Mathematical discussions are a powerful activity for students’ learning by supporting the presentation, justification, argumentation, and systematization of the reasoning associated to the work on mathematical tasks. The teacher plays a fundamental role in leading the discussion, being called to carry out a set of instructional actions, based on his/her didactic knowledge. In this paper, we present discussions practices of two 8th grade mathematics teachers, in order to understand how they use discussions when teaching algebra topics. The study is qualitative and interpretive and is based on the case study of two teachers, who are part of a collaborative group. The results show that the teachers structure the mathematical discussion at three main moments and manage the discourse for the generalization of algebraic ideas. Thereby, they undertake a set of instructional actions that help the presentation, justification, and argumentation of several solution strategies.

Resumo em Português:

Resumo Neste artigo apresentam-se a trajetória educacional de cinco professoras alfabetizadoras referentes à aprendizagem em Geometria e como elaboraram suas estratégias de ensino e avaliaram o curso, após terem participado de formação continuada sobre os respectivos conceitos no Pacto Nacional da Alfabetização na Idade Certa (PNAIC). De caráter qualitativo, este trabalho teve como instrumentos de coleta de dados entrevistas semiestruturadas e notas de campo elaboradas durante a observação das aulas. Para a sua análise, foram utilizadas metodologias decorrentes da Análise de Discurso, na linha francesa, visando compreender as condições de produção nas quais esses sujeitos situam-se. Os resultados mostraram que ocorreram lacunas conceituais na formação dessas participantes, bem como os discursos indicaram que os sujeitos sofreram influências do período de abandono ou minimização dos conceitos geométricos em suas formações iniciais e que afetam, ainda hoje, a maneira como compreendem e elaboram o seu fazer docente em relação a essa temática.

Resumo em Inglês:

Abstract In this work, we present the educational trajectory of five literacy teachers regarding the learning in Geometry and how, after they participated in the continuous formation of these concepts based on the National Pact of Literacy in the Right Age (PNAIC), they elaborated their teaching strategies and evaluated this course. This work, which is of a qualitative character, had semi-structured interviews and field notes elaborated during class observations as instruments of data collection. For the analysis, we used methodologies resulting from the French Line of the Discourse Analysis aiming to understand the production conditions in which these subjects are situated. Our results showed that there was a conceptual gap in the formation of these participants, and the discourses indicated that they were influenced by the abandonment or minimization of geometric concepts, affecting how they currently understand and elaborate their teaching work in relation to this topic.

Resumo em Português:

Resumo O objetivo do presente artigo é discutir os números racionais na Matemática Acadêmica – no sentido de classes de equivalência de pares ordenados de números inteiros e como elementos de um corpo de frações de um domínio de integridade ℤ – com vistas a favorecer o debate acerca da formação matemática do professor. Para tanto, investigamos aspectos históricos mais recentes (a partir do século XVIII) dos números racionais, bem como tecemos discussões conceituais a partir de abordagens trazidas por livros didáticos voltados para o Ensino Superior. Nas análises, destacamos, principalmente, dissonâncias entre os números racionais na Matemática Acadêmica e na Matemática Escolar e evidenciamos a intencionalidade enquanto uma característica do modo de se fazer Matemática da Matemática Acadêmica. Por fim, questionamos em que medida os números racionais na Matemática Acadêmica servem aos propósitos da formação matemática do professor que irá atuar na Educação Básica.

Resumo em Inglês:

Abstract The purpose of this paper is to discuss rational numbers in Academic Mathematics - in the sense of equivalence classes of integers ordered pairs and as elements of a domain field of fractions of integrity ℤ - in order to favor the debate about teachers’ mathematical training. To this end, we investigate more recent historical aspects (from the eighteenth century) on rational numbers, as well as conceptual discussions based on approaches brought by textbooks aimed at Higher Education. In the analysis, we highlight, mainly, dissonances between rational numbers in Academic Mathematics and in School Mathematics, and we highlight the intentionality as a characteristic of the mathematical way of doing Academic Mathematics. Finally, we question to what extent the rational numbers in Academic Mathematics serve the purposes of middle and high school teachers’ mathematics training.

Resumo em Espanhol:

Resumen La noción de trayectoria hipotética de aprendizaje ha generado mucho interés entre expertos de Educación Matemática. Se afirma que esta noción es una herramienta útil para la práctica docente de los profesores y que es necesario formarlos en su capacidad para formular trayectorias hipotéticas de aprendizaje sobre temas específicos de las matemáticas escolares. Por tanto, es necesario explorar los procesos de aprendizaje de los profesores cuando aprenden esta noción. Este artículo introduce esta noción de hipótesis de aprendizaje como una adaptación de la idea de trayectoria hipotética de aprendizaje (SIMON, 1995). Describimos cómo los grupos de profesores de matemáticas de educación secundaria que participaron en un programa de formación de profesores entendieron y usaron esta noción para establecer la contributión de un conjunto de tareas a un objetivo de aprendizaje previamente establecido. Encontramos que los grupos desarrollaron su conocimiento de esta noción de una forma heterogénea y que el programa de formación fue exitoso parcialmente en su objetivo de hacer que los grupos de profesores aprendieran y percibieran la utilidad de esta noción.

Resumo em Inglês:

Abstract The notion of hypothetical learning trajectory has generated much interest among experts in mathematics education. It is proposed that this notion is a useful tool in teachers’ teaching practice and that it is necessary to prepare teachers in their capacity to formulate hypothetical learning trajectories about specific mathematics school topics. It is therefore also necessary to explore the learning processes that teachers undergo when learning this notion in their education. In this article, we introduce the notion of learning hypotheses as an adaptation of the idea of hypothetical learning trajectory (SIMON, 1995). We describe how the groups of secondary-school mathematics teachers that participated in a teacher education program understood and used this notion in order to determine the contribution of a set of tasks to a learning goal previously established. We found that the groups developed their knowledge of the notion of learning hypotheses and used it in a heterogeneous way, and that the education program was partly successful in its goal to make the groups of teachers learn and perceive the notion’s utility.

Resumo em Espanhol:

Resumen En este trabajo se realiza un análisis del tratamiento de la inecuación, tanto en el currículum, a través de sus planes y programas, como en los textos escolares chilenos. Se trata de una investigación exploratoria que sigue una metodología de análisis cualitativa, donde el objeto matemático inecuación será planteado con un esquema de complejidad de elaboración propia, que permite un análisis visual de lo que ocurre en Chile. Dentro de los hallazgos, revelamos algunos quiebres en la progresión de la enseñanza del objeto matemático en estudio, es decir, el tratamiento que se le da al objeto en los diferentes cursos no lo abarcaría en su totalidad, estas podrían ser atendidas en la planificación de aula de cada profesor con el objetivo de mejorar los procesos de aprendizaje. Cabe destacar que el proceso de estudio que se muestra en este trabajo puede ser replicado en el análisis de otros objetos matemáticos.

Resumo em Inglês:

Abstract In this paper, we make an analysis of inequality handling, including both: the Chilean curriculum, through its plans and programs, and school texts. It has been decided to work on an exploratory research that follows a methodology of qualitative analysis, where the mathematical object will be equated with a complexity scheme of its own, allowing a visual analysis of what happens in Chile. Within the findings, we reveal some differences in the teaching progression for mathematical object under study, that is to say, the treatment given to the object in different courses would not cover it in its entirety. The missing contents could be addressed in classroom planning for every teacher with the aim of improving learning processes. Moreover, it is important to mention that the study process explained in this research can be also applied in the analysis of other mathematical objects.

Resumo em Espanhol:

Resumen El presente artículo presenta los resultados del análisis de los gráficos estadísticos según las directrices curriculares y su implementación en dieciocho libros de texto de matemática de Educación Primaria en Perú, los que corresponden a tres series completas y de diferentes editoriales. En ellos se analizan, mediante análisis de contenido, las secciones en las que aparecen estas representaciones, identificado el tipo de actividad que se plantea, los gráficos involucrados, el nivel de lectura y el nivel de complejidad semiótica involucrado. Los libros de texto se adecúan parcialmente a las directrices curriculares en cuanto a la presentación de los gráficos por nivel educativo, el número de actividades propuestas por las tres editoriales es similar. La principal actividad que se solicita en los libros es de calcular y construir. Se observa un predominio del gráfico de barras, un nivel de lectura básico y la representación de una distribución de datos en el gráfico.

Resumo em Inglês:

Abstract This paper presents the results of the statistical graphs’ analysis according to the curricular guidelines and its implementation in eighteen primary education mathematical textbooks in Perú, which correspond to three complete series and are from different editorials. In them, through a content analysis, we analyzed sections where graphs appeared, identifying the type of activity that arises from the graphs involved, the demanded reading level and the semiotic complexity task involved. The textbooks are partially suited to the curricular guidelines regarding the graphs presentation by educational level and the number of activities proposed by the three editorials are similar. The main activity that is required in textbooks is calculating and building. The predominance of bar graphs, a basic reading level and the representation of an univariate data distribution in the graph are observed in this study.

Resumo em Espanhol:

Resumen En este artículo se presenta la elaboración de una guía de valoración de la idoneidad didáctica (GVID) para el estudio de la probabilidad en educación secundaria. El objetivo que se persigue es disponer de un instrumento que promueva la reflexión docente en torno a experiencias de enseñanza-aprendizaje de un contenido concreto. El método de investigación toma como punto de partida la revisión sistemática de los conocimientos didáctico-matemáticos de cada una de las facetas en las que se descompone un proceso educativo: epistémica-ecológica, cognitiva-afectiva e instructional (interactional y uso de medios tecnológicos). Posteriormente, se aplica la GVID elaborada a una experiencia didáctica con alumnos de educación secundaria. Los resultados de dicha aplicación revelan el potencial de esta herramienta para facilitar la reflexión sobre la propia práctica, establecer relaciones entre las distintas facetas e identificar posibles mejoras en el diseño en ciclos sucesivos.

Resumo em Inglês:

Abstract This paper introduces the development of a didactic suitability assessment guide (DSAG) for probability studies in secondary education. The objective is to have an instrument that promotes teacher reflection about teaching and learning experiences within a specific content. The starting point which the research method takes is the systematic review of the didactic-mathematical knowledge of each of the facets in which an educational process is decomposed: epistemic-ecological, cognitive-affective, and instructional (interactional and use of technological means). Subsequently, the DSAG is applied to an educational experience with students of secondary education. The results of this application reveal this tool’s potential to streamline the reflection on the practice itself, to establish relationships between the different facets, and to identify possible improvements in the design in successive cycles.

Resumo em Português:

Resumo Este artigo traz à baila uma discussão em torno dos motivos de estudantes para participação em tarefas investigativas na aula de Matemática, a partir de seus backgrounds e foregrounds. Motivos foram considerados em uma perspectiva histórico-cultural como algo que emerge no interior das relações sociais. Os sujeitos desse estudo qualitativo foram quatro estudantes do nono ano de uma escola pública da cidade de Belo Horizonte, Minas Gerais, Brasil. Os dados foram coletados por meio de uma entrevista e uma entre-vista, esta segunda com o objetivo de acessar backgrounds e foregrounds dos estudantes. Os resultados da análise mostraram que, além de motivos explícitos, ao entre-vistar backgrounds e foregrounds vários outros motivos, ligados a várias vivências em grupos sociais, revelaram-se.

Resumo em Inglês:

Abstract This article presents a discussion of the motives for students to take part in investigative tasks in mathematics classes, from their backgrounds and foregrounds. The motives motives were considered in a cultural historical perspective as emerging within social relations. The participants were four students from the ninth grade of a public school in Belo Horizonte, Minas Gerais, Brazil. The data were collected through an interview and an inter-view, the second in order to access backgrounds and foregrounds of students. The analysis results showed that, in addition to explicit motives, to inter-view backgrounds and foregrounds, many other motives linked to various social groups experiences were revealed.

Resumo em Espanhol:

Resumen Guiado por líneas de investigación socioculturales de la didáctica de la matemática, el presente estudio investiga las creencias sobre la enseñanza y aprendizaje de la matemática en un grupo de profesores de matemática en la provincia de Ñuble, en la octava región de Chile. Utilizando un cuestionario titulado Escala Matemática, Cultura y Aprendizaje, con escala de tipo Likert, creado para este estudio, y entrevistas semi-estructuradas, se describen y analizan las creencias de 162 profesores y se profundiza en las reflexiones de estos profesores con respecto a sus creencias sobre la matemática, la cultura y su práctica docente. Los resultados muestran una alta valoración a los conocimientos sociales vinculados a la matemática, a la contextualización de la misma y a la relación que subyace entre la matemática y la cultura como motivaciones fundamentales en los procesos de enseñanza y aprendizaje. El estudio plantea la necesidad de fomentar el pensamiento crítico sobre aquellas creencias socioculturales de las matemáticas que moldean la práctica docente.

Resumo em Inglês:

Abstract Guided by the sociocultural research field in mathematics didactics, this study investigates the beliefs of a group of math teachers regarding mathematics’ teaching and learning, in the province of Ñuble in the eighth region of Chile. Employing a questionnaire entitled ‘Math scale, culture, and learning’ containing a Likert scale created for this study and semi-structured interviews, the beliefs of 162 teachers are described and analyzed, and the teachers’ reflections are explored regarding their beliefs about mathematics, culture, and their teaching practice. The results show the high value assigned to the social knowledge related to mathematics, the contextualization of mathematics and the underlying relationship between mathematics and culture as fundamental motivations in the teaching and learning processes. The study raises the need to promote critical thinking about those mathematics sociocultural beliefs that shape teaching practice.

Resumo em Espanhol:

Resumen Entre las actividades que desarrolla un profesor para enseñar matemática se encuentra diseñar y ajustar Tareas Matemáticas (TM). Para esto, la Formación Inicial Docente (FID) debe proveer de oportunidades y recursos a los futuros profesores para que puedan diseñar TM exitosas. Por lo anterior, esta investigación determinará los conocimientos que 66 estudiantes de pedagogía de Educación Primaria de sexto semestre despliegan al diseñar una TM. A través de la aplicación de Análisis de Clases Latentes se encontraron tres grupos de conocimiento que determinaron tres tipos de TM diferentes: Conceptuales, Procedimentales y Genéricas. Entre los tres grupos, la TM procedimental es la que presenta mayor proporción entre las actividades descritas por los estudiantes, alcanzando un 51% de la muestra.

Resumo em Inglês:

Abstract Among the activities that a teacher develops for teaching mathematics is to design and adjust Mathematical Tasks (MT). For this, the Initial Teacher Training (ITT) must provide opportunities and resources to future teachers so they can design successful MTs. Therefore, this research will determine the knowledge that 66 sixth-semester Primary Education pedagogy students deployed when designing a MT. Through the application of Latent Class Analysis, three knowledge groups were found that determined three different TM types: Conceptual, Procedural, and Generic. Among the three groups, the procedural MT is the one with the highest proportion among the activities described by the students, reaching 51% of the sample.

Resumo em Português:

Resumo Neste artigo, visamos determinar as relações pessoais dos estudantes do 1° ano do curso de licenciatura em ensino de Matemática, em Moçambique, sobre o teorema do confronto e a eficácia didática do software Geogebra na discussão desse teorema na sala de aula. As perguntas da pesquisa foram: como os estudantes participantes do experimento compreendiam o teorema do confronto e como o Geogebra capitalizaria a discussão desse teorema na sala. Usamos a Teoria Antropológica do Didático e a Teoria de Instrumentação. A pesquisa foi de natureza qualitativa, na forma do estudo de caso. Estrategicamente, fizemos: análise preliminar e a priori do conteúdo visado, o experimento, a análise a posteriori e validação interna dos resultados. O experimento possibilitou compreender como o uso do computador, articulado com as práticas usuais, pode auxiliar a compreensão dos estudantes sobre o teorema do confronto.

Resumo em Inglês:

Abstract In this article, we aim at determining the personal relationship of 1st-year Mozambican undergraduate prospect teachers in mathematics with the Squeeze Theorem and the didactical effectiveness of Geogebra in its discussion in the classroom. The research question was: how did the students, who participated in the experiment, understand the Squeeze Theorem and how would the Geogebra software capitalize the discussion of this theorem in the classroom? We used the Anthropological Theory of Didactics and the Theory of Instrumentation. It was a qualitative research in the shape of a case study. Strategically, we did a preliminary and a priori analysis of the target content, the experiment itself, a posteriori analysis and internal validation of the results. The experiment allowed us to understand how the blended teaching through the computer and usual practices can assist students in understanding the Squeeze Theorem.

Resumo em Português:

Resumo Numa perspectiva de desenvolvimento numérico em que o conceito de número é ampliado à medida que diferentes conjuntos numéricos são abordados, é natural que os alunos recorram aos conhecimentos que têm e os estendam aos novos conjuntos, o que nem sempre conduz a conclusões corretas. Neste sentido, este artigo tem como objetivo compreender que potencialidades têm situações que sugerem extensões de conhecimentos incorretas como meio para promover a construção da compreensão de numeral decimal. Apresentamos parte de um estudo que segue a modalidade de Investigação Baseada em Design, tendo sido realizada uma experiência de ensino onde participaram 25 alunos e a professora titular, no 3° e 4° ano de escolaridade. Neste texto, são analisadas as discussões entre quatro alunos, organizados em pares, em torno de tarefas centradas em três extensões de conhecimentos incorretas. Os resultados evidenciam que as situações propostas promovem o recurso a justificações e contraexemplos, desenvolvendo assim o raciocínio matemático. Os resultados revelam também potencialidades para a construção da compreensão de numeral decimal, nomeadamente a nível da mobilização de modelos, conceitualização da unidade e da compreensão do valor de posição dos algarismos no numeral decimal, em particular de zero.

Resumo em Inglês:

Abstract Considering a perspective of numerical development where the concept of number is expanded as different number sets are approached, it's only natural that pupils rely on their knowledge and extend them to the new sets, which does not always lead to correct conclusions. Hence, in this paper we aim to understand the potential of situations that suggest incorrect knowledge extensions as a means to promote the construction of decimal number understanding. Part of a broader study that follows a Design Based Research is reported, within which a teaching experiment was carried out with 25 students and their teacher, in 3rd and 4th grades. In this paper, we analyze the discussions among four students, organized in pairs, regarding tasks that promoted the discussion of three common incorrect knowledge extensions. The results evidence that the proposed situations promote the use of justifications and counterexamples, developing mathematical reasoning. The results also reveal the potential to build decimal number understanding, namely in models use, unit conceptualization, and place value concept, in particular zero.

Resumo em Português:

Resumo Neste artigo, ancorados em uma avaliação da aprendizagem como prática de investigação e oportunidade de aprendizagem, apresentamos uma discussão a respeito do comportamento do instrumento de avaliação prova escrita em fases (prova em fases) evidenciado em uma pesquisa. A pesquisa, de natureza qualitativa de cunho interpretativo, teve como sujeitos a professora e 48 alunos matriculados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral - CDI de uma universidade federal do Paraná, os quais realizaram uma prova escrita em 10 fases. Na discussão, buscar-se-á evidenciar a prova escrita em fases como um recurso de ensino, de aprendizagem e de avaliação; reconhecer seu aspecto dinâmico na medida em que se apresenta em uma nova forma a cada fase realizada; como um meio que favorece que professor e aluno se comuniquem de forma individualizada, mesmo que os argumentos sejam construídos no coletivo (discussões em sala, discussão entre os alunos).

Resumo em Inglês:

Abstract In this article, anchored in an assessment of learning as a research practice and learning opportunity, we present a discussion about the "behavior" of the assessment instrument written in phases (stage test) evidenced in a research. The research is of a qualitative nature with an interpretative character, in which the subjects were the teacher and 48 students enrolled in the discipline of Differential and Integral Calculus - CDI of a federal university in Paraná and carried out a written test in 10 phases. In this discussion, we will try to evidence the written test in phases as a teaching, learning, and evaluation resource; Recognizing its dynamic aspect as it presents itself in a new way at each stage; As a medium that favors the teacher and student to communicate in an individualized way, even if the arguments are constructed in the collective (in-class discussions, discussion among students).

Resumo em Espanhol:

Resumen La comisión de errores en matemáticas suele tener una connotación negativa, que provoca en los alumnos afectividad negativa hacia las matemáticas. El objetivo de este trabajo es desarrollar y validar un instrumento que mida la afectividad por la comisión de errores en matemáticas y la afectividad hacia las matemáticas por el error. Los reactivos del instrumento se basan en la relación entre la comisión de errores y las tres dimensiones de la afectividad: emociones, creencias y actitudes. Se aplica a 319 alumnos, de primer ingreso, de las carreras administrativas de una universidad privada en Guadalajara, México. El instrumento muestra una buena confiabilidad con un alfa de Cronbach de 0.9. El análisis factorial comprueba su validez con cinco factores relativos al error que explican el 52.73% de la varianza total: 1) emociones y afectos negativos por cometer errores, 2) conductas favorables hacia los errores como herramienta de aprendizaje, 3) mala concepción de la utilidad del error, 4) creencias y emociones negativas hacia las matemáticas por la comisión de errores y 5) la creencia de que de los errores se puede aprender matemáticas. Poder evaluar la afectividad que han desarrollado los alumnos por el error en matemáticas y hacia las matemáticas por el error, así como sus concepciones sobre el error, permitirá tener una visión de la cultura del error que han experimentado en su vida escolar, debida a la cual han formado creencias y actitudes que los inclinan a tener conductas favorables o desfavorables hacia el aprendizaje de las matemáticas.

Resumo em Inglês:

Abstract Mistakes may have a negative connotation and can cause negative affects in students toward mathematics. The objective of this research is to develop and validate an instrument which measures the affect of making mistakes in mathematics, and the affect towards mathematics due to errors. The instrument items are based on the relation between the error commission and the three affectivity components: emotions, beliefs, and attitudes. It was administrated to 319 freshmen in the Business School at a private university in Guadalajara, Mexico. The instrument showed strong reliability with an alpha Cronbach of 0,9. Factor analysis confirmed its validity with five constructs related to errors, that explain 52,73% of the total variance: 1) negative emotions and affects on making mistakes, 2) favorable conduct towards the use of errors as a learning tool, 3) mistaken conceptions in regards to usefulness of errors, 4) negative beliefs and emotions towards mathematics due to making mistakes, and 5) the belief that one can learn mathematics from errors. To be able to measure the affectivity students have developed towards errors in mathematics and towards mathematics due to making mistakes as well as their conceptions about errors, may offer a clearer view about of the error culture they have experienced during their school time. Due to this experience, beliefs and attitudes were formed and their behavior may tend to be favorable or not favorable towards their mathematics learning.

Resumo em Português:

Resumo Nesta pesquisa examinamos produções publicadas no BOLEMA que tematizam a semiótica no âmbito das pesquisas da área de Educação Matemática. A questão que orienta nossa investigação é O que revelam os artigos publicados no BOLEMA sobre as abordagens semióticas nas pesquisas em Educação Matemática? Com caráter de pesquisa inventariante, nosso artigo traz à baila um retrato das abordagens semióticas e identifica três enfoques semióticos: os pressupostos de Charles S. Peirce, os constructos teóricos de Raymond Duval e o enfoque ontosemiótico, cujo mentor é Juan D. Godino. O artigo apresenta elementos que consideramos relevantes em cada um destes enfoques, bem como as abordagens semióticas dos vinte e três artigos analisados. Uma discussão final revela o retrato de entendimentos e abordagens identificadas nos artigos e visa estabelecer algumas articulações entre elas. Finalmente, a partir das abordagens identificadas, vislumbramos delinear contribuições da semiótica para a Educação Matemática.

Resumo em Inglês:

Abstract In this research, we analyze BOLEMA related to semiotics in the scope of researches in Mathematics Education. The question that guides our research is: What do the papers published in BOLEMA reveal about the semiotic approaches in Mathematics Education researches? So, our article brings to light the perspectives and issues that have been the focus of research about semiotics in Mathematics Education. We have identified three approaches in the research: the theory proposed by Charles S.Peirce; the theoretical constructs of Raymond Duval; and the ontosemiotic approach, whose mentor is Juan D. Godino. Our article presents elements that are considered relevant in each of these approaches, as well as the semiotic approaches of the 23 analyzed papers. Then, we present a summary that reveals the perspectives, issues, and understandings about semiotcs identified in the papers we analyzed and aim to establish some articulations between them. The article concludes with considerations about the contributions of semiotics in Mathematics Education.

Resumo em Português:

Resumo Nosso objetivo neste trabalho é apresentar um design metodológico para a análise de dados empíricos em uma pesquisa qualitativa. Para esse fim, usamos resultados de uma pesquisa anterior envolvendo resolução de problemas em Matemática, na qual foi solicitado a alunos do Ensino Médio que resolvessem um problema de trigonometria formado por dois itens. No presente trabalho questionários foram respondidos por vinte professores do Ensino Médio, aos quais foi solicitado que caracterizassem os erros mais representativos observados naquela pesquisa; aos docentes também foi solicitado que propusessem meios de intervenção no ensino de Matemática que estimulassem os alunos a refletirem criticamente sobre seus erros, visando a sua superação. As respostas dos professores foram analisadas à luz de dois referenciais teóricos: o primeiro deles trata do aprendizado da Matemática usando a análise semiótica, conforme proposto por Duval, e o segundo refere-se aos conhecimentos docentes, de acordo com Shulman. A partir dessa análise propusemos um design metodológico para a análise qualitativa das atividades docentes no contexto da metodologia de solução de problemas em Matemática.

Resumo em Inglês:

Abstract Our goal in this study is to present a methodological design for the analysis of empirical data in a qualitative research. To achieve that purpose, we used results of a previous research about mathematics problem solving, in which high school students were asked to solve a trigonometry question with two items. In the present work, questionnaires were answered by twenty high school teachers, who were asked to characterize the kind of the most representative errors found in that research, as well as to propose ways of intervention in mathematics teaching that could stimulate the students to critically think about their errors, in order to overcome them. The teachers’ answers were analysed upon the light of two theoretical frameworks: the first deals with mathematical learning by using semiotic analysis, as proposed by Duval, and the second one is related to the teacher's knowledge, according to Shulman. From this analysis, we proposed a methodological design to the qualitative analysis of teaching activities in the pedagogical approach of problem solving in mathematics.

Resumo em Português:

Resumo Este artigo intenta analisar como as funções do desenho cambiaram para um disciplinamento do corpo no âmbito escolar, imbricado à Revolução Industrial. Em outras palavras, como as práticas de desenho, imersas em processos de disciplinarização, abandonaram as finalidades e a configuração de seus diversos campos sociais de origem para incorporar-se e sujeitar-se às finalidades escolares. O que reforça a compreensão de que os saberes escolares são gerados em meio a práticas, experiências e questões que uma sociedade se impõe como verdades e normas sociais, políticas e culturais.

Resumo em Inglês:

Abstract This article tries to analyze how the drawing functions to a discipline of the body in the school scope, imbricated to the industrial revolution. In other words, as drawing practices, immersed in disciplinary processes, abandoned the purposes and configuration of their various social fields of origin to incorporate and submit to school purposes. This reinforces the understanding that school knowledge is generated through practices, experiences, and issues that a society imposes as social, political and cultural truths and norms.