Compactness-sprawl and urban growth patterns: a spatial metrics approach

Menzori, Ivan Damasco; Gonçalves, Luciana Márcia

doi:10.1590/s1678-86212024000100757

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Artigo • Ambient. constr. 24 • 2024 • https://doi.org/10.1590/s1678-86212024000100757 linkcopy

Compactness-sprawl and urban growth patterns: a spatial metrics approach

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Abstract

The disorderly expansion of cities is a global challenge that impacts urban development. In this paper, we analyse the urban growth in a medium-sized city over five decades, focusing on urban form and employing more than 20 spatial metrics associated with the geometry of physical-territorial expansion in the built environment. We examine the growth patterns in the context of the urban sprawl phenomenon and the Diffusion-Coalescence theory perspective. We discuss the inherent limitations of existing metrics and raise alternatives that simultaneously address the properties of Compactness, Fragmentation, Complexity, and Dispersion. The results reveal distinct phases in urban growth over the decades, from diffusion of an initially compact form into smaller parts on the periphery; to a transition towards more compact growth. This oscillation suggests adherence to the Diffusion-Coalescence theory, with urban sprawl occurring between 1966 and 1976, followed by increased compactness in subsequent decades (1976-2006). After 2006, the results became ambiguous, possibly due to intervening planning factors. The discussion of the findings underscores the importance of quantifying urban growth using metrics and introduces concepts that have been hitherto limited to international literature.

Keywords:
Spatial metrics; Urban growth; Urban sprawl; Coalescence-diffusion

ID	Métrica	Escala	Equação	Variáveis	Descrição e Referências
DU	Densidade urbana	Mancha total	$\frac{P o p .}{A}$	Pop = população urbana; A = área total da mancha urbana	Representa o número de habitantes por área urbanizada, na qualidade de indicador de densidade urbana. Referências: Huang, Lu e Sellers (2007); Braga (2016) e Sousa, Menzori e Braga (2021).
NP	Número de manchas	Mancha total	$1 + \sum_{J = 0}^{n} n i j$	nij = número de manchas secundárias	Indicadores muito utilizados em métricas da paisagem. No ambiente construído, quantificam a fragmentação por meio do número de partes (NP) e o tamanho médio das partes (MPS) que compõem o ambiente construído. Aumentos no NP indicam maior fragmentação, e reduções em MPS maior agregação, e vice-versa. Referências: Herold, Couclelis e Clarke (2005); Schneider, Seto e Webster (2005); Seto e Fragkias (2005); Hahs e McDonnel (2006); Irwin e Bockstael (2007); Yu e Ng (2007); Weng (2007); Frenkel e Ashkenazi (2008); Silva, Ahern e Wileden (2008); Torrens (2008); Deng et al. (2009); Huang e Luo (2009); Schwartz (2010); Aguilera, Valenzuela e Botequilha-Leitão (2011); Pham, Yamaguchi e Bui (2011); Wu et al. (2011) e Sun et al. (2013).
MPS	Tamanho médio de manchas	Manchas secundárias	$\frac{\frac{\sum_{j = 1}^{n i} a i j}{n i j}}{A}$	aij = área de mancha secundária; nij = número de manchas secundárias; A = área total da mancha urbana
PSSD	Desvio padrão de manchas	Manchas secundárias	$\sqrt{\frac{\sum_{j = 1}^{n i} {[a i j - \frac{\sum_{j = 1}^{n i} a i j}{n i}]}^{2}}{n i}}$	aij = área de mancha secundária; nij = número de manchas secundárias	Medidas indiretas (não-explícitas) que descrevem as diferenças relativas entre os tamanhos das partes (manchas) secundárias no ambiente construído. Menores valores PSSD indicam uma distribuição mais homogênea (zero = todas as partes de mesmo tamanho). Já PSCOV indica o mesmo, mas corresponde a PSSD normalizado por MPS. Referências: Herold, Scepan e Clarke (2002); Herold, Couclelis e Clarke (2005); Seto e Fragkias (2005) e Schwartz (2010).
PSCOV	Coeficiente de variação de manchas	Manchas secundárias	$\frac{P S S D}{M P S}$
PD	Densidade de mancha	Mancha total	$\frac{n i j}{A}$	nij = número de manchas secundárias; A = área total da mancha urbana	Medida de heterogeneidade da paisagem similar ao NP, porém normalizado pela área total. Maiores valores indicam maior fragmentação, e vice-versa. Referências: Herold, Scepan e Clarke (2002); Herold, Couclelis e Clarke 2005); Ji et al. (2006); Irwin e Bockstael (2007); Weng (2007); Schneider e Woodcock (2008); Deng et al. (2009); Wu et al. (2011); Sun et al. (2013).
LPI	Índice de mancha principal	Mancha total	$\frac{m a x (a i) j}{A}$	max(ai)j = tamanho da mancha principal; A = área total da mancha urbana	Métrica da paisagem, que no contexto urbano descreve a relação entre a área da maior parte (a mancha urbana principal) e a área total do ambiente construído. Referências: Herold, Goldstein e Clarke (2003); Hahs e McDonnel (2006); Yu e Ng (2007); Schetke e Haase (2008); Deng et al. (2009); Huang e Luo (2009) e Pham, Yamaguchi e Bui (2011).
FD	Dimensão fractal	Mancha total	$\frac{\sum_{i = 1}^{n} \frac{2 l n (0.25 p i)}{l n a i}}{N P}$	pi = perímetro da mancha i; ai = área da mancha i	Métricas da paisagem muito utilizadas. No ambiente construído, FD descreve os graus de Complexidade e Fragmentação a partir das áreas e perímetros das partes (manchas urbanas), em que menores valores indicam Fragmentação e Complexidade menores (sendo FD = 1 para a figura de um quadrado). Já AWMPFD é similar a FD, porém limitada às manchas secundárias e ponderada por área. Referências: Herold, Spacen e Clarke (2002); Herold, Goldstein e Clarke (2003); Herold, Couclelis e Clarke (2005); Seto e Fragkias (2005); Hahs e McDonnell (2006); Huang, Lu e Sellers (2007); Yu e Ng (2007); Frenkel e Ashkenazi (2008); Huang e Luo (2009); Schwartz (2010); Pham, Yamaguchi e Bui (2011) e Wu et al. (2011).
AWMPFD	Dimensão fractal ponderada	Manchas secundárias	$\frac{\sum_{i = 1}^{n} \frac{2 l n (0.25 p i j)}{l n a i j}}{n i j} * \frac{a i j}{\sum_{i = 1}^{n} a i j}$	pij = perímetro de mancha secundária; aij = área de mancha secundária; nij = número de manchas secundárias
LSI	Índice de forma da paisagem	Mancha total	$\frac{\sum_{j = 1}^{n} p i}{2 \sqrt{π} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a i}}$	pi = perímetro da mancha i; ai = área da mancha i	Medidas de Complexidade e Fragmentação do ambiente construído a partir de relações entre perímetro e área das manchas urbanas. LSI descreve a Fragmentação da mancha urbana total, em que menores valores indicam menor Fragmentação (sendo LSI = 1 para a figura de um círculo, menor valor possível). Similarmente, SI e AWMSI descrevem a Complexidade, porém limitadas às manchas secundárias (AWMSI) e à mancha urbana principal (SI). Referências: Saura e Carballal (2004); Huang, Lu e Sellers (2007); Yu e Ng (2007); Frenkel e Ashkenazi (2008) e Schwartz (2010).
SI	Índice de forma	Mancha principal	$\frac{p i}{2 \sqrt{π . a i}}$	pi = perímetro da mancha i; ai = área da mancha i
AWMSI	Índice de forma ponderado	Manchas secundárias	$\frac{\sum_{j = 1}^{n} S I . a i}{\sum a i}$	ai = área da mancha i
MSI a	Índice de forma médio	Mancha total	$\frac{\sum_{j = 1}^{n} p i / (2 π \sqrt{\frac{a i}{π})}}{n i}$	pi = perímetro da mancha i; ai = área da mancha i; ni = número de manchas i	Métrica da paisagem, aplicada com distinção entre mancha principal e manchas secundárias. Descreve Complexidade a partir da relação entre o perímetro “pij” de uma dada mancha de área “aij”, e o perímetro de um círculo de área “aij”, normalizada pelo número de partes. Quanto menor o valor de MSI, menor a Complexidade (sendo MSI = 1 o menor valor possível). Referência: Aguilera, Valenzuela e Botequilha-Leitão (2011).
MSIb	Índice de forma médio	Manchas secundárias
ED	Densidade de borda	Mancha total	$\frac{\sum p i}{A}$	A = área total da mancha urbana; pi = perímetro da mancha i	Métrica da paisagem, que descreve a Complexidade a partir da relação entre perímetro e área. Maiores valores indicam maior Complexidade, e vice-versa. Referências: Herold, Scepan e Clarke (2002); Herold, Goldstein e Clarke (2003); Seto e Fragkias (2005); Deng et al. (2009); Huang e Luo (2009); Pham, Yamaguchi e Bui (2011) e Wu et al. (2011).
CIa	Índice de compacidade	Mancha total	$\frac{\sum_{i = 1}^{n} 2 π \frac{\sqrt{\frac{a i}{π}}}{p i}}{n i ²}$	pi = perímetro da mancha i; ai = área da mancha i; ni = número de manchas i	Medida de Compacidade sensível à Fragmentação e à Complexidade. Sua abordagem é individualizada por partes (manchas), e os resultados descritos pela relação entre o somatório da “relação área-perímetro” dessas partes e o número de partes ao quadrado. Maiores valores indicam Complexidade e Fragmentação menores e, consequentemente, maiores Compacidades (limitado à CI = 1 para a figura de um círculo). Sua aplicação neste estudo foi distinta entre mancha total (múltiplas partes) e mancha principal (parte única). Referências: Li e Yeh (2004); Huang, Lu e Sellers (2007) e Schwartz (2010).
CIb	Índice de compacidade	Mancha principal	$\frac{2 π \sqrt{\frac{\max (a i) j}{π}}}{\max (p i) j}$	max(ai)j = tamanho da mancha principal; max(pi)j = perímetro da mancha principal
MPAR	Relação perímetro-área média	Mancha total	$\sum_{i}^{n} \frac{p i}{a i . n i}$	pi = perímetro da mancha i; ai = área da mancha i; ni = número de manchas i	Métricas da paisagem similares à ED, que descrevem Complexidade e Fragmentação por relação entre perímetro e área (EIR), e perímetro, área e número de partes (MPAR). Maiores valores indicam maior Complexidade e/ou Fragmentação, e vice-versa. Referências: Geoghegan, Wainger e Bockstael (1997) e Irwin e Bockstael (2007).
EIR	Relação borda-interior	Mancha total	$\sum \frac{p i}{a i}$	pi = perímetro da mancha i; ai = área da mancha i
CEN	Índice de centralidade	Mancha total	$\frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} D i j / n i j}{\sqrt{A / π}}$	Dij = distancias euclidianas entre centroide da mancha principal e manchas secundárias ij; nij = número de manchas secundárias; A = área total da mancha urbana	Descrita pelo somatório das distâncias euclidianas de afastamento entre os centroides geométricos das manchas secundárias e mancha principal, normalizado pelo raio de um círculo correspondente à área da mancha urbana total. Menores valores indicam menor Dispersão (não aplicável quando não há manchas secundárias). Referências: Huang, Lu e Sellers (2007) e Schwarz (2010).
CR	Relação de compacidade	Mancha total	$\frac{2 \sqrt{π . A}}{P}$	A = área total da mancha urbana; P = perímetro externo total da mancha urbana.	Métrica de Compacidade baseada na “relação área-perímetro”. Similarmente à CI, os resultados são adimensionais e limitados a CR = 1 (para figura perfeita de um círculo), em que menores valores indicam Fragmentação e Complexidade maiores e, consequentemente, menor Compacidade. Todavia, a abordagem de CR não analisa individualmente as múltiplas partes, em que os cálculos são realizados a partir dos dados da mancha urbana como um todo, tornando sua aplicação mais direta, simples e focada na forma urbana independentemente de seu NP. Referências: Richardson (1961); Li, Goodchild e Church (2013); Braga (2016); Guo, Hu e Zheng (2020) e Menzori (2021).
IPQ	Coeficiente Isoperimétrico	Mancha total	$\frac{4 π . A}{P ²}$	A = área total da mancha urbana; P = perímetro externo total da mancha urbana.	Métrica de Compacidade que corresponde à raiz quadrada de CR, que também descreve os resultados por “relação área-perímetro” de forma adimensional, limitados a IPQ = 1 (círculo). A decomposição das equações realizadas por Menzori (2021) indica que a diferença entre CR e IPQ reside na forma de remoção do efeito escala (obtenção de resultados adimensionais limitados entre [0,1]), em que CR o faz por “radiciação da área total” e IPQ por “potenciação do perímetro”. Referências: Osserman (1978); Montero e Bribiesca (2009); Li, Goodchild e Church (2013) e Menzori (2021).
CCM	Compacidade e circularidade	Mancha total	$\frac{4 A}{L ²}$	A = área total da mancha urbana; L = diâmetro do MEC da mancha urbana	Métricas de Compacidade com abordagem do tipo “figura de referência”, em que a área da mancha urbana é analisada em relação ao seu Menor Círculo Envolvente (MEC). Diferentemente de CR e IPQ, o enfoque na circularidade oferece maior sensibilidade para mensuração da Dispersão. Maiores valores indicam maior Compacidade e menor Dispersão. CCM representa seus resultados em uma escala de zero (ausência de Compacidade) até π (pi) (círculo perfeito), ao contrário de DCM que remove o efeito escala e representa seus resultados entre [0,1]. Referências: Gibbs (1961); Kim e Anderson (1984); Montero e Bribiesca (2009); Li, Goodchild e Church (2013) e Menzori (2021).
DCM	Compacidade digital	Mancha total	$\frac{A}{A s c}$	A = área total da mancha urbana; Asc = área MEC da mancha urbana
M1 DCIq	Relação Adimensional de Compacidade digital e Coeficiente Isoperimétrico	Mancha total	$\frac{2 a}{r . p}$	a = área total da mancha urbana; r = raio do MEC da mancha urbana; p = perímetro externo total da mancha urbana.	Métricas Espaciais propostas por Menzori (2021), que descrevem as quatro propriedades geométricas (Compacidade, Fragmentação, Complexidade e Dispersão) de maneira adimensional (escala [0,1]), em caráter explícito, agregado e aplicável à mancha urbana como um todo (independentemente de seu NP). Em síntese, as propostas residem nas decomposições das equações das métricas de Compacidade CR, IPQ e DCM, de modo a identificar as “Relações Adimensionais Área-Perímetro” (RAAP) e “Relações Adimensionais Área-Raio” (RAAR) inerentes às suas abordagens de “figura de referência” e “relação área-perímetro”. A partir das RAAP e RAAR obtidas, foram propostas as Métricas de Compacidade M1, M2 e M3, com sensibilidade para representar as propriedades geométricas de Fragmentação, Complexidade e Dispersão de maneira concomitante, porém com adoção de média geométrica, que representa tendências centrais que não sejam muito influenciadas pela assimetria de valores. Destaca-se que, nas propostas alçadas, valores negativos são inexistentes e valores nulos são praticamente impossíveis, sendo válida e adequada a adoção da média geométrica.
M2 CCr	Relação Adimensional de Compacidade e Circularidade	Mancha total	$\sqrt{\frac{2 a}{r . p}}$	a = área total da mancha urbana; r = raio do MEC da mancha urbana; p = perímetro externo total da mancha urbana.
M3 CCrDCIq	Relação Adimensional de Compacidade, Circularidade e Coeficiente Isoperimétrico	Mancha total	$\sqrt[4]{\frac{8 a^{3}}{r^{3} . p ³}}$	a = área total da mancha urbana; r = raio do MEC da mancha urbana; p = perímetro externo total da mancha urbana.

Valores	Força (interpretação)
0,00 - 0,10	Nula ou desprezível
0,10 - 0,30	Correlação fraca
0,30 - 0,60	Correlação moderada
0,60 - 0,90	Correlação forte
0,90 - 1,00	Muito forte ou perfeita

Fragmentação		Complexidade		Complexidade		Dispersão		Compacidade
(escala macro)		(escala micro)		(escala macro)		(escala macro)		(escala macro)
NP	0,105	FD	-0,010	MSI(a)	-0,018	CEN	-0,010	CI	-0,086
PD	0,018	AWMFD	-0,009	ED	-0,003	DCM*	-0,001	CR	-0,033
LSI	0,043	AWMSI	-0,014	MPAR	-0,005	-	-	IPQ	-0,065
EIR	0,091	MSI(b)	0,003	-	-	-	-	DCM	0,001
MPS*	0,024	SI	0,005	-	-	-	-	M1	-0,032
LPI*	0,023	-	-	-	-	-	-	M2	-0,016
-	-	-	-	-	-	-	-	M3	-0,024
Q1	0,023	Q1	-0,010	Q1	-0,012	Q1	-0,008	Q1	-0,057
MED	0,034	MED	-0,009	MED	-0,005	MED	-0,006	MED	-0,033
Q3	0,079	Q3	0,003	Q3	-0,004	Q3	-0,003	Q3	-0,020

Fragmentação		Complexidade		Complexidade		Dispersão		Compacidade
(escala macro)		(escala micro)		(escala macro)		(escala macro)		(escala macro)
NP	-0,017	FD	0,018	MSI(a)	0,018	CEN	-0,002	CI	0,011
PD	-0,032	AWMFD	0,022	ED	-0,009	DCM*	-0,014	CR	0,001
LSI	-0,001	AWMSI	0,027	MPAR	-0,007	-	-	IPQ	0,001
EIR	-0,023	MSI(b)	0,019	-	-	-	-	DCM	0,014
MPS*	-0,019	SI	0,003	-	-	-	-	M1	0,008
LPI*	0,001	-	-	-	-	-	-	M2	0,004
-	-	-	-	-	-	-	-	M3	0,006
Q1	-0,022	Q1	0,018	Q1	-0,008	Q1	-0,011	Q1	0,002
MED	-0,018	MED	0,019	MED	-0,007	MED	-0,008	MED	0,006
Q3	-0,005	Q3	0,022	Q3	0,006	Q3	-0,005	Q3	0,010

Fragmentação		Complexidade		Complexidade		Dispersão		Compacidade
(escala macro)		(escala micro)		(escala macro)		(escala macro)		(escala macro)
NP	-0,007	FD	0,001	MSI(a)	0,005	CEN	-0,005	CI	0,006
PD	-0,016	AWMFD	0,017	ED	-0,007	DCM*	-0,010	CR	0,002
LSI	-0,002	AWMSI	0,023	MPAR	0,004	-	-	IPQ	0,004
EIR	-0,002	MSI(b)	0,005	-	-	-	-	DCM	0,010
MPS*	-0,007	SI	-0,004	-	-	-	-	M1	0,007
LPI*	0	-	-	-	-	-	-	M2	0,003
-	-	-	-	-	-	-	-	M3	0,005
Q1	-0,007	Q1	0,001	Q1	-0,002	Q1	-0,009	Q1	0,003
MED	-0,005	MED	0,005	MED	0,004	MED	-0,008	MED	0,005
Q3	-0,002	Q3	0,017	Q3	0,005	Q3	-0,006	Q3	0,007

Fragmentação		Complexidade		Complexidade		Dispersão		Compacidade
(escala macro)		(escala micro)		(escala macro)		(escala macro)		(escala macro)
NP	0,013	FD	0,011	MSI(a)	0,004	CEN	-0,004	CI	-0,016
PD	0	AWMFD	0,003	ED	-0,002	DCM*	-0,012	CR	-0,004
LSI	0,005	AWMSI	0,005	MPAR	0,043	-	-	IPQ	-0,008
EIR	0,056	MSI(b)	0,008	-	-	-	-	DCM	0,012
MPS*	0	SI	-0,005	-	-	-	-	M1	0,002
LPI*	0,008	-	-	-	-	-	-	M2	0,001
-	-	-	-	-	-	-	-	M3	0,002
Q1	0,001	Q1	0,003	Q1	0,001	Q1	-0,010	Q1	-0,007
MED	0,007	MED	0,005	MED	0,004	MED	-0,008	MED	-0,002
Q3	0,012	Q3	0,008	Q3	0,024	Q3	-0,006	Q3	0,002

Ano/Década	População	Densidade Urbana (DU)	CAGR
≅1966	82.898	39,928	*
≅1976	100.438	23,074	-5,3%
≅1986	144.322	28,228	2,0%
2006	199.657	31,916	0,6%
2016	228.664	32,238	0,1%

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[TFN1] Fonte: adaptado de Akoglu (2018, p. 92).