Using a historical diagram as a source for learning geometry

Aymemí, Josep María Fortuny; Gayarre, Rafael Rodríguez; García, Victoria Sánchez

doi:10.1590/1980-4415v39a230087

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ARTÍCULO • Bolema 39 • 2025 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v39a230087 linkcopy

Using a historical diagram as a source for learning geometry

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Abstract

The objective of this study is to investigate how one progresses from visualization to argumentation, from a learning trajectory that has been designed using a historical diagram as a source of learning geometry. The sequence of the learning tasks corresponds to the transformation process of the different figures in the diagram. The hypothetical learning trajectory is experienced with a group of high school students and confronted with the actual learning trajectory. The move from visualization to argumentation occurs in the graded sequence of tasks involving different types of learning activities. This graduation stimulates a change in the students' productions that is clear evidence of their progress towards what we consider argumentative competence.

Learning geometry; Hypothetical learning trajectory; Classical mathematical texts; Typology of the argumentative behavior of the student

Transformaciones	Procesos	Figuración
1. El círculo se descompone en infinitas circunferencias concéntricas que se cortan por un radio R del círculo inicial.	Descomponer
2. Las infinitas circunferencias concéntricas son modificadas (desenrolladas) para convertirlas en segmentos con una longitud que va desde 2𝜋R hasta cero.	Desarrollar
3. Los segmentos son convertidos en rectángulos de altura cero (o infinitesimal), y por reconfiguración se disponen formando un triángulo isósceles con base 2𝜋R y altura R.	Reconfigurar
4. Se descompone el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos de base 𝜋R y altura R.	Descomponer
5. Por reconfiguración (como las piezas de un puzle) los triángulos rectángulos se unen para formar un rectángulo de base 𝜋R y altura R. Como sabemos calcular el área de este nuevo objeto obtenido a partir del objeto inicial podemos determinar el área del círculo: 𝜋²	Reconfigurar
	Reconfigurar

Tarea	Objetivos que se pretenden
Tarea 1: •¿Qué ves en esta secuencia de figuras de Savasorda? (Se hace referencia a la Figura 1) Escribe todo lo que te sugieren estas figuras •¿Qué interpretas en la Figura 1?	Interpretar el proceso de visualización.
Tarea 2: •Compara los objetos incluidos en la Figura Cadenas con la primera y segunda imagen de la Figura 1. •Escribe las semejanzas entre ambas figuras. Figura: Cadenas Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=whYqhpc6S6g&t=34s	Comprender un método de transformación geométrica entre un círculo y un triángulo (tarea que involucra la acción de visualizar).
Tarea 3: •¿Existe alguna relación entre las figuras anteriores y la Figura 1? •¿Crees que recoge lo que Savasorda trata de explicar mediante las imágenes de la Figura 1 para deducir una propiedad geométrica de la primera figura?	Analizar una representación gráfica de unas situaciones en contextos históricos de la Figura 1.
Tarea 4: •Para cada una de las imágenes de la secuencia escribe una expresión algebraica que la pueda denotar. •Redacta la interpretación que te sugiere esta secuencia de imágenes. Compáralas con las de Savasorda. •Argumenta tu explicación y confróntala con las de tus compañeros. Figura: Secuencias Fuente: https://learning.hccs.edu/faculty/sukhlal.ramharack/cal-imath-2413/math-articles-1/Proof%20Without%20Words.pdf	Interpretar el significado de las imágenes (esta tarea involucra la competencia figurativa y estructuración de una secuencia de imágenes). Comunicar las diferentes interpretaciones, situándonos en una posible negociación de significados.
Tarea 5: Presentamos la traducción al catalán de 1931 del libro de Savasorda en la que se puede leer: “La demostración del área de un círculo es: Si se abre la superficie del círculo, por un lado, y se aplanan todas las circunferencias concéntricas desde el exterior hasta el centro, se convertirán en …” Continúa redactando lo que crees que Savasorda explica en su demostración	Comunicar y establecer una prueba, que estimule la competencia argumentativa.

Tarea	Proceso hipotético de aprendizaje
Tarea	Acciones esperadas	Efecto	Reflexión sobre efecto de las acciones
1	Se espera que los estudiantes participantes en la THA observen las imágenes de la Figura 1 y describan las características de cada una. Se puede dar alguna orientación en el sentido de que la imagen se construyó mediante cinco pasos, como si fueran cinco fotogramas de un sistema visual de explicación (ver Cuadro 1).	Permitir relacionar las características del círculo, el triángulo y el rectángulo de la imagen.	El método de Savasorda para obtener el área del círculo, incluye de forma implícita dos conceptos (procedimientos) geométricos de gran interés didáctico: (i) la equivalencia de figuras (principio de conservación de la cantidad, pero no de la forma), y (ii) la transformación de figuras.
2	Se espera que los estudiantes construyan la Figura Cadenas usando trozos de una cadena de cuentas. Primero, inician con una cuenta y luego, la van rodeando de manera sucesiva.	Poder observar un modelo físico de la primera figura y concluir que se ve como la colección de todos los círculos concéntricos que contiene.	Los estudiantes tienen la posibilidad de argumentar que, si cortan los círculos de la primera imagen y los abren en forma de segmentos, entonces obtendrán un triángulo. Esto es porque la razón entre las longitudes de las circunferencias de los círculos y sus diámetros es constante. La longitud de la base del triángulo resultante es igual a la longitud de la circunferencia del círculo original y su altura es igual al radio de este círculo. Por tanto, podrían argumentar que el área de un círculo es igual a la mitad del producto del radio por la longitud de la circunferencia.
3	Se espera que los estudiantes comparen las figuras anteriores con las formas de estores, tapetes, etc.	Interpretar los segmentos como rectángulos y coronas en lugar de circunferencias. Deben intuir un procedimiento de integración. En la Figura 1 pueden ver cómo Savasorda divide el círculo en coronas circulares que corta y desenrolla, convirtiéndolas en rectángulos.	Los estudiantes llegan a apreciar que la animación recoge lo que Savasorda trata de explicar mediante las figuras de la imagen que se muestra en la Tarea1 para argumentar una propiedad geométrica.
4	Se espera que los estudiantes relacionen la secuencia de imágenes con expresiones algebraicas.	Observar las expresiones algebraicas vinculadas a la secuencia de imágenes y realizar una interpretación del proceso dinámico: Descomponer, Desarrollar, Reconfigurar, Descomponer y Reconfigurar (ver Cuadro 1).	Se intenta que inicien el proceso de argumentación a partir de un proceso visual.
5	Se espera que los estudiantes analicen cómo comienza la argumentación del área del círculo que se les presenta y los elementos involucrados. Esta tarea implica aprender a establecer conclusiones colectivas. Se trata de seguir un proceso de razonamiento que permita demostrar la igualdad entre las áreas de un círculo y un triángulo cuya base sea la longitud de la circunferencia y la altura su radio.	Apreciar procedimientos como cortar, desplazar y pegar usados en la protoálgebra babilónica y en el álgebra árabe medieval. Una manera de demostrar “ingenua”, porque se fía de lo que se ve cuando se manipulan figuras geométricas cortando, desplazando y pegando.	Lograr argumentar la redacción de la Tarea 4 mostrando que hacen uso del control y gestión de su propio aprendizaje verificando y confrontando sus producciones.

Turnos	Participante	Acción	Intervención	Interpretación
11	Rita	Representar gráficamente el triángulo en la pizarra e ir explicando	Justificar la longitud de la última circunferencia y la altura del triángulo.	Es importante esta situación pues se lleva a cabo una interacción en la que es la estudiante en concreto quien pasa a centrar la explicación y no el profesor; se produce una interacción /regulación por la acción argumentativa llevada a cabo por Rita
12	Profesor	Referenciar	A todas las circunferencias	Se invita a la estudiante a que realice la conexión entre los diferentes elementos
13	Rita	Dibujar de nuevo	Vuelve a su discurso intentando justificar el radio y la altura del triángulo	Conecta círculo y triángulo. Relaciona los diferentes elementos y empieza a establecer conexiones discursivas entre ellos
14	Profesor	Demandar concreción	¿Esto que acabas de dibujar qué es?	Se pide a la estudiante que concrete y relacione los elementos que va generando en su discurso
15	Rita	Identificar	El radio	Va apareciendo la concreción de los elementos
16	Profesor	Preguntar	¿El radio de qué?	Incidencia en uno de los elementos (radio) en referencia a la circunferencia. De manera general, en esta situación se facilita que los estudiantes vayan negociando los significados
17	Rita	Señalar las circunferencias	Identifica los elementos que intervienen	Observación de evidencia empírica y conexión entre los elementos de las figuras

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