“The sides of a polygon do not intersect” … Delving into the voice of the students

Camargo, Leonor; Perry, Patricia

doi:10.1590/1980-4415v34n68a08

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Sumário

Artículo • Bolema 34 (68) • Sep-Dec 2020 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v34n68a08 copy

“The sides of a polygon do not intersect” … Delving into the voice of the students

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Abstract

We characterized both discursive expressions of three sixth grade students on the phrase intersect each other and the effect they have on the construction of collective and shared meanings of intersection. Recording data, extracting information without losing the context where the interaction is framed, and selecting expressions to analyze were all done by using a classroom-based qualitative strategy. The analysis, following techniques typical of ethnomethodology, was done in terms of: (i) intelligibility and authenticity, (ii) features of the discourse proposed by Sfard and (iii) our conceptualization of collective voice and shared voice. We found a geometry classroom in which student voices are collectively constructed and generate shared meaning about intersection, which is reflected in a punctual discursive transition. The contribution of this paper resides in the use of the discursive features regarded in the analysis to focus the gaze to the discourse on mathematical content.

Keywords:
Students voice; Learning as Developing a Discourse; Features of Mathematical Discourse; Intersection Operation

Categoría	Ejemplo de descriptores
Inteligibilidad	Se identifican ideas matemáticas sobre el tema de la conversación: (i) Hay una construcción gramaticalmente aceptable en castellano. (ii) Es posible interpretar de manera sustentada lo que expresa el estudiante.
Autenticidad	Se encuentran indicios de elaboración propia: (i) Presencia de términos idiosincráticos. (ii) Exposición de ideas propias o puntos de vista. (iii) Paráfrasis en términos propios.

Vocabulario
Especialización del vocabulario	(i) Uso de palabras, frases, oraciones especializadas. (ii) Construcción gramatical con la sintaxis aceptada.
Objetificación del discurso	(i) Inclusión del ser humano como agente de las acciones que se comunican. (ii) Uso de sustantivos matemáticos especializados para encapsular operaciones o procesos en relaciones u objetos. (iii) Explicitación de objetos matemáticos presentes en acto.
Complejidad lógica	(i) Tipo y frecuencia de conjunciones, disyunciones, implicaciones y negaciones. (ii) Uso de cuantificadores.
Mediadores visuales
Presencia de mediadores visuales	Uso de objetos perceptuales en el discurso y circunstancias del uso: (i) Representaciones geométricas. (ii) Iconos gestuales o escritos. (iii) Notación.
Rutinas
Acciones rutinarias	Presencia de acciones matemáticas que siguen patrones.
Características de las acciones rutinarias	Rasgos característicos de las rutinas empleadas: (i) Complejidad. (ii) Circunstancias en las que se usa. (iii) Utilidad de la rutina.
Narrativas
Sobre qué es la narrativa	(i) Operaciones o procesos, (ii) procedimientos, (iii) objetos.
Tipo de narrativa según grado de certidumbre	Afirmaciones categóricas, preguntas, enunciados dubitativos, enunciados condicionales.

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[1] Dirección postal: Calle 64, No. 4-22, Apartamento 602, Bogotá, Colombia, C.P: 110231. E-mail: lcamargo@pedagogica.edu.co.

Inteligible para participantes en el discurso	Reacciones visibles que son indicios de que la voz es interpretada por otros miembros de la clase (manifestaciones de aprobación, entendimiento, objeciones etc.).
Compartida	Representatividad de la voz por su similitud sintáctica o semántica con otras voces.
Colectiva	Contribución, de manera sustancial, de más de un participante en la formulación de la voz (aunque un participante asuma el papel protagónico en la formulación).

Expresión 1	No se intersecan y no tienen nada en su interior. […]³ 3 Símbolo para indicar supresión de verbalización en la transcripción. [No intersecarse significa] que sus líneas no (…)⁴ 4 Símbolo para indicar momento de silencio. (hace una X con los dedos índices).
Expresión 2	Profe, no se cortan así (cruza los brazos) sino así (mismo ademán de Nicolás en la Fotografía 3). […] Yo me acuerdo que [un polígono] no tiene (…) que no tiene líneas afuera. O sea, que no, que no pasaba de ese punto. [No se intersecan] pues [es] que no sobresalen más líneas después del punto común.
Expresión 3	No, [los lados del polígono] sí se intersecan, pero no van más allá del punto que tienen en común.

Expresión 1	Afirma que los lados de un polígono (a los que denomina líneas) no se intersecan. Inferimos que para ella la expresión se intersecan es aplicable al corte de dos rectas y no al de dos segmentos.
Expresión 2	Afirma que los segmentos $\bar{S T}$ y $\bar{T R}$ , (Figura 1) no se cortan como correspondería a una intersección. Es decir, para ella hay al menos dos formas de cortarse y solo a una de ellas se aplica la expresión se intersecan. Según ella, la intersección es una operación de cortarse, pero no todo corte puede considerarse como una intersección. No basta con que haya un punto en común; este no debe ser el extremo de los segmentos. Por eso niega que los segmentos se intersequen, aunque se corten y el punto T sea común a los dos. Ella explicita su interpretación acerca del tipo de objetos que intervienen en la operación de intersección: las rectas.
Expresión 3	Cambia de idea. Menciona que los segmentos sí se intersecan (reafirmando lo dicho por Nicolás, quien asegura que hay un punto de intersección). Sin embargo, ella aclara que el punto de corte está en el extremo de los segmentos. Esta aclaración es un indicio de la interpretación que empieza a reconstruir sobre la intersección, no solo como una acción recíproca entre rectas sino posible entre segmentos. Ahora intersecarse es sinónimo de cortarse y, por tanto, tiene dos modos posibles. Los lados de un polígono no se intersecan así X sino así V.

Expresión 1	Al no encontrar cómo explicar qué significa para ella no intersecarse usa un gesto espontáneo hecho con las manos (formando una X).
Expresión 2	Se apoya, para explicar su idea, en una experiencia personal con la representación de un polígono, y en gestos con las manos.
Expresión 3	Emplea frases idiosincráticas como “no van más allá”.

Inteligibilidad para participantes en el discurso	La voz es inteligible para otros compañeros de la clase. En particular, Tomás y Nicolás siguen de cerca lo que dice y reaccionan a sus expresiones. Nicolás expresa con gestos de cara y manos lo que ella dice. Tomás expone su interpretación e incluso, en un momento dado, manifiesta no haberla entendido, por lo cual Gabriela explica su idea.
Voz compartida	Es una voz compartida, aunque no por todos los estudiantes de la clase. Con posterioridad al intercambio relatado, el profesor vuelve a preguntar si los segmentos ( $\bar{S T}$ y $\bar{T R}$ ) se intersecan, y no hay unidad en las respuestas. Pero, su voz sí es compartida por Tomás, Nicolás y otros niños que no tienen un lugar protagónico en el intercambio pero que aprueban lo que ella dice. Su voz representa la de estos niños, aunque ella, en lugar de usar la expresión se cruzan, previamente empleada por Tomás, hace un parafraseo usando se cortan, frase que tiene un significado más cercano a la idea de detenerse o colisionar que de interferir. En el caso de los segmentos $\bar{S T}$ y $\bar{T R}$ , el punto T está en un extremo, por lo que detiene al continuo de puntos que conforman el segmento, pues este llega hasta ahí. El despliegue de su voz nos permite afirmar que ella genera oportunidades para que sus compañeros expresen sus interpretaciones de la relación intersecarse y a la vez ella se vale de lo que dicen ellos para cambiar de idea de lo que significa.
Voz colectiva	Ella pone el tema de conversación, secundada por el profesor. Pero su voz es colectiva por cuanto la estudiante va incorporando en sus expresiones ideas sugeridas por Nicolás y Tomás, lo que incluso la lleva a cambiar su interpretación inicial acerca de la intersección entre los segmentos $\bar{S T}$ y $\bar{T R}$ o entre dos lados de un polígono. Ella expresa sus ideas al respecto y se muestra atenta a lo que dicen sus compañeros. Esto la lleva a considerar la existencia de un punto en común, sugerida por Tomás y representada por Nicolás, identificando un nuevo punto de vista sobre la situación, inadvertido antes. Al explicar su nueva perspectiva, admite la posibilidad de que los segmentos se intersequen, aunque con reservas.

Especialización del vocabulario	Combina términos coloquiales y matemáticos, apoyándose en representaciones con las manos. Por ejemplo, dice: “intersecan”, “polígono” y “punto en común”, junto con expresiones como “no tiene nada en su interior”, “no tiene líneas afuera” o “no sobresalen más líneas”. Usa línea en lugar de lado. Introduce en la conversación el término intersecan, en plural, con lo que entrevemos que ella conoce, de antemano, que se trata de una operación entre objetos. Pero antes de escuchar a sus compañeros, en lugar de referirse a la existencia de un punto en común, como criterio de verificación de la operación de intersección entre objetos, ella usa el término se cortan para explicar cuándo dos líneas se intersecan, acompañado de la representación con los dedos en cruz. En ese sentido, es posible que inicialmente tenga asociada la palabra intersecantes a un cierto tipo de objetos, las rectas.
Objetificación	Aún no concibe la intersección como una operación bien definida entre dos objetos geométricos cualesquiera, sino, de forma aún muy limitada, como un tipo de configuración. En su aprendizaje ella debería ampliar el conjunto de objetos que se pueden operar mediante la intersección, así como pasar de considerar la intersección como acción física bidireccional entre objetos particulares a verla como un conjunto definido en términos de pertenencia a los dos objetos que se operan, para en un futuro, nominalizar la operación de intersección, y predicar sobre ella. Además, en el proceso de transición discursiva, debería incluir atributos de cantidad para especificar de forma explícita a cuántos segmentos se está refiriendo. El empleo de frases como: “sus líneas no (…) (hace una X con los dedos índices) se [cruzan]” dificultan la comunicación de la idea que quiere expresar.
Mediadores visuales	La segunda expresión incorpora un gesto en el discurso para remplazar la frase se cruzan. Este gesto es parte de su expresión. En cambio, los otros gestos que acompañan sus expresiones orales (cruzar los dedos y unir las yemas de los dedos) son un apoyo para comunicarse, aunque menos sofisticados que la representación del profesor, en la que también ella se apoya.
Acciones rutinarias	Está aprendiendo a usar el criterio para decidir cuándo afirmar que dos objetos se intersecan. Este criterio aún no es una rutina que ella haya incorporado como un patrón de actividad matemática. En las expresiones se ve un avance al ir considerando la existencia de un punto en común en la decisión. Pero en la Expresión 3 se aprecia cierto recelo en emplear la frase, puesto que la representación de los segmentos $\bar{S T}$ y $\bar{T R}$ no se ajusta a las representaciones que ella recuerda, de objetos que se intersecan. Su narrativa: “No, sí se intersecan, pero no van más allá del punto que tienen en común” - es un indicio de ello.

Expresión 1	No tiene un punto en común para (gesto con los dedos formando una cruz).
Expresión 2	[Intersecarse es] que al cruzarse queda un punto ahí (señala con la boca el lugar donde quedaría la intersección de los dedos; Figura 2). Cuando se cruzan el punto es ese.

Expresión 1	Introduce la expresión punto en común, que es usada luego por Gabriela y otros estudiantes, y alude a que los segmentos $\bar{S T}$ y $\bar{T R}$ no se cruzan, haciendo un gesto con las manos.
Expresión 2	Usa expresiones del lenguaje común como “queda un punto ahí” o “cuando se cruzan”.

Expresión 1	Asiente con la cabeza cuando Gabriela menciona que los lados de los polígonos no se intersecan.) […] (Hace un gesto con las manos, cuando Cristian y Tomás mencionan que los segmentos no se intersecan.) (Figura 3).
Expresión 2	(Hace un gesto de manos (Figura 4) mientras habla.) ¡Ah, pues sí!
Expresión 3	Sí, porque se intersecan en T

Expresión 1	Inicialmente coincide con Gabriela al considerar que los segmentos ( $\bar{S T}$ y $\bar{T R}$ ) no se intersecan porque no se cortan como lo hacen las rectas intersecantes, es decir, no se cruzan.
Expresión 2	Cuando Tomás menciona la expresión “puntos en común” (que es repetida por el profesor), cambia de idea. La cámara parece haber captado el momento en el que cae en cuenta que el punto T es común a los dos segmentos y no requiere de la condición de ser interior a estos.
Expresión 3	Cuando el profesor pregunta: “¿Entonces habrá intersección o no habrá intersección?” cristaliza la idea diciendo: “Sí, porque se intersecan en T”.

Expresión 1	El gesto que hace con las manos (Figura 4) es propio del estudiante, es el primero que lo hace.
Expresión 2	Además del gesto que hace con las manos expresa sorpresa de forma evidente.
Expresión 3	Argumenta, por voluntad propia, que los segmentos son intersecantes diciendo en qué punto se intersecan.

Especialización del vocabulario	Emplea vocabulario especializado para justificar por qué los segmentos $\bar{S T}$ y $\bar{T R}$ son intersecantes.
Objetificación	La narrativa de Nicolás en la Expresión 3 refleja un grado de objetificación mayor que el de Gabriela y Tomás, al hacer mención a un objeto matemático producto de la intersección.
Mediadores visuales	Se apoya en las expresiones gestuales de Gabriela y Tomás, además de la representación de los segmentos que hace el profesor.
Acciones rutinarias	Usa correctamente el criterio de verificación de la intersección y propone una narrativa explícita sobre este. La parafraseamos así: “en los segmentos que se muestran en el tablero sí hay intersección, porque se intersecan en T”.