Meta-analysis about knowledge to teaching fractions division

Moriel, Jeferson Gomes; Wielewski, Gladys Denise; Carrillo, José

doi:10.1590/1980-4415v33n65a02

Jeferson Gomes Moriel JuniorEndereço para correspondência: Rua Profa. Zulmira Canavarros, 95, Centro Norte, Cuiabá, MT, Brasil, CEP: 78048-076. E-mail: jeferson.moriel@cba.ifmt.edu.br.

Doutor em Educação em Ciências e Matemática pela Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT-REAMEC). Professor do Instituto Federal de Mato Grosso (IFMT) e do Programa de Pós-graduação em Ensino do IFMT/UNIC, campus Cuiabá, Mato Grosso, Brasil

UNIC, IFMT, Cuiabá, Mato Grosso, Brasil

http://orcid.org/0000-0003-1526-8002

Gladys Denise Wielewski Endereço para correspondência: Av. Fernando Corrêa da Costa, 2367, Boa Esperança, Cuiabá, MT, Brasil, CEP: 78060-900. E-mail: gladysdw@brturbo.com.br.

Doutora em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC). Professora do Depto. de Matemática e do Doutorado em Educação em Ciências e Matemática (REAMEC) da Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT), Cuiabá, MT, Brasil

http://orcid.org/0000-0002-2473-2957

José Carrillo Endereço para correspondência: Avda. 3 de marzo, s/n, Huelva, España, E-21007. E-mail: carrillo@uhu.es.

Doutor em Filosofia e Ciências da Educação pela Universidade de Sevilla (US). Catedrático de Didática da Matemática e do Programa de Doutorado em Investigação em Ensino e Aprendizagem das Ciências (IEACAD) da Universidade de Huelva (UHU), campus El Carmen, Huelva, Espanha

http://orcid.org/0000-0001-7906-416X

Endereço para correspondência: Rua Profa. Zulmira Canavarros, 95, Centro Norte, Cuiabá, MT, Brasil, CEP: 78048-076. E-mail: jeferson.moriel@cba.ifmt.edu.br.

Endereço para correspondência: Av. Fernando Corrêa da Costa, 2367, Boa Esperança, Cuiabá, MT, Brasil, CEP: 78060-900. E-mail: gladysdw@brturbo.com.br.

Endereço para correspondência: Avda. 3 de marzo, s/n, Huelva, España, E-21007. E-mail: carrillo@uhu.es.

Foco		Quantidade (referências)
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Total	58	–

Perspectiva teórica	Qtde.	Trabalhos
Shulman (1986)SHULMAN, L. S. Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational researcher, New York, v. 15, n. 2, p. 4-14, 1986.	12 (41%)	(BALL, 1990BALL, D. L. Prospective elementary and secondary teachers’ understanding of division. Journal for research in mathematics education, Delaware, v. 21, n. 2, p. 132-144, 1990.; ISIKSAL; CAKIROGLU, 2007ISIKSAL, M.; CAKIROGLU, E. Pre-service teachers’ representations of division of fractions. In: PANTAZI, D. P.; PHILIPPOU, G. (Ed). Proceedings of the Fifth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. Cyprus: European Research in Mathematics Education V, 2007. p. 1916-1924.; LIN et al., 2013LIN, C.-Y.; BECKER, J.; BYUN, M.-R.; YANG, D.-C.; HUANG, T.-W. Preservice Teachers’ Conceptual and Procedural Knowledge of Fraction Operations: A Comparative Study of the United States and Taiwan. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 113, n. 1, p. 41-51, 2013. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.2012.00173.x. Acesso em: 14 out. 2014. http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.20... ; MA, 1999MA, L. Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers’ understanding of fundamental mathematics in China and the United States. New York: Taylor & Francis, 1999. 198 p.; OZEL, 2013OZEL, S. An Analysis of In-service Teachers’ Pedagogical Content Knowledge of Division of Fractions. Anthropologist, New York, v. 16, n. 1-2, p. 1-5, 2013.; REDMOND, 2009REDMOND, A. Prospective Elementary Teachers’ Division of Fractions Understanding: A Mixed Methods Study. 2009. 178 p. Thesis (Doctor of Philosophy) - University of Phoenix, Stillwater, 2009.; RIZVI; LAWSON, 2007RIZVI, N. F.; LAWSON, M. J. Prospective teachers’ knowledge: Concept of division. International Education Journal, Adelaide, v. 8, n. 2, p. 377-392, 2007. Disponível em: http://ehlt.flinders.edu.au/education/iej/articles/v8n2/Rizvi/paper.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://ehlt.flinders.edu.au/education/ie... ; SILVEIRA; SILVA, 2013SILVEIRA, M. R. A. D.; SILVA, P. V. A compreensão de regras matemáticas na formação docente: uma pesquisa sob o ponto de vista da linguagem. Education Policy Analysis Archives, Tempe, v. 21, n. 27, p. 1-24, 2013. Disponível em: http://epaa.asu.edu/ojs/artide/view/U61. Acesso em: 14 out. 2014. http://epaa.asu.edu/ojs/artide/view/U61... ; TCHOSHANOV, 2011TCHOSHANOV, M. A. Relationship between teacher knowledge of concepts and connections, teaching practice, and student achievement in middle grades mathematics. Educational Studies in Mathematics, Utrecht, v. 76, n. 2, p. 141-164, 2011.; TIROSH, 2000TIROSH, D. Enhancing prospective teachers’ knowledge of children's conceptions: The case of division of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, Delaware, p. 5-25, 2000.) (NILLAS, 2003NILLAS, L. Division of fractions: Preservice teachers’ understanding and use of problem solving strategies. The Mathematics Educator, Athens, v. 7, n. 2, p. 96-113, 2003.; SHARON; SWARTHOUT, 2014SHARON, V. V.; SWARTHOUT, M. B. Evaluating instruction for developing conceptual understanding of fraction division. In: MATNEY, G. T.; CHE, S. M. (Ed.). Proceedings of the 41th Annual Meeting of the Research Council on Mathematics Learning. San Antonio: RCML, 2014. p. 97-104.)*
MKT	10 (35%)	(BAYOUD, 2011BAYOUD, J. M. A comparison of pre-service and experienced elementary teachers’ pedagogical content knowledge (PCK) of common error patterns in fractions. 2011. 180 p. Thesis (Master of Arts). Departament of Education, American University of Beirut, Beirut.; CHARALAMBOUS; HILL; BALL, 2011CHARALAMBOUS, C. Y.; HILL, H. C.; BALL, D. L. Prospective teachers’ learning to provide instructional explanations: how does it look and what might it take? Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 14, n. 6, p. 441-463, 2011.; CHINNAPPAN; DESPLAT, 2012CHINNAPPAN, M.; DESPLAT, B. Contextualisation of Fractions: Teachers’ Pedagogical and Mathematical Content Knowledge for Teaching. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia, Gelugor, v. 35, n. 1, p. 43-59, 2012.; GARCÍA, 2013GARCÍA, A. I. M. Conocimiento profesional de un grupo de profesores sobre la división de fracciones. 2013. 72 p. Dissertação (Mestrado Didática da Matemática) - Universidad de Granada, Granada, 2013.; LI; KULM, 2008; LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.; LUO; LO; LEU, 2011LUO, F.; LO, J.-J.; LEU, Y.-C. Fundamental Fraction Knowledge of Preservice Elementary Teachers: A Cross-National Study in the United States and Taiwan. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 111, n. 4, p. 164-177, 2011. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.2011.00074.x. Acesso em: 14 out. 2014. http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.20... ; NEWTON, 2008NEWTON, K. J. An Extensive Analysis of Preservice Elementary Teachers’ Knowledge of Fractions. American Educational Research Journal, Michigan, v. 45, n. 4, p. 1080-1110, dec. 2008. Disponível em: http://aer.sagepub.com/content/45/4Z1080. Acesso em: 14 out. 2014. http://aer.sagepub.com/content/45/4Z1080... ; OLANOFF, 2011OLANOFF, D. E. Mathematical Knowledge for Teaching Teachers: The Case of Multiplication and Division of Fractions. 2011. 236f. Thesis (Doctor of Mathematics Education). Syracuse University, New York, 2011.; SALINAS, 2009SALINAS, T. M. Beyond the Right Answer: Exploring How Preservice Elementary Teachers Evaluate Student-Generated Algorithms. The Mathematics Educator, Athens, v. 19, n. 1, p. 27-34, 2009.)
Não esclarecido	6 (21%)	(GREEN; PIEL; FLOWERS, 2008GREEN, M.; PIEL, J. A.; FLOWERS, C. Reversing Education Majors’ Arithmetic Misconceptions with Short-Term Instruction Using Manipulatives. Journal of Educational Research, Philadelphia, v. 101, n. 4, p. 234-242, 2008. Disponível em: http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.3200/JOER.10L4.234-242. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.32... ; KRIBS-ZALETA, 2006KRIBS-ZALETA, C. Invented strategies for division of fractions. In: ALATORRE, S. et al (Ed.). Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Meridia: Universidad Pedagógica Nacional, v. 2, 2006. p. 371-376.; LO; MCCRORY, 2010LO, J.-J.; MCCRORY, R. Teaching Teachers through Justifying Activities. Teaching Children Mathematics, Reston, v. 17, n. 3, p. 149-155, 2010. Disponível em: http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+knowledge&pg=2&id=EJ902166. Acesso em: 14 out. 2014. http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+... ; LUBINSKI; FOX; THOMASON, 1998LUBINSKI, C. A.; FOX, T.; THOMASON, R. Learning to Make Sense of Division of Fractions: One K-8 Preservice Teacher's Perspective. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 98, n. 5, p. 247-259, 1998. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.1998.tb17298.x. Acesso em: 14 out. 2014.; PIEL; GREEN, 1994PIEL, J. A.; GREEN, M. De-Mystifying Division of Fractions: The Convergence of Quantitative and Referential Meaning. Focus on learning problems in mathematics, Framingham, v. 16, n. 1, p. 4450, 1994. Disponível em: http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+knowledge&pg=3&id=EJ485504. Acesso em: 14 out. 2014. http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+... ; RULE; HALLAGAN, 2006RULE, A. C.; HALLAGAN, J. E. Preservice Elementary Teachers Use Drawings and Make Sets of Materials to Explain Multiplication and Division by Fractions. In: Annual Preparing Mathematicians to Educate Teachers, 2006, New York. Proceedings… New York, 2006. p. 1-22. Disponível em: http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED494956.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED4949... )
Outro: MTCS	1 (3%)	(BARBOSA, 2011BARBOSA, E. P. Os Por Quês Matemáticos dos Alunos na Formação dos Professores. In: Conferência Interamericana de Educação Matemática - CIAEM, 13., 2011, Recife. Anais… Recife, 2011. p. 1-12. Disponível em: http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/1/schedConfs/1/papers/611/public/611-9763-1-PB.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conf... )
Total	29 (100%)	–

Objetivos de estudo	Qtde.	Trabalhos
Caracterização do conhecimento	18 (62%)	(BALL, 1990BALL, D. L. Prospective elementary and secondary teachers’ understanding of division. Journal for research in mathematics education, Delaware, v. 21, n. 2, p. 132-144, 1990.; BARBOSA, 2011BARBOSA, E. P. Os Por Quês Matemáticos dos Alunos na Formação dos Professores. In: Conferência Interamericana de Educação Matemática - CIAEM, 13., 2011, Recife. Anais… Recife, 2011. p. 1-12. Disponível em: http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/1/schedConfs/1/papers/611/public/611-9763-1-PB.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conf... ; CHARALAMBOUS; HILL; BALL, 2011CHARALAMBOUS, C. Y.; HILL, H. C.; BALL, D. L. Prospective teachers’ learning to provide instructional explanations: how does it look and what might it take? Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 14, n. 6, p. 441-463, 2011.; CHINNAPPAN; DESPLAT, 2012CHINNAPPAN, M.; DESPLAT, B. Contextualisation of Fractions: Teachers’ Pedagogical and Mathematical Content Knowledge for Teaching. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia, Gelugor, v. 35, n. 1, p. 43-59, 2012.; GARCÍA, 2013GARCÍA, A. I. M. Conocimiento profesional de un grupo de profesores sobre la división de fracciones. 2013. 72 p. Dissertação (Mestrado Didática da Matemática) - Universidad de Granada, Granada, 2013.; ISIKSAL; CAKIROGLU, 2007ISIKSAL, M.; CAKIROGLU, E. Pre-service teachers’ representations of division of fractions. In: PANTAZI, D. P.; PHILIPPOU, G. (Ed). Proceedings of the Fifth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. Cyprus: European Research in Mathematics Education V, 2007. p. 1916-1924.; KRIBS-ZALETA, 2006KRIBS-ZALETA, C. Invented strategies for division of fractions. In: ALATORRE, S. et al (Ed.). Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Meridia: Universidad Pedagógica Nacional, v. 2, 2006. p. 371-376.; LI; KULM, 2008; LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.; LUBINSKI; FOX; THOMASON, 1998LUBINSKI, C. A.; FOX, T.; THOMASON, R. Learning to Make Sense of Division of Fractions: One K-8 Preservice Teacher's Perspective. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 98, n. 5, p. 247-259, 1998. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.1998.tb17298.x. Acesso em: 14 out. 2014.; NEWTON, 2008NEWTON, K. J. An Extensive Analysis of Preservice Elementary Teachers’ Knowledge of Fractions. American Educational Research Journal, Michigan, v. 45, n. 4, p. 1080-1110, dec. 2008. Disponível em: http://aer.sagepub.com/content/45/4Z1080. Acesso em: 14 out. 2014. http://aer.sagepub.com/content/45/4Z1080... ; NILLAS, 2003NILLAS, L. Division of fractions: Preservice teachers’ understanding and use of problem solving strategies. The Mathematics Educator, Athens, v. 7, n. 2, p. 96-113, 2003.; OLANOFF, 2011OLANOFF, D. E. Mathematical Knowledge for Teaching Teachers: The Case of Multiplication and Division of Fractions. 2011. 236f. Thesis (Doctor of Mathematics Education). Syracuse University, New York, 2011.; OZEL, 2013OZEL, S. An Analysis of In-service Teachers’ Pedagogical Content Knowledge of Division of Fractions. Anthropologist, New York, v. 16, n. 1-2, p. 1-5, 2013.; PIEL; GREEN, 1994PIEL, J. A.; GREEN, M. De-Mystifying Division of Fractions: The Convergence of Quantitative and Referential Meaning. Focus on learning problems in mathematics, Framingham, v. 16, n. 1, p. 4450, 1994. Disponível em: http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+knowledge&pg=3&id=EJ485504. Acesso em: 14 out. 2014. http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+... ; SALINAS, 2009SALINAS, T. M. Beyond the Right Answer: Exploring How Preservice Elementary Teachers Evaluate Student-Generated Algorithms. The Mathematics Educator, Athens, v. 19, n. 1, p. 27-34, 2009.; SILVEIRA; SILVA, 2013SILVEIRA, M. R. A. D.; SILVA, P. V. A compreensão de regras matemáticas na formação docente: uma pesquisa sob o ponto de vista da linguagem. Education Policy Analysis Archives, Tempe, v. 21, n. 27, p. 1-24, 2013. Disponível em: http://epaa.asu.edu/ojs/artide/view/U61. Acesso em: 14 out. 2014. http://epaa.asu.edu/ojs/artide/view/U61... ; TCHOSHANOV, 2011TCHOSHANOV, M. A. Relationship between teacher knowledge of concepts and connections, teaching practice, and student achievement in middle grades mathematics. Educational Studies in Mathematics, Utrecht, v. 76, n. 2, p. 141-164, 2011.)
Efetividade da formação	7 (24%)	(GREEN; PIEL; FLOWERS, 2008GREEN, M.; PIEL, J. A.; FLOWERS, C. Reversing Education Majors’ Arithmetic Misconceptions with Short-Term Instruction Using Manipulatives. Journal of Educational Research, Philadelphia, v. 101, n. 4, p. 234-242, 2008. Disponível em: http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.3200/JOER.10L4.234-242. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.32... ; LO; MCCRORY, 2010LO, J.-J.; MCCRORY, R. Teaching Teachers through Justifying Activities. Teaching Children Mathematics, Reston, v. 17, n. 3, p. 149-155, 2010. Disponível em: http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+knowledge&pg=2&id=EJ902166. Acesso em: 14 out. 2014. http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+... ; REDMOND, 2009REDMOND, A. Prospective Elementary Teachers’ Division of Fractions Understanding: A Mixed Methods Study. 2009. 178 p. Thesis (Doctor of Philosophy) - University of Phoenix, Stillwater, 2009.; RIZVI; LAWSON, 2007RIZVI, N. F.; LAWSON, M. J. Prospective teachers’ knowledge: Concept of division. International Education Journal, Adelaide, v. 8, n. 2, p. 377-392, 2007. Disponível em: http://ehlt.flinders.edu.au/education/iej/articles/v8n2/Rizvi/paper.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://ehlt.flinders.edu.au/education/ie... ; RULE; HALLAGAN, 2006RULE, A. C.; HALLAGAN, J. E. Preservice Elementary Teachers Use Drawings and Make Sets of Materials to Explain Multiplication and Division by Fractions. In: Annual Preparing Mathematicians to Educate Teachers, 2006, New York. Proceedings… New York, 2006. p. 1-22. Disponível em: http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED494956.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED4949... ; SHARON; SWARTHOUT, 2014SHARON, V. V.; SWARTHOUT, M. B. Evaluating instruction for developing conceptual understanding of fraction division. In: MATNEY, G. T.; CHE, S. M. (Ed.). Proceedings of the 41th Annual Meeting of the Research Council on Mathematics Learning. San Antonio: RCML, 2014. p. 97-104.; TIROSH, 2000TIROSH, D. Enhancing prospective teachers’ knowledge of children's conceptions: The case of division of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, Delaware, p. 5-25, 2000.)
Comparação entre sujeitos	4 (14%)	(BAYOUD, 2011BAYOUD, J. M. A comparison of pre-service and experienced elementary teachers’ pedagogical content knowledge (PCK) of common error patterns in fractions. 2011. 180 p. Thesis (Master of Arts). Departament of Education, American University of Beirut, Beirut.; LIN et al., 2013LIN, C.-Y.; BECKER, J.; BYUN, M.-R.; YANG, D.-C.; HUANG, T.-W. Preservice Teachers’ Conceptual and Procedural Knowledge of Fraction Operations: A Comparative Study of the United States and Taiwan. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 113, n. 1, p. 41-51, 2013. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.2012.00173.x. Acesso em: 14 out. 2014. http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.20... ; LUO; LO; LEU, 2011LUO, F.; LO, J.-J.; LEU, Y.-C. Fundamental Fraction Knowledge of Preservice Elementary Teachers: A Cross-National Study in the United States and Taiwan. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 111, n. 4, p. 164-177, 2011. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.2011.00074.x. Acesso em: 14 out. 2014. http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.20... ; MA, 1999MA, L. Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers’ understanding of fundamental mathematics in China and the United States. New York: Taylor & Francis, 1999. 198 p.)
Total	29 (100%)	–

Tipo de estudo	Shulman	MKT	Não esclarecido	Outro	Total
Caracterização do conhecimento	6 (33%)	8 (44%)	3 (17%)	1 (6%)	18 (100%)
Efetividade da formação	4 (57%)*	–	3 (43%)	–	7 (100%)
Comparação entre sujeitos	2 (50%)*	2 (50%)	–	–	4 (100%)

Conteúdo abordado	Conhecimento matemático	Conhecimento matemático e didático	Total
Somente divisão de frações	9 (31%)	7 (24%)	16 (55%)
Divisão de frações e outros conteúdos	7 (24%)	6 (21%)	13 (45%)
TOTAL	16 (55%)	13 (45%)	29 (100%)

NOMENCLATURA (SIGLA)	ALGORITMO
Inverter e multiplicar (IM)	$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a . d}{b . c}$
Igualar denominadores (ID)	$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a . d}{b . d} \div \frac{c . b}{d . b} = \frac{a . d}{b . c}$
Conversão das frações em decimais (CD)	$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a . x}{b . x} \div \frac{c . y}{d . y} = \frac{a x}{c y} = \frac{a . d}{b . c}$ , sendo b.x=d.y potências de 10.
Produtos cruzados (PC)	$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a . d}{b . c}$
Uso da unidade fracionada (UF)	Se $\frac{a}{b}$ equivale a $\frac{c}{d}$ , então $\frac{1}{d}$ equivale a $\frac{a}{b . c}$ e a unidade $\frac{d}{d}$ equivale a $\frac{a . d}{b . c}$ .
Uso do protocolo da calculadora científica (CALC)
Dividir numeradores e denominadores entre si (DND)	$\begin{array}{l} \begin{matrix} \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \div c}{b \div d} & (Caso particular: a é múltiplo de c e b é de d) \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a . c . d}{b . c . d} \div \frac{c}{d} = \frac{a c d \div c}{b c d \div d} & (Caso geral) \end{matrix} \end{array}$

Algoritmo Inverter e Multiplicar (IM)
J1) $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{\frac{a}{b} \times \frac{a}{c}}{\frac{c}{d} \times \frac{d}{c}} = \frac{\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}}{1} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}$
J2) $\begin{array}{l} \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = K \Rightarrow K \times \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \Rightarrow (K \times \frac{c}{d}) \times \frac{d}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \Rightarrow K \times (\frac{c}{d} \times \frac{d}{c}) = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \Rightarrow \\ K \times 1 = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \Rightarrow K \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \Rightarrow K = \frac{a d}{b c} \end{array}$
J3) Se o inverso de $\frac{c}{d}$ é $\frac{1}{\frac{c}{d}} = \frac{d}{c}$ , então $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}$
J4) Se $\frac{a}{b}$ é equivalente a $\frac{a c d}{b c d}$ , então $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a c d}{b c d} \div \frac{c}{d} = \frac{a c d \div c}{b c d \div d} = \frac{a d}{b c}$
Algoritmo Dividir Numeradores e Denominadores entre si (DND)
J5) $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} = \frac{a \times d}{c \times b} = \frac{a}{c} \times \frac{d}{b} = \frac{a}{c} \div \frac{b}{d} = \frac{a \div c}{b \div d}$
Algoritmo Igualar Denominadores (ID)
J6) $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a d}{b d} \div \frac{b c}{b d}$ é igual a $\frac{b d \times a d}{b d} \div \frac{b d \times b c}{b d} = \frac{a d}{1} \div \frac{b c}{1} = a d \div b c = \frac{a d}{b c}$ ou igual a $\frac{a d}{b d} \times \frac{b d}{b c} = \frac{a d}{b c}$

Nomenclaturas equivalentes das interpretações	Característica-chave
Partição¹ 1 (OLANOFF, 2011; OZEL, 2013; CONTRERAS, 2012); ; Partição com foco em compartilhar ou dividir igualmente² 2 (SINICROPE; MICK; KOLB, 2002; NILLAS, 2013); ; Compartilhamento³ 3 (PURITZ, 2005);	1. Distribuição por inteiros
Medida, cotição ou subtração repetida⁴ 4 (SINICROPE; MICK; KOLB, 2002; OLANOFF, 2011; OZEL, 2013; NILLAS, 2013; CONTRERAS, 2012); ; Empacotamento⁵ 5 (PURITZ, 2005); ; Divisão medição por comparação⁶ 6 (LO; LUO, 2012);	2. Comparação em uma grandeza
Inverso da multiplicação⁷ 7 (SINICROPE; MICK; KOLB, 2002); ; Razão unitária⁸ 8 (NILLAS, 2013); ; Inversão do fator multiplicativo⁹ 9 (CONTRERAS, 2012); ; Divisão partição por comparação¹⁰ 10 (LO; LUO, 2012);	3. Transformação de uma grandeza dada uma razão adimensional²¹ 21 É a comparação entre duas quantidades de uma mesma grandeza por meio do quociente entre elas, expressa por um número simples sem dimensão.
Proporção de valor unitário conhecido¹¹ 11 (CONTRERAS, 2012); ; Divisão medição equitativa¹² 12 (LO; LUO, 2012);	4. Proporção entre duas grandezas com um valor unitário conhecido
Determinação da razão unitária¹³ 13 (SINICROPE ; MICK; KOLB, 2002); ; Divisão partição equitativa¹⁴ 14 (LO; LUO, 2012); ; Proporção de valor unitário desconhecido¹⁵ 15 (CONTRERAS, 2012);	5. Proporção entre duas grandezas em busca do valor unitário desconhecido
Divisão como inverso do produto cartesiano¹⁶ 16 (SINICROPE ; MICK; KOLB, 2002); ; Divisão de área retangular¹⁷ 17 (LO; LUO, 2012); ; Produto e fatores¹⁸ 18 (OLANOFF, 2011; MA, 1999); ; Inverso do produto cartesiano (área)¹⁹ 19 (NILLAS, 2013); ; Inversão da multiplicação (ou fator perdido)²⁰ 20 (CONTRERAS, 2012);	6. Um fator desconhecido de um produto (área retangular)

corpus

¹
(OLANOFF, 2011OLANOFF, D. E. Mathematical Knowledge for Teaching Teachers: The Case of Multiplication and Division of Fractions. 2011. 236f. Thesis (Doctor of Mathematics Education). Syracuse University, New York, 2011.; OZEL, 2013OZEL, S. An Analysis of In-service Teachers’ Pedagogical Content Knowledge of Division of Fractions. Anthropologist, New York, v. 16, n. 1-2, p. 1-5, 2013.; CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.);
²
(SINICROPE; MICK; KOLB, 2002SINICROPE, R.; MICK, H. W.; KOLB, J. R. Interpretations of fraction division. In: LITWILLER, B. (Ed). Making sense of fractions, ratios, and proportions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2002. p. 153-161.; NILLAS, 2013);
³
(PURITZ, 2005PURITZ, C. Dividing by Small Numbers-and Why Not by 0? Mathematics in School, Leicester, v. 34, n. 5, p. 2-4, 2005. Disponível em: http://www.jstor.org/stable/30215826. Acesso em: 10 Maio 2012.
http://www.jstor.org/stable/30215826... );
⁴
(SINICROPE; MICK; KOLB, 2002SINICROPE, R.; MICK, H. W.; KOLB, J. R. Interpretations of fraction division. In: LITWILLER, B. (Ed). Making sense of fractions, ratios, and proportions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2002. p. 153-161.; OLANOFF, 2011OLANOFF, D. E. Mathematical Knowledge for Teaching Teachers: The Case of Multiplication and Division of Fractions. 2011. 236f. Thesis (Doctor of Mathematics Education). Syracuse University, New York, 2011.; OZEL, 2013OZEL, S. An Analysis of In-service Teachers’ Pedagogical Content Knowledge of Division of Fractions. Anthropologist, New York, v. 16, n. 1-2, p. 1-5, 2013.; NILLAS, 2013; CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.);
⁵
(PURITZ, 2005PURITZ, C. Dividing by Small Numbers-and Why Not by 0? Mathematics in School, Leicester, v. 34, n. 5, p. 2-4, 2005. Disponível em: http://www.jstor.org/stable/30215826. Acesso em: 10 Maio 2012.
http://www.jstor.org/stable/30215826... );
⁶
(LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.);
⁷
(SINICROPE; MICK; KOLB, 2002SINICROPE, R.; MICK, H. W.; KOLB, J. R. Interpretations of fraction division. In: LITWILLER, B. (Ed). Making sense of fractions, ratios, and proportions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2002. p. 153-161.);
⁸
(NILLAS, 2013);
⁹
(CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.);
¹⁰
(LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.);
¹¹
(CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.);
¹²
(LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.);
¹³
(SINICROPE ; MICK; KOLB, 2002SINICROPE, R.; MICK, H. W.; KOLB, J. R. Interpretations of fraction division. In: LITWILLER, B. (Ed). Making sense of fractions, ratios, and proportions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2002. p. 153-161.);
¹⁴
(LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.);
¹⁵
(CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.);
¹⁶
(SINICROPE ; MICK; KOLB, 2002SINICROPE, R.; MICK, H. W.; KOLB, J. R. Interpretations of fraction division. In: LITWILLER, B. (Ed). Making sense of fractions, ratios, and proportions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2002. p. 153-161.);
¹⁷
(LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.);
¹⁸
(OLANOFF, 2011OLANOFF, D. E. Mathematical Knowledge for Teaching Teachers: The Case of Multiplication and Division of Fractions. 2011. 236f. Thesis (Doctor of Mathematics Education). Syracuse University, New York, 2011.; MA, 1999MA, L. Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers’ understanding of fundamental mathematics in China and the United States. New York: Taylor & Francis, 1999. 198 p.);
¹⁹
(NILLAS, 2013);
²⁰
(CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.);
²¹
É a comparação entre duas quantidades de uma mesma grandeza por meio do quociente entre elas, expressa por um número simples sem dimensão.

Característica-chave	Exemplos de problemas associados	Solução [unidade]	Análise de unidades
1. Distribuição por inteiros	- Se $\frac{3}{7}$ de um bolo foi repartido entre 5 crianças, quanto do bolo terá cada uma delas? - Repartir $\frac{3}{7}$ de um saco de balas entre 5 crianças.	$\frac{3}{7} \div 5$ [do bolo] [do saco]	Dividendo e quociente tem mesma unidade, divisor inteiro
2. Comparação em uma grandeza	- Quantas vezes $\frac{1}{4}$ kg de farinha cabe em $5 \frac{1}{2}$ kg de farinha? - Hoje me exercitei $\frac{1}{4}$ de hora e ontem $1 \frac{1}{2}$ hora. Quantas vezes me exercitei hoje comparado a ontem?	$5 \frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$ [vezes] $\frac{1}{4} \div 1 \frac{1}{2}$ [vezes]	Dividendo e divisor tem mesma unidade
3. Transformação de uma grandeza, sabendo uma razão adimensional (A em B dado A/B)	- Qual é o tamanho original de um elástico que esticado mede 1½ m, sabendo que ele pode ser esticado até $4 \frac{1}{4}$ vezes seu tamanho? - João correu $1 \frac{1}{2}$ km ontem e isto é $\frac{3}{8}$ da sua meta, assim sendo, quantos quilómetros ele planeja correr?	$1 \frac{1}{2} \div 4 \frac{1}{4}$ [metro] $1 \frac{1}{2} \div \frac{3}{8}$ [km]	Dividendo e quociente tem mesma unidade, divisor é razão adimensional
4. Proporção entre duas grandezas com um valor unitário conhecido	- Quantos pacotes eu posso fazer usando $5 \frac{1}{2}$ kg de farinha sabendo que cabe $\frac{1}{4}$ kg em um pacote? - Quanto tempo um barco demora para percorrer 5½ km indo a 7 ½ km por hora?	$5 \frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$ [pacotes] $5 \frac{1}{2} \div 7 \frac{1}{2}$ [hora]	Todas unidades são diferentes, divisor é valor unitário entre duas unidades
5. Proporção entre duas grandezas em busca do valor unitário desconhecido	- Quantos quilómetros o carro percorre com 1 tanque de combustível, em se $10 \frac{1}{2}$ km ele usa $\frac{3}{4}$ de tanque? - Quantos centímetros mede uma polegada, sabendo que $2 \frac{1}{2}$ polegadas medem aproximadamente $6 \frac{1}{3}$ cm?	$10 \frac{1}{2} \div \frac{3}{4}$ [km por tanque] $6 \frac{1}{3} \div 2 \frac{1}{2}$ [cm por pol.]	Todas unidades são diferentes, quociente é valor unitário entre as unidades
6. Um fator desconhecido de um produto (área retangular)	- Se a área de um retângulo tem $3 \frac{3}{4}$ e sua largura $1 \frac{1}{2}$ , qual é seu comprimento? -Sete metros de arame são suficientes para cercar a horta retangular de largura $1 \frac{1}{2}$ metros e área $3 \frac{3}{4}$ m²?	$3 \frac{3}{4} \div 1 \frac{1}{2}$ [metro]	Dividendo e quociente tem unidades diferentes

Erros para $\frac{1}{4} \div 4 = ?$	$\frac{1 \div 4}{4 \div 4} ou \frac{1}{4} \times 4 ou \frac{1}{4 \div 4} ou \frac{4}{1} \times 4$
Erros para $\frac{1}{4} \div \frac{3}{5} = ?$	$\frac{1}{4} \times \frac{3}{5} ou \frac{3}{4 \div 5}$
Erros para $4 \div \frac{1}{4} = ?$	$4 \div 4 ou \frac{1}{4} \times 4$
Erros para $320 \div \frac{1}{3} = ?$	320 ÷ 3

[1] Endereço para correspondência: Rua Profa. Zulmira Canavarros, 95, Centro Norte, Cuiabá, MT, Brasil, CEP: 78048-076. E-mail: jeferson.moriel@cba.ifmt.edu.br.

Brasil

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Meta-analysis about knowledge to teaching fractions division

Abstract