Niveles de conocimiento aritmético de estudiantes de educación primaria activados al resolver problemas aditivos: un análisis desde las conexiones matemáticas

Primary school students’ arithmetic knowledge levels activated when solving additive problems: an analysis from mathematical connections

Resumen

En esta investigación se exploró el nivel de conocimiento aritmético de estudiantes de primaria en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal aditivos con base en conexiones matemáticas. Teóricamente, el estudio se fundamentó en las clasificaciones de problemas según su estructura semántica, los niveles de conocimiento aritmético y las conexiones matemáticas. Los participantes fueron dos estudiantes colombianos de primaria (4° y 5°). Para la colecta de datos se diseñaron y formularon veinte problemas aditivos que fueron aplicados en forma de cuestionario, luego, se desarrolló una entrevista semiestructurada para conocer cómo fue la experiencia de cada estudiante en la resolución de los problemas. Los resultados evidenciaron las conexiones matemáticas (representaciones diferentes, parte-todo, implicación, reversibilidad, procedimental…) establecidas por los estudiantes para resolver problemas y los niveles de conocimiento aritmético alcanzados. En este sentido, los estudiantes alcanzaron el nivel 4 de relaciones direccionales porque resolvieron problemas con estructuras de igualación y comparación que son los más complejos de resolver. También, lograron el nivel 3 porque resolvieron problemas de combinación con la incógnita en una parte del todo y problemas de comparación. Los estudiantes consiguieron el nivel 2 porque resolvieron problemas de cambio aumento y disminución con la incógnita en la cantidad de modificación y se obtuvieron en el nivel 1 porque resolvieron problemas de cambio con la incógnita en la cantidad final y combinación con la incógnita en el todo. No obstante, a pesar de que los estudiantes alcanzaron el nivel 4, uno de ellos tuvo dificultes para resolver los problemas de igualación 3 y 4 porque no estableció la conexión procedimental y el otro estudiante no resolvió el problema de igualación 5 por no establecer conexiones de representaciones diferentes.

Estructuras semánticas; Problemas aditivos; Conocimiento aritmético; Conexiones matemáticas; Educación primaria

Abstract

This research explored the level of arithmetic knowledge of primary school students in solving additive verbal arithmetic problems based on mathematical connections. Theoretically, the study was based on the classifications of problems according to their semantic structure, levels of arithmetic knowledge and, mathematical connections. The participants were two Colombian primary school students (4th and 5th). For data collection, twenty additive problems were designed and formulated that were applied in the form of a questionnaire, then a semi-structured interview was developed to find out what the experience of each student was like in solving the problems. The results showed the mathematical connections (different representations, part-whole, implication, reversibility, procedural...) established by the students to solve problems and the levels of arithmetic knowledge achieved. In this sense, the students reached level 4 of directional relationships because they solved problems with equalization and comparison structures that are the most complex to solve. Also, they achieved level 3 because they solved combination problems with the unknown in a part of the whole and comparison problems. The students achieved level 2 because they solved change, increase, and decrease problems with the unknown in the modification quantity and they obtained level 1 because they solved change problems with the unknown in the final quantity and combination with the unknown in the whole. However, even though the students reached level 4, one of them had difficulty solving the equalization problems 3 and 4 because he did not establish the procedural connection and the other student did not solve the equalization problem 5 because he did not establish connections of different representations.

Semantic structures; Additive problem; Arithmetic knowledge; Mathematical connections; Primary education

1 Consideraciones iniciales

La resolución de problemas es importante en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en diferentes niveles escolares y universitarios (MEN, 2006; NCTM, 2000; Rodríguez-Nieto et al., 2023a) dado que promueven otros procesos como la comunicación, argumentación, conexión, razonamiento, entre otros. De hecho, es esencial que los estudiantes identifiquen, planteen y resuelvan situaciones cotidianas desafiantes con diversas soluciones que permitan realizar análisis y deducciones a partir de los enunciados (SEP, 2011), con el fin de formar estudiantes matemáticamente competentes. En Colombia, el informe PISA evidenció las dificultades en el dominio de los niveles de competencias matemáticas con mayor razonamiento, ubicando a la comunidad estudiantil colombiana por debajo de la media en el nivel 2 y resaltando la gravedad de la situación al adquirir un desempeño crítico con 391 puntos (OCDE, 2018).

En la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en educación primaria, existen contenidos matemáticos que se desarrollan con base en la resolución de problemas matemáticos, que es un proceso asociado a la modelación y ejecución de procedimientos donde prima el conocimiento aritmético, los cuales, según Rodríguez-Nieto et al. (2019), Tarín y Tárraga (2021) se están viendo afectados por la escasa evidencia de todos los problemas propuestos en los libros de texto (poco desafiantes). La problemática redunda en la limitación de problemas aritméticos de tipo aditivo simples, con la incógnita en la cantidad final, sin expandir la amplia clasificación con la implementación de distintas estructuras y la mezcla entre ellas, por lo que se sugiere que el grupo docente procure implementar diversos problemas aditivos, abarcando en su totalidad el espectro de problemas. Cabe resaltar que no se busca desmeritar los lineamientos y contenidos contemplados en los planes de estudio del área de matemáticas recomendados por el MEN (2006), sino más bien, expandir estos conceptos y aterrizarlos a la cotidianidad.

Particularmente, los problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV) aditivos son un tipo de problema matemático que fortalece las competencias de comprensión e interpretación en el estudiante, asociando cada situación con la realidad misma. Estos problemas, según Rizo y Campistrous (1999) invitan al resolutor a dar respuesta al desafío, el cual puede estar ligado a indicios verbales que permiten identificar e inferir la operación necesaria para hallar la solución. La literatura reporta que pioneros como Vergnaud y Durand (1976), Vergnaud (1982) constataron así el carácter de los PAEV aditivos, sus particularidades, características y fines contributivos en el desarrollo de situaciones problema.

Heller y Greeno (1978), Nesher (1982) y otros más, comenzaron a estudiar minuciosamente la estructura de los posibles PAEV aditivos que podían darse, para concretar una clasificación diversificada de estos problemas, resultando los siguientes: cambio, combinación, comparación e igualación. Rodríguez-Nieto et al. (2019) develaron la amplia dificultad en las estructuras de tipo comparación e igualación, causados por la dificultad en la aplicación de diversas etapas de resolución, la complejidad de los enunciados por los indicios verbales, la escasez de problemas y la poca efectividad que se evidencian en los libros de texto. De esta forma, en el estudio de los problemas de enunciado verbal se evidenciaron aspectos relevantes e imprescindibles como palabras clave, orden de los indicios verbales, incógnita, etapas y desafío, dando paso a una clasificación interna dentro de cada tipo de problema por la llamada componente sintáctica. Frente a estos estudios, Puig y Cerdán (1998), lograron establecer por medio del orden de los datos y la ubicación de la incógnita, veinte estructuras de PAEV aditivos.

Un conglomerado de autores se ha centrado en desglosar y manifestar aspectos que son pieza esencial para resolver PAEV aditivos. Por ejemplo, Castro, Gorgorió y Prat (2014, 2015), Devia y Mateus-Nieves (2021) y Ortiz et al. (2021) centraron su mirada en el docente y su formación para la enseñanza de los problemas aditivos, resaltando el papel de los indicios verbales, y el vocabulario que se encuentra presente en el enunciado, el cual constituye la vía de identificación de la operación u operaciones que darán solución al desafío. De esta forma, Arellano; Hernández y Hernández, (2021) insisten en resaltar el rigor y la dificultad para planificar un problema, debido a la dependencia con aspectos como la estructura semántica, la lingüística, la intencionalidad, la sintáctica y el sentido de cada situación. Rojas y Sotelo (2022) muestran los errores que los estudiantes cometen frecuentemente al resolver problemas aditivos, realizando comparaciones con las estructuras de mayor complejidad y una clasificación de errores en el planteamiento y la solución expuesta por Casajús (2005).

Pérez (2021, 2022) describe la importancia del contexto, la intencionalidad y la realidad a la hora de interpretar PAEV aditivos, es decir, es necesaria una vinculación entre lo cotidiano y lo matemático. Olivares, Segovia y Lupiañez (2019) analizaron los problemas que aparecen en los libros texto, donde se revela que la mayoría de problemas conducen a la enseñanza de métodos y procedimientos mecánicos que ayudan a entender los problemas y resolverlos, además, se identificaron muchos problemas rutinarios de una etapa (simples) cuya aplicabilidad ha sido monótona, y pocos problemas complejos de más de una etapa (compuestos) cuya solución era diversa (Rodríguez-Nieto et al., 2019; Rodríguez-Nieto et al., 2023a) resaltando la necesidad de adaptar los contenidos y seguir ahondando en toda la gama de situaciones problemas que producen un desarrollo cognitivo en el estudiante y un óptimo aprovechamiento de los contenidos.

Por su parte, Gómez y Oller (2019) diseñaron y aplicaron un conjunto de problemas aditivos con una etapa de resolución en cursos de primaria, brindando una estrategia que ayudara a los estudiantes a efectuar procedimientos algebraicos para conseguir la solución. Se logró develar que estos problemas no están contenidos en los libros de texto, no obstante, es necesaria su intervención desde la primaria e incluso al iniciar la secundaria, debido a que sirven de base para el álgebra. Los PAEV aditivos se caracterizan por presentar enunciados con incógnitas, lo que difiere en una conexión entre la aritmética y el álgebra, o lo que se podría conocer como álgebra temprana, la cual según Kieran (2018) permite incursionar en patrones y estructuras algebraicas que subyacen de forma implícita, en situaciones problema aritméticas. De este modo, hay una trascendencia procedimental en los problemas aditivos, pues su carácter matemático contribuye al desarrollo de temas venideros.

Jiménez (2022) declara en su investigación la implementación de diversas herramientas que ayudan al desarrollo de la resolución de problemas. En este caso, el programa FEMAT acoge un grupo de actividades lúdicas, que buscan llamar la atención de los estudiantes y desarrollar las funciones ejecutivas para la resolución de problemas aditivos. A través de este programa se busca promover las competencias por medio de juegos, colores y materiales didácticos. Alineado a esto, Nesher (1999), Ramos, Castro y Castro-Rodríguez (2016), Rodríguez-Nieto et al. (2019), Barajas-Caballero y Niño-Bernal (2021) crearon y adaptaron un conjunto de esquemas y sistemas de figuras por medio de revisiones de la literatura con el propósito de resolver problemas aditivos. Estos esquemas contienen círculos, cajas, colores, flechas y otras figuras que indican la posición de los datos, la incógnita, el razonamiento, la operación que amerita cada situación y la respectiva solución. Además, cada esquema puede adaptarse conforme a la condición o el ritmo de aprendizaje de cada estudiante. Ramos, Castro y Castro-Rodríguez (2016) manifestaron instrucciones para la creación de sistemas esquematizados para niños con necesidades especiales para la resolución de problemas aditivos.

Es importante mencionar que, aunque esta investigación está direccionada en la resolución de problemas (enfoque matemático), se reconoce el papel fundamental de la lingüística y la semántica (Bojacá; Morales; Bustamante, 2000) para esta actividad desde aspectos como la comunicación, el lenguaje, la conexión, la argumentación y la comprensión lectora (Rodríguez-Nieto et al., 2019; Rodríguez; Jaimes, 1999; Torres, 2015).

En cuanto a la temática de conexiones matemáticas se han evidenciado varias investigaciones enfocadas en fomentar la comprensión de conceptos matemáticos a partir de las relaciones necesarias que un sujeto puede hacer para resolver problemas (Berry; Nyman, 2003; Businskas, 2008; Pambudi; Budayasa; Lukito, 2020). La mayoría de los estudios sobre conexiones tratan temas de Cálculo diferencial e integral, funciones, geometría, conexiones etnomatemáticas (Campo-Meneses et al., 2021; De La Fuente; Deufoleu, 2022; García-García; Dolores-Flores, 2021; Rodríguez-Nieto; Alsina, 2022; Rodríguez-Nieto; Escobar-Ramírez, 2022; Rodríguez-Nieto et al., 2023b; Cantillo-Rudas et al., 2024) y también sobre el conocimiento del profesor en torno a las funciones (Hatisaru, 2022). No obstante, la mayoría de los trabajos puntualizan en que se deben promover las conexiones para que los estudiantes, profesores y futuros profesores transiten por varias representaciones, hagan procedimientos variados y consistentes, modelen situaciones de la vida real y las interpreten desde el ámbito matemático (Rodríguez-Nieto et al., 2022a). De hecho, se enfatiza la influencia de las conexiones entre representaciones simbólicas para resolver problemas aritméticos, reconociéndose que existe dificultad para hacer traducciones entre lenguajes y expresiones aritméticas de comparación (Frías; Castro, 2007). Por ello, es fundamental y plausible seguir investigando sobre la resolución de estos problemas basado en conexiones.

Teniendo en cuenta la cantidad de investigaciones referentes a la resolución de PAEV aditivos según su estructura semántica y su componente sintáctica y las recomendaciones que hacen para seguir incursionando en el tema, surge la necesidad de conocer cómo los estudiantes resuelven algunas situaciones problemas encaminadas a la cotidianidad y cuál es el nivel de inferencia en el que se ubican de acuerdo a las respuestas que estas brinden, al igual que conocer qué métodos o pasos son utilizados para llegar a una solución. En este orden de ideas, Rojas y Sotelo (2022, p. 8) afirman que, “los estudiantes, aunque tienen ideas para resolver problemas, estas presentan inconsistencia y no logran concretizarla por fallas en las operaciones […] y la poca práctica en la traducción del problema verbal al lenguaje aritmético”. Por lo tanto, el objetivo de esta investigación es explorar los niveles de conocimiento aritmético de dos estudiantes de básica primaria cuando resuelven problemas aditivos con base en conexiones matemáticas.

Esta investigación es pertinente porque las dificultades presentadas anteriormente son realmente desconexiones o conexiones fundamentales que los estudiantes de alguna manera han dejado de hacer cuando resuelven problemas aditivos, por ejemplo, los errores de traducción del problema a la expresión matemática es una conexión de representaciones diferentes que no se ha ejecutado y los errores en la ejecución de una operación se refieren a conexiones procedimentales. En este contexto, Castillo y Ramírez (2013) identificaron que las dificultades asociadas a la comprensión lectora en los niños de los primeros grados de Educación Primaria son causadas por la no comprensión de términos matemáticos lo cual no permite hacer inferencias, interpretaciones y no reconocer la operación necesaria conectada a operaciones aditivas coherentes con el enunciado.

Otros investigadores (Ng et al., 2021; Zhou et al., 2012), manifiestan que las habilidades de comprensión lectora son la clave para la construcción de la ecuación o modelo matemático, pero los estudiantes tienen dificultades para encontrar la cantidad desconocida en un problema por la poca habilidad sintáctica que requiere la resolución de problemas aditivos, especialmente cuando las estructuras ameritan una comparación o igualación. De hecho, cuando se le propone a un estudiante o profesor un problema con estructura semántica y sintáctica sencilla con la incógnita en el final, es más fácil de comprender y resolver. Sin embargo, “esto puede pasar por alto y subestimar el verdadero efecto de la comprensión lectora en la resolución de problemas” (Ng et al., 2021, p. 599), es decir, no hacer conexiones de significado y de representaciones diferentes. Cabe resaltar que, los niños obtienen respuestas correctas cuando primero generan una ecuación correcta y luego calculan la respuesta matemática correcta.

2 Fundamentación teórica

2.1 Problemas aditivos de enunciado verbal

El constructo problema ha sido definido por los investigadores de diferentes maneras. Para Rizo y Campistrous (1999) es una situación desafiante en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarla, donde la vía de solución es desconocida para el resolutor y necesita ser resuelta a partir de una serie de datos. Mientras que, para Vergnaud (1991) los problemas aditivos se definen como un conjunto de problemas que contienen como camino la implementación de dos operaciones: adición y sustracción, cuya intencionalidad requiere una comprensión de la situación, para luego darle solución al desafío que éste demanda, los cuales se caracterizan por presentar una o varias etapas en su resolución.

Rodríguez-Nieto et al. (2019) señalan que los PAEV aditivos tienen un sentido cotidiano, puesto que estos van alineados a hechos que pueden ser percibidos por el estudiante en su vida diaria, dando lugar, a la importancia de las matemáticas y su relación con el entorno. Por su parte, Heller y Greeno (1978), y Riley, Greeno y Heller (1983) retomando los trabajos hechos por Vergnaud y Durand (1976) afirmaron que los PAEV aditivos se clasifican de acuerdo con su estructura semántica y su componente sintáctica. Es decir, todos los PAEV aditivos no son iguales, sino que hay palabras o estructuras (indicios verbales) que se encuentran inmersas en cada situación, al igual que el orden, los datos y las incógnitas.

Heller y Greeno (1978) reportan que las estructuras semánticas que pueden ser apreciadas en los distintos PAEV aditivos son: cambio, combinación y comparación. Autores como Cañadas y Castro (2011) afirmaron que la estructura cambio, integra 3 elementos participantes. La cantidad inicial que se espera ser modificada por una cantidad de cambio, para llegar a una cantidad final. En este tipo de estructura, la incógnita puede ubicarse en la cantidad final, cantidad de cambio o cantidad inicial. El sentido de la cantidad de cambio varía de acuerdo con la operación, puede ser aumento o disminución. Posteriormente, Cañadas y Castro (2011) afirmaron que la estructura de combinación integra dos elementos y/o cantidades que forman parte de un todo, las cuales están incluidas en su totalidad. La incógnita puede encontrarse en una de las partes, o simplemente en la parte todo.

Orrantia, González y Vicente (2005) definieron la estructura de comparación como la relación de dos cantidades. En esta estructura, se identifican indicios verbales propios como más que y menos que. La incógnita puede ubicarse en la diferencia, en el comparado y en el referente, asociando esto a relaciones de aumento o disminución. Después, autores como Nesher (1982), Carpenter, Hiebert y Moser (1981) establecieron la cuarta estructura semántica vigente, asociada a las 3 mencionadas anteriormente: igualación, la cual según Cañadas y Castro (2011) se define como una necesidad de igualación y/o congruencia entre dos cantidades por medio de acciones o condiciones inmersas en la situación problema. Aquí, la incógnita puede ubicarse en la igualación, el comparado y en el referente, asociando esto a relaciones de aumento o disminución (Cuadro 1).

Cuadro 1
Clasificación de PAEV aditivos según la estructura semántica y su componente sintáctica.

Estructura semántica	Descripción de la componente sintáctica
		Incógnita en la cantidad final (C1)
	Aumento	Incógnita en la cantidad de cambio (C2)
Cambio		Incógnita en la cantidad inicial (C3)
		Incógnita en la cantidad final (C4)
	Disminución	Incógnita en la cantidad de cambio (C5)
		Incógnita en la cantidad inicial (C6)
Combinación	Incógnita en la cantidad total (CB1)
	Incógnita en una de las partes que conforman el todo (CB2)
Comparación	Aumento	Incógnita en la diferencia (CP1)
		Incógnita en el comparado (CP2)
		Incógnita en el referente (CP3)
	Disminución	Incógnita en la diferencia (CP4)
		Incógnita en el comparado (CP5)
		Incógnita en el referente (CP6)
Igualación	Aumento	Incógnita en la igualación (IG1)
		Incógnita en el comparado (IG2)
		Incógnita en el referente (IG3)
	Disminución	Incógnita en la diferencia (IG4)
		Incógnita en el comparado (IG5)
		Incógnita en el referente (IG6)

2.2 Niveles de conocimiento aritmético

Los niveles de conocimiento aritmético están relacionados con las estructuras semánticas, es decir, cada una condiciona un nivel. Nesher (1999) estableció los cuatro niveles de conocimiento aritmético en la resolución de los PAEV aditivos, los cuales son: recuentos, cambio, parte-todo y relaciones direccionales.

Según Nesher (1999) el nivel 1: recuentos, posiciona al estudiante capaz de realizar conteos, identificar relaciones de orden (mayor que, menor que) y efectuar procedimientos de operaciones simples. El nivel 2: cambio, ubica al estudiante capaz de interpretar y comprender situaciones de causa y efecto, evidenciando la cantidad que provoca la modificación. En el nivel 3: parte-parte-todo, el estudiante es capaz de igualar cantidades e identificar la relación inversa entre la adición y la sustracción y su aplicabilidad. En el nivel 4: relaciones direccionales, el estudiante desarrolla situaciones complejas y unificadas, realizando comparaciones entre cantidades, establecer igualdades y desigualdades, siendo el nivel superior. Desde las distintas estructuras resultantes de la clasificación de los PAEV aditivos, Nesher (1999) establece relaciones con las estructuras que condicionan y activan cada nivel (Cuadro 2).

Cuadro 2
Niveles de conocimiento aritmético en la resolución de PAEV aditivos

Nivel	Nombre	Estructuras aprobadas
1	Recuentos	C1, C2, CB1.
2	Cambio	C3, C4.
3	Parte-parte-todo	CB2, C5, C6, CP1, CP2, CP3, CP4.
4	Relaciones direccionales	CP5, CP6, IG1, IG2, IG3, IG4, IG5, IG6.

Para el desarrollo y la resolución de PAEV aditivos, siempre se hace necesario el despertar de la interpretación de los enunciados, reflexionando sobre cada uno de los apartados que el mismo presenta. El desarrollo de competencias matemáticas y lingüísticas se adquiere por medio de la resolución de problemas, por lo que, el método de Polya (1965) es una estrategia fundamental para la resolución exitosa de PAEV aditivos. Meneses y Peñaloza (2019) afirman que este método constituye la resolución de problemas matemáticos y el desarrollo de las competencias matemáticas por medio de 4 fases, las cuales se les atribuye un conjunto de preguntas que van guiadas a la resolución y el análisis del problema. Estas fases son: 1) Entender el problema (¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?), 2) Configurar un plan (¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿Has visto el mismo problema planteado de forma ligeramente diferente?), 3) Ejecutar el plan (¿Puedes ver claramente si el proceso es correcto? ¿Puedes demostrarlo? ¿Qué has realizado?) Y 4) visión retrospectiva (¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?

Es importante visualizar las relaciones entre los niveles de conocimiento aritmético y las conexiones matemáticas, por ejemplo, sin un estudiante resuelve un problema de cambio 1 con incognita en la cantidad final, activa conexiones de: 1) representaciones diferentes mediante un proceso de matematización, 2) procedimental cuando ejecuta las operaciones y, podrían emerger otras conexiones de representaciones equivalentes en los tratamientos (Duval, 2006) realizados en el procedimiento o bien, representaciones alternas cuando hacen gráficos o representaciones icónicas. En este contexto, con base en estas conexiones el estudiante activa el nivel de conocimiento artimético referido a recuentos u operaciones sencillas. Por otra parte, si el estudiante desea resolver un problema aditivo de igualación (que en la literatura se consideran los más desafiantes), debe activar las mismas conexiones (representaciones diferentes, procedimental) pero, al traducir del lenguaje escrito al simbólico deberá reconocer y comprender la complejidad de la estructura de igualación porque primero debe hacer una comparación entre cantidades y luego una modificación de aumento o disminución aludiendo a la estructura de cambio.

2.3 Conexiones matemáticas en la Educación Matemática

Para efectos de esta investigación una conexión matemática es entendida como “un proceso cognitivo a través del cual una persona relaciona dos o más ideas, conceptos, definiciones, teoremas, procedimientos, representaciones y significados entre sí otro, con otras disciplinas o con la vida real” (García-García; Dolores-Flores, 2018, p. 229). Se pueden clasificar en dos grandes grupos: intramatemáticas que “se establecen entre conceptos, procedimientos, teoremas, argumentos y representaciones matemáticas entre sí” (Dolores-Flores; García-García, 2017, p.160), y conexiones extra matemáticas que “establecen una relación de un concepto o modelo matemático con un problema de contexto (no matemático) o viceversa” (Dolores-Flores; García-García, 2017, p. 161). A continuación, se describen las tipologías de conexiones matemáticas reconocidas por la literatura:

1. Conexiones orientadas a la instrucción: Se refiere a la comprensión de un concepto C basado en dos o más conceptos previos A y B, necesarios para ser entendidos por un sujeto. Además, estas conexiones se manifiestan de dos formas: (a) asociación de un nuevo tema con conocimientos previos, (b) conceptos y procedimientos matemáticos relacionados entre sí se consideran requisitos previos o habilidades que los estudiantes deben dominar antes el desarrollo de un nuevo concepto (Businskas, 2008; Mhlolo, 2012).

2. Procedimental: Esta conexión matemática es evidente cuando se utilizan reglas, algoritmos o fórmulas para llegar a un resultado (García-García, 2019; García-García; Dolores-Flores, 2021).

3. Parte-todo: Este tipo de conexión se da cuando alguien establece relaciones lógicas entre conceptos matemáticos: generalización (A es una generalización de B, donde B es un caso particular de A) o inclusión (A es parte de B o B está contenido en A) (Businskas, 2008; García-García, 2019).

4. Implicación: Este tipo de conexión es una relación lógica si-entonces ($(A\to B)$) (Businskas, 2008; Mhlolo, 2012). El procedimiento que existe en esta relación se presenta a través del razonamiento lógico. Mhlolo (2012) sostiene que, en el razonamiento deductivo, la conclusión se llega a partir de hechos previamente conocidos (las premisas).

5. Representaciones diferentes: pueden ser alternas o equivalentes (Businskas, 2008). Las primeras emergen cuando un estudiante representa un concepto matemático de dos o más maneras diferentes en diferentes registros de representación: grafo-algebraico, verbal-grafo, etc. Mientras que las equivalentes ocurre cuando se representa un concepto matemático de diferentes formas, pero dentro de un mismo registro semiótico.

6. Característica: Se identifica cuando el sujeto manifiesta alguna característica de los conceptos o describe sus propiedades en términos de otros conceptos que las hace diferentes o similares a otros (Eli; Mohr-Schroeder; Lee, 2011; García-García; Dolores-Flores, 2021).

7. Significado: esta conexión matemática se presenta “cuando los estudiantes atribuyen un sentido a un concepto matemático en tanto que es para ellos (lo que lo hace diferente de otro) y lo que representa; puede incluir la definición que han construido para estos conceptos” (García-García, 2019, p. 131). En este sentido, los estudiantes expresan lo que significa para ellos el concepto matemático, incluyendo su contexto de uso o sus definiciones (García-García, 2019).

8. Reversibilidad: se presenta cuando un sujeto parte de un concepto A para llegar a un concepto B e invertir el proceso que parte de B para volver a (García-García; Dolores-Flores, 2021). Además, García-García y Dolores-Flores (2018, p. 229) afirman que “las conexiones matemáticas emergen cuando los estudiantes resuelven tareas específicas y pueden identificarlas en sus producciones escritas o en los argumentos orales”.

9. Metafórica: son entendidas como la proyección de las propiedades, características, etc. un dominio conocido para estructurar otro dominio menos conocido (abstracto). En Rodríguez-Nieto et al. (2022b) se ejemplifica esta conexión cuando el profesor usa expresiones verbales como recorrer la gráfica sin levantar el lápiz del papel, que implícitamente sugieren la metáfora conceptual la gráfica es un camino.

10. Modelado: son relaciones entre las matemáticas y la vida real y se evidencian cuando el sujeto resuelve problemas no matemáticos o de aplicación donde tiene que plantear un modelo o expresión matemática (Evitts, 2004).

3 Metodología

Con el propósito de explorar los niveles de conocimiento aritmético de los estudiantes de primaria cuando resuelven problemas aditivos, la investigación siguió una metodología cualitativa (Cohen; Manion; Morrison, 2018) llevada a cabo en cuatro fases: 1) selección de los participantes y el contexto, 2) diseño de un cuestionario con diversos tipos de PAEV aditivos, 3) aplicación de la entrevista semiestructurada y, por último, 4) se analizaron los datos con base en unidades y categorías de análisis estructuradas según el fundamento teórico.

3.1 Participantes y Contexto

Los participantes fueron dos estudiantes (niñas) de básica primaria (E1 y E2) del municipio de Manatí, Colombia, las cuales en su plan de estudio del área de matemáticas comienzan a trabajar con la aplicación de situaciones problemas cotidianos que conllevan operaciones de tipo aditivo en sus enunciados. Estas estudiantes que se encuentran en distinto grado escolar (4° y 5°) con edades de 9 y 10 años respectivamente, provienen de la misma institución educativa pública. Asimismo, la comunidad estudiantil transitaba por un periodo de adaptación a la presencialidad después de enfrentarse a un prolongado tiempo de confinamiento (generado por la Covid-19) haciendo que la educación fuese de carácter virtual. Cabe resaltar que, la participación de los estudiantes fue respaldada por el consentimiento y aprobación de los padres y responsables de ellos.

Además, solo se usaron dos estudiantes porque los profesores titulares de los cursos manifestaron que, para el tiempo de aplicación de los problemas, ellas eran las únicas que habían terminado sus evaluaciones de periodo. Ahora bien, las estudiantes no son del mismo grado (por decisiones de la escuela) y nos pareció conveniente considerar una de cada grado para estar en consonancia con la problemática identificada en la literatura especializada sobre la resolución de problemas aditivos y conexiones, al igual que contrastar los niveles, procedimientos, argumentos y resultados de acuerdo a los grados de escolaridad. Por ejemplo, generalmente los estudiantes de tercero, cuarto y quinto grado de primaria presentan dificultades para resolver problemas de comparación e igualación.

3.2 Recolección de los datos

Para recolectar los datos se usó la entrevista semiestructurada (Cohen; Manion; Morrison, 2018), entendiendo que la investigación cualitativa utiliza técnicas que permiten recabar y recolectar datos que informan la realidad particular de los hechos (Rodríguez-Gómez; Gil-Flores; García-Jiménez, 1996). Así, se aplicó un cuestionario que se presenta en el Cuadro 3. El fin aplicativo de este método fue establecer un diálogo entre los investigadores y el participante con el objetivo de profundizar en la resolución de problemas, por ejemplo, saber cómo los estudiantes resolvieron los problemas y justificaran cada uno de los procedimientos, representaciones y decisiones, asimismo se les preguntó sobre las causas de los errores que cometieron. A continuación, se muestra el cuestionario con los 20 PAEV aditivos (Cuadro 3).

Cuadro 3
– Cuestionario de 20 PAEV aditivos

Problemas de cambio
(C1) Samuel tiene 6 galletas y su mamá le obsequia 4 galletas. ¿Cuántas galletas tiene ahora Samuel?
(C2) Samuel tiene 7 galletas y se come 2. ¿Cuántas galletas le quedan?
(C3) Samuel tenía 12 galletas. Su hermano Pablo le regaló más galletas. Ahora tiene 25 galletas. ¿Cuántas galletas le regalo Pablo a Samuel?
(C4) Samuel tenía 10 galletas. Después de comerse algunas galletas, le quedan 2, ¿Cuántas galletas se ha comido Samuel?
(C5) Samuel tenía algunas galletas y su amigo Carlos le regala 5 más. Si ahora tiene 15 galletas, ¿Cuántas galletas tenía Samuel inicialmente?
(C6) Samuel tenía algunas galletas y le regala a su amigo Carlos 12 galletas. Si ahora tiene 8 galletas, ¿Cuántas galletas tenía Samuel al inicio?
Problemas de combinación
(CB1) José tiene 8 conejos blancos y 10 conejos negros, ¿Cuántos conejos tiene José en total?
(CB2) Mauricio tiene 20 vacas, algunas vacas son de color marrón y otras de color negro. Si 14 de sus vacas son de color negro, ¿Cuántas vacas son de color marrón?
Problemas de comparación
(CP1) Luis tiene 15 carros y Dina tiene 7 carros, ¿Cuántos carros tiene Luis más que Dina?
(CP2) Camila tiene 17 limones y su primo Fabián tiene 23 limones. ¿Cuántos limones tiene Camila menos que su primo?
(CP3) Juan tiene 21 aguacates. Su tía Samanta tiene 12 aguacates más que Juan. ¿Cuántos aguacates tiene la tía de Juan?
(CP4) Francisco tiene un rompecabezas de 39 piezas. Carla tiene un rompecabezas de 11 piezas menos que el de francisco. ¿Cuántas piezas tiene el rompecabezas de Carla?
(CP5) Mauro tiene 28 nietos, 14 nietos más que Fausto. ¿Cuántos nietos tiene Fausto?
(CP6) Julio tiene 55 canicas, 7 canicas menos que Felipe. ¿Cuántas canicas tiene Felipe?
Problemas de igualación
(IG1) Joaquín tiene 19 ciruelas y Lucia tiene 7 ciruelas. ¿Cuántas ciruelas necesita Lucia para tener tantas ciruelas como Joaquín?
(IG2) Camilo tiene 21 mangos y Ana tiene 15 mangos. ¿Cuántos mangos tiene que comerse Camilo para tener la misma cantidad de mangos que Ana?
(IG3) Lucy tiene 29 naranjas. Si a Marcos le regalan 6 naranjas, tendrá la misma cantidad de naranjas que Lucy. ¿Cuántas naranjas tiene Marcos?
(IG4) Fernando tiene 24 dólares. Si Mary gasta 8 dólares, tendrá tantos dólares como Fernando. ¿Cuántos dólares tiene Mary?
(IG5) Alix tiene 22 peces en su piscina y necesita 13 peces más para igualar la cantidad de peces que tiene su amiga Sofía. ¿Cuántos peces tiene Sofía?
(IG6) Vilma tiene 12 loritos y si regala 5, tendrá tantos loritos como Juanita. ¿Cuántos loritos tiene Juanita?

Estos problemas cumplen con la estructura básica (de una etapa) de problemas aritméticos de enunciado verbal de tipo aditivos propuesta en varias investigaciones previas como la de Cañadas y Castro (2011), Castro, Gorgorió y Prat (2014), Orrantia, González y Vicente (2005), Rodríguez-Nieto et al. (2019, 2023a), entre otros. Asimismo, se tienen en cuenta las estructuras semánticas con las componentes sintácticas fundamentales para promover la comprensión y competencias matemáticas de resolución de problemas. Cabe destacar que, el contexto situacional y las cantidades (datos numéricos) del problema se modificaron por motivos de originalidad del cuestionario.

3.3 Análisis de datos

Para la exploración de los niveles de conocimiento aritmético se tuvo en cuenta las categorías de conexiones matemáticas (García-García; Dolores-Flores, 2021; Rodríguez-Nieto et al., 2023b) y las unidades y categorías de análisis (Figura 1) basadas en las clasificaciones de PAEV aditivos por estructura semántica y su componente sintáctica, así como lo reportan autores como Heller y Greeno (1978), Orrantia, González y Vicente (2005) y Carpenter, Hiebert y Moser (1983).

Figura 1
– Unidades y categorías de análisis

4 Resultados

En este apartado se observará la resolución de problemas de los estudiantes en términos de las etapas del modelo de Pólya y la activación de conexiones matemáticas vinculadas con las estructuras semánticas y, luego, en qué nivel de conocimiento aritmético se ubican de acuerdo con los problemas según su estructura semántica.

4.1 Nivel 1 de conocimiento aritmético (recuentos)

Inicialmente se les entregaron las hojas con los problemas a las estudiantes, los cuales fueron leídos y comprendidos por ellas con base en sus conocimientos previos (Figura 2). En este contexto para el caso de la resolución del problema C1 los estudiantes cumplieron con la primera fase del método de Pólya al leer y comprender el problema, luego, por medio de las conexiones de representaciones diferentes lograron escribir la expresión matemática 6+4 lo cual es la configuración del plan; este fue ejecutado mediante la conexión procedimental para obtener 6+4=10 como resultado. Por último, hicieron una conclusión dando la respuesta al problema.

Figura 2
Lectura y comprensión de los problemas y conexiones matemáticas

Cuando las estudiantes eligieron la operación que se ajusta al requerimiento del problema y tradujeron el problema de un lenguaje verbal a uno simbólico y numérico establecieron la conexión de representaciones diferentes (desde otras perspectivas teóricas como el ciclo de modelización (Ledezma; Font; Sala, 2023), el proceso de transitar del enunciado del problema a la representación matemática se le denomina matematización), para así obtener la respuesta al realizar cálculos aritméticos (Figura 3). Durante la resolución del problema cuya estructura es de C2, E2 omitió el signo que identifica a la operación de sustracción (-); sin embargo, la ejecución de esta era consistente ($7-2=5$), por lo que se identifica el uso de la conexión procedimental en este proceso (Figura 3).

Figura 3
Resolución de los problemas de cambio

Las estudiantes lograron activar de manera satisfactoria el nivel 1 de conocimiento aritmético, sin tener dificultades en las soluciones encontradas cuyas estructuras son C1, C2 y CB1 (Figura 4). Es importante que los estudiantes en sus procedimientos (para el caso de CB1) transitan por varias representaciones diferentes (verbal, simbólica, numérica, concretas…) lo cual evidencia que tienen un conocimiento aritmético con el que pueden alcanzar niveles altos haciendo conexiones entre múltiples representaciones y significados para usarlos en pro de la resolución de problemas.

Figura 4
Evidencias de resolución y comparación con estructuras que evidencian la conexión procedimental.

Además, cuando E1 y E2 ejecutaron la operación hicieron la conexión procedimental y especialmente en el problema CB1 activaron la conexión parte-todo encontrando la cantidad total (18) a partir de la identificación de sus partes (10 y 8).

4.2 Nivel 2 de conocimiento aritmético (cambio)

E1 y E2 comenzaron leyendo los PAEV aditivos e identificaron la operación correspondiente, para proceder a desarrollar y halar la solución (ver Figura 5).

Figura 5
Lectura y resolución del problema

De lo anterior, se afirma que las estudiantes lograron activar el nivel 2 de conocimiento aritmético, sin tener dificultades en las soluciones encontradas cuyas estructuras de PAEV aditivos son C3 y C4 (Figura 6). Cabe destacar que, para alcanzar el nivel 2 los estudiantes establecieron las conexiones de tipo procedimental (en la ejecución de la operación) y representaciones diferentes (en la traducción del lenguaje verbal al simbólico).

Figura 6
Evidencias de resolución y comparación con estructuras

Cabe destacar que, E1 y E2 activaron las conexiones de implicación y reversibilidad dado que resolvieron el problema con estructura C3 de dos maneras considerando la adición y la sustracción como operaciones inversas en la etapa de visión retrospectiva de Polya (ver Figura 7). Al respecto, en Nesher (1982) se reconoce que cuando un sujeto hace operaciones inversas establece relaciones direccionales, es decir, si A > B entonces $A-C=B\circ B+C=A$ o $A-B=C$, en este caso $25>12$ entonces $25-13=12$ o $12+13=25$ o bien, $25-12=13$

Figura 7
– Conexión de diferentes representaciones y procedimental

4.3 Nivel 3 de conocimiento aritmético (parte-parte-todo)

E1 y E2 iniciaron leyendo de forma detallada cada enunciado de los problemas (ver Figura 9). Se destaca que, la lectura de los enunciados fue prolongada, debido a sus posibles confusiones y la complejidad de las estructuras aditivas (semánticas) implícitas. Luego de esto, las estudiantes procedieron a plantear la expresión matemática que daría la posible solución al problema (conexión de representaciones diferentes a partir de los datos), para luego realizar una operación y obtener la solución (Figura 8).

Figura 9
– Desconexión en el procedimiento.

Figura 8
Conexión procedimental, parte-todo y de representaciones diferentes para resolver el problema con estructura de CB1.

Se resalta que, en este nivel E2 tuvo una dificultad en la situación problema cuya estructura es CP2, dado que formuló de manera inadecuada la operación sin identificarla ni posicionar los valores correctamente. Se debe tener en cuenta que para la sustracción de números naturales el orden de los términos importa, pues de eso depende una solución consistente del problema. En este caso, el minuendo debe ser mayor que el sustraendo y E2 colocó la expresión 17 ¿? 23 = 8, lo cual es una formulación que no tiene un sentido en el conjunto de los naturales y sin signo. Si decimos que Camila tiene 17 limones y su primo 23, sabemos que existe una diferencia entre estas cantidades, para saber cuántos limones tiene Camila menos que su primo, E2 debió hacer una sustracción entre ambos valores. El valor mayor (minuendo) menos el valor menor (sustraendo), en este caso: $23-17=6$. Siendo 6 la diferencia o la cantidad de limones que tiene Camila menos que su primo (Figura 9).

Es posible afirmar que las estudiantes han activado el nivel 3 de conocimiento aritmético, adquiriendo habilidades para resolver PAEV aditivos de estructuras de CB2, C5, C6, CP1, CP3, CP4. Sin embargo, E2 experimentó dificultades para plantear una operación (por ejemplo, para el caso de C6, E2 usó la operación $8-12=20$ lo cual indica que no estableció la conexión de representaciones diferentes) y también ejecuta operaciones erradas para hallar una solución del problema de estructura CP2 (Figura 10). De hecho, este error de E2 es causado por no hacer las conexiones de representaciones diferentes y procedimental que involucran la comprensión y traducción del lenguaje verbal al lenguaje simbólico.

Figura 10
Evidencias de resolución y comparación con estructuras.

Para la resolución de los problemas con estructuras semánticas de CP1, CP2, CP3 y CP4 los estudiantes hicieron la conexión parte-todo dado que tuvieron que comparar las cantidades que conforman el referente, la comparación y el comparado. Por ejemplo, para resolver el problema CP1 E1 y E2 establecieron conexiones de representaciones diferentes y parte-todo (ver Figura 11).

Figura 11
Conexiones matemáticas para resolver el problema con estructura CP1

4.4 Nivel 4 de conocimiento aritmético (relaciones direccionales)

Las estudiantes empezaron leyendo los problemas aditivos, puesto que durante este desafío se requería de un análisis del texto y comprensión (Figura 12). Después de esto, E1 y E2 usaron la conexión de representaciones diferentes traduciendo los datos del problema a una expresión matemática y, posteriormente, ejecutaron la operación que dará solución al desafío por medio de la conexión procedimental (Figura 12). Particularmente, para resolver el problema de IG2, E1 y E2 establecieron conexiones necesarias como la procedimental para lograr el resultado correcto, por ejemplo, E2 acudió a las representaciones concretas con base en íconos que representan la expresión $21-15=6$ que está representada simbólicamente.

Figura 12
Lectura y ejecución de los problemas

Durante este momento, las estudiantes tuvieron dificultades al concebir y ejecutar el procedimiento. E1 tuvo falencias en dos problemas de igualación consecutivos (IG3 e IG4). En el problema IG3, la estudiante formuló de manera inadecuada la operación que el ejercicio requería, por ejemplo, colocó $29+6=35$ alegando que Marcos tenía 35 naranjas, esta es una inconsistencia si el mismo PAEV aditivo nos indica que a este personaje le falta cierta cantidad de naranjas para igualar a Lucy que tiene 29 naranjas. Basado en esto, es indiscutible que Marcos debe tener menos de 29 naranjas para que al regalar 6, pueda igualar a Lucy. Así, la operación indicada debió ser $29-6=23$, siendo esta la respuesta y, a su vez, la cantidad inicial de naranjas que tiene Marcos (Figura 13a en Figura 13).

Figura 13
Dificultades en la resolución de problemas

En el problema IG4, la estudiante formuló de forma exitosa la operación, no obstante, al resolver la adición, la suma (resultado) es inconsistente. La estudiante formuló $24+8=36$, siendo incorrecto puesto que $24+8=32$. En este caso, Mary tiene 32 dólares, gastando 8 dólares logrará igualar a Fernando que tiene 24 dólares (Figura 13b en Figura 13). Ahora bien, en el caso de la E2 tuvo dificultad para la realización del problema aditivo con estructura semántica es IG5, donde formuló de manera adecuada la operación, no obstante, al realizar la respectiva adición entre los sumandos, la suma obtenida es inconsistente porque la operación formulada y resuelta fue: $22+13=34$, pero en realidad es $22+13=35$. En este caso, Sofía tiene 35 peces, que es la cantidad que necesita igualar Alix teniendo 22 peces y necesitando adicionalmente 13 peces más (Figura 13c en Figura 13). En relación con este suceso, Ng et al. (2021) afirma que, “la capacidad de crear un plan (es decir, una ecuación) no garantiza obtener una solución correcta” (p. 601) porque se debe asegurar que las operaciones aritméticas (conexiones procedimentales) estén correctas.

En síntesis, las estudiantes activaron el nivel 4 de conocimiento aritmético, pero con algunas dificultades. E1 presentó dificultades en problemas con estructuras de IG3 e IG4 y E2 evidenció la dificultad en problemas con estructura IG5. De esta forma, se resaltan desarrollos exitosos en estructuras de CP5, CP6, IG1, IG2 e IG6 (Figura 14).

Figura 14
Evidencias de resolución y comparación con estructuras

Se evidenció que la aplicación del cuestionario con los 20 PAEV aditivos permitió explorar los niveles de conocimiento aritmético (Nesher, 1999) y las estructuras semánticas activadas en dependencia de la componente sintáctica (ver Figura 15 donde los problemas correctos están en verde y con dificultad en rojo).

Figura 15
Estructuras semánticas activadas y niveles alcanzados

En el análisis realizado se reconoció que E1 y E2 tuvieron dos errores porque se les dificultó formular la operación (adición, sustracción o ninguna) y al resolver los problemas con procedimientos o cálculos inconsistentes. Por lo tanto, se afirma que ambas estudiantes respondieron los 20 PAEV aditivos, de los cuales para cada una 18 PAEV aditivos fueron exitosos y 2 de ellos con dificultad en relación con el nivel 4 de conocimiento aritmético.

Teniendo en cuenta el paso 4 del método de Pólya (visión retrospectiva) y las respuestas dadas por las participantes en la entrevista referente a la actividad como se presenta en la siguiente transcripción, se puede afirmar que las estudiantes ratificaron al final de este cuestionario sus nervios y desconocimiento inmediato de lo que les esperaba tras esas hojas de trabajo. No obstante, lograron realizar muchos problemas, formular operaciones aditivas y dar respuesta al desafío que en un primer momento invitaba a ser resuelto. Cabe resaltar que, a pesar de haber grados distintos de escolaridad, se cumplió con las expectativas de poder resolver una batería completa de 20 PAEV aditivos con diversas estructuras (cambio, combinación, comparación e igualación) sin limitarse a las estructuras cuyo procedimiento es sencillo o superficial (Orrantia; González y Vicente, 2005) (extracto de la transcripción).

El investigador (I) inicia la ronda de preguntas.

I: ok, entonces ya habiendo ustedes resuelto esa actividad ¿De qué creen ustedes que trataban todos esos problemas, toda esa batería de problemas?

E1: de matemáticas…

I: y tu E2 ¿de qué crees que trataba?

E2: de matemáticas también.

I: y algo en específico de matemáticas, ¿Qué veían ustedes en esos problemas? ¿Qué podían evidenciar?

E1: de personas que tenían más cosas que otras o así sucesivamente.

I: y tu E2 ¿Qué veías? ¿Qué asociabas? ¿Qué operaciones identificabas?

E2: también sumas y restas.

I: ¿Cuál creen que fue su dificultad en todo ese proceso?

E1: la resta.

I: y tú E2 ¿Cuál fue tu dificultad?

E2: escribirla, porque yo si las sé decir, pero no las sé escribir.

I: sabes interpretar, pero no sabes transcribir la información y esquematizarla.

I: en definitiva ¿Cómo creen ustedes que les fue al final de la actividad? ¿Cumplieron los requisitos? ¿Les fue bien? ¿Les fue mal? ¿Cómo creen ustedes que les fue?

E1: ¡yo creo que me fue bien!

E2: a mí también, creo que me fue bien.

(Diálogo entre el investigador y los estudiantes, 2024).

4.5 Implicaciones para la docencia en el marco de la Didáctica de las matemáticas

Desde la divulgación académica y la necesidad de promover el manejo completo de una batería diversificada de PAEV aditivos con todas las estructuras semánticas y sus componentes sintácticas, se expuso esta investigación en una feria sobre TIC en matemáticas y didáctica de las matemáticas organizada por una universidad del sur del departamento del Atlántico, Colombia, dándola a conocer a un público heterogéneo conformado por docentes, estudiantes y directivos de la zona, los cuales interactuaron en este escenario de enriquecimiento matemático y cultural (Figura 16).

Figura 16
Intervenciones en la feria

El trabajo cumplió la finalidad de mostrarle a los espectadores-participantes la importancia de esta temática de investigación y practicar de forma amena con cada uno de ellos, las diferentes estructuras que facilitan la resolución de los distintos PAEV aditivos con base en las estructuras semánticas y su componente sintáctica.

A continuación, se presentan algunas evidencias de cómo contribuyó este trabajo a estudiantes y profesores que participaron en una Feria de TIC y didáctica de las matemáticas (extracto de la transcripción).

DI: docente investigador, EI: estudiante investigador.

DI: ¿qué es lo más importante de este trabajo plasmando en el poster?

EI1: este poster constituye el producto final que es un artículo de la catedra de didáctica de la aritmética, básicamente lleva como título Niveles de Conocimiento Aritmético en la Resolución de PAEV Aditivos de una Etapa por Niños Colombianos de 4° y 5° de Educación Primaria. Inicialmente se hizo un estudio de la literatura donde se pudieron sacar aspectos importantes como lo es el problema, estructuras semánticas, PAEV aditivos, componente sintáctica y algunos métodos y metodologías que dan solución a los ejercicios problemas como el método de Pólya.

DI: muy bien.

EI2: teniendo en cuenta todas las revisiones literatura que dice el compañero, se estructuro una batería de problemas teniendo en cuenta las estructuras de cambio, combinación, comparación e igualación, la cual se les aplicó a dos estudiantes de cuarto y quinto grado y así conocer como ellas estructuraban los planes, como los realizaban y luego, ubicarlas en los niveles para la resolución de problemas.

DI: ¿cuáles son esos niveles?

EI2: tenemos nivel 1 que es el nivel de recuentos, nivel 2 que es el nivel de cambio, nivel 3 que es el de parte todo y nivel 4 que son las relaciones direccionales. Cada nivel constituye una gama de estructuras semánticas y componente sintáctica.

DI: o sea, ¿los niveles están condicionados por unas estructuras?

EI2: sí señor.

(Diálogo entre el docente y estudiantes, 2024).

5 Discusión y conclusiones

En esta investigación se han explorado los niveles de conocimiento aritmético alcanzados por las estudiantes cuando resuelven problemas aditivos con base en el potencial de las conexiones matemáticas. Al respecto se identificó que las dos participantes alcanzaron el nivel 4, además de que hacen conexiones de representaciones diferentes, procedimental, parte-todo, implicación, reversibilidad y el significado en ese proceso para resolver problemas de adición y sustracción. En ese sentido, se verifica que el establecimiento de conexiones matemáticas ayuda a los estudiantes a resolver problemas matemáticos y con ello el desarrollo de la comprensión matemática (Berry; Nyman, 2003; Pambudi; Budayasa; Lukito, 2020; Businskas, 2008; Campo-Meneses; García-García, 2023; Campo-Meneses et al., 2021; García-García; Dolores-Flores, 2021; Hatisaru, 2022; Rodríguez-Nieto et al., 2023b) y cuando estas se dejan de hacer existen mayores posibilidades de que los procedimientos tengan errores y son la explicación o la causa de las dificultades de los estudiantes (Rodríguez-Nieto et al., 2022a).

La resolución de PAEV aditivos desde su clasificación por estructura semántica y su componente sintáctica provee una gama enriquecida de situaciones problemas en el aula de matemáticas, aportando así, un fortalecimiento en los pilares de la aritmética y sus operaciones básicas de adición y sustracción. A través de esta investigación y los reportes de la literatura se comprobó que hay dificultades al enfrentarse a desafíos y/o situaciones problemas de tipo: igualación y comparación, imposibilitando el dominio total del nivel superior (relaciones direccionales), tal y como se plantea en Orrantia, González y Vicente (2005), Castro, Gorgorió y Prat (2014), Rojas y Sotelo (2022). En este sentido, Rodríguez-Nieto et al. (2019) afirman que, es necesario profundizar en la resolución de problemas con mayor exigencia, para así presentar al estudiante una batería completa de situaciones, sin limitarlo al manejo de las estructuras más sencillas como cambio y combinación, cuyos procedimientos son triviales.

Para el caso de las estudiantes que realizaron el cuestionario, se evidenció su dominio con la tipología de PAEV aditivos, puesto que tuvieron leves fallas en la resolución de 2 de los 20 problemas cuyas dificultades residían al momento de operar. El nivel 4 de relaciones direccionales representa el estado en el que se encuentran las estudiantes, evidenciando el manejo de estructuras desde las más sencillas a las más complejas, sin embargo, coincidiendo con los reportes de la literatura que reporta que las dificultades se presentan en las estructuras de comparación e igualación que necesitan seguir siendo afianzadas (Orrantia; González; Vicente, 2005).

Particularmente, en esta investigación se han identificado inconsistencias cometidas por las estudiantes con algunas similitudes como se reporta en Rojas y Sotelo (2022). Dentro de los problemas incorrectos o con planteamiento incorrecto se observa la sustracción de números naturales menores menos los mayores, problemas con planteamiento correcto se observan problemas incompletos por no expresar la solución de forma explícita y la concreción de operaciones sin sentido. Además, los estudiantes tuvieron problemas para traducir el problema de enunciado verbal a la expresión matemática.

En virtud de lo establecido en esta investigación, se destaca que se debe seguir fortaleciendo y potenciando el desarrollo de las situaciones problemas, puesto que es necesario dejar atrás la promoción persistente de presentar al estudiante problemas con estructuras sencillas de una etapa que instan a la monotonía, e insistir en desglosar toda una batería completa de PAEV aditivos que consolidan un desarrollo en el conocimiento aritmético y en las competencias matemáticas, interactuando con problemas mezclados y/o unificados que induzcan a la actividad con varias etapas. Para futuras investigaciones se sugiere enfatizar en esta tipología de problemas, dado que es donde se centra la complejidad de los PAEV aditivos que es importante para desarrollar la competencia de resolución de problemas en los estudiantes y la creación de problemas desafiantes por parte de los profesores y que sean de más de una etapa para establecer conexiones entre estructuras semánticas con sus respectivos esquemas.

Agradecimentos

Se les agradece a los participantes del estudio y a la institución educativa que permitió hacer las entrevistas en los trabajos de campo.

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Fechas de Publicación

• Publicación en esta colección
  07 Abr 2025
• Fecha del número
  2025

Histórico

• Recibido
  12 Oct 2023
• Acepto
  12 Ago 2024