Movimentos de Pesquisa que caracterizam a articulação entre História da Matemática e Tecnologias Digitais em Educação Matemática

Research Movements that characterize the articulation between the History of Mathematics and Digital Technologies in Mathematics Education

Resumo

Neste artigo, apresentamos um ensaio teórico acerca das pesquisas em Educação Matemática que articulam História da Matemática (HM) e Tecnologias Digitais (TD) voltadas ao ensino de matemática, considerando alguns movimentos reflexivos em prol dessa articulação. De um lado, os trabalhos de Miguel e Miorim (2019), Mendes, Fossa e Valdéz (2006), Saito (2016) e Roque (2012) advogam a favor do uso da HM como potencialidades pedagógicas para melhorias do ensino e aprendizagem de matemática. De outra parte, Borba e Penteado (2019) e Borba, Scucuglia e Gadanidis (2014) contribuem com o referencial teórico sobre TD. Apresentamos os fundamentos que subsidiam a aproximação entre HM e TD, e algumas das práticas e produtos desenvolvidos nessa perspectiva, bem como possibilidades/indicativos para a elaboração de propostas pedagógicas e novas pesquisas acrescidas da perspectiva estética (Cifuentes, 2005; Scucuglia; Idem, 2021).

Abstract

In this article, we present a theoretical essay on research in Mathematics Education that articulates the History of Mathematics (HM) and Digital Technologies (DT) focused on teaching Mathematics, considering some reflective movements in favor of this articulation. On the one hand, the works of Miguel and Miorim (2019), Mendes, Fossa, and Valdéz (2006), Saito (2016), and Roque (2012) advocate for the use of HM as pedagogical potential for improvement of teaching and learning Mathematics. On the other hand, Borba and Penteado (2019), and Borba, Scucuglia, and Gadanidis (2014) contribute to the theoretical framework of DT. We present the foundations that support the HM and DT and some of the practices and products developed in this perspective, as well as possibilities/indications for the elaboration of pedagogical proposals and new research added to the Aesthetics perspective (Cifuentes, 2005; Scucuglia; Idem, 2021).

Keywords
History of Mathematics; Digital Technologies; Mathematics Education; Aesthetics

1 Introdução

Nesta edição especial comemorativa aos 40 anos do Programa de Pós Graduação em Educação Matemática (PPGEM), vinculado à Universidade Estadual Paulista (UNESP), campus de Rio Claro, os autores foram convidados a produzir textos que apresentem relatos de pesquisa e ações de extensão, produzidas por egressos deste programa em diversos níveis (Mestrado, Doutorado e Pós-Doutorado). As pesquisas/ações desses egressos têm contribuído para a constituição da área Educação Matemática em nível nacional, bem como internacional. Nesse cenário, propomo-nos a colaborar com essa edição especial, trazendo elementos oriundos de nossas investigações, dedicados a articular a História da Matemática e as Tecnologias Digitais.

A articulação teórica entre História da Matemática e das Tecnologias Digitais tem sido discutida por alguns autores, a exemplo, Sousa (2023), durante o exercício da proposta de aliança entre HM e TD, no texto intitulado História da Matemática em alianças com Tecnologias Digitais, apresenta ao leitor a constituição dessa articulação, incluindo o delineio da aliança, um breve histórico, os elementos norteadores, os fundamentos, os produtos gerados e as atividades práticas, de modo a exemplificar sua implementação (Sousa, 2023).

No entanto, existem pesquisadores da Educação Matemática questionando os modos como essas articulações têm ocorrido. Sánchez, Castillo e Mendes (2021) no artigo História da Matemática e tecnologias digitais: do que tratam três décadas de teses e dissertações?, realizam um levantamento das teses e das dissertações disponíveis no acervo do Centro Brasileiro de Referência em Pesquisa sobre História da Matemática (CREPHIMat) a fim de investigar em que termos as Tecnologias Digitais são usadas nas pesquisas de História da Matemática para o ensino de matemática. De 728 trabalhos, os autores selecionaram 23 para compor o corpus de investigação, por identificar que estes tinham a presença de tecnologias digitais de forma direta ou indireta.

Como resultados, os autores constataram que houve o predomínio dos softwares de geometria dinâmica; dentre eles, mais de 50% constaram do uso do GeoGebra. Em suas análises, também afirmam que esse software, quando considerado para abordar o ensino de matemática, por meios de informações históricas, não estabelece a interface no momento das atividades, ou seja, a História da Matemática e o uso do GeoGebra tomam caminhos totalmente opostos. Ademais, afirmam que o GeoGebra foi utilizado “(...) como substituto do quadro branco, como planilha ou como kit de desenho geométrico o qual deixa sem explorar as vantagens desta tecnologia digital” (Sánchez; Castillo; Mendes, 2021, p. 201).

Diante desse cenário de investigações, e, considerando as pesquisas que temos desenvolvido ao longo dos últimos 5 anos, propomo-nos, nesse artigo, a apresentar e a refletir sobre diferentes articulações possíveis entre História da Matemática e Tecnologias Digitais a partir de outras tecnologias digitais, para além do GeoGebra a exemplo do podcast. Discorremos sobre a necessidade de uma maior discussão acerca dos usos e das percepções que se têm sobre as tecnologias, superando a compreensão limitada das tecnologias digitais enquanto ferramentas e recursos, avançando para práticas efetivas do que Borba e Penteado (2019) caracterizam como seres-humanos-com-tecnologias. Além disso, apresentaremos alguns estudos desenvolvidos que exploram uma perspectiva de aproximação entre História da Matemática e Tecnologias Digitais com elementos estéticos.

Diante da pretensão mencionada, nesse texto, descrevemos quatro seções; dentre elas, a presente introdução que se destina a exibir o objetivo do artigo, além de sua relevância. Sequencialmente, apresentamos o referencial teórico de autores que desenvolvem pesquisas em prol do ensino e da aprendizagem de matemática. Nela, trazemos bases/fundamentos que sustentam a proposta dos usos de História da Matemática e Tecnologias Digitais no ensino de Matemática. Como resultados, elencamos os trabalhos, por nós desenvolvidos e/ou orientados que expressam elementos constituintes e colaboradores para essa proposta de articulação entre História da Matemática e Tecnologias Digitais. A última seção consta de algumas reflexões finais das produções, bem como das projeções de novas investigações.

2 Apontamentos acerca da História da Matemática e Tecnologias Digitais¹

A literatura consultada nessa pesquisa sobre HM consta de uma revisão bibliográfica de textos dos seguintes autores: (Miguel; Miorim, 2019); (Miguel et al, 2009); (Mendes; Fossa; Valdés, 2006); (Saito, 2016), (Roque, 2012) por especificarem argumentos em prol do uso da HM.

Para Miguel et al (2009, p. 107), atividades históricas são “atividades que utilizam a história para o ensino da Matemática”. Aliado a esses indicativos respaldamo-nos nas recomendações de Mendes, Fossa e Valdés (2006), que sugerem o uso dessas atividades de maneira reflexiva e com o propósito de dar significado ao tópico matemático desenvolvido com os estudantes, levando-os a refletir, amplamente, sobre tais informações, de forma a estabelecer conexões entre os aspectos cotidiano, escolar e científico da matemática, presentes nessa atividade histórica.

Para elaborar uma atividade histórica, é preciso fazer uma pesquisa em diferentes documentos e materiais de modo a buscar “todas as informações úteis à condução da nossa ação docente e, somente a partir daí, orientar os estudantes à realização de atividades” (Mendes, 2009, p. 94). Além disso, ao selecionarmos os fatos históricos é preciso relacionar com o momento atual e cotidiano dos estudantes, sempre que possível.

Mais indicativos para as escolhas de problemas históricos são apresentados por (Miguel; Miorim, 2019, p. 51): “O aspecto motivador de um problema não reside no fato de ser ele ‘histórico’ nem de ser um ‘problema’ mas no maior ou menor grau de desafio que oferece ao estudante [... ]. As informações históricas, quando usadas nas atividades de matemática necessitam passar por adaptações pedagógicas de modo que possuam uma carga forte de aspectos provocadores [....]” (Miguel et al, 2009, p. 109). E ainda, “pode lançar mão de outros instrumentos de aprendizagem que enfatizem o processo de construção histórica [...]”, (Miguel et al, 2009, p. 112).

Adicionalmente, nossas preocupações para com os usos de HM no ensino de matemática também têm sido norteadas por uma perspectiva de historiografia atualizada, conforme proposto por Saito (2016), ou seja, ver a história como um laboratório a fim de reconhecer o movimento que faz o conhecimento e, a partir daí, elaborar um conjunto de ações com vistas a promover a articulação entre história e ensino de matemática.

Desse modo, a HM seria incumbida de revelar como os problemas surgem, ressaltando as condições e as motivações do contexto sociocultural em que os problemas emergem e quais influências estes trazem para o conhecimento científico da matemática, o que poderia ser obtido por uma historiografia atualizada como defende Roque (2012). Ademais, a HM constitui uma maneira de mergulhar nos problemas que caracterizam o pensamento de certa época em toda a sua complexidade, considerando não só os fatores científicos, mas também culturais, sociais e filosóficos com o intuito de vislumbrar o ambiente em que se definiram objetos, inventaram-se métodos e se estabeleceram resultados.

No que se refere às Tecnologias Digitais, Borba e Penteado, ao discutirem seus usos afirmam que:

[...] é necessário entender a informática como uma nova extensão da memória, com diferenças qualitativas em relação às outras tecnologias da inteligência e permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseados na simulação, na experimentação e em uma “nova linguagem” que envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea (Borba; Penteado, 2019, p. 48).

Sobre o uso de TD, elas desempenham um papel fundamental na construção da aprendizagem matemática, de modo que a informática não é apenas concebida como um apoio ao ensino de matemática, mas também do ser humano em atuação concomitante com as mídias e/ou tecnologias sendo capaz de produzir esse conhecimento matemático, a saber:

[...] entendemos que conhecimento só é produzido com uma determinada mídia, ou com uma tecnologia da inteligência. É por isso que adotamos uma perspectiva teórica que se apoia na noção de que o conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias, ou seres-humanos-com-tecnologias e não, como sugerem outras teorias, por seres humanos solitários ou coletivos formados apenas por seres humanos (Borba; Penteado, 2019, p. 48).

Sobre a expressão humanos-com-mídias, os autores Borba, Scucuglia, Gadanidis (2014, p. 40) esclarecem que tal expressão “[...] conecta os atores humanos e não-humanos, busca enfatizar que tecnologias não são neutras ao pensamento, que a produção de conhecimento matemático é condicionada pela mídia utilizada.”. Adicionalmente, tais autores apresentam alguns aspectos relacionados ao constructo seres-humanos-com-mídias, destacando, por exemplo, que as tecnologias podem moldar a matemática; nesse sentido, é preciso evitar a domesticação das tecnologias, ou seja, não utilizá-las apenas como a reprodução do quadro branco e atribuir a elas um único papel, uma única forma de uso.

Investigações acerca da interface História da Matemática / Tecnologias Digitais têm sido desenvolvidas na área de Educação Matemática, em que destacamos os estudos de Brugnera; Dynnikov, (2020) e Sousa, (2020, 2021, 2023).

As autoras Brugnera e Dynnikov (2020) apresentam uma proposta pedagógica que integra a História da Matemática e as Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) para a resolução de equações algébricas do segundo grau, abordada por meio do texto histórico do livro intitulado A Geometria, de Descartes, aliada à utilização da tecnologia com o software GeoGebra. Enfatizam a viabilidade do uso de uma proposta pedagógica que integre o uso da História da Matemática e as Tecnologias para a resolução de equações algébricas do segundo grau.

Os trabalhos de Sousa (2020, 2021, 2023) apresentam as noções denominadas atividades-históricas-com-tecnologias e investigação-histórica-com-tecnologias, as quais destacam não somente as tradicionais possibilidades do uso da História da Matemática na elaboração de tarefas matemáticas, baseadas no uso de tecnologias digitais, como também fundamentos específicos da Investigação Matemática, conforme afirma Sousa (2021, p. 154):

[...] escolha de tema/obra/documento; estudo histórico (perspectiva atualizada); proposta de Interface entre História e Ensino; levantamento de situações/problemas/obras/documentos a serem investigados (potencialidade didáticas); escolha de software/recurso (s); e ainda, proposição de produto, validação e refinamento.

A perspectiva proposta por Sousa (2020), no que por ela é intitulado de Aliança, mostra a interconexão entre História da Matemática, Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação e Investigação Matemática como elementos que podem potencializar o ensino e a aprendizagem de matemática. No que concerne a HM, por meio dela, é possível compreender como surgem os problemas, tornando evidente as condições e as motivações do contexto sociocultural em que os problemas emergem e quais influências estes trazem para o conhecimento científico da matemática. Ainda, pelos indicativos de Sousa (2020), a HM proporciona exemplos de como os problemas matemáticos surgiram e como foram resolvidos ao longo do tempo, enquanto as tecnologias digitais oferecem ferramentas e recursos que podem auxiliar os estudantes na busca por novas soluções, ao passo que a investigação matemática apresenta fomento à formulação de hipóteses e à execução de estratégias para a resolução dos problemas.

3 Aproximações entre História da Matemática e Tecnologias Digitais

A partir do interesse em pesquisas sobre História da Matemática articulada às Tecnologias Digitais, algumas formas de abordagem podem aparecer como propostas de articulação, a título de exemplo, com o formato de atividades iniciadas a partir de problemas historicamente produzidos que são encaminhados/resolvidos com o uso de tecnologias digitais tanto na formação inicial, quanto na formação continuada de professores bem como na formação de estudantes.

3.1 Primeiras aproximações

A exemplo dessa forma de abordagem, Bortoli e Rodrigues (2018), com o objetivo de trabalhar o conceito de área, a partir de um problema histórico encaminhado por materiais educativos e por tecnologias digitais, foi ofertada uma proposta de formação continuada para professores do Ensino Fundamental (Ciclo II) e, igualmente, para professores do Ensino Médio de escolas públicas de uma cidade do interior do Estado de São Paulo. Nessa formação, foi trabalhado um problema contido no papiroRhind (1650 a.C.), de número 48, cujo enunciado é: Compare a área do círculo com a do quadrado circunscrito.

A formação docente foi encaminhada de maneira colaborativa e foram levados em consideração as crenças e os saberes sobre as práticas docentes que os cursistas possuíam e, ainda, os procedimentos utilizados para o trabalho do conceito área com seus estudantes. Sequencialmente, foram apresentadas informações sobre o Papiro de Rhind que é um texto matemático na forma de manual prático, contendo 85 problemas, copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. E, ainda, foi feita a caracterização do documento com a seguinte descrição: o papiro de Rhind, com sua dimensão cerca de 0,30 metros de altura e de 5 metros de comprimento, dos 85 problemas matemáticos, 10 tratam de geometria. Informaram também que os problemas 48 e 50 diferem dos demais por apresentarem uma ilustração geométrica. Complementarmente, discorreram sobre o contexto em que aquele problema estava inserido, a saber: que os egípcios precisavam ser capazes de determinar a extensão dos celeiros cilíndricos. Os egípcios sabiam que o volume de um cilindro era, como o de um recipiente retangular, igual à área de sua base multiplicada pela altura, de modo que eles tinham que ser capazes de determinar a área da base circular (Bortoli; Rodrigues, 2018). Essas informações foram repassadas aos cursistas com o intuito de, a partir do problema histórico induzi-los a perceberem que o interesse em desenvolver o conceito de área por uma necessidade prática remonta séculos. Dessa maneira, cumpriu-se com a intenção de sugerir atividades históricas como uma história significativa ou reflexiva no sentido proposto Mendes, Fossa e Váldes (2006).

As autoras avaliaram que, nos encontros com os professores, houve a reflexão sobre os fundamentos dos conteúdos matemáticos presentes em suas práticas, além de considerações sobre a diversidade cultural na produção do conhecimento que percebida durante a exploração do problema 48 do papiro de Rhind.

A exemplo de reflexões apresentadas pelos cursistas sobre suas práticas, no estudo do conceito de área, assim como de perímetro, aplicou-se o cálculo de área, como a estimativa do número de pessoas que assistem a um show, a um comício, a uma missa, a uma apresentação, etc., num determinado local com o intuito de calcular a medida de uma superfície. Como recursos tecnológicos usou-se o GeoGebra associado a um motor gráfico² denominado Unreal Enginer³.

A proposta do jogo, associado ao software, proporcionou aos docentes a reflexão acerca da concepção de matemática, que, em muitos casos, é formalista. Vale a pena ressaltar que, ao fazer o uso da HM, foi adicionado outro instrumento de aprendizagem, enfatizando o processo de construção histórica, conforme indicativos de Miguel et al (2009), ou seja, nesse caso, o uso do software GeoGebra e do motor gráfico Unreal Engine 4, forneceram caminhos a mais para o entendimento e para a resolução do problema histórico, que constou do cálculo de áreas e estimativas de quantidades de pessoas em lugares ou em regiões delimitadas por figuras, como as encontradas no problema 48 do papiro de Rhind. Como resultados, as autoras detectaram, por um lado, as carências que os professores relatam pela falta da disciplina História da Matemática em suas formações; por outro, a disponibilidade deles em utilizar a HM em suas práticas⁴.

Nesse trabalho, observa-se a dinâmica da escolha de problemas históricos viabilizados, prioritariamente, pela tecnologia do software GeoGebra e, com mais ênfase, em explorações relacionadas a problemas da História da Matemática. A partir deles, podemos tecer alguns paralelos com o que propõe Sousa (2020), ao explanar aspectos que conectam a História da Matemática, as Tecnologias Digitais e a Investigação Matemática. A autora exibe uma lista em que cinco aspectos são identificados como elementos presentes em HM, TDIC e Investigação Matemática de maneira compartilhada: matemática como uma criação humana; promoção do conhecimento investigativo; fonte de proposição de problemas; produção da matemática genuína (trabalho do matemático) e; promoção da interação entre o aluno e o professor em aulas de matemática. Desses, podemos correlacionar os três primeiros itens. Ao abordar a matemática, a partir de problemas historicamente produzidos desmistificamos a ideia do pronto e do acabado e passamos a construir junto aos cursistas a percepção da matemática como uma criação humana. Ademais, pelos recursos tecnológicos empregados nos problemas propostos, houve a promoção de um trabalho investigativo uma vez que para cumprirem as etapas do jogo, os cursistas precisaram realizar experimentações e tentativas para concretizarem a corrida (temática do jogo).

Em Bortoli (2020), a autora, com o objetivo de promover a aproximação entre História da Matemática e Tecnologias Digitais, construiu e viabilizou um curso de extensão para professores que ensinam matemática na rede pública estadual de ensino do interior de São Paulo, abordando o conceito matemático Função, a partir de problemas históricos, encaminhados por tecnologias digitais. Para tal, delineou-se um panorama histórico sobre o conceito de Função com base na perspectiva de Youschkevitch (1976) que separa o conceito em três períodos: Antiguidade, Idade Média e Período Moderno. Durante o curso, foram apresentados aos participantes os casos particulares de dependências, o emprego do conceito de relação biunívoca a partir do problema contido na Tábua de Plimpton 322 que foi desenvolvido pelos cursistas, utilizando o aplicativo Desmos⁵. Sequencialmente, foram apresentados problemas relacionados a fenômenos da natureza com a exploração de representações gráficas de latitude das formas conforme o legado de Nicole Oresme. A resolução desses problemas também foi encaminhada pelo aplicativo Desmos. O período moderno, conforme os indicativos de Youschkevitch (1976), teve início no final do século XVI, quando começaram a prevalecer as expressões analíticas das funções, geralmente expressas por somas de séries de potências infinitas. Assim, foram trabalhadas questões referentes a notações e a simbologias constituindo marcos desse período. Os cursistas desenvolveram o problema da corda vibrante (problema originalmente proposto por D’Alembert). A resolução desse problema, na ocasião do curso, ocorreu com o auxílio do aplicativo GeoGebra.

Em suas análises, Bortoli (2020) investigou as concepções dos cursistas sobre o que seriam elementos facilitadores para o ensino de Funções por meio da interação entre HM e TD, pautada nos indicativos de Shulman (1987). Shulman (1987) que, em suas pesquisas sobre quais conhecimentos o professor precisa ter para desempenhar com sucesso sua profissão, apresenta algumas perspectivas desse conhecimento. Entre elas, estão o conhecimento relativo à gestão de sala de aula; o conhecimento dos alunos e de suas características; o conhecimento dos contextos educativos, de suas bases filosóficas e históricas; o conhecimento do currículo, do conteúdo e, ainda, o conhecimento pedagógico do conteúdo, este ponderado como conhecimento exclusivo do docente.

A partir das respostas dos cursistas, verificou-se a intenção de utilizar problemas históricos como problematizadores do conceito novo e, as tecnologias digitais como recursos para as construções desses conceitos. Pelas perspectivas de Shulman, identificaram-se manifestações de saberes docentes, emergentes ao longo do referido curso e, alicerçadas nas tarefas propostas no decorrer do mesmo, verificou-se a mobilização de saberes pedagógicos, voltados para uma prática pedagógica, evidenciando o ensejo de articular a História da Matemática e Tecnologias Digitais por parte dos cursistas.

3.2 Variação das tecnologias e o exercício de pensar-com-tecnologias

Com a intenção de apropriar-se de novas tecnologias, visando variar os instrumentos metodológicos, incorporamos um novo instrumento tecnológico, podcasts⁶, de matemática.

No trabalho de Bortoli e Rodrigues (2022), cujo objetivo foi contribuir com pessoas de baixa visão e/ou com estilo de aprendizagem auditivo, foi elaborado um curso de extensão oferecido a alunos na faixa etária com média de 14 anos, em uma escola pública do interior do Estado de São Paulo. No curso, propôs-se a escuta de um podcast que contava sobre a apresentação da álgebra egípcia e a menção dos problemas egípcio, encontrados no Papiro de Rhind. Sequencialmente, a partir desse mesmo podcast foi proposta a resolução do problema de número 24 do referido papiro, cujo enunciado é somando-se uma quantidade com sua sétima parte obtém-se 19. Qual é a quantidade? O procedimento usado pelo escriba para resolver esse problema, ficou conhecido séculos depois, na Europa Ocidental, como método da falsa posição simples. A dinâmica iniciou-se pela escuta do podcast⁷ de maneira coletiva.. No podcast há indicações dos procedimentos de resolução utilizados pelos egípcios considerando-se as notações atuais, o que foi seguido pelos estudantes cursistas. Ao final, foi aplicado um questionário pós teste com a intenção de verificar como se deu a atividade pelo viés dos alunos. Como compilação dos dados obtidos pelo questionário, observou-se que, 74% dos cursistas afirmaram que a atividade lhes proporcionou mais facilidade para resolver equações algébricas e, 84% afirmaram que continuariam usando áudios (podcasts) como recursos para estudar conceitos matemáticos (Bortoli; Rodrigues, 2022).

Alguns apontamentos resultantes dessa ação foram observados pelas pesquisadoras, a saber: o interesse dos estudantes em conhecer conceitos matemáticos praticados por outros povos, além do desejo de conhecer novas culturas, incluindo a valorização de um procedimento metodológico que consta da disponibilização dos assuntos matemáticos historicamente produzidos, viabilizados porpodcasts e disponibilizados na plataforma (https://podsmath.com/). Outrossim, os estudantes se mostraram disponíveis e curiosos ao usarem tecnologias, em especial podcasts, uma vez que eles se envolvem muito facilmente com as tecnologias e, inclusive por estarem curiosos frente à possibilidade de aprenderem matemática com áudios. (Bortoli; Rodrigues, 2022).

Consideramos que este último trabalho apresenta aspectos de articulação entre História da Matemática e Tecnologias Digitais, com algumas nuances de inovação no sentido de ter feito uso de elementos tecnológicos que não são tão comuns como instrumentos pedagógicos, podcasts, em específico, para o aprendizado de matemática. Nos trabalhos analisados por Sánchez, Castillo e Mendes, (2021) mais de 50% constaram do uso do GeoGebra. Ademais, em consulta sobre artigos científicos em bibliotecas como Scielo e Google Acadêmico é fácil encontrar trabalhos que discutem a possibilidade do uso de podcasts como ferramentas para o ensino, no entanto, usando os descritos (história da matemática e podcast), a quantidade de artigos verificada é diminuta.

Além disso, os estudantes cursistas produziram áudios sobre o conceito regra de três simples. Essa produção foi encaminhada no sentido de fazer o estudante pensar-com a tecnologia a partir da construção dos conceitos matemáticos, que foram eleitos por eles, para a produção dos podcasts, no sentido aventado por (Ferreira; Paulo, 2018, p.9):

O com, segundo Bicudo (2014, p. 47), diz de “uma determinação de acordo com aquilo ou com quem está e de que modo está”. Essa determinação revela o modo pelo qual o matemático está junto às Tecnologias Digitais produzindo conhecimento, seja como ferramenta ou como objeto intencional. Como ferramenta ou instrumento de uso ela está associada ao fazer, e serve para o fazer. Enquanto objeto intencional ela diz de uma possibilidade aberta aos modos de o ser estar no mundo. Carrega potencialidades.

Salientamos, ainda, que os estudantes lograram a resolução das equações algébricas de primeiro grau pelo considerado, método da falsa posição, a partir da escuta dos podcasts referentes à temática. Destacamos, indubitavelmente, que o GeoGebra tem sido utilizado em diversas pesquisas⁸, relacionadas ao ensino de matemática pela indiscutível potencialidade que ele apresenta; contudo, outras variantes e possibilidades de instrumentos aumentam as chances de contribuir com as melhorias no processo do ensino de matemática.

Outrossim, vale a pena considerar a variação da escolha dos problemas matemáticos, no sentido da área da matemática que, prioritariamente, tem sido conceitos geométricos conforme afirma Sousa (2020), quando afirma que a geometria tem sido o tema mais recorrente nas pesquisas dessa natureza, ou seja, em pesquisas que propõem a articulação entre HM e TD.

3.3 Primeiras incursões por uma perspectiva Estética

Na introdução desse artigo, ao propor-nos a considerar outros componentes na articulação entre História da Matemática e Tecnologias Digitais - a Estética, assumimos o termo, inicialmente, como: “Ramo da filosofia que se dedica ao estudo do belo, da beleza sensível e de suas implicações na criação artística” (Houaiss, Villar, 2009, p. 883).

Sequencialmente, propomo-nos, a apontar outras considerações sobre o termo, conforme dicionário de filosofia Abbagnano (2007, p.367):

[...] esse substantivo designa qualquer análise, investigação ou especulação que tenha por objeto a arte e o belo, independentemente de doutrinas ou escolas. [...] Dissemos “arte e belo” porque as investigações em torno desses dois objetos coincidem ou, pelo menos, estão estreitamente mescladas na filosofia moderna e contemporânea.

Segundo Rosa (2021), a ideia de estética, vinculada ao belo e à arte, deve ser questionada; além disso, precisa ser ampliada. De acordo com Eagleton (1993, p. 17 apudRosa (2021, p.14-15):

A Estética nasceu como um discurso sobre o corpo. Em sua formulação original, pelo filósofo alemão Alexander Baumgarten, o termo não se refere primeiramente à arte, mas, como o grego atsthesis, a toda a região da percepção e sensação humanas, em contraste com o domínio mais rarefeito do pensamento conceitual. A distinção que o termo “estética” perfaz inicialmente, em meados do século XVIII, não é aquela entre “arte” e “vida”, mas entre o material e o imaterial: entre coisas e pensamentos, sensações e ideias; entre o que está ligado a nossa vida como seres criados opondo-se ao que leva uma espécie de existência sombria nos recessos da mente.

Ponderando que essas são nossas primeiras investigações acerca da temática, a postura aqui adotada sobre estética será no sentido do belo e também da percepção de sensações humanas que podem ou não serem promovidas pela arte; no entanto, não necessariamente por ela. Assim, enviesamo-nos pela perspectiva de estética aventada por Scucuglia e Idem (2021) como um modo de compreender a matemática, julgar seus objetos e processos, inclusive em contextos de aprendizagem, ensino ou formação.

Desse modo, Bortoli, Scucuglia, Yassunaga e Sato (2023), com o objetivo de explorar possíveis articulações entre História da Matemática e o uso de tecnologias digitais na aplicação de tarefas voltadas ao ensino e aprendizagem de matemática, desenvolveram um curso de extensão universitária, oferecido a estudantes de 2ª e 3ª séries do Ensino Médio de uma escola pública de um município do interior do Estado de São Paulo, com a proposta de resolução do problema presente no Papiro de Rhind, de número 48, cujo enunciado é: Compare a área do círculo com a do quadrado circunscrito. Dessa maneira, explorou-se a quadratura de um círculo e, consequentemente, a cubatura de uma esfera, utilizando-se o software GeoGebra com os estudantes, previamente, incentivados a realizarem manipulações, questionarem e produzirem levantamento de hipóteses. Para os autores, discussões sobre janelas gráficas de softwares e da cognição envolvendo a percepção a partir de cliques ou toques possuem potencial para serem conceitualmente compreendidas enquanto experiência (matemática) estética.

Tal afirmação é inspirada na concepção de Dewey (2010, p. 139) “O que distingue uma experiência como estética é a conversão da resistência e das tensões, (...), em um movimento em direção a um desfecho inclusivo e gratificante”. Assim, constatou-se, durante a atividade Cubatura da Esfera, que interpretar a construção de forma tridimensional desperta a atenção dos estudantes; além de facilitar a compreensão sobre essa construção. Por conseguinte, para os autores, a partir dos comentários dos estudantes, percebe-se que questões relacionadas à experiência estética podem influenciar a construção do conhecimento matemático em atividades, baseadas no uso de tecnologias digitais com gênese em problemas históricos, uma vez que, conforme identificado por Lino et al (2021), a aproximação à cognição do raciocínio matemático, desencadeada pela resolução de problemas, consiste em sua beleza, que é fruto de admiração estética.

Posteriormente, Bortoli e Yassunaga (2023) e Yassunaga e Bortoli (2024), buscaram investigar um dos conceitos considerados como fundamentais da Matemática pelo renomado autor, Caraça (1963); a saber: os Números Figurados (NF). Em estudos iniciais sobre o tema, os autores desenvolveram atividades, voltadas para o ensino e aprendizagem de matemática, a fim de apresentar potenciais conexões entre as sequências numéricas, fundamentalmente, a respeito dos números figurados, introduzidos por problemas históricos que foram viabilizados através de tecnologias digitais na criação de representações visuais, explorando-se aspectos estéticos.

São valores estéticos da matemática, por exemplo, “a perfeição, a simetria, a forma, o contexto, o contraste, a ordem, o equilíbrio, a simplicidade e a abstração, também a liberdade”. (Cifuentes, 2005, p. 68). Adicionalmente, Sinclair (2006) aponta que há elementos estéticos na matemática associados ao prazer cognitivo, tais como: como padronizar e ordenar, e transformar e equilibrar.

A exemplo, a Figura 1 elucida os números triangulares e quadrangulares que serão construídos com os estudantes por meio do software GeoGebra.

Figura 1
Construções no GeoGebra dos números triangulares e quadrangulares

Conforme apresentado na Figura 1, utiliza-se, para essa construção a função sequência presente no GeoGebra, criando assim dois controles deslizantes para a determinação do formato do polígono regular e a marcação dos vértices. Além disso, vislumbra-se realizar as demonstrações das fórmulas algébricas referentes a esses padrões, a exemplo, a do cubo em que a cada linha a soma dos cubos é igual ao quadrado dos números triangulares naquela linha, isto é:

$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3={\left[\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\right]}^2$.

O conceito Números Figurados possui potencialidades para ser explorado do ponto de vista estético pela percepção dos padrões. Ademais, a manipulação do controle deslizante do GeoGebra ocasiona chances de verificação das modificações de propriedade pelo degradê das cores (vide Figura 1), ou seja, o software aliado aos elementos estéticos da matemática, pode potenciar o aprendizado desse conceito pela linguagem visual, no sentido proposto por Cifuentes (2005) e deve ser entendida como percepção intelectual ligada fortemente à intuição matemática.

A exploração de aspectos estéticos dos números figurados, na perspectiva de visualização de suas simetrias e padrões, é uma forma de contextualizar uma sequência e proporcionar uma relação entre os ramos aritméticos e geométricos da matemática. Ademais, ainda sobre os padrões, é possível levar o estudante à percepção de generalizações o que possibilita, ainda, a chance de articulação com as leis que relacionam os números figurados e, consequentemente, a articulação também com a álgebra.

Ainda, pela manipulação do controle deslizante, espera-se que os estudantes tenham efeitos surpresa, conforme constatado nos estudos realizados por Scucuglia (2015) com experimentos relacionados à arte. Constatou com seus estudantes surpresas matemáticas ocasionadas pela performance digital matemática que, segundo o autor, podem potencialmente oferecer surpresas matemáticas conceituais, isto é, maneiras de ver um aspecto novo e maravilhoso na matemática, conectando múltiplas representações e múltiplas vertentes, conectando a matemática a problemas cotidianos e com propriedades de múltiplos objetos matemáticos, ou explorando provas visuais.

Salientamos os acréscimos das pesquisas, anteriormente, apresentadas e descritas, com destaques, especialmente, no diferencial dos recursos que, para além do GeoGebra utilizaram os podcasts de matemática. Outrossim, o referencial teórico foi expandido com o acréscimo da literatura acerca da estética na Educação Matemática com os textos de Scucuglia e Idem (2021), Lino et al (2021), Cifuentes (2005) e Sinclair (2006). Por fim, consideramos outras instâncias como possibilidades de cunho educacional, tais como, cursos de extensão universitária, direcionados a docentes em formação inicial e/ou continuada, cursos direcionados a estudantes de Educação Básica e/ou Ensino Superior.

4 Considerações finais

As reflexões acerca da articulação entre campos de pesquisa e/ou perspectivas de ensino são marcadas por alguns pontos a serem considerados, como podemos perceber no rol dos trabalhos descritos, cujas potencialidades das tecnologias digitais e as formas de uso integradas à História da Matemática foram tratadas para além do caráter instrumental, inclusive com intenções de oferecer novos horizontes epistemológicos, no sentido proposto por Ferreira e Paulo (2018), ao observarem que matemáticos produziram matemática com o GeoGebra e reconheceram essa produção, conferindo ao software legitimidade à experimentação e o consideraram com potencialidade à produção matemática e à investigação - é o pensar-com a tecnologia.

Esse fazer matemático vai ao encontro da forma com a qual Borba e Penteado (2019) defendem os usos de tecnologias digitais:

[...]entendemos que conhecimento só é produzido com uma determinada mídia, ou com uma tecnologia da inteligência. É por isso que adotamos uma perspectiva teórica que se apoia na noção de que o conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias, ou seres-humanos-com-tecnologias e não, como sugerem outras teorias, por seres humanos solitários ou coletivos formados apenas por seres humanos (Borba; Penteado, 2019, p. 48).

Dentro das pesquisas finais descritas nesse artigo, considera-se que, no trabalho Bortoli, Scucuglia, Yassunaga e Sato (2023), pode-se observar uma flexibilidade entre o geométrico/visual/algébrico o que, certamente, ocasiona novas formas e novas possibilidades de resolução de problemas e essas diferentes formas implicariam diferentes níveis de compreensão do problema (Lino et al, 2021) e, ainda, segundo esse mesmo autor, a mais bela (demonstração) do ponto de vista do orientador seria aquela que lhe trouxesse uma maior compreensão. Assim, considerando o aspecto metodológico dessas ações com estudantes, podemos entender que essas articulações podem ser facilitadoras da aprendizagem matemática, oportunizado, inclusive, pela estética que proporcionou opções de visualização dos objetos, aumentando o interesse pelos objetos matemáticos que estavam sendo estudados.

Ponderamos, ainda, que a exploração de problemas históricos, baseada no uso de tecnologias digitais é pedagogicamente potente, pois a capacidade das tecnologias digitais pode oferecer meios para que problemas matemáticos históricos sejam explorados e desdobrados de maneiras inovadoras, podendo ter, até mesmo, seus horizontes ampliados por elementos estéticos, como a possiblidade de identificar e de investigar elementos específicos sobre a linguagem/simbologia de problemas históricos, assim como tais pressupostos nos fazem refletir sobre o papel das tecnologias em oferecer possibilidades específicas de formas de investigação matemática e a constituição de maneiras alternativas de pensamento matemático.

Em instância final, mencionamos o desejo do aprimoramento sobre a estética matemática em trabalhos que articulam HM e TD e trabalhos futuros que visam investigar as provas matemáticas que não sejam as feitas por matemáticos, mas, principalmente, as logradas por estudantes no sentido do pensar-com tecnologias, ou seja, a verificação e a ratificação da tese defendida por Borba e Penteado (2019), “ (...) conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias, ou seres-humanos-com-tecnologias (...)”.

Contribuições de autoria

Todos os autores contribuíram, substancialmente, na concepção e no planejamento do estudo; na obtenção, análise e interpretação dos dados; na redação e revisão crítica; e aprovaram a versão final a ser publicada.

• 1
  Sobre o termo Tecnologias Digitais (TD), não faremos uma discussão sobre sua origem, bem como modificações ocorridas ao longo do tempo. Manteremos, nesse artigo, as designações adotadas por cada autor citado. Por exemplo, Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação (TDIC) e Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC).
• 2
  Motor gráfico é um motor utilizado em jogos. Sua primeira aplicação deu-se em 1998 em um jogo de tiros.
• 3
  O Unreal Engine 4 é um conjunto completo de ferramentas de desenvolvimento, criadas para qualquer pessoa que trabalhe com tecnologia em tempo real. Oferece aplicativos corporativos e experiências cinematográficas até jogos de alta qualidade em PC, console, celular, VR e AR.
• 4
  Resultados adicionais desse projeto podem ser consultados em Rodrigues; Bortoli (2021) no texto Potencialidades de um trabalho colaborativo a partir de problematizações históicas; em foco, o tema área e perímetros. In: Gutierre, L. S. (Re) encontros de Pesquisa em História da Educação Matemática. 1.ed. Natal: EDUFRN, 2021.
• 5
  Desmos é uma calculadora gráfica implementada como uma aplicação web e um aplicativo móvel. Além de representar graficamente equações e desigualdades, também compreende listas, gráficos, regressões, variáveis interativas, restrição de gráficos, gráficos simultâneos, gráficos de função por partes, entre outros.
• 6
  Podcasts são conteúdos disponibilizados na forma de áudios, de maneira semelhante ao rádio. No entanto, esses conteúdos ficam disponibilizados em alguma plataforma para que possam ser ouvidos quando o ouvinte desejar.
• 7
  Esses áudios estão disponíveis no seguinte endereço eletrônico: https://podsmath.com. O primeiro deles pode ser ouvido pelo card História das Equações Algébricas (áudio: a Álgebra Egípcia).
• 8
  Conforme discutido em Sánchez, Castillo e Mendez (2021) e Sousa (2023).

Referências

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• Editor-chefe responsável
  Prof. Dr. Marcus Vinicius Maltempi

• Editor associado responsável
  Profa. Dra. Maria Laura Magalhães Gomes

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  04 Abr 2025
• Data do Fascículo
  2025

Histórico

• Recebido
  11 Jun 2024
• Aceito
  05 Nov 2024