Learning Trajectory for the Development of (Co)variational Reasoning in Bottles Filling: The Case of Luis

Vargas-Ramos, Aline Lizbeth; Martínez-Sierra, Gustavo

doi:10.1590/1980-4415v39a240019

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ARTÍCULO • Bolema 39 • 2025 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v39a240019 linkcopy

Learning Trajectory for the Development of (Co)variational Reasoning in Bottles Filling: The Case of Luis

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Abstract

This research aims to investigate how to promote the development of variational and covariational reasoning in students of a graduate program in Educational Mathematics. To achieve this objective, we conducted classroom design studies on container filling and designed a hypothetical learning trajectory whose goal is to promote the development of variational and covariational reasoning of the variables height and volume through measurement with rulers and syringes. Our results show that the real learning trajectory of one of the participants (Luis) confirms our learning hypothesis that the physical experience of filling containers and measuring with instruments (ruler in centimeters for length and syringe in milliliters for volume) promotes the development of variational and covariational reasoning at a continuous fragmented level.

Variational and covariational reasoning; Classroom design studies; Hypothetical and real learning trajectory

Niveles	Descripción	Código
Sin coordinación	Un estudiante reconoce que la parte superior del agua está subiendo en la botella, o que se está añadiendo más agua a la botella, pero no hace ningún intento de coordinar la altura del agua en la botella con la cantidad de agua añadida a la botella.	RCB0
Precoordinación de valores	Un estudiante observa que después de verter cierta cantidad de agua en la botella, el nivel del agua en la botella sube.	RCB1
Coordinación gruesa de valores	Un estudiante describe la covariación como "la altura aumenta a medida que aumenta el volumen".	RCB2
Coordinación de valores	Un estudiante se centra en la altura del agua en la botella y en el número de vasos de agua añadidos a la botella sin pensar en los valores intermedios de volumen o altura.	RCB3
Covariación continua fragmentada	Un estudiante imagina el aumento de volumen por cada incremento de agua agregada o viceversa, coordinando los cambios por intervalos, pero no de forma continua dentro de todos los intervalos. Un estudiante imagina que el nivel del agua aumenta por cada incremento de agua. Imagina cambios completos, ya sea un cambio que se ha completado en el pasado o un cambio que el estudiante anticipa que se completará en el futuro; dado que el pensamiento fragmentado está en tiempo pasado, imaginando que el cambio ya sucedió y ahora se está analizando.	RCB4 RCB4.1
Covariación continua suave	Un estudiante imaginara que tanto el volumen como la altura del agua varían suavemente a través de intervalos de forma simultánea, al tiempo que anticiparía que dentro de cada intervalo la cantidad de agua y la altura del agua varían suave y continuamente. Un estudiante imagina que tanto el volumen como la altura tienen un valor en cada momento del tiempo transcurrido, incluso si hay eventos discretos, imagina que esto ocurre en el tiempo continuo; dado que el razonamiento continuo suave requiere razonar en términos de movimiento, lo que siempre implica imaginar “algo en movimiento”.	RCB5 RCB5.1


Meta de aprendizaje: Que los participantes desarrollen su razonamiento covariacional de las variables altura y volumen (presentes en el llenado de un recipiente) a un nivel continuo fragmentado o continuo suave.
Proceso de aprendizaje hipotético	Tareas	Hipótesis de aprendizaje de la tarea
1. Desarrollo del razonamiento variacional de la variable altura a un nivel continuo fragmentado o continuo suave.	Tarea 1. Tarea que introduce la unidad de medida del centímetro para la distancia en el problema del llenado de recipientes del Test inicial.	La utilización de una unidad de medida para distancia promueve en el estudiante el desarrollo de la variable altura y la variable volumen. Por tanto, también promueve el desarrollo de razonamiento covariacional de altura vs. volumen.
2. Desarrollo del razonamiento covariacional de altura y volumen a un nivel continuo fragmentado o continuo suave. Con la altura como variable independiente.
3. Desarrollo del razonamiento variacional de la variable volumen a un nivel continuo fragmentado o continuo suave.	Tarea 2. Tarea que introduce el mililitro como unidad de medida para el volumen a través del uso de una jeringa en el problema del llenado de recipientes del Test inicial y la Tarea 1.	La experiencia física de llenar un recipiente, el uso del centímetro como unidad de medida de altura y la utilización de una unidad de medida para el volumen junto con un instrumento medición de volumen; promueve en el estudiante el desarrollo de la variable altura y la variable volumen. Por tanto, también promueve el desarrollo de razonamiento covariacional de altura vs. volumen.
4. Desarrollo del razonamiento covariacional de altura y volumen a un nivel continuo fragmentado o continuo suave. Con el volumen como variable independiente.

Niveles	Descripción	Código
Variable como símbolo	Una variable es un símbolo. No tiene nada que ver con la variación.	RV0
Sin variación	La persona imagina que una variable tiene un valor fijo. Podría tener un valor fijo diferente, pero eso sería simplemente imaginar otro escenario.	RV1
Variación discreta	La persona visualiza una variable tomando valores específicos. La persona ve que el valor de la variable cambia de a a b al tomar los valores 𝒶₁, 𝒶₂, ... , 𝒶_n, pero no imagina que la variable tome ningún valor entre α_i y 𝒶₁₊₁.	RV2
Variación gruesa	La persona imagina que el valor de una variable aumenta o disminuye, pero piensa poco o nada que pueda tener valores mientras cambia.	RV3
Variación continua fragmentada	La persona piensa que la variación del valor de una variable cambia en intervalos de un tamaño fijo. Los intervalos pueden ser del mismo tamaño, pero no necesariamente. La persona imagina, por ejemplo, que el valor de la variable varía de 0 a 1, de 1 a 2, de 2 a 3 a (y así sucesivamente), como colocar una regla. Los valores entre 0 y 1, entre 1 y 2, entre 2 y 3, etc. "vienen" en virtud de que cada uno es parte de un trozo, como los números de una regla, pero la persona no imagina que la cantidad tenga estos valores de la misma manera, tiene 0, 1, 2, etc. como valores. La variación continua gruesa no es solo pensar que los cambios ocurren en cantidades enteras. Pensar en el valor de una variable que va de 0 a 0,25, 0,25 a 0,5, 0,5 a 0,75, y así sucesivamente (mientras se piensa que los intervalos implicados "aparecen") es tanto pensar con variaciones continuas gruesas como pensar en aumentos de 0 a 1, 1 a 2, etc.	RV4
Variación continua suave	La persona piensa que la variación del valor de una cantidad o variable (en adelante, variable) aumenta o disminuye (en adelante, cambia) por intervalos mientras anticipa que dentro de cada intervalo el valor de la variable varía suave y continuamente. La persona podría pensar en intervalos de variación del mismo tamaño, pero no necesariamente.	RV5

Niveles	Descripción	Código
Sin coordinación	La persona no tiene imagen de variables que varían juntas. La persona se enfoca en una variación de una u otra variable sin coordinación de valores.	RC0
Precoordinación de valores	La persona visualiza los valores de dos variables que varían, pero de forma asíncrona: una variable cambia, luego la segunda variable cambia, luego la primera, y así sucesivamente.	RC1
Coordinación gruesa de valores	La persona forma una imagen general de valores de cantidades que varían entre sí, como "esta cantidad aumenta mientras que esa cantidad disminuye". La persona no prevé que los valores individuales de cantidades vayan juntos.	RC2
Coordinación de valores	La persona coordina los valores de una variable con los valores de otra variable, con la anticipación de crear una colección discreta de pares.	RC3
Covariación continua fragmentada	La persona prevé que los cambios en el valor de una variable suceden simultáneamente con los cambios en el valor de otra variable, y prevén que ambas variables varíen con una variación continua fragmentada.	RC4
Covariación continua suave	La persona prevé aumentos o disminuciones en el valor de una cantidad o variable, como ocurre simultáneamente con los cambios en el valor de otra variable, y prevé que ambas variables varíen de manera suave y continua.	RC5

Tarea	Razonamiento variacional de altura	Razonamiento variacional de volumen	Razonamiento covariacional de altura y volumen
Test inicial	variación gruesa	variación gruesa	coordinación gruesa
Tarea 1	variación discreta	variación discreta	coordinación de valores
Tarea 2	variación continua fragmentada	variación continua fragmentada	covariación continua fragmentada
Test final	variación continua fragmentada	variación continua fragmentada	covariación continua fragmentada

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[TFN3] Fuente: elaboración propia basado en Thompson y Carlson (2017) y Ellis et al., (2020)