Alocação de unidades hidrelétricas no problema da programação da operação energética utilizando relaxação lagrangeana e lagrangeano aumentado

SISTEMAS DE POTÊNCIA

Alocação de unidades hidrelétricas no problema da programação da operação energética utilizando relaxação lagrangeana e lagrangeano aumentado

Rafael N. Rodrigues; Erlon C. Finardi; Edson L. da Silva

Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Santa Catarina Florianópolis, SC, Brasil; [e-mail], [e-mail], [e-mail]

RESUMO

O problema da programação da operação energética visa definir quais unidades geradoras devem estar em operação para o atendimento à demanda e às demais restrições do sistema, ao longo do horizonte de estudo, de modo que o mínimo custo de operação seja encontrado. Matematicamente, trata-se de um problema não-linear, inteiro-misto e de grande porte, o que torna a sua solução uma tarefa desafiadora. Este artigo apresenta o uso da Relaxação Lagrangeana para decompor o problema da programação da operação em subproblemas menores e mais simples de serem solucionados. No esquema de decomposição utilizado, os subproblemas têm naturezas distintas e são construídos aproveitando-se as particularidades que cada um deles apresenta. Um dos subproblemas resultante do esquema de relaxação utilizado refere-se à alocação das unidades hidrelétricas. Para resolver esse subproblema, propõe-se um algoritmo de enumeração exaustiva do espaço de estados do problema. Cada combinação consiste na solução de problemas não-lineares restritos, resolvidos aqui por meio do método de Lagrangeano Aumentado. Tal método transforma cada problema restrito em uma série de subproblemas irrestritos, que por sua vez são solucionados por um algoritmo de Quase-Newton. O modelo computacional desenvolvido é aplicado a duas usinas hidrelétricas do sistema brasileiro, demonstrando-se a sua consistência e viabilidade prática.

Palavras-chave: Programação da Operação Energética, Despacho de Unidades Hidrelétricas, Relaxação Lagrangeana, Lagrangeano Aumentado.

ABSTRACT

The short-term operation planning problem aims to define the generation units should operate at minimum cost to fully supply the demand while meeting the system constraints over the study horizon. The problem is of a non-linear, integer-mixed, large scale optimization type, whose solution is a rather challenging task. This paper uses the Lagrangian Relaxation to decompose the original problem into simpler subproblems to be solved in sequence. In this decomposition, the subproblems are constructed taking advantage of their specific characteristics. One of the resulting subproblems of the relaxation scheme refers to the commitment of hydroelectric units. In order to solve this problem, an algorithm for exhaustive enumeration is proposed. This algorithm makes use of the Augmented Lagrangean method, which solves the resulting constrained nonlinear subproblems for each examined state. A Quasi-Newton method is used for the solution of the unconstrained subproblems resulting from the application of the Augmented Langrangean method. The proposed model is applied to two hydroelectric units of the Brazilian power system, demonstrating its consistency and practical feasibility.

Keywords: Power System Operation Programming, Unit Dispatch, Lagrangian Relaxation, Augmented Lagrangian.

1 INTRODUÇÃO

O planejamento da operação constitui-se em um dos principais problemas da indústria de energia elétrica. Nessa tarefa, busca-se o atendimento da demanda ao menor custo possível por meio da otimização do uso dos recursos disponíveis. Usualmente o problema é subdividido em etapas, de modo que a modelagem do sistema tende a ser mais precisa à medida que se aproxima da operação em tempo real (Silva, 2001). Nesse contexto, a programação da operação corresponde à última dessas etapas.

A programação da operação tem por objetivo realizar a alocação das unidades geradoras ao longo do horizonte de estudo, isto é, definir quais unidades devem operar e os respectivos despachos, de modo a atender à demanda, os requisitos de reserva, limites de transmissão, e as diversas restrições operativas individuais das unidades e dos reservatórios do sistema.

Em face dos expressivos custos de operação, torna-se necessária uma representação precisa do comportamento físico e dos custos de produção das unidades geradoras. Isso, por sua vez, resulta em um modelo de otimização bastante complexo. Exemplificando, no caso de unidades termelétricas, a natureza termodinâmica impede que a potência de saída possa variar acima de valores específicos entre dois estágios consecutivos. Além disso, também relacionado com o processo termodinâmico, existem restrições do tipo minimum uptime and downtime¹ que devem ser modeladas precisamente para evitar danos às unidades durante o processo de aquecimento e desaquecimento da caldeira de vapor.

No tocante ao uso dos recursos hídricos, restrições operativas relacionadas aos reservatórios e as unidades também devem ser consideradas. Essas restrições são de grande importância para sistema brasileiro, visto que a produção hidrelétrica corresponde 89% da produção total². Portanto, pequenos ganhos percentuais de eficiência no uso dos recursos hídricos são significativos economicamente.

Dentre as diversas restrições do sistema hidrelétrico, merecem destaque àquelas ligadas com as unidades geradoras. A potência em uma unidade hidrelétrica depende do rendimento do conjunto turbina-gerador, da altura de queda líquida e da vazão turbinada. A queda líquida é função não-linear dos volumes armazenados no início e final de cada período e das vazões turbinada e vertida na usina. O rendimento tem seu comportamento descrito por meio de curvas de desempenho da unidade (curvas-colina), as quais usualmente informam também as chamadas zonas proibidas de geração. A operação em uma zona definida como proibida pode causar desde o desgaste excessivo da unidade ou mesmo desligamentos forçados para a sua manutenção e recuperação. Tais problemas são causados por cavitação ou por oscilações indesejáveis da potência de saída. A existência de tais zonas, representadas por limites específicos de potência, faz com que uma unidade possa ter vários estados operativos, aumentando a natureza combinatória do problema.

As características descritas acima fazem com que a solução do problema da programação da operação se constitua em uma tarefa desafiadora. O objetivo deste artigo é, inicialmente, apresentar uma modelagem que considera as características operativas das unidades geradoras de forma detalhada, com ênfase nas unidades hidrelétricas, em função de sua larga predominância no sistema brasileiro. Em seguida, faz-se o uso da técnica de Relaxação Lagrangeana (RL) (Bertsekas, 1999; Bonnans et al, 2002) para decompor o problema da programação em subproblemas menores. Esses subproblemas possuem naturezas distintas e são construídos aproveitando-se a estrutura particular que cada um deles apresenta.

Na seqüência, o foco deste artigo está nos subproblemas denominados Despacho de Unidades Geradoras Hidrelétricas. Conforme será mostrado, esse subproblema é de natureza contínua e não-linear. Para sua solução, o artigo apresenta o uso do método de Lagrangeano Aumentado (LA) (Martinez e Santos, 1998; Martinez et al, 2000), que utiliza, simultaneamente, os conceitos de dualidade e de penalidade quadrática.

A próxima seção é reservada para descrever a notação matemática utilizada. A Seção 3 refere-se à descrição dos aspectos de modelagem do problema. Na Seção 4 é apresentada a formulação do problema primal resultante da programação da operação energética. O procedimento de solução é foco principal da Seção 5. Na Seção 6 é apresentada a aplicação do algoritmo de programação não-linear necessário para definir a alocação das unidades geradoras hidrelétricas. Por fim, na última seção do trabalho são apresentadas as principais conclusões.

2 NOTAÇÃO

A seguinte notação é utilizada neste trabalho:

G constante com valor de 9,81 10^-3 (kg/m²s²);

T número total de estágios da programação, em horas;

t índice dos estágios da programação, onde t = 1,T;

R número total de reservatórios do sistema;

r índice dos reservatórios do sistema, onde r = 1,R;

J(r) número de unidades no reservatório r;

j índice de unidades hidrelétricas, onde j = 1,J(r);

h_jrt rendimento da unidade j, reservatório r e estágio t;

r_1j,...,r_5j são coeficientes de eficiência de cada unidade;

hl_jrtqueda líquida na unidade j, reservatório r e estágio t (m);

q_jrt vazão turbinada na unidade j, reservatório r e estágio t (m³/s);

v_rt volume no reservatório r, início do estágio t (hm³);

limites de volumes do reservatório r (hm³);

Q_rt vazão turbinada no reservatório r, estágio t (m³/s);

s_rt vazão vertida no reservatório r, estágio t (m³/s);

Qa_rt variável duplicada de Q_rt;

sa_rt variável duplicada de s_rt;

fcm_rt(.) cota montante da usina r, estágio t (m);

fcj_rt(.) cota jusante da usina r, estágio t (m);

pl_jrt perdas hidráulicas na unidade j, reservatório r e estágio t (m);

kp_r constante de perdas hidráulicas associada ao conduto forçado comum do reservatório r (s²/m⁵);

kp_jr constante de perdas hidráulicas associada ao conduto forçado da unidade j e reservatório r (s²/m⁵);

ph_jrt potência de saída da unidade j, reservatório r e estágio t (MW);

limites de potência da unidade j, reservatório r e estágio t, com a mesma operando na zona k (MW);

Gh_rt variável artificial que representa o somatório das potências de saída das unidades geradoras da usina r no estágio t;

F_jr total de zonas permitidas de operação da unidade j do reservatório r;

k índice das zonas das unidades hidrelétricas, onde k = 1,F_jr;

z_jkrt variável binária que indica se a unidade j, reservatório r está ligada (igual a 1) ou desligada (igual a 0) na zona k durante o estágio t;

conjunto de reservatórios imediatamente a montante de r;

t_mr tempo de viagem d'água entre os reservatórios m e r (h);

y_rt vazão lateral afluente ao reservatório r, estágio t (m³/s);

rh_rt reserva da usina hidrelétrica r, estágio de t (MW);

a custo futuro de operação esperado no final do horizonte da programação (R$);

P total de segmentos da função linear por partes a;

p índice associado ao segmento linear da função a , com p = 1,P;

constante do reservatório r e aproximação p da função linear por partes que representa a (R$/hm³);

constante referente à aproximação p de a;

I total de usinas termelétricas do sistema;

i índice das unidades termelétricas, onde i = 1,I;

pt_it potência de saída da unidade i, estágio t (MW);

pta_it variável duplicada de pt_it;

c_it(.) custo de operação da unidade i, estágio t (R$);

w conjunto de restrições das termelétricas;

E total de subsistemas do sistema hidrotérmico;

e índice associado aos subsistemas, onde e = 1,E;

I_e índices das usinas termelétricas do subsistema e;

R_e índices dos reservatórios do subsistema e;

W_e subsistemas interligados ao subsistema e;

Int_elt intercâmbio do subsistema e para l, estágio t (MW);

D_et demanda do subsistema e, estágio t (MW);

limites de intercâmbio do subsistema e para o subsistema l, estágio t (MW);

u_it variável binária que indica se a unidade i está ligada (igual a 1) ou desligada (igual a 0), no estágio t;

x_it tempo total que a unidade i está ligada ou desligada, referente ao estágio t (h);

c_v constante que transforma vazão (m³/s) em volume (hm³), num período de tempo igual a uma hora;

l_A função Lagrangeano Aumentado;

Ñl_A gradiente da função Langrageano Aumentado;

c_m(x) restrições do problema a ser resolvido por Lagrangeano Aumentado;

m índice de restrições do problema;

l_m multiplicador de Lagrange associados às restrições c_m(x);

µ parâmetro de penalidade da função Lagrangeano Aumentado;

it índice de iterações de processo iterativo;

b_j variáveis de folga utilizadas nas restrições de limites de potência;

b_R variável de folga utilizada na restrição de reserva energética de uma determinada usina;

Q_HT problema dual de programação da operação;

Q_AUT subproblema de alocação de unidades termelétricas;

Q_D subproblema de atendimento à demanda;

Q_H subproblema hidrelétrico;

Q_SH subproblema hidráulico;

Q_AUH subproblema de alocação de unidades hidrelétricas;

Q^t_DUH subproblema de despacho de unidades hidrelétricas para cada estágio t;

lpt_it multiplicadores de Lagrange associados às restrições de duplicação das variáveis pt_it;

ld_rt multiplicadores de lagrange associados às restrições de duplicação das variáveis ph_jrt;

lq_rt multiplicadores de Lagrange associados às restrições de duplicação das variáveis Q_rt;

ls_rt multiplicadores de Lagrange associados às restrições de duplicação das variáveis s_rt;

ng número de unidades geradoras no problema de despacho de unidades hidrelétricas.

3 MODELAGEM DAS UNIDADES GERADORAS

A função de produção de uma unidade hidrelétrica é dada por:

sendo a altura de queda líquida definida por:

A função fcm_rt( ·) é descrita, usualmente, por um polinômio de quarta ordem. Todavia, em estudos de curto prazo³, conforme é o caso da programação da operação, a variação da cota de montante dos reservatórios não é significativa. Assim, neste trabalho o valor de fcm_rt( ·) é considerado constante ao longo de todo o horizonte de estudo. Por sua vez, a função fcj_rt( ·), descrita por um polinômio de mesma ordem, é uma função da vazão turbinada na usina e do vertimento durante o estágio de tempo em consideração. O último termo de (3.2), pl_jrt(.), descreve as perdas hidráulicas no conduto forçado de cada unidade devido ao atrito associado ao movimento da água entre as cotas de montante e jusante. Essas perdas são modeladas como sendo proporcionais ao quadrado da vazão turbinada em cada unidade geradora e da vazão turbinada total da usina (Cicogna et al, 2003):

Para o horizonte de programação da operação considerado, uma representação realista do rendimento da turbina e do gerador é importante para proporcionar um despacho otimizado. Além disso, as unidades geradoras têm zonas proibidas para a geração. Essas zonas proibidas, bem como o complexo inter-relacionamento entre as variáveis, são usualmente representadas na curva-colina, tal como é ilustrado na Figura 3.1. Nessa figura, por exemplo, observam-se os rendimentos de uma unidade, representados por meio de curvas de nível, limites da vazão turbinada, altura de queda líquida e potência de saída da unidade. É possível observar ainda que essa unidade possui apenas uma zona proibida de geração, compreendida entre 0 e 80 MW.

O rendimento, h_jrt, depende da queda líquida e da vazão turbinada. Neste trabalho, h_jrt é representado pela seguinte função:

Os coeficientes de (3.4) podem ser estimados por meio de técnicas de Regressão Não-Linear Multivariável (Wonnacott, 1972).

Portanto, com base nessas considerações, a função que descreve a potência de saída tem a seguinte estrutura:

4 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

A formulação do problema de programação da operação é representada, matematicamente, da seguinte forma:

A função objetivo (4.1) visa a minimização do custo de produção no presente, associado ao uso das termelétricas, e também do custo futuro de operação, sendo este uma função do nível de armazenamento dos reservatórios ao final do horizonte de estudo. Em linhas gerais, quanto maior o nível de armazenamento ao final do horizonte de estudo, menor será o valor do custo de operação esperado para o futuro. Esta função é matematicamente representada por uma função linear por partes, sendo obtida por modelos de planejamento da operação de mais longo prazo (Silva e Finardi, 2003).

Sendo o foco deste trabalho o sistema hidrelétrico, a modelagem das usinas termelétricas é descrita de maneira simplificada. Assim, o custo de operação c_it( ·) considera os custos de produção de energia e de partida. Por sua vez, a Restrição (4.13) engloba todas as restrições associadas às unidades termelétricas, tais como número mínimo de estágios de tempo que devem estar ligadas ou desligadas, variações de potência entre dois intervalos de tempo, limites de operacionais e de reserva.

O conjunto de restrições (4.2) refere-se ao atendimento da demanda em cada subsistema durante o estágio t. As restrições (4.3) definem os limites do intercâmbio de energia entre os subsistemas durante o estágio t. Já (4.4)-(4.12) dependem das variáveis de natureza hidrelétrica, isto é, z_jkrt, q_jrt, Q_rt, s_rt e v_rt. As restrições (4.10) representam as zonas proibidas de geração. Ainda, a Restrição (4.2) acopla as variáveis de geração e de intercâmbio, ou seja, ph_jrt, ptit, Int_let e Int_elt. Esse grau de acoplamento torna a solução do problema uma tarefa difícil de ser realizada. A próxima seção ilustra a estratégia de solução empregada para resolver (4.1)-(4.13).

5 DECOMPOSIÇÃO DO PROBLEMA

O Problema Primal (4.1)-(4.13) é de natureza não-linear, inteiro-misto, e de grande porte. Esse problema pode ser resolvido por meio da relaxação de algumas restrições e assim requerendo a construção de um problema auxiliar, denominado de problema dual. Maximizando tal função e ajustando soluções primais obtidas a partir dessa maximização, pode-se então encontrar soluções primais viáveis de (4.1)-(4.13) (Geoffrion, 1971; Urruty e Lemarechal, 1993).

Encontrada uma solução dual, em problemas não-convexos, como é o caso, os valores da função objetivo do problema original e da função dual podem não ser iguais. Nesse caso, o valor da função dual é sempre menor ou igual ao valor ótimo do Problema Primal (4.1)-(4.13) e a diferença entre tais valores é chamada de gap de dualidade (Geoffrion, 1971; Urruty e Lemaréchal, 1993). Todavia, para que essas soluções sejam de boa qualidade, é crucial que o gap de dualidade seja suficientemente pequeno.

Para garantir que o gap seja o menor possível, este trabalho faz uso de uma técnica de decomposição conhecida como splitting methods (Douglas e Rachford, 1956), os quais têm sido utilizados em programação estocástica (Ruszczynski, 1997) e em determinados problemas de natureza combinatória (Batut e Renaud, 1992; Lemarechal et al, 1996; Renaud, 1993). A idéia consiste em duplicar artificialmente as variáveis primais de interesse para, posteriormente, encontrar uma decomposição adequada por meio da dualização das restrições artificialmente impostas e resultantes dessa duplicação. Essa estratégia tem sido utilizada com sucesso no problema de alocação de unidades termelétricas (Batut e Renaud, 1992; Lemaréchal et al, 1996; Renaud, 1993) e será utilizada neste trabalho.

Na seqüência descreve-se o esquema de decomposição usado neste trabalho para resolver o Problema (4.1)-(4.13). Inicialmente, esse problema é rescrito da seguinte maneira:

O próximo passo consiste em substituir as variáveis pta_it e GH_rt nas restrições de atendimento a demanda. As demais restrições permanecem intactas:

Na etapa seguinte, as restrições artificiais impostas em (5.1) são dualizadas, sendo lpt_it e ld_rt os multiplicadores de Lagrange associados à tais restrições. Procedendo desta forma, tem-se que o problema dual resultante, D_HT, pode ser resolvido por (I+T+1) subproblemas desacoplados entre si:

onde

O Subproblema (5.4) representa as termelétricas., comumente resolvido por técnicas de Programação Dinâmica (Bellman, 1957). No tocante ao subproblema de atendimento à demanda, definido por (5.5), o mesmo é constituído apenas por variáveis contínuas e, devido à representação simplificada do sistema de transmissão, esse subproblema é de natureza linear. Outra observação importante é o fato de que esse subproblema é desacoplado no tempo, podendo ser, portanto, resolvido a cada estágio de tempo por meio de qualquer algoritmo de programação linear. Por fim, pode-se notar que o Subproblema (5.6) está relacionado com variáveis do sistema hidrelétrico. No caso brasileiro, devido a predominância dos recursos hídricos, esse subproblema é ainda de grande porte, não-linear e inteiro-misto. Isso significa que novas decomposições são necessárias para resolver o problema dual (5.3). A solução do subproblema hidrelétrico é tratada na próxima seção.

5.1 Solução do Subproblema Hidrelétrico

As restrições (4.4)-(4.7) são compostas por variáveis que dizem respeito à modelagem dos reservatórios, isto é, Q_rt, s_rt e v_{r,t + 1} e a. Já o conjunto de restrições definido por (4.8)-(4.12) tem, além de Q_rt e s_rt, variáveis associadas estritamente às unidades geradoras, no caso q_jrt e z_rkjt. Pode-se notar ainda que as características das restrições envolvidas nesses dois conjuntos são de naturezas distintas. No primeiro, existem apenas restrições lineares enquanto no segundo estão presentes restrições não-lineares e inteira-mistas. Ainda, no subconjunto de restrições definido por (4.4)-(4.8) existe um acoplamento temporal e espacial entre os reservatórios. Já o subconjunto de restrições restante se caracteriza pela inexistência desses acoplamentos. Note-se então que a decomposição proposta, e apresentada a seguir, faz com que as características citadas acima sejam exploradas convenientemente e tratadas de forma independente.

Para realizar a decomposição proposta, devem-se identificar as variáveis que são comuns aos dois conjuntos citados. O acoplamento entre esses dois conjuntos de restrições é feito pelas variáveis Q_rt e s_rt. Assim, pode-se fazer uso novamente da estratégia de duplicação de variáveis, adicionando as seguintes restrições artificiais:

Na reconstrução de (5.1.1), as variáveis artificiais Qa_rt e sa_rt substituem as variáveis Q_rt e s_rt nas restrições (4.4):

A etapa seguinte consiste em relaxar as restrições associadas às variáveis artificiais (5.1.4) e (5.1.5), onde lq_rt e ls_rt são os respectivos multiplicadores de Lagrange dessas restrições. Nesse sentido, tem-se:

A função dual acima pode ser avaliada por meio da resolução de dois novos conjuntos de subproblemas. O primeiro surge agrupando-se os termos da função objetivo e as restrições que dependem exclusivamente das variáveis de reservatórios (a, v_{r,t +1}, Qa_rt, sa_rt):

Este subproblema é de natureza linear, acoplado no tempo e no espaço, sendo denominado aqui de subproblema hidráulico, podendo ser resolvido facilmente.

O segundo conjunto de subproblemas refere-se ao agrupamento das restrições que possuem as variáveis q_jrt, Q_rt, s_rt e z_jkrt:

O subproblema acima é chamado de subproblema de alocação de unidades hidrelétricas, o qual é resolvido sem acoplamentos espaciais e temporais entre reservatórios, isto é:

onde:

Esse problema merece especial atenção, pois além das não-linearidades envolvidas, o número de unidades e suas respectivas zonas operativas definem o tamanho do espaço de estados para análise, cuja avaliação computacional pode ser muito onerosa. Uma usina com J(r) unidades diferentes, cada uma delas possuindo k zonas permitidas para operação, têm um total de (k+1)^J(r) combinações. Todavia, em geral, as usinas hidrelétricas do sistema brasileiro possuem unidades idênticas. Considerando o caso de unidades com uma única zona operativa (que também é o caso mais comum), o total de combinações decresce de 2^J(r) para J(r)+1. Portanto, neste caso, uma boa estratégia de solução para (5.1.10) consiste em investigar todo o espaço de estados por meio de uma enumeração exaustiva das combinações.

Usinas hidrelétricas com um grande número de unidades geradoras e/ou zonas operativas tornam o uso da enumeração exaustiva ineficiente, visto o grande número de combinações possíveis e, por conseqüência, do elevado esforço computacional. Para sobrepujar essa dificuldade, uma alternativa que pode ser adotada é, novamente, o uso da Relaxação Lagrangeana. Assim, uma nova decomposição pode ser realizada, dualizando aquelas restrições com presença de variáveis inteiras, (4.10)-(4.12) (Finardi et al, 2005).

Ainda no tocante ao problema (5.1.10), utilizando a enumeração exaustiva, o mesmo pode ser resolvido pela investigação das possíveis combinações de alocação de unidades, requerendo, portanto, solução de problemas não-lineares contínuos, chamados de despacho de unidades geradoras hidrelétricas:

Assim, na seqüência deste artigo apresenta-se um algoritmo de programação não-linear que resolve os problemas de despacho de unidades hidrelétricas (5.1.11). Dessa forma, a próxima seção aborda a aplicação do método de LA como ferramenta de implementação desse algoritmo e a sua aplicação no problema de despacho de unidades geradoras hidrelétricas.

5.2 Solução do Subproblema de Despacho de Unidades Geradoras Hidrelétricas

Conforme visto na Seção 5.1.1, o Subproblema de Alocação de Unidades Hidrelétricas requer um algoritmo que solucione cada um dos problemas não-lineares contínuos. Para tanto, este artigo utiliza o método do LA, o qual é baseado nos conceitos de penalidade quadrática e de dualidade (Nocedal e Wright, 1999). Esse algoritmo transforma o problema com restrições em uma série de subproblemas irrestritos por meio da incorporação de penalidades às violações das restrições do problema. Os subproblemas irrestritos são aqui resolvidos pelo método de Quase-Newton (Martinez, 1998; Martinez, 2000).

Considerando o problema de programação não-linear:

a função Lagrangeano Aumentado possui a seguinte forma:

O método do LA, a cada iteração, resolve um subproblema irrestrito, condicionado pelos valores de l_m e µ.. O parâmetro µ, a cada iteração, é multiplicado por uma constante s positiva (s < 1) (Martinez, 1998). Isto faz com que o valor de (1/2µ) aumente com as iterações, penalizando ainda mais as violações das restrições do problema. No tocante aos l_m, existem várias formas de se efetuar as suas atualizações, sendo o método de Multiplicadores de Restrições de Igualdade (Martinez, 1998) largamente utilizado na literatura, devido a sua simplicidade. Neste caso, as atualizações dos multiplicadores de Lagrange são realizadas levando em conta a magnitude dos desvios das restrições c_m(x), ou seja:

A convergência desse algoritmo é alcançada quando uma determinada solução for factível e o gradiente do LA, Ñl_A , possuir norma menor que uma determinada tolerância:

Nessa situação, as condições de otimalidade de primeira ordem são atendidas, ou seja, é possível descrever o gradiente da função objetivo do problema original, Ñf(x), como combinação convexa dos gradientes das restrições, Ñc_m(x).

Para aplicar o LA ao Problema (5.1.12), primeiramente é necessário transformar suas restrições em igualdades. Para tanto, são utilizadas algumas variáveis de folga. Assim, para reservatório r e estágio t, o subproblema a ser resolvido é dado por:

Pode-se perceber que o problema possui 2ng+3 variáveis e ng+2 restrições.

O próximo passo é construir a função LA do Problema (5.2.5):

6 APLICAÇÃO

Para aplicar a metodologia proposta aos problemas de alocação e despacho de unidades hidrelétricas⁴ são utilizados dados das usinas de Ilha Solteira e Salto Osório. A aplicação considerou Ilha Solteira com 18 unidades, cada qual com uma zona permitida de operação definida pelo intervalo [60,165] MW. Por sua vez, Salto Osório apresenta 6 unidades divididas em dois grupos: o primeiro (Tipo I) é formado por 4 unidades, cada qual com uma zona operativa definida pelo intervalo [120,182] MW e o segundo (Tipo II), com 2 unidades, cada qual com sua zona permitida entre os limites [120,175] MW.

De acordo com (5.1.11), é necessário definir os multiplicadores vindos do Problema Dual (5.3), ou seja, ld_rt, lq_rt e ls_rt. Esses valores, que são provenientes de uma determinada iteração da solução do Problema (5.3), estão mostrados na Tabela 6.1.

Além desses multiplicadores, é necessário também definir qual a combinação de unidades (estado) que deve ser utilizada nesse problema, ou seja, quais unidades estarão operando e em qual zona operativa. Essa combinação é informada pelo problema de alocação (5.1.10), onde, a cada iteração, determina uma combinação a ser resolvida pelo problema de despacho.

Inicialmente, a título de ilustração, faz-se uma análise do algoritmo para as combinações que utilizam o número máximo de unidades por usinas (Ilha Solteira com 18 unidades e Salto Osório com seis unidades).

onde || c_m (x) ||_¥ e || Ñ l_A ||_¥ correspondem às normas dos desvios das restrições e do gradiente do LA, respectivamente.

O problema de despacho de Salto Osório possui 15 variáveis e 8 restrições, enquanto que, Ilha Solteira é formado por 39 variáveis e 20 restrições, justificando o maior o esforço computacional apresentada por esta última.

Na seqüência, as Figuras 6.1 e 6.2 mostram a evolução das normas dos desvios das restrições e do gradiente do LA ao longo do processo iterativo.

Pode-se observar nessas figuras que, inicialmente, há as maiores violações das restrições. À medida que o processo iterativo evolui, o gradiente do LA aproxima-se de zero e as soluções factíveis são encontradas.

Com relação à solução do problema de despacho de unidades hidrelétricas, para ambos os casos, as figuras 6.3, 6.4 e 6.5 mostram os valores da vazão turbinada e potência de saída para cada unidade.

Para o caso de Salto Osório, percebe-se que a solução mostra despachos diferentes para as unidades dos Tipos I e II. Na Figura 6.4 o despacho encontrado foi de 146,9 MW enquanto para a Figura 6.5 mostra 165,2 MW. Esta diferença é justificada pelo fato de que as curvas-colina das unidades serem diferentes.

Para completar o estudo, na seqüência mostra-se a aplicação do algoritmo para a solução final do problema de alocação de unidades, resolvendo-se as outras combinações possíveis do despacho, isto é, a enumeração exaustiva de todo o espaço de estados do problema. Para tanto, é necessário resolver, para cada estado, um problema de despacho de unidades geradoras hidrelétricas (5.1.11). Para os casos considerados como exemplo, as enumerações exaustivas de Ilha Solteira e Salto Osório estão mostradas na Figura 6.6 e na Tabela 6.3.

Para Ilha Solteira, pode-se observar o comportamento não-linear do gráfico. Considerando os preços da Tabela 5.3.1, a melhor combinação de despacho requer 11 unidades em operação, com o valor da função objetivo aumentando consideravelmente para as demais combinações.

Para o caso de Salto Osório, pode-se observar o menor valor da função objetivo é obtido não despachando nenhuma unidade dessa usina.

Contudo, aumentando-se o valor do preço da potência para ld_rt = 3,15, uma nova alocação ótima é obtida, conforme apresentado na Tabela 6.4.

Com base nos resultados mostrados acima, pode-se notar que, uma pequena variação no multiplicador ld_rt proporcionou uma grande mudança na alocação dessas unidades. A solução aqui encontrada para a alocação determina a operação com duas unidades do Tipo I e duas do Tipo II, com valor da função objetivo, para este estado, de -72,4.

7 CONCLUSÕES

Neste artigo foi abordado o problema de programação da operação energética de sistemas hidrotérmicos. Esse problema é de difícil solução por ser não-linear, inteiro-misto e de grande porte. A técnica de Relaxação Lagrangeana foi utilizada para decompor o problema em subproblemas menores, entre eles o subproblema de despacho das unidades geradoras hidrelétricas, de natureza não-linear, mas contínuo. Um método de solução baseado no Lagrangeano Aumentado foi implementado para a solução desse subproblema. Os detalhes do método e os resultados dessa aplicação são apresentados.

Conforme visto, os resultados obtidos mostram o efeito da modelagem detalhada das unidades hidrelétricas, onde, os níveis de geração dependem da vazão turbinada, vertimento e altura de queda líquida. Também pode ser observado que os despachos das unidades geradoras são dependentes dos multiplicadores da função dual (ld_rt, lq_rt e ls_rt) e, também, do número (combinação) de unidades em operação. Investigando todo o espaço de estados por meio de uma enumeração exaustiva obteve-se a alocação ótima das unidades.

A aplicação realizada mostrou que o método de LA é eficaz na solução do problema de despachos de unidades geradoras, o que lhe qualifica como promissor para implementações práticas.

Artigo submetido em 01/03/2004

1a. Revisão em 03/10/2005

2a. Revisão em 12/06/2006

Aceito sob recomendação do Editor Associado Prof. Glauco Nery Taranto

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1

Restricões de número mínimo de estágios pelas quais uma unidade deve permanecer obrigatoriamente ligada ou desligada.

2

No ano de 2004, a producão total de energia elétrica foi de 396.708 GWh.

3

Em geral o horizonte da programacão varia de 24 a 168 horas.

4

Os subproblemas de Alocacão e Despacho de Unidades Hidrelétricas são resolvidos para cada usina r e estágio de tempo t. Suas solucões independem dos acoplamentos espaciais existentes, ou seja, da presenca de usinas à montante ou jusante.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  07 Mar 2007
• Data do Fascículo
  Jun 2006

Histórico

• Aceito
  12 Jun 2006
• Recebido
  01 Mar 2004