Síntese de Sistemas Estritamente Reais Positivos através do Critério de Routh-Hurwitz

SPR Systems Synthesis Through Routh-Hurwitz Criterion

Resumos

Dada uma planta Gol(s) linear e invariante no tempo com uma entrada e q saídas, sendo q > 1, é proposto um método, baseado no Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz, para a obtenção de uma matriz constante F ? Rq em série com a saída, de modo que o sistema FGol(s) seja de fase mínima. A partir desta solução, o sistema FGol(s) é representado em espaço de estados por {A,B,FC} e é obtida uma matriz constante de realimentação da saída Ko ? R¹, de modo que o sistema realimentado {A-BKoC,B,FC} seja Estritamente Real Positivo (ERP). O procedimento proposto fornece condições necessárias e suficientes para os dois problemas. Inicialmente, é analisado o caso geral, com q genérico. Em seguida, são estudados os casos particulares q = 2 e q = 3.

Sistemas ERP; Fase Mínima; Critério de Routh-Hurwitz; Realimentação da Saída

Given a linear time-invariant plant Gol(s) with one input and q outputs, where q > 1, a method based on the Routh-Hurwitz Stability Criterion is proposed to obtain a constant tandem matrix F ? Rq, such that FGol(s) is a minimum-phase system. From this solution, the system FGol(s) is represented in state space by {A,B,FC} and a constant output feedback matrix Ko ? R¹ is obtained such that the feedback system {A-BKoC,B,FC} is Strictly Positive Real (SPR). The proposed procedure offers necessary and sufficient conditions for both problems. Initially, the general case, with a generic q, is analyzed. Following, the particular cases q = 2 and q = 3 are studied.

SPR Systems; Minimum Phase; Routh-Hurwitz Criterion; Output Feedback

TEORIA DE CONTROLE

Síntese de Sistemas Estritamente Reais Positivos através do Critério de Routh-Hurwitz

SPR Systems Synthesis Through Routh-Hurwitz Criterion

Márcio Roberto Covacic^I; Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira^II; Edvaldo Assunção^II; Rodrigo Cardim^II

^IDepartamento de Engenharia Elétrica, Centro de Tecnologia e Urbanismo, Universidade Estadual de Londrina, UEL Caixa Postal 6001, 86051-970, Londrina - PR. [e-mail]

^IIDepartamento de Engenharia Elétrica, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP - Univ Estadual Paulista, Av. José Carlos Rossi 1370, 15385-000, Ilha Solteira - SP. [e-mail], [e-mail], [e-mail]

RESUMO

Dada uma planta G_ol(s) linear e invariante no tempo com uma entrada e q saídas, sendo q > 1, é proposto um método, baseado no Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz, para a obtenção de uma matriz constante F ∈ R^q em série com a saída, de modo que o sistema FG_ol(s) seja de fase mínima. A partir desta solução, o sistema FG_ol(s) é representado em espaço de estados por {A,B,FC} e é obtida uma matriz constante de realimentação da saída K_o ∈ R¹, de modo que o sistema realimentado {A–BK_oC,B,FC} seja Estritamente Real Positivo (ERP). O procedimento proposto fornece condições necessárias e suficientes para os dois problemas. Inicialmente, é analisado o caso geral, com q genérico. Em seguida, são estudados os casos particulares q = 2 e q = 3.

Palavras-chave: Sistemas ERP, Fase Mínima, Critério de Routh-Hurwitz, Realimentação da Saída.

ABSTRACT

Given a linear time-invariant plant G_ol(s) with one input and q outputs, where q > 1, a method based on the Routh-Hurwitz Stability Criterion is proposed to obtain a constant tandem matrix F ∈ R^q, such that FG_ol(s) is a minimum-phase system. From this solution, the system FG_ol(s) is represented in state space by {A,B,FC} and a constant output feedback matrix K_o ∈ R¹ is obtained such that the feedback system {A-BK_oC,B,FC} is Strictly Positive Real (SPR). The proposed procedure offers necessary and sufficient conditions for both problems. Initially, the general case, with a generic q, is analyzed. Following, the particular cases q = 2 and q = 3 are studied.

Keywords: SPR Systems, Minimum Phase, Routh-Hurwitz Criterion, Output Feedback.

1 INTRODUÇÃO

A importância dos sistemas ERP na análise e projeto de sistemas de controle é comprovada pelos resultados obtidos a respeito da estabilidade destes sistemas, como a hiperestabilidade assintótica de Popov (Anderson, 1968). Estes resultados possuem uma ampla gama de aplicações, como no projeto de sistemas de controle adaptativos (Barkana et al., 2006; Hsu et al., 1994; Huang et al., 1999; Kaufman et al., 1994; Landau, 1979; Owens et al., 1987; Teixeira, 1989), em sistemas de controle com estrutura variável (Cardim et al., 2008; Cardim et al., 2009; Collado et al., 2007; Covacic, Teixeira, Assunção e Cardim, 2008; DeCarlo et al., 1988; Shu et al., 2008; Teixeira, 1990; Teixeira, 1993; Teixeira et al., 2000; Teixeira et al., 2002; Teixeira et al., 2006) e na estabilização de sistemas incertos com realimentação da saída (Cunha et al., 2003; Steinberg e Corless, 1985; Xiang et al., 2005).

Um problema relacionado com este método de projeto é a chamada síntese ERP: dada uma planta linear invariante no tempo, {A,B,C}, controlável e observável, com m variáveis de entrada e p variáveis de saída, o objetivo é obter uma matriz constante de realimentação da saída K_o e uma matriz constante F em série com a saída, de modo que o sistema controlado {A-BK_oC,B,FC} seja ERP. A matriz F combina as saídas da planta, tornando o sistema compatível com a igualdade B^TP = FC, que é uma das condições para um sistema ERP. Em (Teixeira, 1989; Teixeira, 1990), foi demonstrado que este problema é equivalente a um problema de estabilização com realimentação da saída. Para plantas com o mesmo número de variáveis de entrada e de saída, a condição necessária e suficiente para este problema é que todos os zeros de transmissão tenham parte real negativa e que det(CB) ≠ 0 (Kaufman et al., 1994; Owens et al., 1987; Teixeira, 1989).

Em (Boyd et al., 1994; Choi, 1997; Choi, 1998; Choi, 1999; Huang et al., 1999; Teixeira et al., 2000; Teixeira et al., 2002), foi estudada a solução deste problema usando Inequações Matriciais Lineares (LMIs). A vantagem deste método é que as LMIs, quando factíveis, podem ser resolvidas facilmente através de programas computacionais como Matlab (Gahinet et al., 1995) e LMISol (de Oliveira et al., 1997). Estes métodos permitem, também, outras especificações de projeto, como taxa de decaimento, restrições na entrada e na saída (Bernussou et al., 1999; Teixeira et al., 2000; Teixeira et al., 2002). Para o problema acima, com p > m, são conhecidas apenas condições suficientes (Teixeira et al., 2002).

Outra ferramenta útil para a análise da estabilidade de um sistema é o Critério de Routh-Hurwitz (Dorf e Bishop, 1998; Ogata, 1997). Uma das suas mais importantes aplicações é a determinação da faixa de valores de um parâmetro k ∈ tais que todas as raízes de um polinômio d(s,k) possuam parte real negativa. Outras aplicações para o Critério de Routh-Hurwitz estão disponíveis na literatura. Em (Blondel e Lundvall, 1995), o critério é utilizado para determinar se um sistema é estabilizável, isto é, se existe um controlador que torna o sistema estável. Em (Peña, 2004), são apresentados alguns testes para checar as condições de Routh-Hurwitz e a positividade total de uma matriz, transformando-a em uma matriz triangular superior. Em (Hwang e Yang, 1999), o Critério de Routh-Hurwitz é utilizado para testar a propriedade Hurwitz de um segmento de polinômios (1 - λ)p_o(s) + λp₁(s), sendo que 0 < l < 1. Em (Bose, 1989; Yang e Hwang, 2002), o método é estendido para combinações convexas de polinômios complexos. Em (Barmish, 1984; Białas e Garloff, 1985; Guiver e Bose, 1983), é apresentado um método para a análise da estabilidade de polinômio, cujos coeficientes sofrem perturbações. Em (Hwang e Yang, 1999; Bandyopadhyay et al., 1994; Bandyopadhyay et al., 1997), o método é estendido para determinar modelos de intervalos de ordem reduzida para sistemas lineares em que cada coeficiente de n(s) e d(s) pertence a um intervalo. Em (Wei e Yedavalli, 1987), os coeficientes do polinômio característico dependem de um conjunto de parâmetros, com cada parâmetro pertencente a um intervalo. Existem outros métodos, por exemplo o teorema de Hermite-Biehler (Oliveira et al., 2003; Oliveira et al., 2009), que permitem a análise da estabilidade para plantas com ou sem atrasos de transporte.

Em (Teixeira et al., 2007), é apresentado um procedimento, baseado no Critério de Routh-Hurwitz (Dorf e Bishop, 1998; Ogata, 1997), para a determinação da faixa de valores de k (condições necessárias e suficientes) que tornam estável um sistema com uma entrada e uma saída (SISO) realimentado através de um controlador proporcional G_c(s) = k. O método reúne as raízes reais de todos os numeradores e denominadores da primeira coluna da tabela de Routh-Hurwitz e agrupa-os em ordem crescente, considerando os valores repetidos apenas uma vez. São obtidos, assim, os intervalos entre as raízes reais. Para obter a faixa de estabilidade, basta analisar um ponto de cada intervalo. A ideia foi estendida para o projeto de outros tipos de controladores, como o proporcional-integral-derivativo (PID) e é apresentado, também, em (Teixeira et al., 2007), um programa em Matlab que implementa este método, que está disponível na internet (http://www.dee.feis.unesp.br/docentes/marcelo/fxestab/english/index.html).

Em (Covacic, Teixeira e Assunção, 2008), é proposto um método baseado no Critério de Routh-Hurwitz para o estudo da estabilidade de sistemas incertos = (A_o + αΔA)x, através da determinação da faixa de valores de α que garantem a estabilidade assintótica do sistema. O método também é utilizado para a determinação da faixa de valores de k que garantem a estabilidade de sistemas de malha fechada = (A - BKC)x, com K = kI.

Neste trabalho, o Critério de Routh-Hurwitz é utilizado para a obtenção de uma matriz F ∈^q, que combina as q saídas de uma planta {A,B,C} com uma entrada, de modo que todos os zeros de transmissão do sistema {A,B,FC} possuam parte real negativa. A partir deste sistema de fase mínima, é obtida, através de LMIs, uma matriz K_o que torna ERP o sistema {A-BK_oC,B,FC}. Após a análise do caso geral, com q genérico, são estudados os casos particulares q = 2 e q = 3.

Na Seção 2, são apresentados os conceitos básicos sobre sistemas ERP. Na Seção 3, o Critério de Routh-Hurwitz é aplicado para a obtenção de um sistema de fase mínima. A partir deste sistema de fase mínima, pode ser obtido um sistema ERP, como é apresentado na Seção 4. A Seção 5 mostra dois exemplos de aplicação do método e a Seção 6 apresenta as conclusões finais.

2 SISTEMAS ERP

Considere a planta linear, invariante no tempo, controlável e observável dada por (1).

sendo x ∈ⁿ o vetor das variáveis de estado, u ∈^m a entrada de controle, y ∈^m a saída da planta, A ∈^n×n a matriz característica, B ∈^n×m a matriz de entrada e C ∈^m×n a matriz de saída da planta.

O conceito de sistemas ERP é apresentado em (Anderson, 1968), assim como o Lema 1, que fornece a condição necessária e suficiente para que o sistema (1) seja ERP.

Lema 1(Anderson, 1968) A matriz de transferência do sistema (1), G_ol(s) = C(sI-A)^-1B, é ERP se e somente se existir uma matriz P = P^T, tal que:

O Teorema 2 estabelece condições necessárias e suficientes para a existência de uma matriz K que torna ERP o sistema de malha fechada da Fig. 1, com entrada V(s) e saída Y(s).

Teorema 2 (Kaufman et al., 1994; Owens et al., 1987; Teixeira, 1989): Considere a Fig. 1. Então, existe uma matriz constante K, tal que o sistema da Fig. 1, com entrada V(s) e saída Y(s), dado pela matriz de transferência (I+G_ol(s)K)^-1G_ol(s), seja ERP, se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:

(i)CB = (CB)^T > 0;

(ii)todos os zeros de transmissão da planta {A,B,C} apresentam parte real negativa.

Como definido em (Chen, 1999), os zeros de transmissão de um sistema cujo número de saídas p é maior ou igual ao número de entradas m são os valores de s ∈ tais que:

Com base no Lema 1, foi proposto o seguinte problema:

Problema 1 Dada a planta {A,B,C} linear, invariante no tempo, controlável e observável, com p > m, posto(C) = p e posto(B) = posto(CB) = m, obtenha condições necessárias e/ou suficientes, usando LMIs, para a existência de matrizes constantes F e K_o ∈^m×p, para que o sistema descrito na Fig. 2, dado pela matriz de transferência F(I+G_ol(s)K)^-1G_ol(s), seja ERP.

Na Seção 3, é apresentado um método para a obtenção de um sistema de fase mínima através do Critério de Routh-Hurwitz, para plantas com uma entrada e q saídas, sendo q > 1. Na Seção , é descrita a obtenção de um sistema ERP a partir do sistema de fase mínima obtido.

3 OBTENÇÃO DE SISTEMAS DE FASE MÍNIMA ATRAVÉS DO CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ

Considere uma planta G_ol(s) = N(s)D(s)^-1, controlável e observável, com uma entrada e q saídas, sendo D(s) = d(s) e N(s) = [ n₁(s) n₂(s) ... n_q(s) ]^T matrizes polinomiais, com:

sendo que n₁(s),...,n_q(s) e d(s) não possuem raízes comuns (neste caso, N(s) e D(s) são coprimas à direita (Chen, 1999)).

De acordo com o Teorema 2, existem matrizes F e K_o, sendo K_o = KF, tais que o sistema {A-BK_oC,B,FC} é ERP se e somente se existir F tal que FCB = (FCB)^T > 0 e {A,B,FC} for um sistema de fase mínima, isto é, os zeros de transmissão de {A,B,FC}, que são os zeros de FG_ol(s), apresentarem parte real negativa.

Seja F = [ f₁f₂ ... f_q ] ∈^q. Então, o produto FG_ol(s) é dado por:

sendo:

A condição FCB = (FCB)^T > 0 ocorre somente quando o grau relativo de FG_ol(s) = FC(sI-A+BK_oC)^-1B é igual a 1 (Owens et al., 1987; Slotine e Li, 1991), isto é, grau(f₁n₁(s)+f₂n₂(s)+...+f_qn_q(s)) = grau(d(s))-1. Isto ocorre se e somente se:

Se n_1(n-1) = n_2(n-1) = ... = n_q(n-1) = 0, o grau relativo do sistema é maior que 1, para qualquer F ∈^q. Então, não existem matrizes F e K_o que tornam o sistema ERP.

Os zeros de transmissão da planta G_ol(s) são os valores de s ∈ tais que N(s) = [ 0 0 ... 0 ]^T. Sejam z_p1, z_p2,..., z_pk os zeros de transmissão da planta. Então,

sendo

₁(s),...,_q(s) polinômios coprimos, isto é, sem raízes comuns. Os zeros de transmissão do sistema FG_ol(s) são as raízes de:

Então, os zeros de transmissão do sistema FG_ol(s) são as raízes de n_p(s) e as raízes de [f₁

₁(s)+f₂

₂(s)+...+f_q

_q(s)]. Logo, se n_p(s) possui pelo menos uma raiz com parte real não-negativa, não existe uma matriz F ∈^q tal que o sistema FG_ol(s) seja de fase mínima.

Se f₁≠ 0, então:

sendo f_ki = , para i = 2,...,q.

Se todas as raízes de n_p(s) apresentam parte real negativa, então os valores de f_k ∈ tais que o sistema FG_ol(s) seja de fase mínima, se existirem, são tais que todas as raízes do polinômio:

apresentam parte real negativa. Os resultados propostos em (Teixeira et al., 2007) permitem o estudo da posição das raízes do polinômio FN(s).

3.1 Sistemas com Duas Saídas

Considere, agora, uma planta G_ol(s) = N(s)D(s)^-1 com uma entrada e duas saídas, sendo D(s) = d(s) e N(s) = [ n₁(s) n₂(s) ]^T matrizes polinomiais coprimas à direita. Seja F = [ f₁f₂ ] ∈ ². Considerando que f₁≠ 0, então, de (3), os zeros de transmissão do sistema FG_ol(s) são as raízes de:

sendo f_k = . A faixa de valores de f_k ∈ tais que o sistema FG_ol(s) é de fase mínima, se existirem, pode ser determinada com exatidão através do Critério de Routh-Hurwitz, com o método descrito em (Teixeira et al., 2007). O Exemplo 1 ilustra este procedimento.

3.2 Sistemas com Três Saídas

Considere, agora, uma planta G_ol(s) = N(s)D(s)^-1 com uma entrada e três saídas, sendo N(s) e D(s) matrizes polinomiais coprimas à direita, D(s) = d(s)I e N(s) = [ n₁(s) n₂(s) n₃(s) ]^T. Seja F = [ f₁f₂f₃ ] ∈³. Considerando que f₁≠ 0, então, de (3), os zeros de transmissão do sistema FG_ol(s) são as raízes de:

sendo f_k2 = e f_k3 = . Novamente, utilizando-se o método proposto em (Teixeira et al., 2007), é possível determinar o lugar geométrico dos ganhos do controlador, no plano (f_k2, f_k3), que torna estável o sistema realimentado. Para alcançar este objetivo, pode-se escolher um intervalo de valores para f_k3, no qual deseja-se analisar a estabilidade. Então, fixando-se um valor de f_k3 neste intervalo, pode-se obter os valores de f_k2 (condições necessárias e suficientes) para a estabilidade do sistema de malha fechada, para o ganho f_k3 escolhido. Este procedimento pode ser repetido quantas vezes forem necessárias, para uma boa visualização da região de estabilidade. O Exemplo 2 ilustra este procedimento.

Observação 1 Note que, na Subseção 3.1, quando o número de saídas da planta é q = 2, o método permite a determinação rápida da faixa de valores do parâmetro f_k que torna FG_ol(s) um sistema de fase mínima. Quando q = 3, foi visto, na Subseção 3.2, que é necessário fixar um parâmetro (f_k3) para obter a faixa de valores do outro parâmetro (f_k2) para que FG_ol(s) seja de fase mínima. No caso geral, com q saídas, existem q - 1 parâmetros e q - 2 parâmetros devem ser fixados em intervalos dados para a busca de valores de um parâmetro que soluciona o problema. Esta busca pode tornar-se computacionalmente lenta, à medida que q aumenta. Este fato motiva o estudo de métodos que evitem buscas em regiões nas quais não existem soluções. Por exemplo, a busca pode utilizar o fato bem conhecido sobre a necessidade de um polinômio Hurwitz apresentar todos os coeficientes com o mesmo sinal, para restringir a região de busca. Este é um tópico para pesquisas futuras.

4 OBTENÇÃO DE UM SISTEMA ERP A PARTIR DE UM SISTEMA DE FASE MÍNIMA

Na Seção 3, foi apresentado um método baseado no Critério de Routh-Hurwitz para determinar exatamente uma matriz F ∈ ^1×q de modo que todas as raízes do polinômio FN(s), que correspondem aos zeros de transmissão do sistema FG_ol(s), sendo G_ol(s) = N(s)D(s)^-1, possuam parte real negativa.

Obtida a matriz F de modo que o sistema FG_ol(s) seja de fase mínima, o segundo passo é determinar uma matriz de realimentação da saída K_o que torna ERP o sistema {A-BK_oC,B,FC}. A solução deste problema é garantida através do Teorema 3, obtido diretamente do Lema 1. A solução do problema através de LMIs permite a adição de outras especificações, como taxa de decaimento, restrições na entrada e na saída.

Teorema 3Considere F tal que o sistema {A,B,FC} seja de fase mínima. Então, uma solução para o Problema 1 é obtida através das seguintes LMIs, em termos de K_o e P = P^T:

Prova: A prova deste teorema é obtida diretamente, utilizando-se o Lema 1, que foi apresentado em (Anderson, 1968). □

Observação 2 Quando as condições do Teorema 3 são factíveis, o software LMISol (de Oliveira et al., 1997) pode ser utilizado para a determinação de K_o, F e P = P^T. A condição (6) é uma igualdade matricial linear e existem softwares, por exemplo, o LMI Control Toolbox do Matlab (Gahinet et al., 1995), que não permitem, diretamente, esta restrição.

5 EXEMPLOS

5.1 Exemplo 1

Considere a planta G_ol(s), descrita por:

sendo:

De acordo com (Chen, 1999), uma representação da planta G_ol(s) é dada por (1), sendo:

O objetivo deste exemplo é a determinação de matrizes K_o e F para que o sistema {A-BK_oC,B,FC} torne-se ERP.

As raízes de n₁(s) são -6 e 1 e as raízes de n₂(s) são -6,1401 e 1,1401. Portanto, n₁(s) e n₂(s) não são polinômios Hurwitz. Então, é necessário encontrar uma matriz F = [ f₁f₂] = f₁[ 1 f_k ], sendo f_k = f₂/f₁, tal que o sistema FG_ol(s) seja de fase mínima. Os zeros de transmissão do sistema FG_ol(s) são as raízes do polinômio:

De acordo com o Critério de Routh-Hurwitz, utilizando o método proposto em (Teixeira et al., 2007), o sistema FG_ol(s) é de fase mínima se e somente se:

Escolhendo-se f_k = -0,9 e f₁ = 1, tem-se F = [ 1 -0,9 ] e FN(s) = 0,1s²+0,5s+0,3. Os zeros de transmissão do sistema são z₁ = -4,3028 e z₂ = -0,6972. Logo, o sistema FG_ol(s) é de fase mínima.

Com a matriz F definida acima, as matrizes P e K_o foram obtidas através do Teorema 3. A solução obtida com o LMISol foi:

Os autovalores de P são λ₁ = 5,8492, λ₂ = 1,6196 e λ₃ = 0,0229. Os zeros de transmissão do sistema {A-BK_oC,B,FC} são z₁ = -4,3028 e z₂ = -0,6972 e os autovalores de (A-BK_oC) são p₁ = -0,9777+j0,4273, p₂ = -0,9777-j0,4273 e p₃ = -3,4032. Portanto, o sistema é ERP, como indica o diagrama de Nyquist da Fig. 3.

5.2 Exemplo 2

Considere, agora, um sistema mecânico descrito em (Ogata, 2003), página 761, e dado por (1), sendo:

A função de transferência do sistema de malha aberta é dada em (8), sendo:

O objetivo deste exemplo é a determinação de matrizes K_o e F para que o sistema {A-BK_oC,B,FC} torne-se ERP.

As raízes de n₁(s) são -0,15±j4,24, a raiz de n₂(s) é -60 e as raízes de n₃(s) são -0,15±j4,24 e 0. Portanto, como n₁(s) e n₂(s) não são polinômios de terceira ordem e n₃(s) não é um polinômio Hurwitz, é necessário encontrar uma matriz F = [ f₁f₂f₃ ] = f₁[ 1 f_k2f_k3 ], sendo f_k2 = f₂/f₁ e f_k3 = f₃/f₁, tal que o sistema FG_ol(s) seja de fase mínima. Os zeros de transmissão do sistema FG_ol(s) são as raízes do polinômio:

A Fig. 4 mostra o lugar geométrico dos pares de valores de f_k2 e f_k3 tais que o sistema FG_ol(s) seja de fase mínima, de acordo com o Critério de Routh-Hurwitz, utilizando o método proposto em (Teixeira et al., 2007).

Escolhendo-se f_k2 = 0, f_k3 = 2 e f₁ = 1, tem-se F = [ 1 0 2 ] e FN(s) = 2s³+1,6s²+36,3s+18. Os zeros de transmissão do sistema são z₁ = -0,5 e z₂ = = -0,15+j4,24. Logo, o sistema FG_ol(s) é de fase mínima.

Com a matriz F definida acima, as matrizes P e K_o foram obtidas através do Teorema 3. A solução obtida com o LMISol foi:

Os autovalores de P são λ₁ = 32,0592, λ₂ = 4,3310, λ₃ = 1,8480 e λ₄ = 0,6860. Os zeros de transmissão do sistema {A-BK_oC,B,FC} são z₁ = -0,5, z₂ = -0,15+j4,24 e z₃ = -0,15-j4,24 e os autovalores de (A-BK_oC) são p₁ = -0,7945+j4,4055, p₂ = -0,7945-j4,4055, p₃ = -1,8071+j0,8611 e p₄ = -1,8071-j0,8611. Portanto, o sistema é ERP, como indica o diagrama de Nyquist da Fig. 5.

6 CONCLUSÕES

Foi proposto um novo método baseado no Critério de Routh-Hurwitz para a obtenção (condições necessárias e suficientes) de um sistema de fase mínima a partir de uma planta com uma variável de entrada e duas de saída e de uma matriz F ∈ ². O método foi inicialmente concebido para determinar todos os valores reais de f_k tais que todos os zeros de transmissão do sistema FG_ol(s), sendo G_ol(s) a matriz de transferência da planta (com uma entrada e duas saídas) e F = f₁[ 1 f_k ], possuam parte real negativa. A partir do sistema de fase mínima obtido, foi projetado um sistema ERP (foram apresentadas condições necessárias e suficientes) a partir de uma matriz de realimentação da saída K_o.

O problema foi analisado, também, para plantas com três ou mais variáveis de saída, sendo que o esforço computacional aumenta com o número de variáveis de saída. Os exemplos, para plantas com duas e três variáveis de saída, comprovam a eficiência do método.

Pelo conhecimento dos autores, a literatura especializada não apresenta condições necessárias e suficientes para este problema, baseadas somente em LMIs.

Os resultados apresentados podem ser diretamente aplicados no projeto de sistemas de controle com incertezas e/ou não-linearidades, utilizando-se controladores adaptativos e/ou com estrutura variável.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o apoio financeiro da FAPESP e do CNPq.

Artigo submetido em 17/12/2008 (Id.: 00934)

Revisado em 29/04/2009, 14/10/2009, 04/03/2010

Aceito sob recomendação do Editor Associado Prof. Alexandre Bazanella

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  29 Jun 2010
• Data do Fascículo
  Jun 2010

Histórico

• Aceito
  04 Mar 2010
• Revisado
  29 Abr 2009
• Recebido
  17 Dez 2009