Apreçamento de opções de IDI usando o modelo CIR

Barbachan, José Santiago Fajardo; Ornelas, José Renato Haas

doi:10.1590/S0101-41612003000200003

Resumos

A opção de IDI da BM&F possui características peculiares que torna o seu apreçamento diferente das opções de taxa de juros mais comuns, como as de títulos de renda fixa. Este artigo desenvolve uma fórmula para apreçamento dessas opções de IDI, utilizando a precificação livre de arbitragem. O modelo utilizado considera apenas um fator estocástico: a taxa de juros livre de risco de curto prazo. A equação diferencial usada para modelar o comportamento da taxa de juros é a do modelo CIR (COX INGERSOLL & ROSS, 1985), que possui reversão à média e não permite a existência de taxas de juros nominais negativas. Também é feita uma estimação dos parâmetros do modelo proposto baseando-se em dados históricos, para então comparar o preço teórico da opção baseado nestes parâmetros com os preços de mercado e com o preço teórico considerando a modelagem de Vasicek (1977).

taxas de juros; estrutura a termo; opção de IDI; reversão à média

The IDI option from the BM&F (Commodities and Futures Exchange) has unusual characteristics, that make its pricing different from common interest rate options. This paper develops a closed form formula for the pricing of these IDI options, using an arbitrage-free pricing approach. The model used considers only one stochastic factor: the short-term risk-free interest rate. The differential equation used to model the behavior of the interest rate comes from the CIR (COX INGERSOLL & ROSS, 1985) model, which has mean reversion property and does not allow negative nominal interest rates. It is also done a parameter estimation of the proposed model based on historic data, and then compares the theoretical price of the option based on these parameters with the market price and with the theoretical price considering the Vasicek (1977) model.

interest rates; term structure; IDI option; mean reversion

Apreçamento de opções de IDI usando o modelo CIR

José Santiago Fajardo Barbachan^I; José Renato Haas Ornelas^II

^IIbmec

^IIBanco Central do Brasil

RESUMO

A opção de IDI da BM&F possui características peculiares que torna o seu apreçamento diferente das opções de taxa de juros mais comuns, como as de títulos de renda fixa. Este artigo desenvolve uma fórmula para apreçamento dessas opções de IDI, utilizando a precificação livre de arbitragem. O modelo utilizado considera apenas um fator estocástico: a taxa de juros livre de risco de curto prazo. A equação diferencial usada para modelar o comportamento da taxa de juros é a do modelo CIR (COX INGERSOLL & ROSS, 1985), que possui reversão à média e não permite a existência de taxas de juros nominais negativas. Também é feita uma estimação dos parâmetros do modelo proposto baseando-se em dados históricos, para então comparar o preço teórico da opção baseado nestes parâmetros com os preços de mercado e com o preço teórico considerando a modelagem de Vasicek (1977).

Palavras-chave: taxas de juros, estrutura a termo, opção de IDI, reversão à média.

ABSTRACT

The IDI option from the BM&F (Commodities and Futures Exchange) has unusual characteristics, that make its pricing different from common interest rate options. This paper develops a closed form formula for the pricing of these IDI options, using an arbitrage-free pricing approach. The model used considers only one stochastic factor: the short-term risk-free interest rate. The differential equation used to model the behavior of the interest rate comes from the CIR (COX INGERSOLL & ROSS, 1985) model, which has mean reversion property and does not allow negative nominal interest rates. It is also done a parameter estimation of the proposed model based on historic data, and then compares the theoretical price of the option based on these parameters with the market price and with the theoretical price considering the Vasicek (1977) model.

Key words: interest rates, term structure, IDI option, mean reversion

JEL Classification

C51, G13

Texto completo disponível apenas em PDF.

Full text available only in PDF format.

BIBLIOGRAFIA

AÏT-SAHALIA, Y. Lecture notes of the course financial engineering math models of options pricing. University of Chicago, 2000.

ANDRADE, S. C.; TABAK, B. M. Is it worth tracking dollar/real implied volatility? Economia Aplicada v. 5. n. 3, p. 471-490, jul./set. 2001.

BLACK, F.; DERMAN, E.; TOY, W. A one factor model of interest rates and its application to Treasury Bond Options. Financial Analysts Journal 46, p. 33-39, 1990.

BLACK, F.; SCHOLES, M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 81, p. 637-659, 1973.

BLACK, F. The pricing of commodity contracts. Journal of Financial Economics 3, p. 167-179, 1976.

BRENNAN, M. J.; SCHWARTZ, E. S. Analyzing convertible bonds. Journal of Finance and Quantitative Analysis, 15, p. 907-929, 1980.

BRIGO, D.; MERCURIO, F. Interest rate models theory and practice. Editora Springer, 2001.

CHAN, K. C.; KAROLYI, G. A.; LONGSTAFF, F. A.; SANDERS; A. B. An empirical comparison of alternative models of the short-term interest rate. Journal of Finance, 47, p. 1209-1227, 1992.

CONSTANTINIDES, G.; INGERSOLL, J. Optimal bond trading with personal taxes. Journal of Financial Economics, 13, p. 299-335, 1984.

COX, J.; INGERSOLL, J.; ROSS, S. A theory of the term structure of interest rates. Econometrica 53, p. 385-407, 1985.

DOTHAN, U. L. On the term structure of interest rates. Journal of Financial Economics, 7, p. 59-69, 1978.

GLUCKSTERN, M. C.; FRANCISCO, G.; EID JR., W. Aplicação do modelo Hull-White à precificação de opções sobre IDI. Anais do II Encontro Brasileiro de Finanças, Rio de Janeiro - RJ, 2002.

HARRISON, J. M.; PLISKA, S. R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuos trading. Stochastic Processes and Their Applications 15, p. 313-316, 1981.

HEATH, D.; JARROW R.; MORTON, A. Bond pricing and term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation. Econometrica, v. 60, n. 1, p. 77-105, 1992.

HO, T. S. Y.; LEE, S. B. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims. Journal of Finance 41, p. 1011-1029, 1986.

HULL, J.; WHITE, A. Pricing interest rate derivative securities. Review of Financial Studies, v. 3, n. 4, p. 573-592, 1990.

_______. Using Hull-White interest-rate trees. Journal of Derivatives, Winter 1996.

HULL, J. Options, futures and other derivatives. Editora Prentice Hall, 2000.

JAMSHIDIAN, F. An exact bond option formula. Journal of Finance 44, p. 205-209, 1989.

SILVA, M. E. Precificação de opções e futuros de taxa de juros no Brasil. Resenha BM&F 118, p. 21-35, 1997a.

_______. Uma alternativa para precificar opções sobre IDI. Resenha BM&F 119, p. 33-36, 1997b.

VIEIRA, C. A.; PEREIRA, P. L. V. Closed form formula for the price of the options on the 1 day Brazilian Interfinancial Deposits Index _ IDI. Anais do XXII Congresso Brasileiro de Econometria, 2000. (Volume II).

VASICEK, O. An equilibrium characterization of the term structure. Journal of Financial Economics 5, p. 177-188, 1977.

(Recebido em novembro de 2002. Aceito para publicação em fevereiro de 2003).

As opiniões expressas neste artigo são exclusivamente dos autores e não refletem necessariamente a visão do Banco Central do Brasil.

pepe@ibmecrj.br.

jrenato.ornelas@bcb.gov.br.

AÏT-SAHALIA, Y. Lecture notes of the course financial engineering math models of options pricing University of Chicago, 2000.
ANDRADE, S. C.; TABAK, B. M. Is it worth tracking dollar/real implied volatility? Economia Aplicada v. 5. n. 3, p. 471-490, jul./set. 2001.
BLACK, F.; DERMAN, E.; TOY, W. A one factor model of interest rates and its application to Treasury Bond Options. Financial Analysts Journal 46, p. 33-39, 1990.
BLACK, F.; SCHOLES, M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 81, p. 637-659, 1973.
BLACK, F. The pricing of commodity contracts. Journal of Financial Economics 3, p. 167-179, 1976.
BRENNAN, M. J.; SCHWARTZ, E. S. Analyzing convertible bonds. Journal of Finance and Quantitative Analysis, 15, p. 907-929, 1980.
BRIGO, D.; MERCURIO, F. Interest rate models theory and practice Editora Springer, 2001.
CHAN, K. C.; KAROLYI, G. A.; LONGSTAFF, F. A.; SANDERS; A. B. An empirical comparison of alternative models of the short-term interest rate. Journal of Finance, 47, p. 1209-1227, 1992.
CONSTANTINIDES, G.; INGERSOLL, J. Optimal bond trading with personal taxes. Journal of Financial Economics, 13, p. 299-335, 1984.
COX, J.; INGERSOLL, J.; ROSS, S. A theory of the term structure of interest rates. Econometrica 53, p. 385-407, 1985.
DOTHAN, U. L. On the term structure of interest rates. Journal of Financial Economics, 7, p. 59-69, 1978.
GLUCKSTERN, M. C.; FRANCISCO, G.; EID JR., W. Aplicação do modelo Hull-White à precificação de opções sobre IDI. Anais do II Encontro Brasileiro de Finanças, Rio de Janeiro - RJ, 2002.
HARRISON, J. M.; PLISKA, S. R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuos trading. Stochastic Processes and Their Applications 15, p. 313-316, 1981.
HEATH, D.; JARROW R.; MORTON, A. Bond pricing and term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation. Econometrica, v. 60, n. 1, p. 77-105, 1992.
HO, T. S. Y.; LEE, S. B. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims. Journal of Finance 41, p. 1011-1029, 1986.
HULL, J.; WHITE, A. Pricing interest rate derivative securities. Review of Financial Studies, v. 3, n. 4, p. 573-592, 1990.
_______. Using Hull-White interest-rate trees. Journal of Derivatives, Winter 1996.
HULL, J. Options, futures and other derivatives Editora Prentice Hall, 2000.
JAMSHIDIAN, F. An exact bond option formula. Journal of Finance 44, p. 205-209, 1989.
SILVA, M. E. Precificação de opções e futuros de taxa de juros no Brasil. Resenha BM&F 118, p. 21-35, 1997a.
_______. Uma alternativa para precificar opções sobre IDI. Resenha BM&F 119, p. 33-36, 1997b.
VIEIRA, C. A.; PEREIRA, P. L. V. Closed form formula for the price of the options on the 1 day Brazilian Interfinancial Deposits Index _ IDI. Anais do XXII Congresso Brasileiro de Econometria, 2000. (Volume II).
VASICEK, O. An equilibrium characterization of the term structure. Journal of Financial Economics 5, p. 177-188, 1977.

Datas de Publicação

Publicação nesta coleção
13 Out 2009
Data do Fascículo
Jun 2003

Histórico

Aceito
Fev 2003
Recebido
Nov 2002

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

[1] AÏT-SAHALIA, Y. Lecture notes of the course financial engineering math models of options pricing University of Chicago, 2000.

[2] ANDRADE, S. C.; TABAK, B. M. Is it worth tracking dollar/real implied volatility? Economia Aplicada v. 5. n. 3, p. 471-490, jul./set. 2001.

[3] BLACK, F.; DERMAN, E.; TOY, W. A one factor model of interest rates and its application to Treasury Bond Options. Financial Analysts Journal 46, p. 33-39, 1990.

[4] BLACK, F.; SCHOLES, M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 81, p. 637-659, 1973.

[5] BLACK, F. The pricing of commodity contracts. Journal of Financial Economics 3, p. 167-179, 1976.

[6] BRENNAN, M. J.; SCHWARTZ, E. S. Analyzing convertible bonds. Journal of Finance and Quantitative Analysis, 15, p. 907-929, 1980.

[7] BRIGO, D.; MERCURIO, F. Interest rate models theory and practice Editora Springer, 2001.

[8] CHAN, K. C.; KAROLYI, G. A.; LONGSTAFF, F. A.; SANDERS; A. B. An empirical comparison of alternative models of the short-term interest rate. Journal of Finance, 47, p. 1209-1227, 1992.

[9] CONSTANTINIDES, G.; INGERSOLL, J. Optimal bond trading with personal taxes. Journal of Financial Economics, 13, p. 299-335, 1984.

[10] COX, J.; INGERSOLL, J.; ROSS, S. A theory of the term structure of interest rates. Econometrica 53, p. 385-407, 1985.

[11] DOTHAN, U. L. On the term structure of interest rates. Journal of Financial Economics, 7, p. 59-69, 1978.

[12] GLUCKSTERN, M. C.; FRANCISCO, G.; EID JR., W. Aplicação do modelo Hull-White à precificação de opções sobre IDI. Anais do II Encontro Brasileiro de Finanças, Rio de Janeiro - RJ, 2002.

[13] HARRISON, J. M.; PLISKA, S. R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuos trading. Stochastic Processes and Their Applications 15, p. 313-316, 1981.

[14] HEATH, D.; JARROW R.; MORTON, A. Bond pricing and term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation. Econometrica, v. 60, n. 1, p. 77-105, 1992.

[15] HO, T. S. Y.; LEE, S. B. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims. Journal of Finance 41, p. 1011-1029, 1986.

[16] HULL, J.; WHITE, A. Pricing interest rate derivative securities. Review of Financial Studies, v. 3, n. 4, p. 573-592, 1990.

[17] _______. Using Hull-White interest-rate trees. Journal of Derivatives, Winter 1996.

[18] HULL, J. Options, futures and other derivatives Editora Prentice Hall, 2000.

[19] JAMSHIDIAN, F. An exact bond option formula. Journal of Finance 44, p. 205-209, 1989.

[20] SILVA, M. E. Precificação de opções e futuros de taxa de juros no Brasil. Resenha BM&F 118, p. 21-35, 1997a.

[21] _______. Uma alternativa para precificar opções sobre IDI. Resenha BM&F 119, p. 33-36, 1997b.

[22] VIEIRA, C. A.; PEREIRA, P. L. V. Closed form formula for the price of the options on the 1 day Brazilian Interfinancial Deposits Index _ IDI. Anais do XXII Congresso Brasileiro de Econometria, 2000. (Volume II).

[23] VASICEK, O. An equilibrium characterization of the term structure. Journal of Financial Economics 5, p. 177-188, 1977.