Resumo em Português:

"Longo prazo" refere-se a uma perspectiva de desenvolvimento: entre as primeiras competências adquiridas pelas crianças pequenas, aos cinco e seis anos, e aquelas adquiridas por apenas uma parte dos adolescentes de quinze anos, numerosas etapas e processos, filiações e rupturas são observadas. "Curto prazo" refere-se a situações suscetíveis de serem utilmente propostas aos alunos em um ou outro momento de seu desenvolvimento em função das competências já adquiridas ou parcialmente adquiridas, como também ao acompanhamento que delas o professor faz para facilitar e guiar aquele processo de aquisição. As estruturas aditivas, por exemplo, fornecem diversos casos em que certa categoria de raciocínio e a escolha de uma operação de adição ou de subtração são nitidamente mais delicadas do que em outros casos. Isto exige um arranjo específico, uma ajuda significativa do adulto e, eventualmente, uma representação simbólica original. O mesmo acontece com as estruturas multiplicativas, a geometria, a álgebra, e em outros domínios, afastados da matemática, como o da moral ou da compreensão de textos. O presente artigo limita-se a esse respeito ao exemplo da aprendizagem da matemática.

Resumo em Inglês:

"Long term" refers necessarily to a developmental perspective: between the first competencies acquired by young children, at the age of five or six, and those acquired by fifteen year-old adolescents (only part of them), there are several steps and processes: continuities and discontinuities can be observed along this development. "Short term" concerns situations that are likely to be offered to students, for them to learn, at some crucial moment of this development. It is therefore concerned by the discovery, even partially, of new properties by students, owing to the teacher's help in conducting and facilitating the acquisitions course. The additive structures, for example, provide many different situations in which a particular reasoning and the choice of an addition or subtraction operation are clearly more delicate than in other situations: a case that requires a specific scenario, the assistance from the adult and, eventually, an original symbolic representation. The same kind of phenomena takes place with multiplicative structures, geometry, algebra, and other domains, far from mathematics, like morals and text comprehension. The present article limits this discussion to the case of mathematics learning.

Resumo em Português:

A apresentação trata da evolução da chamada psicologia da educação matemática no Brasil, traçando os temas e as linhas teóricas desenvolvidas pelo Grupo de Pesquisa em Psicologia e Educação Matemática (PSIEM) da FE/UNICAMP, surgido no final da década de setenta. Tendo como pano de fundo o momento no qual eram desenvolvidos esses trabalhos, terão destaque para traçar essa evolução os métodos de pesquisa empregados, os problemas escolhidos e as teorias subjacentes, apontando as dificuldades encontradas. Assim, iniciando com a formação de professores de matemática e com os temas da psicologia educacional que são essenciais para formar "bons pensadores", serão abordados aspectos de desenvolvimento, aprendizagem, ensino, desempenho e avaliação, com ênfase em: aprendizagem de conceitos, solução de problemas, atitudes em relação à matemática e a maneira como esses temas têm sido tratados. Serão ainda apresentados alguns elementos que, de certa forma, têm dificultado a disseminação dos resultados desses estudos.

Resumo em Inglês:

The paper deals with some aspects of the history of the so called psychology of the mathematics education in Brazil. It is focused on subjects and theoretical approaches developed by the research group of psychology and mathematics education (PSIEM) FE/UNICAMP, whose activities began in the late seventies. According to the context where those studies were carried out, and in order to outline that history, the research methods, the chosen problems and the supporting theories will be emphasized, and also the difficulties faced with. First of all, the question of the mathematics teacher's education and those constructs of the educational psychology is discussed, which is relevant to the education of "good thinkers", as: development, learning, teaching, performance and assessment. Propositions about concept learning, problem solving, attitudes regarding mathematics and how these issues have been studied are underlined. Moreover, some elements which bring about some difficulties to the dissemination of those research results are presented.

Resumo em Português:

Focamos um dos grandes desafios atuais da psicologia: a pesquisa de intervenção tomada como geradora de transformação e que, ao mesmo tempo, evidencia o processo a ela subjacente. Expomos nossa linha teórico-metodológica de investigação e relatamos uma pesquisa de intervenção no contexto da psicologia da educação matemática. Consideramos quatro aspectos teórico-conceituais articulados: 1. a evidência das interações entre as regulações cognitivas e as sociais; 2. o papel da mediação semiótica no desenvolvimento psicológico humano; 3. os efeitos dos sistemas de signos no desenvolvimento psicológico e nas comunicações individuais; 4. a tomada de consciência de que as ações humanas não são aleatórias: trata-se de práticas sociais com um conteúdo que lhes dão fundamento. Tais aspectos fundamentam a Psicologia do conhecimento e o método adotado, com um duplo desafio: desenvolver um procedimento visando à tomada de consciência de uma professora licenciada em matemática sobre o paradigma que sustentava sua prática e o reformulasse assumindo um trabalho sistematizado de articulação entre intervenção psicopedagógica e pesquisa, que possibilitasse: 1. o estudo das aquisições conceituais dos alunos; e 2. a análise dos processos mediacionais das interações interpessoais, considerando a natureza do material utilizado e das atividades propostas. Os resultados evidenciaram a pertinência do procedimento: as atividades propostas e a qualidade da atividade mediada engendraram a aquisição de novas competências conceituais nos alunos e o desenvolvimento de novas competências para a professora como mediadora do conhecimento.

Resumo em Inglês:

We focus on one of the great current challenges in psychology: interventional research aimed at generating transformation while demonstrating its underlying process. We detail our theoretical and methodological approach and describe an interventional study in the psychology of mathematics education. The psychology of knowledge and our method are based on four connected theoretical aspects: 1. the evidence of interaction between cognitive and social regulations; 2. the role of semiotic mediation in human psychological development; 3. the effects of sign systems on psychological development and individual communication; 4. the realisation that human actions are not at random, but rather content-based social practices. The study involved a double challenge: to develop a procedure to bring a mathematics teacher to a grasp of consciousness regarding the paradigm underpinning her practice, and to reformulate it on the basis of a deliberate articulation between psycho-pedagogical intervention and research, allowing us to: 1. study the students' conceptual acquisitions, and 2. analyse the mediation processes involved in the interpersonal relations, taking into account the nature of the material utilised and the activities proposed. The activities proposed and the quality of the mediated activity meant that students acquired new conceptual competence and the teacher developed new competence as a knowledge mediator.

Resumo em Português:

O presente artigo inicia pela discussão sobre as contribuições que pesquisadores de diversas áreas - psicologia, história, matemática, antropologia, entre outras - trazem para a Educação Matemática. A ênfase será nas pesquisas que tomam por base a psicologia, detendo-se na teoria dos campos conceituais. Para ilustrar sua posição, o artigo apresenta um estudo descritivo realizado com 103 professoras polivalentes que atuam nas séries iniciais do Ensino Fundamental, no qual foi pedido para que elas elaborassem quatro problemas de estrutura aditiva. Os resultados são analisados à luz da referida teoria e apontam que a maioria dos problemas elaborados (88,43%) são problemas considerados como protótipos; ou seja, os menos complexos cognitivamente. O estudo conclui que parece não haver uma preocupação, ou compreensão, dos professores em trabalhar problemas que facilitem o entendimento e a expansão do campo conceitual aditivo de seus estudantes.

Resumo em Inglês:

The starting point of this paper is to promote a discussion concerning the contributions that were brought to Mathematics Education from researchers from different areas, such as Psychology, Mathematics, Anthropology, History, among others. The focus will be on research based on Psychology, in special on the theory of conceptual field (TCF). To illustrate this position, the paper presents a descriptive study carried out with 103 primary school teachers, in which they were asked to elaborate four problems of addictive structure. The results, which are analyzed from the TCF perspective, point out that most of these elaborated problems (88,43%) were classified as prototypes ones, that is, those which require less cognitive effort. The study concludes that it seems that there is no worrying, or comprehension, from teachers in relation to explore problems that make their students' understanding easier or to expand the addictive conceptual field.

Resumo em Português:

Este trabalho pretende examinar a relação entre a escrita e a resolução de problemas envolvendo a noção de combinatória. Foram analisadas a dificuldade relativa que os problemas apresentariam para os estudantes e a influência que a descrição dos valores das variáveis no enunciado do problema traria para sua resolução. Foram apresentadas a 279 estudantes do 5.º ao 9.º ano do Ensino Fundamental listas com cinco problemas diferentes envolvendo o raciocínio de combinatória (produto cartesiano, combinação, arranjo e permutação) para serem resolvidas individualmente em sala de aula. Estes problemas foram apresentados sob duas formas: a) incluindo a descrição dos valores das variáveis descritas na situação narrada no problema; e b) com o enunciado tradicional, constando apenas o número de valores das variáveis. A modificação na escrita do texto dos problemas por meio da especificação dos valores das variáveis da situação-problema influenciou o sucesso da resolução dependendo da noção de combinatória envolvida no enredo do problema. A variação no enunciado não produziu qualquer efeito facilitador para problemas considerados muito fáceis (produto de medidas) ou difícil demais para os estudantes (permutação). No caso dos problemas combinação e arranjo, cuja resolução foi influenciada pela escrita do enunciado, a declaração dos valores das variáveis no texto do problema pode se tornar uma estratégia didática produtiva para o desenvolvimento do raciocínio combinatório em crianças e adolescentes.

Resumo em Inglês:

This paper intends to examine the relationship between writing and solving combinatorial problems. We analyzed the relative difficulty of various combinatorial problems and the influence that the description of the variable values in the text of the problems would have on their resolution. Two hundred and seventy nine 5th to 9th graders were presented with five different combinatorial problems (Cartesian product, combination, arrangement and permutation) to be solved individually in the classroom. These problems were presented in two forms: a) including the description of the variable values in the text of the problems and b) the traditional combinatorial word problem. The change in the text of the problems influenced the success of their resolution depending on the combinatorial concept involved in the word problem. The variation in the text problem had no effect on the resolution of problems considered too easy (Cartesian product) or too difficult (permutation) by the students. In the case of the combination and arrangement problems, whose resolution was influenced by the change in the problem text, the declaration of the variable values in the text of the problem might become a productive teaching strategy for the development of combinatorial reasoning for children and adolescents.

Resumo em Português:

Discute-se um estudo de intervenção conduzido em um contexto experimental em que a interação adulto-criança era marcada por atividades metacognitivas com vistas a auxiliar na superação das dificuldades experimentadas por crianças com o conceito de divisão. As atividades metacognitivas propostas envolviam a tomada de consciência da criança sobre procedimentos adotados na resolução de problemas, sendo associada uma explicitação dos princípios invariantes do conceito de divisão. O estudo consistiu em um pré-teste e um pós-teste aplicado a 100 crianças de baixa renda (8 a 11 anos), alunas do 4.º ano do ensino fundamental de escolas públicas na cidade do Recife que apresentavam dificuldades com a divisão. As crianças foram distribuídas em um grupo controle e em um grupo experimental, havendo as crianças do grupo experimental participado da referida intervenção. As relações entre metacognição e aprendizagem são ilustradas a partir da apresentação e discussão de passagens extraídas das sessões de intervenção. Os resultados mostraram que no pré-teste os dois grupos não diferiam entre si, apresentando o mesmo nível de dificuldade; porém, após a intervenção, os participantes do grupo experimental superaram as dificuldades iniciais, o mesmo não sendo observado em relação aos participantes do grupo controle.

Resumo em Inglês:

We discuss an interventional study carried out in an experimental context in which the adult-child interaction was characterized by metacognitive activities whose goal was to help children to overcome difficulties with the concept of division. The proposed metacognitive activities involved helping the child reach awareness of the procedures used in solving problems, associated with an explanation of the division invariable principles of the division concept. The study consisted of a pre- and post-test taken by 100 lower-class children aged 8 to 11 who were in the 4th grade in public schools in Recife and presented difficulties with division. The children were divided into a control group and an experimental group. The children in the experimental group participated in the aforementioned intervention. The relation between metacognition and learning is illustrated by the presentation and discussion of passages taken from the intervention sessions. The results show that, in the pre-test, the two groups presented no differences, both of them presenting the same level of difficulties. However, after the intervention, participants in the experimental group overcame their initial difficulties, but this was not observed in the participants in the control group.

Resumo em Português:

As atuais pesquisas acerca da construção do número vêm resgatando o papel desempenhado pelas atividades numéricas (em particular, a contagem) na construção do número. Para a maioria dos autores dessas pesquisas e outros estudiosos do tema, os resultados mais recentes, quando não contrariam, ultrapassam, do ponto de vista teórico, o estágio alcançado pelas pesquisas do Centro Internacional de Epistemologia Genética. Neste trabalho discutimos o papel da contagem no desenvolvimento do número segundo a Epistemologia Genética. Buscando destacar a atualidade da teoria piagetiana, comentamos algumas das recentes pesquisas e propostas metodológicas sobre a construção do conceito de número que se fundamentam quase que exclusivamente na contagem, procurando verificar se os resultados encontrados ou as sugestões apresentadas pelos pesquisadores estariam, do ponto de vista teórico, "além de Piaget".

Resumo em Inglês:

Current researches about number construction are recovering the role played by numerical activities (specially counting) in number construction. For most of the authors and other scholars, recent results regarding that subject, if not denying the stage of knowledge reached by the International Center of Genetic Epistemology, they surpass it from the theoretical point of view. In this study, the role of counting in number development according to the Genetic Epistemology is discussed. The contemporary value of the Piagetian theory is pointed out by contrasting it to recent researches results and methodological proposals about the construction of the number concept which are based, almost exclusively, on counting, in order to question if their results or their suggestions would be, theoretically, "beyond Piaget".

Resumo em Português:

Neste trabalho analisamos a compreensão leitora de alunos do ensino fundamental (na estrutura regular e no sistema de Educação de Jovens e Adultos - EJA) de enunciados de problemas escolares de Matemática necessária à resolução destes. Os dados para a análise foram coletados por meio de entrevistas realizadas com vinte alunos do ensino fundamental regular (dez alunos da 5.ª série e dez da 8.ª) e dez do EJA (cinco concluintes da Fase I e cinco concluintes da Fase II do ensino fundamental). Nas entrevistas, pautadas no método clínico-crítico de Jean Piaget, foram apresentados aos participantes quatro problemas adaptados de duas das coleções didáticas mais utilizadas pelos professores da região em sala de aula. A análise dos dados foi fundamentada na noção bakthiniana de gênero discursivo e em autores que focalizam aspectos cognitivos da leitura e interpretação de textos como Solé e Kleiman, a comunicação e a linguagem na prática educativa em matemática como Gómez-Granell, e a resolução de problemas como Bacquet e Medeiros. Os resultados mostraram que os participantes apresentavam falhas em sua compreensão leitora conforme os pontos de vista linguístico e matemático e pouca familiaridade com o gênero discursivo "enunciado de problemas matemáticos"; também não tinham noção precisa do significado de resolver um problema e apresentavam dificuldade em reter e manter o controle adequado das informações essenciais dos enunciados.

Resumo em Inglês:

This paper examines the reading comprehension of Elementary School students (in the regular structure and in the Youth and Adults System- EJA) concerning statements of school mathematics problems which are needed to their resolution. Data were collected by interviewing twenty elementary school students in regular structure (ten 5th graders and ten 8th graders) and 10 students attending the EJA (five Stage I graduates and five Stage II graduates). Based on Piaget's critical-clinical method, the interviews presented to each subject had four problems adapted from two of the didactic collections more frequently used by local teachers in their classrooms. Data analysis was based on the Bakthinian notion of discursive genre and on authors that focus on cognitive aspects of reading and interpretation of texts as Solé and Kleiman; communication and language in educational practice in mathematics as Gómez-Granell, and on problem solving as Bacquet, and Medeiros. Results showed that subjects had failures in their reading comprehension in terms of linguistics and mathematics, and were unfamiliar with the "statement of mathematical problems" discursive genre; they also had no precise idea of what could mean solving a problem and had difficulty on retaining and maintaining adequate control of essential information present at the statements.

Resumo em Português:

O presente artigo objetiva avaliar descritores utilizados em duas pesquisas, na análise de atividades sobre o pensamento proporcional. Ambas partiram dos componentes do raciocínio proporcional divulgados por Post, Behr e Lesh, para suas análises. Por seu objetivo, emprega a metodologia designada de meta-análise qualitativa, conforme Fiorentini e Lorenzato, ao visar resultados que transcendam os daquelas pesquisas. Atingem-se tais propósitos por meio do confronto daquelas pesquisas em sua base teórica, com outros referenciais teóricos propostos por Raymond Duval, Anna Sfard, Geraldo Ávila e Elon Lages de Lima.

Resumo em Inglês:

This article aims to evaluate descriptors used in two researches' analysis of activities on the proportional thinking. Both syudies were based on the proportional reasoning components proposed by Post, Behr and Lesh. According to its objective, this study employs the methodology called qualitative meta-analysis as Fiorentini and Lorenzato show, in order to find results that transcended those researches. The goals are achieves through the confrontation of those researches in their theoretical basis, with other theoretical frameworks proposed by Raymond Duval, Anna Sfard, Geraldo Ávila and Elon Lages de Lima.

Resumo em Português:

Neste texto discutimos uma forma de investigação sobre a apropriação da tecnologia pelo professor de matemática e seu uso em sua prática pedagógica. Apresentamos a abordagem instrumental que fornece elementos teóricos apropriados para esse estudo. Esta teoria apoia-se em conceitos da psicologia, em especial na ideia de esquema definida por Piaget e utilizada por Vergnaud, na teoria dos campos conceituais. Serão abordados somente alguns elementos da teoria, os que permitem compreender o uso de um software nas aulas de Matemática. É dada especial atenção ao conceito de gênese instrumental e, para isso, à distinção entre artefato e instrumento, e entre instrumentalização e instrumentação. A partir destes elementos e da distinção que fazemos entre inserir e integrar a tecnologia na prática pedagógica do professor de matemática são apresentados resultados de uma pesquisa-ação realizada com professores dessa disciplina.

Resumo em Inglês:

This paper deals with a certain way to investigate the mastering of technology by mathematics teachers and its use in their pedagogical practice. The instrumental approach which brings the suitable theoretical elements to this study is presented. This instrumental approach is supported by some psychological Piaget's constructs, specially that one of schemata that is also assumed by Vergnaud in his theory of conceptual fields. Only the theoretical elements that make possible the understanding of a software implementation at mathematics lessons will be exposed. Special attention is given to the concept of instrumental genesis in order to make the distinction between artifact and instrument, and between instrumentalization and instrumentation. Results of an action-research realized with mathematics teachers are described based on those theoretical elements and on the proposed difference between inserting and integrating technology into the pedagogical practice in the mathematics teaching.

Resumo em Português:

Neste artigo analiso interações em um chat com professores de matemática. O foco da análise está nas funções do formador para interagir nesse tipo de bate-papo. É feito um estudo de caso e o chat é considerado a unidade de análise. A aprendizagem é entendida como formas imersivas de interação e de participação no ambiente virtual constituído. A investigação ressalta a importância da dimensão discursiva na constituição das funções do formador. Funções essas que podem ser: criatividade para elaborar atividades; iniciativa para motivar constantemente os indivíduos; solicitação de exemplos, posicionamentos, reflexões coletivas, análises e contrastes; ratificação e relativização de posicionamentos e descobertas; solicitação de informações da prática e promoção de processos autorreflexivos.

Resumo em Inglês:

In this paper I analyze interactions within a chat with mathematics teachers. The analysis was focused on the roles of the trainer to interact in this kind of environment. A case study is done and the chat is considered the unit of analysis. Learning is understood as an immersive way of interaction and participation in the constituted virtual environment. The research underscores the importance of the discursive dimension on the constitution of the trainer functions. These functions can be: creativity to elaborate activities; initiative to motivate continuously the individuals; asking for examples, engagements and collective reflections, analyses and contrasts; ratification and relativity of ideas and discoveries; asking for information from practice and promoting self-reflective processes.

Resumo em Português:

Para ensinar uma noção científica em um dado nível de escolaridade, é necessário que ela seja acessível aos alunos. Portanto, precisa-se transformá-la a partir de um saber de referência que é, em geral, o saber dos especialistas da disciplina (o saber sábio). Neste trabalho, são apresentadas ferramentas teóricas da didática da matemática para estudar as transformações do saber científico em saber ensinado. É tomado como objeto matemático de estudo o "logaritmo". A função logaritmo é uma das noções mais importantes das que integram o currículo do Ensino Médio. Ela tem várias aplicações em diversas áreas de conhecimento tais como: física, química, economia, astronomia, o que justifica sua manutenção nas propostas curriculares de vários países.

Resumo em Inglês:

In order to teach a scientific concept at a given school level, this concept must be accessible to the students; therefore, it must be transformed based on a reference knowledge, which is, in general, the knowledge from the discipline's specialists (scholar knowledge). In this paper, theoretical tools from the didactic of Mathematics are presented to study the transformation of scientific knowledge into taught knowledge. The mathematical object on focus is the "logarithm." The logarithm function is one of the most important concepts in the High School curriculum. It has various applications in a wide range of knowledge areas, such as physics, chemistry, economics, astronomy, justifying its continued inclusion in the curricula proposals of various countries.

Resumo em Português:

Este artigo discute a produção de significados para gráficos cartesianos por alunos do ensino médio. Em particular, trata do papel da tecnologia na emergência da compreensão dos alunos de gráficos de distância versus tempo, onde o tempo é um eixo componente do gráfico. Vinte e oito alunos do primeiro ano do ensino médio foram filmados enquanto resolviam uma atividade de esboçar um gráfico cartesiano para uma situação de movimento dividida em três momentos: 1- lendo uma estória e usando lápis e papel; 2 - trabalhando com calculadora gráfica e sensores de movimento; 3 - revisitando o gráfico esboçado em 1. A teoria da cognição corporificada foi utilizada como fundamentação para analisar as produções de significado pelos estudantes sobre o produzido durante essa atividade. Os resultados mostram mudanças na percepção e na construção do eixo tempo, transformando o que antes era abstrato em algo palpável.

Resumo em Inglês:

This article addresses and discusses meaning production for Cartesian graphs by high school students. In particular, it focuses on the role of technology in the emergency of students' understanding of distance versus time graphs, in which time is an axis, a component of the graph. Twenty-eight junior high school students were videotaped while engaged in an activity of sketching a Cartesian graph for a movement situation in three steps; step one- reading a story and using pencil and paper; step two- working with a graphic calculator and a CBR sensor; step three- revisiting the graph done on step one. A theoretical framework based on embodiment theory was used for analyzing students' meaning production and how they change their thinking about time representation during the activity. The results pointed out to a change in perception and in building a time-axis, turning what was first an abstract entity to a palpable one.

Resumo em Português:

Neste artigo, exploramos a natureza social e corporificada da cognição matemática, argumentando que a apropriação de práticas matemáticas envolve a coordenação de fala, gestos, objetos materiais e atividades sensoriais. Utilizando um quadro teórico em desenvolvimento, no qual tentamos combinar aspectos das perspectivas socioculturais de Vygotsky e Leontiev, com abordagens mais recentes da neurociência da cognição humana, investigamos como um estudante cego, interagindo com uma professora (pesquisadora), chegou a conhecer aspectos da matemática em questão (simetria e reflexão), por um processo que envolve a simulação mental de experiências passadas. Exploramos também o papel da pesquisadora no sentido de facilitar um tipo de entrelaçamento entre cultura e cognição, convidando o aluno a fazer conexões entre as experiências sensoriais (passado e presente), artefatos de representação e significados matemáticos culturalmente aceitos.

Resumo em Inglês:

In this paper, we examine the claim that mathematical cognition is both an embodied and social endeavour by exploring the co-ordinations of speech, gestures, material objects and sensory activities in a dialogue between a mathematics teacher (researcher) and a blind student. Using a developing theoretical framework in which we attempt to combine aspects of the socio-cultural perspectives of Vygotsky and Leontiev with more recent neuroscientific approaches to human cognition, we argue that the student came to know aspects of the mathematics in question (symmetry and reflection), in a process involving the mental simulation of past experiences in ways which enabled associations between physical and mathematical activities. We also explore the role of the researcher in facilitating a kind of entanglement between culture and cognition by inviting the learner to make connections between sensory experiences (past and present), representational artefacts and culturally accepted mathematical meanings.

Resumo em Português:

Neste trabalho apresentamos os dados de uma pesquisa que teve por objetivo verificar o desempenho de alunos do 6.° ao 9.° anos do Ensino Fundamental na resolução de oito problemas multiplicativos, envolvendo raciocínio combinatório. Os problemas diferiam em relação à quantidade de variáveis e à quantidade de algarismos utilizados nos fatores. Para tanto, por meio de uma entrevista clínica levantamos as principais estratégias e erros produzidos por 40 alunos de duas escolas públicas (A e B) da cidade de Campo Grande-MS, as quais fizeram parte de uma pesquisa mais ampla realizada anteriormente. Os dados revelam que o desempenho foi melhor nos problemas com duas variáveis e com fatores de valores baixos, não havendo diferença de desempenho entre alunos do 6.° e do 9.° anos. De modo geral, as dificuldades que emergiram estavam relacionadas: 1) aos modelos intuitivos que os alunos têm a respeito da multiplicação (em especial o da soma repetida); 2) a estrutura semântica do problema; 3) as preferências numéricas quanto ao tamanho dos números, formas de representar o problema e interpretação do enunciado verbal. Por ser a multiplicação uma operação bastante complexa envolvendo, em sua resolução, processos cognitivos abstratos, acreditamos que o professor precisa conhecê-los para favorecer a aprendizagem dos alunos.

Resumo em Inglês:

This work presents data from a study which aimed at verifying the performance of Elementary School 6th and 9th graders when solving eight multiplicative problems involving combinatorial thinking. The problems were different concerning the amount of variables and the amount of numerical digits used in factors. Therefore, through a clinical interview, we listed the main strategies and mistakes produced by 40 graders from two public schools (A and B) in the municipality of Campo Grande (Mato Grosso do Sul - MS - State) which were part of a larger research developed before. The observations reveal that the performance was better in problems with two variables and factors with low values. There was no alteration in the performance among the 6th and 9th graders. In general, the difficulties found were related to: 1) intuitive models students have when dealing with multiplication (especially the one including repeated addition); 2) the semantic structure of the problem; 3) numerical preferences regarding the quantity of numerical digits, ways of representing the problem and interpretation of verbal problem statements. Because multiplication is a very complex operation involving abstract cognitive processes in its solution, we believe that the teacher needs to know them to facilitate students' learning.