Sensitivity analysis of particle size distribution function during flocculation

In this paper, the sensitivity of the continuous particle size distribution function (PSD) was evaluated, as flocculation occurs. To this end, six discrete configurations were investigated, subdivided into 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 and 15 classes. The distribution studied here differ in the particles presented by size range and behavior, whether monotonic or unimodal. The adjustment of the continuous function in linearized form to the discrete data was evaluated by means of R². The power law coefficient (β) and the center of mass (C.M) were taken as representative of PSD during the sensitivity analysis, which was carried out by means of multiple correlation between the variables. Batch essays were performed in order to evaluate simulations. Results showed that β and C.M were both sensitive to PSD variations; however, the function adjustments for unimodal distributions need improvement.

Keywords:
flocculation; particle size distribution; sensitivity analysis

Authorship

Rodrigo Braga Moruzzi ^* * Autor correspondente: rmoruzzi@rc.unesp.br

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” - Rio Claro (SP), Brasil.Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”BrazilRio Claro, SP, BrazilUniversidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” - Rio Claro (SP), Brasil.

http://orcid.org/0000-0002-1573-3747

André Luiz de Oliveira

Universidade Federal de Uberlândia - Uberlândia (MG), Brasil.Universidade Federal de UberlândiaBrazilUberlândia, MG, BrazilUniversidade Federal de Uberlândia - Uberlândia (MG), Brasil.

http://orcid.org/0000-0002-6661-7308

* Autor correspondente: rmoruzzi@rc.unesp.br

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Figures (8)
Tables (2)
Formulas (2)

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Figura 1 -
Exemplo do efeito dos parâmetros na função linearizada de distribuição de tamanho de partículas. (A) Predominância do efeito de translação para Log (A) de 3,28; 4,28 e 5,28; (B) predominância do efeito de inclinação para β de 0,81; 1,85 e 2,41.

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Figura 2 -
Exemplo de configurações investigadas para sete classes de tamanho com (A e B) comportamento monotônico e (C, D e E) unimodal.

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Figura 3 -
Exemplo de séries sintéticas de sete classes de tamanho geradas para avaliação da sensibilidade do parâmetro β de distribuição de tamanho de partículas. (A) Distribuição monotônica; (B) distribuição unimodal. Acima, as distribuições discretas; abaixo, a respectiva forma linearizada.

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Figura 4 -
Avaliação da sensibilidade do parâmetro característico da distribuição de tamanho de partículas (β) diante dos controles, dados pelo centro de massa da distribuição de tamanho de partículas (C.M) e pela primeira classe relativa à distribuição de tamanho de partículas (1ª Classe (%)). Distribuições sintéticas geradas para um total de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 e 15 classes de tamanho. Na primeira coluna de gráficos de cima para baixo, tem-se: (A) 3; (B) 4; (C) 5; (D), 6 classes. Na segunda coluna, de cima para baixo, tem-se: (E) 7; (F) 8; (G) 10; e (H), 15 classes.

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Figura 5 -
Imagens binarizadas dos flocos formados em diferentes pares de valores de G _f e T _f . (A) T_f = 3.600 s e G_f = 20 s^-1; (B) T_f = 2.400 s e G_f = 30 s^-1; (C) T_f = 1.800 s e G_f = 40 s^-1; (D) T_f = 1.200 s e G_f = 60 s^-1.

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Figura 6 -
Distribuição de tamanho de partícula discreta e ajustada para a função contínua linearizada a partir dos dados experimentais de floculação. (A) G _f de 20 s^-1 e T _f de 60 minutos; (B) G _f de 60 s^-1 e T _f de 20 minutos.

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Figura 7 -
(A) Curva de β (d_p) para d_p contido no intervalo de [20-2.000 mm]. Valor de k ajustado de 1,212. As retas representam valores constantes de β no intervalo [1,4]; (B) distribuição contínua da função dada pela Equação 1 com coeficiente de potência β (d_p) para as mesmas condições de (A). Fixo A = 1.

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Figura 8 -
(A) Ajuste dos dados experimentais para G _f de 60 s^-1 e T _f de 20 minutos usando β constante e a função β (d_p) como coeficiente de potência para d_p contido no intervalo de [180-1.000 mm]; (B) distribuição dos resíduos para os dois ajustes.

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Tabela 1 -
Valores dos coeficientes de determinação (R²) decorrentes do ajuste da função contínua linearizada às distribuições discretas sintéticas para diferentes números de classes de tamanho em distribuições com comportamento monotônico e unimodal.

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Tabela 2 -
Correlações lineares múltiplas entre o parâmetro característico da distribuição de tamanho (β), o centro de massa da distribuição de tamanho de partículas e a primeira classe relativa à distribuição de tamanho de partículas (1ª Classe (%)). Distribuições sintéticas geradas para um total de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 e 15 classes de tamanho.

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(1)

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(2)

Figura 1 - Exemplo do efeito dos parâmetros na função linearizada de distribuição de tamanho de partículas. (A) Predominância do efeito de translação para Log (A) de 3,28; 4,28 e 5,28; (B) predominância do efeito de inclinação para β de 0,81; 1,85 e 2,41.

Figura 2 - Exemplo de configurações investigadas para sete classes de tamanho com (A e B) comportamento monotônico e (C, D e E) unimodal.

Figura 3 - Exemplo de séries sintéticas de sete classes de tamanho geradas para avaliação da sensibilidade do parâmetro β de distribuição de tamanho de partículas. (A) Distribuição monotônica; (B) distribuição unimodal. Acima, as distribuições discretas; abaixo, a respectiva forma linearizada.

Figura 4 - Avaliação da sensibilidade do parâmetro característico da distribuição de tamanho de partículas (β) diante dos controles, dados pelo centro de massa da distribuição de tamanho de partículas (C.M) e pela primeira classe relativa à distribuição de tamanho de partículas (1ª Classe (%)). Distribuições sintéticas geradas para um total de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 e 15 classes de tamanho. Na primeira coluna de gráficos de cima para baixo, tem-se: (A) 3; (B) 4; (C) 5; (D), 6 classes. Na segunda coluna, de cima para baixo, tem-se: (E) 7; (F) 8; (G) 10; e (H), 15 classes.

Figura 5 - Imagens binarizadas dos flocos formados em diferentes pares de valores de G _f e T _f . (A) T_f = 3.600 s e G_f = 20 s^-1; (B) T_f = 2.400 s e G_f = 30 s^-1; (C) T_f = 1.800 s e G_f = 40 s^-1; (D) T_f = 1.200 s e G_f = 60 s^-1.

Fonte: Moruzzi et al. (2016Moruzzi, R.B.; Oliveira, A.L; De Julio, M.; Dutra, R.H.A.; Silva, P.A.G. (2016) Floculação: considerações a partir da análise clássica e da avaliação direta da distribuição de tamanho de partículas. Engenharia Sanitária e Ambiental, v. 21, n. 4, p. 817-824. http://dx.doi.org/10.1590/s1413-41522016144959
https://doi.org/http://dx.doi.org/10.159... )

Figura 6 - Distribuição de tamanho de partícula discreta e ajustada para a função contínua linearizada a partir dos dados experimentais de floculação. (A) G _f de 20 s^-1 e T _f de 60 minutos; (B) G _f de 60 s^-1 e T _f de 20 minutos.

Figura 7 - (A) Curva de β (d_p) para d_p contido no intervalo de [20-2.000 mm]. Valor de k ajustado de 1,212. As retas representam valores constantes de β no intervalo [1,4]; (B) distribuição contínua da função dada pela Equação 1 com coeficiente de potência β (d_p) para as mesmas condições de (A). Fixo A = 1.

Figura 8 - (A) Ajuste dos dados experimentais para G _f de 60 s^-1 e T _f de 20 minutos usando β constante e a função β (d_p) como coeficiente de potência para d_p contido no intervalo de [180-1.000 mm]; (B) distribuição dos resíduos para os dois ajustes.

Tabela 1 - Valores dos coeficientes de determinação (R²) decorrentes do ajuste da função contínua linearizada às distribuições discretas sintéticas para diferentes números de classes de tamanho em distribuições com comportamento monotônico e unimodal.

Classes	Monotônica	Unimodal	Classes	Monotônica	Unimodal
3	0,85	0,21	7	0,69	0,12
	0,3	0,99		0,91	0,14
	0,13	0,98		0,71	0,24
4	0,87	0,56	8	0,6	0,03
	0,85	0,5		0,95	0,02
	0,74	0,71		0,71	0,13
5	0,77	0,5	10	0,7	0,02
	0,24	0,5		0,77	0,17
	0,35	0,5		--	0,49
6	0,79	0,65	15	--	0,65
	0,51	0,59		0,51	0,22
	0,47	0,64		--	0,17

Tabela 2 - Correlações lineares múltiplas entre o parâmetro característico da distribuição de tamanho (β), o centro de massa da distribuição de tamanho de partículas e a primeira classe relativa à distribuição de tamanho de partículas (1ª Classe (%)). Distribuições sintéticas geradas para um total de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 e 15 classes de tamanho.

Cla sses	3			Classes	7
	β	C.M.	1ª Classe		β	C.M.	1ª Classe
β	1			β	1
C.M	0,96	1		C.M	0,95	1
1ª Classe	-0,95	-0,99	1	1ª Classe	-0,96	-0,99	1
Classes	4			Classes	8
β	1			β	1
C.M	0,99	1		C.M	0,92	1
1ª Classe	-0,99	-0,99	1	1ª Classe	-0,95	-0,95	1
Classes	5			Classes	10
β	1			β	1
C.M	0,95	1		C.M	0,99	1
1ª Classe	-0,97	-0,99	1	1ª Classe	-0,95	-0,97	1
Classes		6			Classes	15
β	1			β	1
C.M	0,97	1		C.M	0,99	1
1ª Classe	-0,96	-0,99	1	1ª Classe	-0,90	-0,89	1

(1)

F (d_{p}) = \frac{d N}{d (d_{p})} = A {(d_{p})}^{- β} \approx \frac{∆ N}{∆ (d_{p})}

(2)

β (d_{p}) = k {L o g}_{10} d_{p}

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