Proposta metodológica para o ajuste ótimo da distribuição diamétrica SB de Johnson

Proposed methodology for optimum setting of the diameter distribution of Johnson SB

Oscar Santiago Vallejos Barra Carlos Roberto Sanquetta Julio Eduardo Arce Sebastião do Amaral Machado Ana Paula Dalla Corte Sobre os autores

Resumos

A distribuição de SB de Johnson tem ampla utilização na área florestal. Basicamente há cinco métodos para ajustar essa distribuição, e quatro deles consideram o parâmetro de locação (ε) e de escala (λ) como termos independentes que devem ser conhecidos para obter os demais parâmetros. Este trabalho foi desenvolvido visando propor uma nova metodologia para determinar os parâmetros de locação e de escala que otimizam o ajuste dos cinco métodos ao minimizar a estatística "dn" do teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov. Posteriormente, com o objetivo de testar a metodologia proposta, utilizou-se o aplicativo de otimização não linear "Solver.xla" do Microsoft Excel 2000, definindo a função objetivo e restrições de cada método de ajuste. Como conclusão, percebeu-se que a metodologia proposta demonstrou constituir alternativa interessante de ajuste da distribuição SB de Johnson, possibilitando seu ajuste otimizado. Dessa forma, recomenda-se que a metodologia proposta seja amplamente empregada para fins de determinação dos parâmetros do modelo quando do ajuste dessa distribuição probabilística muito usada na área florestal.

Distribuição S B de Johnson; Métodos de ajuste; Distribuição probabilística e otimização


The Johnson´s SB probability distribution has wide use in forestry. There are basically five methods for fitting the location (e) and the scale (l) parameters as independent terms that must be known to obtain the other parameters. This work was carried out aiming at developing a new methodology to optimize the determination of the location and scale parameters of this distribution to minimize the "dn" statistics of the adherence test of Kolmogorov-Smirnov by the five fitting methods available. In order to test the performance of the new methodology the "Solver.xla" of the Microsoft Excel 2000 was utilized, defining the objective function and the restrictions of each fitting method. As conclusion of the study, it was noticed that the proposed methodology may be considered as an interesting alternative to the Johnson´s SB function though the optimization schedule. Therefore, the methodology can be widely recommended to obtaining the model parameters of this probability distribution used in forestry.

Johnson´s S B distribution; Fitting methods; Probability distribution and Optimization


Proposta metodológica para o ajuste ótimo da distribuição diamétrica SB de Johnson

Proposed methodology for optimum setting of the diameter distribution of Johnson SB

Oscar Santiago Vallejos BarraI; Carlos Roberto SanquettaII; Julio Eduardo ArceII; Sebastião do Amaral MachadoII; Ana Paula Dalla CorteIII

IPrograma de Pós-Graduação em Engenharia Florestal pela Escola de Engenharia Florestal, Universidade Federal de Paraná. E-mail: <ovallejo@utalca.cl>

IIEscola de Engenharia Florestal, Universidade Federal de Paraná. E-mail: <sanquetta@ufpr.br>, <jarce@ufpr.br> e <sammac@ufpr.br>

IIIFundação de Pesquisas Florestais do Paraná, E-mail: <anapaulacorte@gmail.com>

RESUMO

A distribuição de SB de Johnson tem ampla utilização na área florestal. Basicamente há cinco métodos para ajustar essa distribuição, e quatro deles consideram o parâmetro de locação (ε) e de escala (λ) como termos independentes que devem ser conhecidos para obter os demais parâmetros. Este trabalho foi desenvolvido visando propor uma nova metodologia para determinar os parâmetros de locação e de escala que otimizam o ajuste dos cinco métodos ao minimizar a estatística "dn" do teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov. Posteriormente, com o objetivo de testar a metodologia proposta, utilizou-se o aplicativo de otimização não linear "Solver.xla" do Microsoft Excel 2000, definindo a função objetivo e restrições de cada método de ajuste. Como conclusão, percebeu-se que a metodologia proposta demonstrou constituir alternativa interessante de ajuste da distribuição SB de Johnson, possibilitando seu ajuste otimizado. Dessa forma, recomenda-se que a metodologia proposta seja amplamente empregada para fins de determinação dos parâmetros do modelo quando do ajuste dessa distribuição probabilística muito usada na área florestal.

Palavras-chave: Distribuição SB de Johnson, Métodos de ajuste, Distribuição probabilística e otimização.

ABSTRACT

The Johnson´s SB probability distribution has wide use in forestry. There are basically five methods for fitting the location (e) and the scale (l) parameters as independent terms that must be known to obtain the other parameters. This work was carried out aiming at developing a new methodology to optimize the determination of the location and scale parameters of this distribution to minimize the "dn" statistics of the adherence test of Kolmogorov-Smirnov by the five fitting methods available. In order to test the performance of the new methodology the "Solver.xla" of the Microsoft Excel 2000 was utilized, defining the objective function and the restrictions of each fitting method. As conclusion of the study, it was noticed that the proposed methodology may be considered as an interesting alternative to the Johnson´s SB function though the optimization schedule. Therefore, the methodology can be widely recommended to obtaining the model parameters of this probability distribution used in forestry.

Key words: Johnson´s SB distribution, Fitting methods, Probability distribution and Optimization.

1. INTRODUÇÃO

As funções de densidade de probabilidade permitem resgatar a provável distribuição diamétrica de árvores em um povoamento florestal, descrevendo sua estrutura e possibilitando um melhor planejamento da produção.

Uma das funções de densidade de probabilidade mais destacadas é a distribuição SB de Johnson (Expressão [1] ), onde os parâmetros (e) , (l), (d) e (g) são responsáveis pela locação, escala, curtose e assimetria da distribuição respectivamente.

A distribuição SB de Johnson tem sido utilizada por diversos autores, podendo-se citar: Hafley e Schreuder (1977), Schreuder et al (1982), Bhattacharyya e McClure (1982), Newberry e Burk (1985), Scolforo (1990), Oliveira (1995), Oliveira et al. (1998), Zou e McTague (1996), Tiersch (1997), Abreu (2000), Tewari (2000) e Acerbi Junior et al. (2002).

Os parâmetros desta distribuição podem ser obtidos por alguns métodos sendo: Knoebel e Burkhart (1991) propuseram um método conhecido por seus nomes, método da máxima verossimilhança, método da moda proposto por Hafley e Buford (1985), método dos momentos e método da regressão proposto por Zou e McTague (1996).

O método de Knoebel e Burkhart (1991) proporciona melhor estimativa dos parâmetros requeridos pela distribuição SB de Johnson, enquanto os outros pressupõem o conhecimento do parâmetro e e l. Observa-se que em geral, através de um processo iterativo calcula-se diversos e como uma percentagem do diâmetro mínimo de cada unidade de amostragem e l como a amplitude da informação (diâmetro máximo - diâmetro mínimo). Posteriormente obtêm-se os demais parâmetros avaliando-se a qualidade do ajuste através de testes de aderência.

Na maioria dos casos emprega-se o teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov de uma amostra, por ser o melhor, teste para avaliar a distribuição teórica de uma amostra (GADOW, 1983; GIBBONS e CHAKRABORTI, 1992) e ser muito sensível a qualquer diferença do valor central e da dispersão (LEBART et al 1985). O teste baseia-se na diferença máxima entre a distribuição acumulativa dos erros considerando a estatística "dn" (Expressão [2]).

A distribuição SB de Johnson não apresenta integral definida, de modo que as estimativas acumulativas são obtidas através do método analítico do trapezóide.

Gerou-se uma metodologia que otimiza o ajuste da distribuição, descartando qualquer dúvida sobre os parâmetros de locação (e) e de escala (l) em razão da relevância da distribuição SB de Johnson na área florestal e considerando as possíveis dificuldades para seu ajuste.

2. MATERIAIS E MÉTODOS

A estratégia adotada neste trabalho, visando uma nova proposta metodológica, procura minimizar o valor da estatística "dn" do teste de Kolmogorov-Smirnov, em cada unidade de amostragem analisada, considerando as características de cada método de ajuste. Deste modo pode-se formular um problema de otimização para encontrar a solução ótima do ajuste da distribuição SB de Johnson.

A função objetivo é descrita pela expressão [3] e as restrições dos parâmetros são dadas pela expressão [4]. O método de Knoebel-Burkhart é descrito na expressão [5], o método da máxima verossimilhança é descrito na expressão [6], o método da moda é apresentado na expressão [7], o método dos momentos é descrito na expressão [8] e o método dos percentis é apresentado na expressão [9].

onde: Dmin = diâmetro mínimo da unidade de amostragem; Dmax = diâmetro máximo da unidade de amostragem; Ln = logaritmo natural; D50 = diâmetro do percentil 50; D95 = diâmetro do percentil 95; Z95 = valor normal padrão do percentil 95.

onde: σ f = desvio padrão da variável fi;= promédio; aritmético da variável fi

onde: σ Dap = desvio padrão do Dap; Dapm = moda do Dap;

Dappi = diâmetro do percentil i; zi =valor normal padrão do percentil i; p = quantidade de percentis utilizados.

3. RESULTADO

Utilizou-se o aplicativo de otimização não linear "Solver.xla" do Microsoft Excel 2000, definindo a função objetivo e restrições da cada método de ajuste, com o objetivo de testar a metodologia proposta.

A informação requerida para a aplicação numérica foi obtida dos dados utilizados por Vallejos (2003) do híbrido Populus x euramericana cv. I-488 aos dez anos de idade.

Ajustou-se a distribuição SB de Johnson, através da metodologia proposta e mesma distribuição, mas considerando o parâmetro de locação (e) e escala (l) (KNOEBEL e BURKHART, 1991) para se ter um ponto de referência para a comprovação da minimização da estatística "dn".

Os resultados do ajuste da distribuição SB de Johnson demonstram-se que os valores "dn" da distribuição otimizada são inferiores aos obtidos na mesma distribuição sem otimizar (Tabela 1). Ao comparar os valores "dn", de cada método com e sem ajuste ótimo, as diferenças não parecem expressivas, mas quando se compara as probabilidades associadas à magnitude torna-se relevante e justifica a metodologia proposta.

Esperava-se que os métodos de ajuste apresentassem desempenho semelhante, mas, no entanto o método da moda foi exceção, com um ganho pequeno na aplicação deste método, sendo os parâmetros estimados de forma praticamente idêntica através das duas formas. Este comportamento já foi descrito por outros autores (ZOU; MCTAGUE, 1996; TABAI, 1999).

O resultado do ajuste da distribuição SB de Johnson, segundo os diferentes métodos de ajuste, mostram em termos gerais que os métodos não diferem entre si, com a exceção antes mencionada do método da moda (Figura 2).


Cabe mencionar ainda que esta metodologia pode ser empregada para determinar o método de ajuste mais acurado em cada caso.

4. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

Com base nos resultados obtidos neste trabalho pode-se afirmar que a metodologia proposta é uma alternativa interessante de ajuste da distribuição SB de Johnson, possibilitando o ajuste ótimo dos parâmetros da distribuição.

Observou-se que houve uma equivalência em termos de qualidade de ajuste entre a aplicação desta proposta metodológica para recuperação dos parâmetros e aquele através do método da moda.

A metodologia proposta pode ser amplamente usada na área florestal, especialmente para ajuste de distribuições diamétricas para descrição da estrutura do povoamento e para desenvolvimento de modelos de planejamento da produção florestal, devendo-se empregar sempre o método de ajuste mais adequado e preciso em cada caso em particular.

5. REFERÊNCIAS

Recebido em 30.11.2007 e aceito para publicação em 25.08.2010.

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Datas de Publicação

  • Publicação nesta coleção
    11 Abr 2011
  • Data do Fascículo
    Fev 2011

Histórico

  • Aceito
    25 Ago 2010
  • Recebido
    30 Nov 2007
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