Um estudo extensivo do efeito do empuxo no lançamento de projéteis

A comprehensive study of the buoyancy effect on projectile motion

Resumo

Este trabalho investiga a dissipação de energia e a influência da força de empuxo no movimento de projéteis, abordando um problema clássico da dinâmica que permanece relevante, tanto no ensino de Física quanto em aplicações tecnológicas e esportivas. Embora o lançamento de projéteis seja frequentemente tratado de forma idealizada em contextos educacionais, com a negligência da resistência do ar, tal aproximação mostra-se insuficiente para a descrição de situações reais, nas quais as forças dissipativas desempenham papel fundamental. Neste estudo, adota-se um modelo de arrasto quadrático com coeficiente dependente do número de Reynolds, válido nos diferentes regimes de escoamento, e incorpora-se explicitamente a força de empuxo. As equações diferenciais não lineares e acopladas que governam o movimento foram resolvidas por meio de métodos numéricos. Os resultados indicam que o empuxo exerce influência mensurável sobre as características do movimento, especialmente para projéteis de baixa densidade. A inclusão dessa força resulta em aumentos na altura máxima, no alcance horizontal e no tempo de voo. Ademais, a análise energética confirma o caráter não conservativo do sistema e revela que o empuxo redistribui a dissipação ao longo do voo, reduzindo a potência dissipada no final da trajetória mas prolongando sua duração.

Palavras-chave:
Movimento de projéteis; resistência do ar; dissipação de energia; empuxo

Abstract

This work investigates energy dissipation and the influence of buoyancy force on projectile motion, addressing a classic problem in dynamics that remains relevant in both physics education and technological and sporting applications. Although projectile motion is often treated in an idealized fashion in educational contexts, neglecting air resistance, such an approximation proves insufficient for describing real-world situations, in which dissipative forces play a fundamental role. In this study, a quadratic drag model with a Reynolds-number-dependent coefficient is adopted, valid across the different flow regimes, and explicitly incorporates the buoyancy force. The coupled nonlinear differential equations governing the motion were solved using numerical methods. The results indicate that buoyancy exerts a measurable influence on the motion characteristics, especially for low-density projectiles. The inclusion of this force results in increases in maximum height, horizontal range, and flight time. Furthermore, the energy analysis confirms the non-conservative nature of the system and reveals that buoyancy redistributes dissipation throughout the flight, reducing the dissipated power at the end of the trajectory but prolonging its duration.

Keywords:
Projectile motion; air resistance; energy dissipation; buoyancy

1. Introdução

O estudo do movimento ocupa uma posição central no desenvolvimento da Física Clássica. As bases desse campo foram estabelecidas por Isaac Newton em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, na qual formulou as leis do movimento e da gravitação universal, permitindo a análise sistemática dos corpos em movimento por meio de argumentos essencialmente geométricos [¹]. Ainda nessa obra, Newton dedicou atenção aos efeitos exercidos por fluidos, como o ar e a água, sobre o movimento dos corpos, reconhecendo desde cedo a importância das forças resistivas. Posteriormente, o formalismo da Mecânica passou por uma profunda reformulação com os trabalhos de Lagrange, que substituiu os métodos geométricos por uma abordagem puramente analítica, consolidando uma estrutura matemática mais geral para o tratamento dos sistemas dinâmicos [²].

Apesar desses avanços históricos, o problema do lançamento de projéteis permanece atual e relevante [³]. Além de constituir um tema fundamental no ensino de Física, ele possui aplicações diretas em contextos tecnológicos, científicos e esportivos, nos quais a descrição precisa do movimento é essencial [⁴]. No entanto, nos níveis iniciais de ensino, o lançamento oblíquo costuma ser abordado de forma totalmente idealizada, desprezando-se os efeitos do meio sobre o movimento. Essa simplificação, amplamente adotada em livros-texto de cursos de graduação, permite uma descrição puramente geométrica da trajetória, mas falha em representar adequadamente situações reais, nas quais a resistência do ar exerce influência significativa [⁵].

Em textos mais avançados de Mecânica Clássica, a força de arrasto é incorporada ao problema, revelando a complexidade inerente ao movimento de projéteis em meios resistivos. Quando a força dissipativa depende do quadrado da velocidade, como ocorre na maioria das situações práticas, o sistema de equações diferenciais que descreve o movimento torna-se não linear e acoplado, inviabilizando soluções analíticas diretas por separação de variáveis [⁶, ⁷]. Essa característica constitui a principal dificuldade teórica do problema e motiva o emprego de métodos matemáticos e computacionais mais sofisticados [⁸].

Diversas abordagens têm sido propostas na literatura para contornar essas dificuldades. Corless et al. introduziram o uso da função $W$ de Lambert para tratar equações com dependência exponencial, ampliando as possibilidades de solução analítica [⁹]. Belgacem aplicou essa função ao estudo do lançamento oblíquo com arrasto quadrático [¹⁰], enquanto Hayen reformulou as equações do movimento em termos do ângulo da trajetória [¹¹], facilitando a implementação de métodos numéricos. Essas contribuições evidenciam o esforço contínuo em compreender de forma mais realista a dinâmica dos projéteis em meios resistivos.

Outro aspecto fundamental na caracterização do movimento é o regime de escoamento do fluido, descrito pelo número de Reynolds ($Re$). Timmerman e van der Weele mostraram que, para esferas movendo-se no ar, o arrasto é aproximadamente linear para baixos valores de $Re$ ($Re<1$) e predominantemente quadrático para valores intermediários e elevados (${10}^{\text{3}}<Re<2\times {10}^{\text{5}}$) [¹²]. Por sua vez, Bradshaw utiliza uma estratégia elegante para reformular as equações de movimento [¹³]. Ao reescrevê-las em termos do ângulo da trajetória, combinado com o teorema do trabalho-energia, o problema é simplificado a tal ponto de somente uma integral de dissipação de energia necessitar de tratamento numérico. Mais recentemente, DaSilva destacou a relação entre o número de Reynolds e o fenômeno da “elipse de retorno” no lançamento oblíquo, reforçando a influência do regime de escoamento na dinâmica do movimento [¹⁴]. Esses resultados evidenciam a necessidade do uso de métodos numéricos para uma descrição quantitativa mais precisa, como discutido por Newman [¹⁵].

Diante desse contexto, o lançamento oblíquo com resistência do ar configura-se como um problema clássico da dinâmica que, simultaneamente, mantém forte relevância contemporânea. Em particular, a dissipação de energia associada ao arrasto quadrático desempenha um papel central na distinção entre modelos idealizados e situações reais. Este trabalho tem como objetivo analisar essa dissipação de energia por meio de uma abordagem teórica e numérica, incorporando não apenas a força de arrasto, mas também a força de empuxo, frequentemente negligenciada em análises convencionais. Busca-se, assim, fornecer uma descrição mais realista do movimento de projéteis e avaliar quantitativamente o impacto dessas forças nas características da trajetória.

2. Fundamentação Teórica

2.1. Lançamento oblíquo sem resistência do ar

O lançamento oblíquo na ausência de forças dissipativas constitui um dos modelos fundamentais da Cinemática Clássica. Nesse cenário idealizado, o movimento de um projétil é governado exclusivamente pela força gravitacional e ocorre em duas dimensões, podendo ser decomposto em dois movimentos independentes: um movimento retilíneo uniforme na direção horizontal e um movimento uniformemente variado na direção vertical. Essa decomposição permite uma descrição analítica simples e fornece resultados geométricos bem conhecidos, como a forma parabólica da trajetória (conforme ilustrado na Figura 1).

Figura 1
Forma esquemática de uma trajetória parabólica típica para um projétil lançado a partir do solo, desprezando-se a resistência do ar.

Considerando um projétil lançado com velocidade inicial ${\mathbf{v}}_0$, formando um ângulo ${\theta }_0$ com a horizontal, as componentes iniciais da velocidade são dadas por $v_{0x}=v_0\cos {\theta }_0$ e $v_{0y}=v_0\sin {\theta }_0$. Na direção horizontal, a velocidade permanece constante, enquanto na direção vertical o movimento é acelerado pela gravidade. As equações horárias do movimento são, portanto,

(1) $$x\left(t\right)=x_0+v_{0x}t;y\left(t\right)=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2,$$

onde $g$ é o módulo da aceleração da gravidade. Eliminando-se o tempo entre essas expressões, obtém-se a equação da trajetória,

(2) $$y\left(x\right)=x\tan {\theta }_0-\frac{1}{2}\frac{g}{v_0^2{\cos }^2{\theta }_0}{x}^2,$$

que descreve uma parábola no plano $xy$.

Apesar de sua simplicidade, esse modelo apresenta propriedades geométricas interessantes. Dentre elas, destacam-se duas curvas, associadas a famílias de trajetórias lançadas de um mesmo ponto com velocidade inicial fixa e ângulos de lançamento variados. A primeira é a elipse crítica, definida como o lugar geométrico dos pontos de altura máxima dessas trajetórias, que atua como um envelope delimitando as alturas máximas alcançáveis. A segunda é a elipse de retorno, definida como o lugar geométrico dos pontos em que a velocidade radial do projétil se anula, isto é, em que $\mathbf{v}\cdot \widehat{r}=0$. No caso idealizado sem resistência do ar as duas curvas coincidem [¹⁶, ¹⁴], razão pela qual são por vezes tratadas sem distinção. Contudo, a diferença entres elas torna-se relevante quando forças dissipativas são incluídas.

Associado a esse conceito surge o chamado ângulo crítico, ${\theta }_c$, que estabelece uma fronteira dinâmica no movimento. Para ângulos de lançamento superiores a ${\theta }_c$, o projétil apresenta o fenômeno conhecido como movimento de “vai e vem”, no qual, ao longo do voo, o módulo do vetor posição aumenta, diminui e depois aumenta novamente. Conforme discutido por Walker [¹⁶] e ilustrado por DaSilva [¹⁴], o ângulo crítico para esse caso é ${\theta }_c=\arcsin \sqrt{8/9}$. Dessa forma, a elipse de retorno fornece uma interpretação geométrica global do problema, enquanto o ângulo crítico distingue regimes qualitativamente distintos do movimento. A Figura 2 ilustra essas duas características.

Figura 2
Trajetórias de um projétil com ângulos de lançamento de ${70}^{\circ }$ e ${71}^{\circ }$, sem resistência do ar. A elipse de retorno também é mostrada (círculos cheios).

Embora o lançamento oblíquo sem resistência do ar seja extremamente útil do ponto de vista didático, ele constitui apenas uma aproximação idealizada. Em situações reais, a presença do ar modifica significativamente o movimento, tornando necessária a inclusão de forças dissipativas.

2.2. Força de arrasto

Em Mecânica Clássica, a força de arrasto que atua sobre um corpo em movimento através de um fluido é geralmente modelada de forma simplificada, assumindo dependência linear ou quadrática com a velocidade. De maneira geral, essas forças podem ser escritas como

(3) $${\mathbf{F}}_D=-k_{1}v\widehat{v}\left(\text{arrasto linear}\right)$$

ou

(4) $${\mathbf{F}}_D=-k{v}^2\widehat{v}\left(\text{arrasto quadrático}\right),$$

onde $\widehat{v}$ é o vetor unitário na direção da velocidade, $k_1$ [kg/s] e $k$ [kg/m] são constantes que dependem das propriedades do fluido e da geometria do objeto [⁶]. Ao longo deste

trabalho, $k$ designará sempre o coeficiente de arrasto quadrático.

O arrasto linear é apropriado para movimentos em fluidos altamente viscosos ou em regimes de baixas velocidades, enquanto o arrasto quadrático domina a maioria das situações práticas envolvendo projéteis em ar, especialmente para velocidades superiores a algumas dezenas de metros por segundo [⁷]. A escolha do modelo adequado pode ser analisada comparando-se as magnitudes relativas dos termos linear e quadrático.

Como exemplo ilustrativo, considere uma bola de beisebol com diâmetro de aproximadamente $7$ cm movendo-se a $5$ m/s e, em contraste, uma gota do experimento de Millikan com diâmetro da ordem de ${10}^{-6}$ m e velocidade extremamente baixa. Assumindo coeficientes típicos para o ar em condições normais de temperatura e pressão, verifica-se que, para a bola de beisebol, o termo quadrático supera o termo linear em várias ordens de magnitude, enquanto para a gota o oposto ocorre. Dessa forma, o arrasto quadrático é mais adequado para projéteis macroscópicos, ao passo que o arrasto linear descreve melhor partículas microscópicas.

No caso do arrasto linear, o problema bidimensional pode ser tratado analiticamente, pois as equações de movimento nas direções horizontal e vertical se desacoplam. A equação vetorial do movimento é

(5) $$m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=-mg\widehat{y}-k_1\mathbf{v},$$

o que resulta em equações diferenciais independentes para cada componente da velocidade. As soluções analíticas permitem obter expressões explícitas para as posições e velocidades em função do tempo, bem como a equação da trajetória. Essas soluções podem ser obtidas de forma relativamente simples. Dada a componente $x$ da equação acima,

(6) $$m\frac{d{v}_x}{dt}=-k_1{v}_x,$$

a velocidade $v_x$ pode ser escrita como:

(7) $$v_x=v_{0x}{e}^{-\frac{k_{1}t}{m}}.$$

Como $v_x=\frac{dx}{dt}$, a componente $x$ da posição pode ser escrita como

(8) $$x=\frac{m{v}_{0x}}{k_1}\left(1-e^{-\frac{k_{1}t}{m}}\right).$$

Para a componente $y$ o procedimento é similar. Dada a relação

(9) $$m\frac{d{v}_y}{dt}=-mg-k_1{v}_y,$$

obtém-se

(10) $$v_y=\left(\frac{mg}{k_1}+v_{0y}\right)e^{-\frac{k_{1}t}{m}}-\frac{mg}{k_1}.$$

Da mesma forma, a componente $y$ da posição será

(11) $$y=\left(\frac{m^{2}g}{k_1^{}{}_{}{}^2}+\frac{m{v}_{0y}}{k_1}\right)\left(1-e^{-\frac{k_{1}t}{m}}\right)-\frac{mg}{k_1}t.$$

Ainda é possível escrever a equação da trajetória, isto é, escrever $y$ como função de $x$. Isolando $t$ na equação em $x$ e substituindo em $y$, resulta

(12) $$y=\left(\frac{mg}{k_1{v}_{0x}}+\frac{v_{0y}}{v_{0x}}\right)x-\frac{m^{2}g}{k_1^{}{}_{}{}^2}\ln \left(\frac{m{v}_{0x}}{m{v}_{0x}-k_{1}x}\right).$$

Entretanto, quando o arrasto é quadrático, a situação se torna substancialmente mais complexa. A equação de movimento assume a forma

(13) $$m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=-mg\widehat{y}-k{v}^2\widehat{v},$$

e suas componentes,

(14) $$m\frac{d{v}_x}{dt}=-kv{v}_x,$$

$$m\frac{d{v}_y}{dt}=-mg-kv{v}_y,$$

estão acopladas de maneira não linear. Nessas equações, $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$, o que impede a separação direta das variáveis. Como consequência, soluções analíticas fechadas deixam de existir, e o problema passa a ser tratado por métodos numéricos, entre os quais se destaca o método de Runge–Kutta [¹⁷].

A caracterização adequada da força de arrasto requer, além da distinção entre os regimes linear e quadrático, uma descrição precisa da dependência do coeficiente de arrasto $C_D$ com o regime de escoamento do fluido. Essa dependência é usualmente expressa em termos do número de Reynolds,

(15) $$Re=\frac{2Rv\rho f}{\eta },$$

onde $R$ é o raio característico do projétil, $\rho f$, a densidade do fluido e $\eta$, a viscosidade dinâmica. O número de Reynolds fornece uma medida adimensional da razão entre forças inerciais e viscosas, permitindo classificar o escoamento como laminar, transicional ou turbulento.

A força de arrasto pode ser expressa, de forma geral, como

(16) $$F_D=\frac{1}{2}\rho f{C}_{D}A{v}^2,$$

em que $A$ é a área da seção transversal do projétil e $C_D$ é o coeficiente de arrasto. Para esferas, $C_D$ não é constante, mas varia significativamente com o número de Reynolds. Em particular, no limite de baixos valores do número de Reynolds ($Re\ll 1$), o escoamento é laminar e o arrasto é descrito pela lei de Stokes, para a qual

(17) $$C_D=\frac{24}{Re}.$$

Entretanto, para valores intermediários e elevados de $Re$, típicos do lançamento de projéteis no ar, o comportamento de $C_D$ torna-se mais complexo, não podendo ser descrito por uma única expressão simples. Nesse contexto, correlações empíricas baseadas em dados experimentais desempenham papel fundamental. Uma das expressões mais abrangentes e amplamente utilizadas para esferas é a proposta por Morrison [¹⁹], que fornece um ajuste contínuo de $C_D$ em uma ampla faixa de valores do número de Reynolds:

(18) $$C_D=\frac{24}{\mathrm{Re}}+\frac{2.6\left(\frac{\mathrm{Re}}{5.0}\right)}{1+{\left(\frac{\mathrm{Re}}{5.0}\right)}^{1.52}}+\frac{0.411{\left(\frac{\mathrm{Re}}{2.63\times {10}^5}\right)}^{-7.94}}{1+{\left(\frac{\mathrm{Re}}{2.63\times {10}^5}\right)}^{-8.00}}+\frac{0.25\left(\frac{\mathrm{Re}}{{10}^6}\right)}{1+\left(\frac{\mathrm{Re}}{{10}^6}\right)}.$$

Essa expressão empírica é composta por termos que dominam em diferentes regimes de Reynolds, permitindo uma transição suave entre o regime de Stokes, o regime quadrático intermediário e regiões de escoamento turbulento. A Figura 3 ilustra o comportamento típico de $C_D$ em função de $Re$, evidenciando a forte dependência do coeficiente de arrasto com a velocidade do projétil.

Figura 3
Relação experimental entre o coeficiente de arrasto $C_D$ e o número de Reynolds $Re$. Imagem adaptada de [¹⁸].

A adoção dessa correlação é particularmente relevante neste trabalho, pois permite modelar o arrasto de forma mais realista ao longo de toda a trajetória do projétil, uma vez que o número de Reynolds varia continuamente durante o movimento. Dessa forma, a constante de arrasto deixa de ser tratada como um parâmetro fixo, passando a depender implicitamente da velocidade instantânea do projétil. Essa abordagem fornece uma descrição mais fiel da dinâmica real e será empregada nas análises numéricas apresentadas nas seções seguintes. Além disso, a questão de quando uma descrição simplificada do arrasto é suficiente e quando se torna necessário empregar a dependência completa $C_D\left(Re\right)$ foi examinada experimentalmente por Mayme e Mungan [²⁰] no contexto da queda de esferas em fluidos, com a comparação entre modelos de dois termos e a correlação empírica.

2.3. Força de empuxo

A inclusão da força de empuxo no problema do lançamento de projéteis (seja no caso vertical ou oblíquo) é raramente discutida em livros-texto de Mecânica Clássica. Esse fato é particularmente curioso, uma vez que o mesmo meio responsável pela força de arrasto também impõe uma força de empuxo sobre o corpo em movimento. Embora, em muitos casos práticos, essa força seja pequena quando comparada ao peso do projétil, sua influência pode tornar-se significativa para objetos de baixa densidade, como bolas leves e ocas.

De acordo com o princípio de Arquimedes, um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo vertical e dirigida para cima, cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado. Essa força pode ser escrita como

(19) $${\mathbf{F}}_E=m^{\ast }g\widehat{ȷ},$$

onde $m^{\ast }={\rho }_{f}V$ é a massa do fluido deslocado, ${\rho }_f$ é a densidade do fluido e $V$ é o volume do corpo. Como neste trabalho o fluido em questão é o ar, tem-se ${\rho }_f={\rho }_{ar}$. A presença do empuxo modifica a força resultante que atua sobre o projétil, reduzindo efetivamente o efeito da gravidade.

Timmerman e van der Weele analisaram o caso do lançamento vertical considerando uma força de arrasto linear e mostraram que a equação de movimento pode ser escrita como [¹²]

(20) $$m\frac{dv}{dt}=-\left(m-m^{\ast }\right)g-3\pi \eta Dv,$$

onde $\eta$ é a viscosidade dinâmica do fluido e $D$ é o diâmetro do projétil. Essa equação pode ser reescrita de forma mais conveniente como

(21) $$\frac{dv}{dt}=-\left(1-\frac{m^{\ast }}{m}\right)g-\frac{3\pi \eta D}{m}v=-\tilde{g}-\gamma v,$$

em que se define uma aceleração da gravidade efetiva, cujo módulo é

(22) $$\tilde{g}=\left(1-\frac{{\rho }_{ar}}{{\rho }_{obj}}\right)g\equiv \left(1-\epsilon \right)g,\epsilon \equiv \frac{{\rho }_{ar}}{{\rho }_{obj}},$$

sendo ${\rho }_{obj}$ a densidade do projétil e $\gamma =3\pi \eta D/m$ o coeficiente de arrasto linear por unidade de massa. A Equação 22 evidencia que o empuxo atua como uma redução efetiva da gravidade, cujo impacto depende diretamente da razão entre as densidades do fluido e do objeto. Tratamentos análogos, nos quais o empuxo é incorporado por meio de uma aceleração gravitacional efetiva, são empregados no estudo da queda de esferas em líquidos [²⁰], contexto em que a razão de densidades pode ser da ordem da unidade e o empuxo deixa de constituir uma pequena correção.

O parâmetro adimensional $\epsilon$ fixa, portanto, a escala natural do efeito do empuxo: para os projéteis considerados neste trabalho, $\epsilon$ varia de $\sim {10}^{-4}$ (bola de canhão) a $\sim 2\times {10}^{-2}$ (bola de vôlei).

É importante notar que o empuxo não altera o coeficiente de arrasto. De fato, $k=\frac{1}{\text{2}}{\rho }_{ar}{C}_{D}A$ é uma grandeza puramente geométrica e fluidodinâmica, independente de $g$. O empuxo reduz apenas o peso efetivo do projétil, e é essa assimetria entre os dois efeitos que dá origem à competição analisada na Seção 2.4.1.

2.4. Dissipação de energia no lançamentovertical

Para compreender de forma mais clara os mecanismos de dissipação de energia associados ao movimento de projéteis em meios resistivos, é instrutivo analisar inicialmente um caso unidimensional simples: o lançamento vertical de um corpo sob a ação da gravidade e da força de arrasto. Apesar de sua simplicidade, esse problema já contém os elementos essenciais da dissipação energética que também se manifestam no lançamento oblíquo.

No modelo idealizado em que a resistência do ar é desprezada, um corpo lançado verticalmente para cima com velocidade inicial $v_0$ atinge uma altura máxima determinada exclusivamente pela conversão da energia cinética inicial em energia potencial gravitacional. A partir de considerações cinemáticas elementares, obtém-se

(23) $$H=\frac{v_0^2}{2g},$$

caso em que a energia mecânica do sistema é conservada ao longo de todo o movimento.

Em situações reais, entretanto, o corpo se move através do ar, e a presença da força de resistência modifica significativamente sua dinâmica. Para objetos macroscópicos em velocidades típicas de lançamento, a força de arrasto pode ser modelada como proporcional ao quadrado da velocidade. A equação de movimento para o lançamento vertical com arrasto quadrático é, então,

(24) $$m\frac{dv}{dt}=-k{v}^2-mg,$$

onde $k$ é a constante de arrasto. Cabe observar que, na Equação 24, o termo $-k{v}^2$ pressupõe que o arrasto se oponha a um movimento ascendente. As expressões obtidas a seguir aplicam-se portanto exclusivamente ao trecho de subida, $0\le t\le t_{topo}$, o que é suficiente para a análise da altura máxima aqui conduzida. Na descida o sinal do termo dissipativo inverte-se, e a integração deve ser refeita.

Assim, integrando a Equação 24 com a condição inicial $v\left(0\right)=v_0$, obtém-se a expressão da velocidade em função do tempo,

(25) $$v=v_t\tan \left[-\frac{gt}{v_t}+{\tan }^{-1}\left(\frac{v_0}{v_t}\right)\right],$$

em que $v_t=\sqrt{mg/k}$ é o módulo da velocidade terminal do corpo. A integração dessa expressão fornece a posição vertical em função do tempo,

(26) $$y=\frac{v_t^2}{g}\ln \left[\cos \left(\frac{gt}{v_t}\right)+\frac{v_0}{v_t}\sin \left(\frac{gt}{v_t}\right)\right].$$

A altura máxima é atingida quando a velocidade se anula, isto é, $v=0$. Dessa condição resulta o instante de tempo correspondente ao topo da trajetória,

(27) $$t_{topo}=\frac{v_t}{g}{\tan }^{-1}\left(\frac{v_0}{v_t}\right).$$

Substituindo esse valor de tempo na equação da posição, obtém-se a altura máxima alcançada na presença de resistência do ar,

(28) $$h_{max}=\frac{v_t^2}{2g}\ln \left[1+{\left(\frac{v_0}{v_t}\right)}^2\right].$$

Comparando-se esse resultado com o caso ideal, observa-se que $h_{max}<H$, evidenciando que parte da energia mecânica inicial é dissipada durante o movimento. A diferença entre as alturas máxima ideal e real é dada por

(29) $$H-h_{max}=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{v_t^2}{2g}\ln \left[1+{\left(\frac{v_0}{v_t}\right)}^2\right].$$

Essa diferença pode ser obtida também através da abordagem que leva em conta a dissipação de energia, por meio do teorema do trabalho–energia. Partindo da Equação 24 e multiplicando ambos os lados por $vdt$ e integrando, obtém-se

(30) $$\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m{v}^2+mgy+k{\int }_0^t{v}^3\left(t^{\prime }\right)dt{}_{}{}^{\prime }.$$

O último termo dessa expressão representa o trabalho realizado sobre o projétil pela força de arrasto, e corresponde à energia dissipada por esta força. Aplicando essa equação para o instante em que o corpo atinge a altura máxima ($v=0$ e $y=h_{max}$), tem-se

(31) $$H-h_{max}=\frac{1}{v_t^2}{\int }_0^{t_{topo}}{v}^3\left(t^{\prime }\right)dt{}_{}{}^{\prime }.$$

A integral acima pode ser calculada analiticamente substituindo-se a expressão da velocidade em função do tempo. Após manipulações algébricas, obtém-se

(32) $$\begin{array}{l}\frac{1}{v_t^2}{\int }_0^{t_{topo}}{v}^3\left(t^{\prime }\right)dt{}^{\prime }\\ =v_t{\int }_0^{\frac{v_t}{g}{\tan }^{-1}\left(\frac{v_0}{v_t}\right)}{\left\{\tan [-\frac{gt{}^{\prime }}{v_t}+{\tan }^{-1}\left(\frac{v_0}{v_t}\right)]\right\}}^{3}dt{}^{\prime }\\ =\frac{v_0^2}{2g}-\frac{v_t^2}{2g}\ln \left[1+{\left(\frac{v_0}{v_t}\right)}^2\right],\end{array}$$

que coincide exatamente com a diferença entre as alturas máximas obtida anteriormente. Esse resultado confirma que a redução da altura máxima é uma consequência direta do trabalho dissipativo realizado pela força de arrasto.

Assim, mesmo nesse caso unidimensional simples, observa-se claramente que a energia mecânica do projétil não é conservada. A análise do lançamento vertical fornece, portanto, uma interpretação física transparente da dissipação de energia, servindo como base conceitual para o estudo mais geral do lançamento oblíquo em duas dimensões.

2.4.1. Competição entre empuxo e arrasto

O procedimento desenvolvido até aqui permite examinar um aspecto que se mostrará crucial na interpretação dos resultados numéricos, a saber, a competição entre o empuxo e o arrasto. A análise a seguir usa como ponto de partida o trabalho de Timmerman e van der Weele [¹²]. Como discutido na Seção 2.3, a adição do empuxo exige apenas a substituição $g\to \tilde{g}$. Assim, a Equação 28 passa a ser escrita como

(33) $$h_{max}=\frac{v_t^2}{2\tilde{g}}\ln \left[1+{\left(\frac{v_0}{v_t}\right)}^2\right],v_t=\sqrt{\frac{m\tilde{g}}{k}},$$

em que $v_t$ é agora o módulo da velocidade terminal calculada com a gravidade efetiva. Convém introduzir um parâmetro adimensional

(34) $$a\equiv {\left(\frac{v_0}{v_t}\right)}^2=\frac{k{v}_0^2}{m\tilde{g}},$$

que mede o domínio do arrasto: $a\ll 1$ corresponde ao regime balístico, enquanto $a\gg 1$ caracteriza o regime fortemente dissipativo.

Dois fatos devem ser observados. Primeiro, usando $v_t^2=m\tilde{g}/k$, o prefator da Equação 33 torna-se

(35) $$\frac{v_t^2}{2\tilde{g}}=\frac{m}{2k},$$

que não depende de $\tilde{g}$. Toda a dependência da altura máxima em relação ao empuxo está, portanto, concentrada no argumento do logaritmo. Segundo, substituindo $\tilde{g}=\left(1-\epsilon \right)g$ na Equação 34, obtém-se

(36) $$a=\frac{k{v}_0^2}{mg\left(1-\epsilon \right)}=\frac{a_0}{1-\epsilon },a_0\equiv \frac{k{v}_0^2}{mg},$$

onde $a_0$ é o valor do parâmetro na ausência de empuxo. Portanto, $a\propto {\left(1-\epsilon \right)}^{-1}$, ou seja, o empuxo aumenta a razão $v_0/v_t$. Fisicamente, ao reduzir o peso efetivo sem alterar o arrasto, o empuxo diminui a velocidade terminal e desloca o projétil para um regime relativamente mais dominado pela dissipação.

Combinando as Equações 33, 35 e 36, a altura máxima torna-se uma função explícita de $\epsilon$:

(37) $$h_{max}\left(\epsilon \right)=\frac{m}{2k}\ln \left(1+\frac{a_0}{1-\epsilon }\right).$$

A variação relativa da altura máxima produzida pelo empuxo é, portanto,

(38) $$\frac{\Delta h_{max}}{h_{max}}=\frac{1}{\ln \left(1+a_0\right)}\ln \left[\frac{1+a_0/\left(1-\epsilon \right)}{1+a_0}\right].$$

Uma vez que $\epsilon \lesssim 2\times {10}^{-2}$ para todos os projéteis de interesse, é instrutivo expandir a Equação 38 em primeira ordem em $\epsilon$. Derivando a Equação 37 e avaliando em $\epsilon =0$, obtemos

(39) $${\frac{d{h}_{max}}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}={\frac{m}{2k}\frac{1}{1+a_0}\frac{a_0}{{\left(1-\epsilon \right)}^2}|}_{\epsilon =0}=\frac{m}{2k}\frac{a_0}{1+a_0},$$

e dividindo pelo valor $h_{max}\left(0\right)=\left(m/2k\right)\ln \left(1+a_0\right)$, resulta

(40) $$\frac{\Delta h_{max}}{h_{max}}\simeq \epsilon ℛ\left(a_0\right),ℛ\left(a\right)\equiv \frac{a}{\left(1+a\right)\ln \left(1+a\right)}.$$

A Equação 40 exprime de maneira compacta a competição entre os dois efeitos. O fator $ℛ\left(a\right)$ é uma função de $a$ monotonicamente decrescente, com os limites

(41) $$ℛ\left(a\right)\simeq 1-\frac{a}{2}\left(a\ll 1\right),ℛ\left(a\right)\simeq \frac{1}{\ln a}\left(a\gg 1\right).$$

No limite balístico ($a\to 0$) tem-se $ℛ\to 1$ e recupera-se $\Delta h_{max}/h_{max}=\epsilon$, resultado exato que decorre imediatamente de $H=v_0^{\text{2}}/2\tilde{g}$. Nesse regime, o ganho proporcionado pelo empuxo manifesta-se integralmente. À medida que o arrasto se torna dominante, porém, $ℛ$ decresce e apenas uma fração do ganho sobrevive.

O empuxo, ao reduzir a gravidade efetiva, prolonga o tempo de voo do projétil; mas um voo mais longo concede à força de arrasto um intervalo maior para atuar, de modo que parte do ganho é reconvertida em dissipação adicional. Quanto mais dissipativo o regime, maior essa reconversão. Consequentemente, a sensibilidade de um projétil ao empuxo não é determinada apenas por sua densidade: ela depende de dois parâmetros independentes, a saber, a razão de densidades $\epsilon$, que fixa a escala do efeito, e a razão $v_0/v_t$, que determina qual fração dessa escala efetivamente se manifesta na trajetória.

Note-se que a Equação 40 foi obtida sob duas hipóteses: movimento unidimensional e coeficiente de arrasto $k$ constante. Nas simulações apresentadas na Seção 3, o movimento é bidimensional e $C_D$ varia continuamente com o número de Reynolds, o que introduz correções de ordem superior, uma realimentação decorrente do fato de que $Re$ depende da própria velocidade, que por sua vez é afetada pelo empuxo. O resultado analítico não deve, portanto, ser tomado como previsão quantitativa para o lançamento oblíquo. Ele estabelece, contudo, o mecanismo e o sentido do efeito, e veremos adiante que a ordenação por ele prevista é integralmente reproduzida pelos resultados numéricos.

Cabe registrar que a equação (47) de Timmerman e van der Weele fornece $E_{kin}=E_0/\left(1+a\right)$ no instante do impacto; como $a$ cresce com

$\epsilon$, esse resultado já implica o acréscimo da dissipação no caso vertical. A análise a seguir explicita a dependência em $\epsilon$ e estende a conclusão ao lançamento oblíquo com $C_D\left(Re\right)$.

2.5. Dissipação de energia no lançamento oblíquo

No lançamento oblíquo ideal, no qual a resistência do ar é desprezada, o movimento de um projétil lançado a partir do solo descreve uma trajetória parabólica, conforme discutido anteriormente. Nesse caso, as principais características geométricas do movimento – como o tempo de voo, o alcance horizontal e a equação da trajetória – podem ser obtidas diretamente a partir da cinemática bidimensional. Para um projétil lançado com velocidade inicial $v_0$ e ângulo ${\theta }_0$, essas grandezas são dadas por

(42) $$t_{voo}=\frac{2v_0\cos {\theta }_0}{g},A=\frac{v_0^2\sin 2{\theta }_0}{g},y=x\tan {\theta }_0-\frac{1}{2}\frac{g}{v_0^2{\cos }^2{\theta }_0}{x}^2.$$

Nesse modelo, a energia mecânica do sistema é conservada, e parte da energia cinética inicial é convertida em energia potencial gravitacional no ponto de altura máxima, sendo posteriormente reconvertida durante a descida.

Entretanto, em situações reais, o movimento ocorre em um meio resistivo, e o arrasto quadrático passa a desempenhar papel dominante. Como discutido anteriormente, a inclusão de uma força de resistência proporcional ao quadrado da velocidade conduz a um sistema de equações diferenciais não lineares e acopladas, cuja solução analítica geral não é possível [⁸]. Essa característica torna a análise energética particularmente relevante, pois permite compreender o comportamento global do sistema mesmo na ausência de soluções fechadas para as equações do movimento.

Uma abordagem analítica alternativa para tratar o lançamento oblíquo com arrasto quadrático foi proposta por Bradshaw [¹³]. Sua estratégia consiste em reformular as equações de movimento em termos do ângulo da trajetória,

(43) $$\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right),$$

o que permite expressar as componentes da velocidade com dependência implícita no tempo. Essa reformulação, quando combinada com o teorema do trabalho–energia, conduz a expressões integrais que descrevem a dissipação de energia ao longo da trajetória, possibilitando uma análise quantitativa do movimento em diferentes regimes temporais.

Neste artigo, essa abordagem é estendida ao se adotar uma força de arrasto descrita pela correlação empírica para o coeficiente de arrasto $C_D\left(Re\right)$, apresentada na equação 18. Essa escolha permite uma descrição mais realista do movimento, uma vez que o coeficiente de arrasto passa a depender da velocidade instantânea do projétil por meio do número de Reynolds. Além disso, incorporamos o efeito do empuxo, o que leva a uma nova definição da aceleração gravitacional e influencia tanto a dinâmica quanto a dissipação de energia durante o voo.

A Figura 4 ilustra a decomposição vetorial utilizada na formulação das equações de movimento. O vetor posição é dado por $\mathbf{r}=x\widehat{ı}+y\widehat{ȷ}$, enquanto o vetor velocidade possui componentes $v_x$ e $v_y$, podendo ser escrito como

Figura 4
Ilustração esquemática dos vetores que descrevem o estado instantâneo do projétil durante o voo.

(44) $$\mathbf{v}=v\cos \theta \widehat{ı}+v\sin \theta \widehat{ȷ},$$

com $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$. As forças que atuam sobre o projétil são a força gravitacional ${\mathbf{F}}_g=-mg\widehat{ȷ}$ e a força de arrasto $\mathbf{F}D=-k{v}^2\widehat{t}$, onde $\widehat{t}$ é o vetor unitário tangente à trajetória,

(45) $$\widehat{t}=\frac{\mathbf{v}}{\left|\mathbf{v}\right|}=\cos \theta \widehat{ı}+\sin \theta \widehat{ȷ}.$$

O vetor unitário normal à trajetória é definido por

(46) $$\widehat{n}=\widehat{z}\times \widehat{t}=-\sin \theta \widehat{ı}+\cos \theta \widehat{ȷ},$$

em que $\widehat{z}=\widehat{ı}\times \widehat{ȷ}$ é o versor perpendicular ao plano do movimento. Essa escolha permanece bem definida ao longo de toda a trajetória, inclusive nos instantes em que a velocidade é puramente vertical.

A equação de movimento,

(47) $$m\frac{d\mathbf{v}}{dt}={\mathbf{F}}_D+{\mathbf{F}}_g=-k{v}^2\widehat{t}-mg\widehat{ȷ},$$

pode ser reescrita em termos das componentes tangencial e normal. Para isso, escreve-se

(48) $$\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d\left(v\widehat{t}\right)}{dt}=\frac{dv}{dt}\widehat{t}+v\frac{d\widehat{t}}{dt}=\frac{dv}{dt}\widehat{t}+v\frac{d\theta }{dt}\frac{d\widehat{t}}{d\theta }=\frac{dv}{dt}\widehat{t}+v\frac{d\theta }{dt}\widehat{n}.$$

Decompondo a força gravitacional nessas mesmas direções, obtém-se

(49) $$\mathbf{F}g=-mg\sin \theta \widehat{t}-mg\cos \theta \widehat{n}.$$

Dessa forma, as equações escalares do movimento tornam-se

(50) $$mv\frac{d\theta }{dt}=-mg\cos \theta ,m\frac{dv}{dt}=-k{v}^2-mg\sin \theta .$$

Essas equações permitem reformular completamente o problema em termos do ângulo da trajetória, constituindo a base para a análise energética do movimento. A partir delas, podem-se obter expressões integrais para o tempo de voo, a trajetória e, sobretudo, para a energia dissipada ao longo do percurso.

Dada a componente $x$ da equação de movimento,

(51) $$m\frac{d{v}_x}{dt}=-k{v}^2\cos \theta ,$$

fazemos $\frac{d{v}_x}{dt}=\frac{d{v}_x}{d\theta }\frac{d\theta }{dt}$ e, levando em conta a Equação 50, obtemos

(52) $$\begin{array}{c}\frac{d{v}_x}{d\theta }=\frac{k}{mg}{v}^3\\ \frac{d{v}_x}{d\theta }=\frac{1}{v_t^2}\frac{v_x^3}{{\cos }^3\theta }\\ {\int }_{v_{0x}}^{v_x}\frac{1}{v{}_{}{}^{\prime }{}_x{}^{}{}^3}dv{}_{}{}^{\prime }{}_x{}^{}=\frac{1}{v_t^2}{\int }_{{\theta }_0}^{\theta }{\sec }^3\theta {}_{}{}^{\prime }d\theta {}_{}{}^{\prime },\end{array}$$

onde $v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}$ é, novamente, o módulo da velocidade terminal. A integração acima implica

(53) $$\begin{array}{c}-\frac{1}{2}[\frac{1}{v_x^2}-\frac{1}{v_{0x}^2}]=\frac{1}{2v_t^2}[\tan \theta \sec \theta -\tan {\theta }_0\sec {\theta }_0\hfill \\ \hfill -\ln \left(\frac{\left|\sec {\theta }_0+\tan {\theta }_0\right|}{}\right|\sec \theta +\tan \theta \left|\right)].\end{array}$$

Assim, a componente $x$ da velocidade fica dada por

(54) $$\begin{array}{c}{v}_x=v_{0x}[1+{\left(\frac{v_{0x}}{v_t}\right)}^2\{\tan {\theta }_0\sec {\theta }_0-\tan \theta \sec \theta \hfill \\ \hfill +\ln \left(\frac{\left|\sec {\theta }_0+\tan {\theta }_0\right|}{\left|\sec \theta +\tan \theta \right|}\right)\}]{}^{-\frac{1}{2}}.\end{array}$$

Para a componente $y$ podemos utilizar $v_y=v_x\tan \theta$. Logo,

(55) $$\begin{array}{c}{v}_y=v_{0x}[1+{\left(\frac{v_{0x}}{v_t}\right)}^2\{\tan {\theta }_0\sec {\theta }_0-\tan \theta \sec \theta \hfill \\ \hfill +\ln \left(\frac{\left|\sec {\theta }_0+\tan {\theta }_0\right|}{\left|\sec \theta +\tan \theta \right|}\right)\}]{}^{-\frac{1}{2}}\tan \theta .\end{array}$$

Para encontrar o tempo de voo, da equação 50 pode-se fazer

(56) $$\begin{array}{l}\frac{d\theta }{dt}=-\frac{g\cos \theta }{v}\\ t=-\frac{1}{g}{\int }_{{\theta }_0}^{\theta }\frac{v(\theta {}_{}{}^{\prime })}{\cos \theta {}^{\prime }}d\theta {}_{}{}^{\prime }.\end{array}$$

Por fim, para calcular a trajetória do projétil, basta integrar $dy=v_{y}dt$ e $dx=v_{x}dt$, considerando o resultado anterior, resultando em

(57) $$\begin{array}{l}{\int }_{x_0}^{x}dx{}_{}{}^{\prime }={\int }_0^t{v}_{x}dt{}_{}{}^{\prime }=-\frac{1}{g}{\int }_{{\theta }_0}^{\theta }{v}^2(\theta {}_{}{}^{\prime })d\theta {}_{}{}^{\prime };\\ {\int }_{y_0}^{y}dy{}_{}{}^{\prime }={\int }_0^t{v}_{y}dt{}_{}{}^{\prime }=-\frac{1}{g}{\int }_{{\theta }_0}^{\theta }{v}^2(\theta {}_{}{}^{\prime })\tan \theta {}_{}{}^{\prime }d\theta {}_{}{}^{\prime }.\end{array}$$

Assim, embora o lançamento oblíquo com arrasto quadrático não admita solução analítica fechada para as equações do movimento, a reformulação em termos do ângulo e o uso do teorema do trabalho–energia fornecem uma estrutura conceitual poderosa para compreender a dissipação de energia e o impacto das forças dissipativas – e, como será mostrado adiante, também do empuxo – nas propriedades geométricas e dinâmicas da trajetória.

2.5.1. Teorema trabalho-energia

Uma maneira particularmente eficaz de analisar a dissipação de energia no lançamento oblíquo com resistência do ar consiste na aplicação do teorema do trabalho–energia. Esse teorema estabelece que a variação da energia cinética de um corpo é igual ao trabalho realizado pelas forças que atuam sobre ele, fornecendo uma descrição global do movimento mesmo quando as equações diferenciais não admitem soluções analíticas fechadas.

Partindo da equação de movimento do projétil sob a ação da gravidade e da força de arrasto,

(58) $$m\frac{d\mathbf{v}}{dt}={\mathbf{F}}_D+{\mathbf{F}}_g,$$

e multiplicando ambos os lados por $\mathbf{v}dt$, obtém-se

(59) $$m\mathbf{v}\cdot d\mathbf{v}={\mathbf{F}}_D\cdot \mathbf{v}dt+{\mathbf{F}}_g\cdot \mathbf{v}dt.$$

Integrando essa expressão desde o instante inicial até um instante genérico do movimento, resulta

(60) $$\frac{1}{2}m{v}_0^2+mg{y}_0=\frac{1}{2}m{v}^2+mgy+{\int }_0^{t}k{v}^3\left(t^{\prime }\right)dt{}_{}{}^{\prime },$$

onde se utilizou o fato de que ${\mathbf{F}}_D=-k{v}^2\widehat{t}$ atua sempre no sentido oposto ao da velocidade, enquanto o termo $mgy$ representa a energia potencial gravitacional associada à altura $y$.

O último termo da Equação 60 corresponde ao trabalho realizado pela força de arrasto ao longo da trajetória e é responsável pela dissipação de energia mecânica. Diferentemente da força gravitacional, que é conservativa, a força de arrasto transforma parte da energia mecânica do projétil em energia interna do fluido, principalmente na forma de calor.

Utilizando a reformulação das equações de movimento em termos do ângulo da trajetória $\theta$, apresentada na subseção anterior, é possível reescrever a integral de dissipação em função dessa variável. A partir da relação

(61) $$\frac{d\theta }{dt}=-\frac{g\cos \theta }{v},$$

obtém-se

(62) $$dt=-\frac{v}{g\cos \theta }d\theta .$$

Substituindo essa expressão na integral dissipativa, resulta

(63) $${\int }_0^{t}k{v}^3\left(t^{\prime }\right)dt{}_{}{}^{\prime }=-\frac{k}{g}{\int }_{{\theta }_0}^{\theta }\frac{v^4(\theta {}_{}{}^{\prime })}{\cos \theta {}^{\prime }}d\theta {}_{}{}^{\prime }.$$

Dessa forma, a equação energética pode ser escrita como

(64) $$\frac{1}{2}m{v}_0^2+mg{y}_0=\frac{1}{2}m{v}^2+mgy-\frac{m}{v_t^2}{\int }_{{\theta }_0}^{\theta }\frac{v^4(\theta {}_{}{}^{\prime })}{\cos \theta {}^{\prime }}d\theta {}_{}{}^{\prime }.$$

Nessa expressão, o lado esquerdo representa a soma das energias cinética e potencial gravitacional iniciais do projétil. Os dois primeiros termos do lado direito correspondem às energias cinética e potencial em um ponto genérico da trajetória, enquanto o último termo expressa explicitamente a energia dissipada pelo arrasto até o ângulo $\theta$. Como o ângulo da trajetória diminui monotonicamente ao longo do movimento, o sinal negativo garante que o trabalho dissipativo seja positivo, conforme esperado fisicamente.

A Equação 64 fornece, portanto, uma descrição energética completa do lançamento oblíquo com arrasto quadrático. Mesmo sem uma solução explícita para $\mathbf{v}\left(t\right)$ ou $\mathbf{r}\left(t\right)$, ela permite quantificar a dissipação de energia e relacioná-la diretamente às propriedades dinâmicas da trajetória. Essa abordagem será fundamental na análise dos resultados numéricos apresentados adiante, especialmente na comparação entre os casos com e sem a inclusão da força de empuxo.

2.5.2. Extensão do empuxo ao lançamentooblíquo

O raciocínio desenvolvido na Seção 2.3 estende-se de forma direta ao lançamento oblíquo com arrasto quadrático. Nesse caso, a equação vetorial do movimento passa a ser

(65) $$m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=-k{v}^2\widehat{t}-m\tilde{g}\widehat{ȷ},$$

ou seja, a única modificação formal necessária no modelo consiste na substituição do módulo da aceleração da gravidade pelo módulo da aceleração efetiva, como apontado por Bradshaw [¹³]. Consequentemente, todas as equações dinâmicas e energéticas desenvolvidas nas subseções anteriores permanecem válidas, desde que essa substituição seja realizada de forma consistente.

Do ponto de vista energético, a presença do empuxo implica uma modificação da energia potencial gravitacional, que passa a ser escrita como

(66) $$U\left(y\right)=m\tilde{g}y=mg\left(1-\frac{{\rho }_{ar}}{{\rho }_{obj}}\right)y.$$

Essa alteração afeta diretamente o balanço energético do sistema, reduzindo a taxa com que a energia mecânica é convertida em energia potencial gravitacional durante a subida e, consequentemente, influenciando a dissipação total associada ao arrasto.

Cumpre destacar que o empuxo, isoladamente, não introduz assimetria na trajetória: na ausência de arrasto, o movimento sob $\tilde{g}$ permanece uma parábola perfeitamente simétrica. A assimetria entre as fases de subida e descida, discutida adiante, decorre exclusivamente da força de arrasto. O papel do empuxo é o de uma correção sistemática que atua por meio de $\tilde{g}$, modulando indiretamente a assimetria induzida pela dissipação, conforme o mecanismo analisado na Seção 2.4.1.

Embora o empuxo não introduza novas dificuldades matemáticas ao problema, sua inclusão contribui para uma descrição mais realista do movimento em situações práticas. Nos resultados apresentados a seguir, será mostrado que, para projéteis de baixa densidade, a consideração do empuxo produz efeitos mensuráveis tanto nas características geométricas da trajetória quanto no balanço energético do sistema.

3. Resultados

Nesta seção são apresentados e discutidos os resultados obtidos a partir das simulações numéricas do lançamento de projéteis sob a ação da gravidade, da força de arrasto (modelada por meio do coeficiente dependente do número de Reynolds) e da força de empuxo. O objetivo principal é quantificar o impacto do empuxo nas características geométricas da trajetória e na dissipação de energia, comparando os casos com e sem a inclusão dessa força.

3.1. Altura máxima, alcance e tempo de voo

As equações de movimento acopladas foram integradas pelo método de Runge–Kutta de quarta ordem [¹⁷], com passo fixo $\Delta t={10}^{-2}$ s. O coeficiente de arrasto não é um parâmetro ajustável: ele é reavaliado a cada passo pela correlação de Morrison [¹⁹], a partir do número de Reynolds instantâneo $Re=2R{\rho }_{ar}v\left(t\right)/\eta$, de modo que a constante de arrasto $k=\frac{1}{\text{2}}{\rho }_{ar}{C}_D\left(Re\right)\pi R^2$ acompanha continuamente a variação do regime de escoamento ao longo da trajetória. O instante de pouso é determinado por interpolação linear entre os dois últimos pontos da integração, o que elimina a quantização do tempo de voo e do alcance em múltiplos do passo; a altura máxima é obtida por ajuste parabólico de três pontos em torno do máximo da malha. Ambos os refinamentos são necessários porque, para os projéteis mais densos, o efeito do empuxo é da mesma ordem do erro de amostragem da malha temporal.

Adotaram-se, para o ar em condições normais de temperatura e pressão, ${\rho }_{ar}=\mathrm{1,225}$ kg/m³ e $\eta =\mathrm{1,82}\times {10}^{-5}$ Pa$\cdot$s. O módulo da aceleração da gravidade foi tomado como $g=\mathrm{9,782}$ m/s².

A Tabela 1 mostra a massa, o raio e a densidade dos oito projéteis considerados, juntamente com a razão de densidades $\epsilon ={\rho }_{ar}/{\rho }_{obj}$. São também indicados valores típicos de velocidade inicial e ângulo de lançamento que produzem trajetórias características de cada modalidade, desprezando-se efeitos de rotação. Note-se que $\epsilon$ varia por mais de duas ordens de grandeza no conjunto, desde $\mathrm{1,5}\times {10}^{-4}$ para a bola de canhão até $\mathrm{2,2}\times {10}^{-2}$ para a bola de vôlei.

Tabela 1
Valores típicos (aproximados) de massa, raio, densidade e da razão $\epsilon ={\rho }_{ar}/{\rho }_{obj}$ para diversos projéteis. São também mostrados valores típicos de velocidade inicial e ângulo de lançamento que produzem trajetórias características de campo, desprezando-se efeitos de rotação.

	massa	raio	${\rho }_{obj}$	$\epsilon$	$v_0$
	(kg)	(m)	(kg/m3)	(%)	(m/s)	${\theta }_0$
Pingue-pongue	0,0027	0,0200	80,6	1,520	30	8∘
Tênis	0,057	0,0330	378,7	0,324	60	6∘
Vôlei	0,270	0,1050	55,7	2,200	28	7∘
Golfe	0,0459	0,02135	1126,0	0,109	75	12∘
Beisebol	0,145	0,0365	711,9	0,172	50	28∘
Futebol	0,430	0,1100	77,1	1,588	33	20∘
Basquete	0,620	0,1210	83,6	1,466	8,5	52∘
Canhão	5,44	0,0540	8247,6	0,0149	420	5∘

A Tabela 2 apresenta a altura máxima $h_{max}$, o alcance horizontal $A$ e o tempo de voo $t_{voo}$ obtidos com as condições iniciais da Tabela 1. Os valores confirmam que a escolha de $v_0$ e ${\theta }_0$ é adequada e evidenciam como cada modalidade explora combinações distintas de velocidade, ângulo e propriedades aerodinâmicas.

Tabela 2
Altura máxima, alcance e tempo de voo para o lançamento (com e sem empuxo) dos projéteis sob as condições representativas de cada modalidade indicadas na Tabela 1.

	Sem empuxo			Com empuxo			Variação relativa (%)
	$h_{max}$	$A$	$t_{voo}$	$h_{max}$	$A$	$t_{voo}$
	(m)	(m)	(s)	(m)	(m)	(s)	$\Delta h_{max}/h_{max}$	$\Delta A/A$	$\Delta t_{voo}/t_{voo}$
Pingue-pongue	0,5036	9,9217	0,6303	0,5085	9,9944	0,6381	0,973	0,733	1,238
Tênis	1,5903	48,1597	1,1383	1,5944	48,2566	1,1416	0,258	0,201	0,290
Vôlei	0,5681	17,6694	0,6819	0,5803	18,0297	0,6969	2,148	2,039	2,200
Golfe	8,1558	113,0820	2,5518	8,1619	113,1486	2,5541	0,075	0,059	0,090
Beisebol	19,5090	110,5737	3,9630	19,5331	110,6807	3,9688	0,124	0,097	0,146
Futebol	5,8368	58,1341	2,1847	5,9216	58,8957	2,2182	1,453	1,310	1,533
Basquete	2,1556	6,4248	1,3275	2,1857	6,5106	1,3466	1,396	1,335	1,439
Canhão	57,7216	2288,0132	6,8466	57,7289	2288,2698	6,8476	0,013	0,011	0,015

Dois casos delimitam com clareza o escopo de validade do modelo. A trajetória da bola de golfe é bastante rasa ($h_{max}\approx \mathrm{8,2}$ m), o que é coerente com a estratégia de maximizar a velocidade horizontal; na prática, porém, uma bola de golfe sobe consideravelmente mais, devido à sustentação produzida pelo backspin. De modo análogo, o alcance de aproximadamente 10 m obtido para a bola de pingue-pongue parece exagerado quando comparado ao comprimento de uma mesa oficial (2,74 m). Não se trata, contudo, de um erro: é o efeito Magnus [²¹, ²²], ausente no modelo proposto, que força a bola a cair rapidamente. Sem ele, uma bola lançada a 30 m/s e 8^∘ de fato percorreria vários metros antes de tocar o solo. O modelo mostra, portanto, exatamente o que se espera dele: o arrasto, isoladamente, não explica a trajetória observada no tênis de mesa. Ambos os exemplos reforçam que a descrição aqui adotada se restringe a lançamentos com rotação desprezível.

Convém registrar que a bola de canhão, lançada a 420 m/s, opera em regime supersônico ($Ma\approx \mathrm{1,2}$), fora do domínio de validade da correlação de Morrison, obtida para escoamento incompressível. O valor de alcance apresentado deve, portanto, ser tomado como ilustrativo.

Como as condições iniciais diferem de um projétil para outro, a Tabela 2 não permite isolar a influência do empuxo sobre a dinâmica. Ela estabelece apenas que as alterações produzidas por essa força são pequenas (inferiores a 2,2% em todos os casos) e que sua magnitude acompanha, de modo geral, a razão de densidades. Para uma comparação controlada, recorremos a seguir aos resultados de lançamentos sob condições idênticas.

A Tabela 3 apresenta os mesmos observáveis para todos os projéteis lançados com $v_0=40$ m/s e ${\theta }_0={35}^{\circ }$, ordenados por alcance crescente. Nessa configuração, as diferenças entre os projéteis decorrem exclusivamente de suas propriedades físicas. O parâmetro dominante é o coeficiente balístico [¹⁹],

Tabela 3
Altura máxima, alcance e tempo de voo para o lançamento (com e sem empuxo) de todos os projéteis sob condições iniciais idênticas, $v_0=40$ m/s e ${\theta }_0={35}^{\circ }$, ordenados por alcance crescente. As três últimas colunas mostram as variações relativas produzidas pelo empuxo, a serem comparadas com a razão de densidades $\epsilon$ da Tabela 1.

	Sem empuxo			Com empuxo			Variação relativa (%)
	$h_{max}$	$A$	$t_{voo}$	$h_{max}$	$A$	$t_{voo}$
	(m)	(m)	(s)	(m)	(m)	(s)	$\Delta h_{max}/h_{max}$	$\Delta A/A$	$\Delta t_{voo}/t_{voo}$
Pingue-pongue	5,6861	17,3237	2,0848	5,7193	17,3920	2,1066	0,584	0,394	1,046
Tênis	15,5278	63,1932	3,5208	15,5601	63,2935	3,5301	0,208	0,159	0,264
Vôlei	19,5886	81,0268	4,2125	19,9161	81,6360	4,3050	1,672	0,752	2,196
Golfe	19,1376	86,1604	3,9320	19,1531	86,2172	3,9357	0,081	0,066	0,094
Beisebol	19,4174	87,8257	3,9618	19,4425	87,9185	3,9678	0,129	0,106	0,151
Futebol	21,2290	100,3727	4,1747	21,5050	101,3884	4,2370	1,300	1,012	1,492
Basquete	21,7739	106,3506	4,2088	22,0414	107,4710	4,2659	1,229	1,053	1,357
Canhão	26,5141	148,9124	4,6570	26,5180	148,9338	4,6577	0,015	0,014	0,015

(67) $$B=\frac{m}{\pi R^2{C}_D},$$

que mede a razão entre a inércia do projétil e a intensidade do arrasto a que ele está sujeito. Como $C_D$ depende do número de Reynolds, $B$ não é constante ao longo do voo. Quanto maior $B$, menor a desaceleração causada pelo arrasto. Por esta razão, a bola de pingue-pongue apresenta o menor alcance do conjunto e a bola de canhão descreve uma trajetória praticamente parabólica.

A afirmação sobre a bola de canhão pode ser verificada quantitativamente. Para uma trajetória parabólica vale a relação

(68) $$h_{max}=\frac{1}{4}A\tan {\theta }_0,$$

que para ${\theta }_0={35}^{\circ }$ e $A=\mathrm{148,91}$ m fornece 26,08 m, valor bastante próximo dos 26,51 m efetivamente obtidos. A razão entre o valor simulado e o previsto pela Equação 68 constitui, de fato, uma medida conveniente do afastamento em relação ao regime balístico. Essa razão cresce monotonicamente ao longo da Tabela 3, de 1,02 para a bola de canhão a 1,17 (basquete), 1,21 (futebol), 1,26 (beisebol), 1,27 (golfe), 1,38 (vôlei), 1,40 (tênis) e 1,88 para a bola de pingue-pongue, acompanhando de forma consistente a ordenação por coeficiente balístico e atestando a coerência interna dos resultados numéricos.

É instrutivo observar que a ordenação por alcance não coincide com a ordenação por densidade, nem com a ordenação por tamanho. A razão está na posição de cada projétil sobre a curva $C_D\left(Re\right)$ da Figura 3. A $v_0=40$ m/s, as bolas de vôlei, de futebol e de basquete operam a $Re\sim 6\times {10}^{\text{5}}$, ou seja, além da crise de arrasto prevista pela correlação de Morrison em $Re\approx \mathrm{2,6}\times {10}^{\text{5}}$, e apresentam $C_D\approx \mathrm{0,10}$. Já as bolas de pingue-pongue, de tênis, de golfe e de beisebol operam a $Re\sim {10}^{\text{5}}$–$2\times {10}^{\text{5}}$, aquém da transição, com $C_D\approx \mathrm{0,43}$. Esse contraste explica, por exemplo, por que a bola de vôlei, a menos densa do conjunto, alcança 81 m enquanto a bola de pingue-pongue não ultrapassa 17 m.

O mesmo mecanismo explica por que a bola de golfe não apresenta alcance muito superior ao da bola de beisebol: no instante inicial ambas operam próximas da região em que $C_D$ varia rapidamente e, como a bola de beisebol possui massa aproximadamente três vezes maior, ela perde velocidade mais lentamente, compensando parcialmente seu maior diâmetro. Convém destacar, ainda, que se emprega aqui a correlação de Morrison para esferas lisas. Uma bola de golfe real possui dimples, cuja função é justamente reduzir o arrasto deslocando a crise de arrasto para números de Reynolds menores: enquanto uma esfera lisa com $Re\approx {10}^{\text{5}}$ apresenta $C_D\approx \mathrm{0,45}$, uma bola de golfe pode apresentar $C_D$ entre 0,20 e 0,30. O resultado obtido não reproduz, portanto, o desempenho observado em campo.

A bola de pingue-pongue exibe o comportamento mais notável com respeito ao arrasto. Embora seu número de Reynolds inicial seja igualmente elevado, ela desacelera muito rapidamente; ao longo do voo, $Re$ cai de forma contínua, $C_D$ aumenta e o arrasto torna-se relativamente mais intenso. Esse mecanismo de realimentação explica seu alcance acentuadamente menor e, como se verá a seguir, também sua baixa sensibilidade ao empuxo.

As três últimas colunas da Tabela 3 mostram que a inclusão do empuxo produz variações inferiores a 2,2% em todos os observáveis, precisamente a ordem de grandeza fixada pela razão de densidades $\epsilon$. Duas características, contudo, merecem uma análise mais cuidadosa.

A primeira é que as variações observadas são sistematicamente menores que $\epsilon$. Para a bola de vôlei, por exemplo, $\epsilon =\mathrm{2,200}\%$ ao passo que $\Delta h_{max}/h_{max}=\mathrm{1,672}\%$; para a bola de pingue-pongue, $\epsilon =\mathrm{1,520}\%$ contra $\Delta h_{max}/h_{max}=\mathrm{0,583}\%$. Esse comportamento é exatamente o

previsto pela Equação 40. A segunda é que a ordenação da sensibilidade ao empuxo não segue a ordenação das densidades: a bola de pingue-pongue, cuja densidade é praticamente igual à das bolas de futebol e de basquete,. apresenta variações de altura máxima e de alcance duas a três vezes menores que elas, sendo de fato menos densa que a bola de basquete. Ambos os fatos são consequência direta do mecanismo analisado na Seção 2.4.1.

A Tabela 4 compara o fator de supressão medido nas simulações,

Tabela 4
Verificação do mecanismo de competição entre empuxo e arrasto para as condições da Tabela 3. O fator observado ${ℛ}_{obs}$, Equação 69, é comparado com a previsão analítica $ℛ\left(a_0\right)$ da Equação 40.

	$\epsilon$ (%)	$C_D\left(v_0\right)$	$v_t$ (m/s)	$a_0$	$ℛ\left(a_0\right)$	${ℛ}_{obs}$
Pingue-pongue	1,520	0,428	9,0	6,570	0,429	0,384
Tênis	0,324	0,434	24,8	0,858	0,745	0,643
Vôlei	2,200	0,097	35,8	0,412	0,846	0,760
Golfe	0,109	0,431	34,5	0,443	0,837	0,745
Beisebol	0,172	0,420	36,3	0,399	0,849	0,752
Futebol	1,588	0,100	42,6	0,290	0,883	0,818
Basquete	1,466	0,105	45,4	0,256	0,894	0,838
Canhão	0,0149	0,193	221,7	0,011	0,995	0,985

(69) $${ℛ}_{obs}\equiv \frac{1}{\epsilon }\frac{\Delta h_{max}}{h_{max}},$$

com a previsão analítica $ℛ\left(a_0\right)$ da Equação 40, avaliada com $a_0={\left(v_0\sin {\theta }_0/v_t\right)}^2$ e com $v_t$ calculada a partir do coeficiente de arrasto no instante do lançamento.

Todos os oito valores de ${ℛ}_{obs}$ situam-se abaixo da unidade, como exige a Equação 40, e a ordenação prevista é reproduzida sem exceção ao longo de duas ordens de grandeza em $\epsilon$. O desvio entre previsão e medida é sistemático e da ordem de 0,05 a 0,10, plenamente compatível com o fato de a expressão analítica ter sido obtida em uma dimensão e com $C_D$ constante, ao passo que as simulações são bidimensionais e empregam a correlação completa $C_D\left(Re\right)$.

Os dois extremos da Tabela 4 sintetizam o argumento. A bola de canhão, com $v_t\approx 222$ m/s e $a_0\approx \mathrm{0,01}$, encontra-se essencialmente no regime balístico: $ℛ\approx \mathrm{0,99}$ e o ganho proporcionado pelo empuxo manifesta-se praticamente na íntegra. A bola de pingue-pongue, no extremo oposto, tem $v_t\approx 9$ m/s e $a_0\approx \mathrm{6,6}$: ela opera profundamente no regime dominado pelo arrasto e apenas cerca de $38\%$ do ganho previsto por $\epsilon$ sobrevive. A bola de vôlei ocupa a posição privilegiada de combinar a maior razão de densidades do conjunto com uma velocidade terminal quatro vezes maior que a da bola de pingue-pongue e é por isso o projétil mais afetado pelo empuxo.

Conclui-se, portanto, que a relevância do empuxo é governada por dois parâmetros independentes, e não apenas pela densidade do projétil: a razão $\epsilon ={\rho }_{ar}/{\rho }_{obj}$, que fixa a escala do efeito, e a razão $v_0/v_t$, que determina qual fração dessa escala efetivamente se manifesta na trajetória. Essa observação fornece, adicionalmente, um critério operacional simples para avaliar a pertinência do empuxo em uma dada situação: basta comparar a variação relativa medida sob condições controladas com o valor de $\epsilon$, sendo o desvio entre ambos uma medida direta de quanto o arrasto reabsorve do ganho proporcionado pelo empuxo.

Para os projéteis mais densos as variações absolutas são da ordem de ${10}^{-1}$% ou menores, e podem ser consideradas desprezíveis para todos os efeitos práticos. Isso justifica plenamente a negligência do empuxo em análises tradicionais envolvendo projéteis pesados, e delimita o domínio em que sua inclusão é de fato necessária: objetos ocos e leves, para os quais $\epsilon$ excede aproximadamente ${10}^{-2}$.

Em razão desse comportamento, as análises subsequentes concentram-se principalmente na bola de vôlei, que constitui o caso mais sensível à inclusão do empuxo e, portanto, o mais adequado para evidenciar seus efeitos dinâmicos e energéticos.

3.2. Ângulo crítico e regime de “vai e vem”

A Figura 5 apresenta o comportamento do ângulo crítico ${\theta }_c$ em função da velocidade inicial $v_0$ para diferentes projéteis, considerando os casos com e sem empuxo. As curvas contínuas correspondem às simulações que incluem o empuxo, enquanto as curvas tracejadas representam o modelo sem essa força.

Figura 5
${\theta }_c$ em função do módulo da velocidade inicial para o lançamento de diferentes projéteis com (linhas contínuas) e sem empuxo (linhas tracejadas).

Observa-se que, para todos os projéteis, o ângulo crítico decresce à medida que a velocidade inicial aumenta, refletindo o papel crescente da resistência do ar na dinâmica do movimento. No entanto, a taxa desse decaimento varia significativamente entre os diferentes objetos. A bola de pingue-pongue apresenta a queda mais acentuada de ${\theta }_c$, passando de valores próximos a ${70}^{\circ }$ para menos de ${45}^{\circ }$ à medida que $v_0$ se aproxima de 120 m/s. Esse comportamento decorre de sua elevada razão área–massa, que intensifica os efeitos do arrasto. Por outro lado, o projétil de canhão mantém valores de ${\theta }_c$ bem próximos de ${70}^{\circ }$ mesmo para as maiores velocidades consideradas, indicando que os efeitos do meio são relativamente pouco relevantes nesse caso.

O aspecto mais notável da Figura 5 é que as curvas com e sem empuxo permanecem praticamente superpostas para todos os projéteis, em contraste com o que se observou para a altura máxima, o alcance e o tempo de voo. Esse comportamento não é acidental: ele decorre de uma propriedade exata do ângulo crítico. Com efeito, na ausência de arrasto a substituição $g\to \tilde{g}$ apenas reescala a trajetória por um fator uniforme $g/\tilde{g}$ em ambas as direções, sem alterar sua forma. Como a condição $\mathbf{r}\cdot \mathbf{v}=0$, que define o regime de “vai e vem”, envolve apenas a orientação relativa entre $\mathbf{r}$ e $\mathbf{v}$, sendo portanto invariante sob reescalamento uniforme, segue-se que ${\theta }_c$ independe rigorosamente do empuxo no caso ideal.

Diferentemente das demais grandezas analisadas, portanto, o ângulo crítico não recebe qualquer contribuição de primeira ordem em $\epsilon$. Todo deslocamento observado é um efeito indireto, mediado exclusivamente pelo arrasto: ao reduzir a velocidade terminal, o empuxo altera o parâmetro $a={\left(v_0/v_t\right)}^2$ e, com ele, a forma da trajetória. Trata-se do mesmo mecanismo analisado na Seção 2.4.1, aqui manifestado em sua forma mais extrema, uma vez que a contribuição direta é nula.

Os resultados numéricos confirmam essa análise. Para a bola de canhão, que opera em regime quase balístico, o deslocamento é indistinguível de zero: ${\theta }_c={\mathrm{70,4196}}^{\circ }$ com e sem empuxo em $v_0=20$ m/s. Para os projéteis de baixa densidade os deslocamentos são pequenos mas mensuráveis, e crescem com a velocidade inicial, à medida que o arrasto se torna mais relevante: a bola de vôlei passa de $\Delta {\theta }_c\approx -{\mathrm{0,09}}^{\circ }$ em $v_0=20$ m/s a $\Delta {\theta }_c\approx -{\mathrm{0,31}}^{\circ }$ em $v_0=60$ m/s, sendo o projétil de maior deslocamento do conjunto, seguida pelas bolas de futebol e de basquete. Note-se que o sinal é sistematicamente negativo: o empuxo desloca o projétil na direção de maior dominância do arrasto, o que reduz ${\theta }_c$, tal como faz o aumento de $v_0$.

3.3. Alcance máximo da bola de vôlei

A Figura 6 apresenta o alcance horizontal da bola de vôlei em função do ângulo de lançamento ${\theta }_0$, para velocidade inicial de módulo $v_0=40$ m/s, e em função do módulo da velocidade inicial $v_0$, para ângulo fixo ${\theta }_0={35}^{\circ }$. Esses valores foram escolhidos por duas razões. Em primeiro lugar, $40$ m/s é uma velocidade suficientemente alta para que o arrasto aerodinâmico seja relevante, estando ainda dentro da faixa atingida por diversas bolas esportivas. Em segundo lugar, ${35}^{\circ }$ situa-se próximo do ângulo de alcance máximo na presença de resistência do ar:

Figura 6
Gráfico do alcance em função do ${\theta }_0$ e de $v_0$ para a bola de vôlei. Gráfico à esquerda com $v_0=40$ m/s fixado variando ${\theta }_0$, à direita com ${\theta }_0={35}^{\circ }$ variando $v_0$ até $120$ m/s.

sem arrasto, o alcance máximo ocorre a ${45}^{\circ }$, mas para projéteis esféricos sujeitos ao arrasto o ângulo ótimo desloca-se tipicamente para valores entre ${30}^{\circ }$ e ${40}^{\circ }$, dependendo da razão massa/área. Os resultados da Figura 6 confirmam esse deslocamento.

Em todo o intervalo analisado, a condição com empuxo apresenta alcances ligeiramente superiores aos obtidos sem empuxo. Esse resultado indica que, embora o empuxo atue apenas na direção vertical, sua influência indireta sobre o tempo de voo contribui para um aumento da distância horizontal percorrida.

Quanto à dependência com a velocidade inicial, convém notar que o crescimento não linear do alcance não é, por si só, uma assinatura do arrasto: no caso ideal o alcance cresce quadraticamente com $v_0$. O que distingue o caso dissipativo é a natureza desse crescimento, que se torna progressivamente sublinear para velocidades elevadas, refletindo a saturação imposta pela dissipação. Também nesse caso o empuxo desloca sistematicamente as curvas para valores maiores de alcance, ainda que a diferença permaneça pequena na escala do gráfico.

3.4. Trajetórias e assimetria do movimento

As trajetórias apresentadas na Figura 7 ilustram o comportamento do projétil sob diferentes condições iniciais, comparando os casos com e sem empuxo. Em todas as situações, observa-se uma clara assimetria entre a subida e a descida, característica típica de movimentos sob arrasto quadrático.

Figura 7
Trajetórias do projétil sob várias condições com e sem empuxo. (à esquerda) Trajetórias para $v_0=40$ m/s e alguns ângulos da lançamento. (à direita) Trajetórias para ${\theta }_0={35}^{\circ }$ e alguns valores de velocidades iniciais. As curvas em linha contínua representam o caso com empuxo.

A assimetria observada entre as fases de subida e descida é consequência direta da dissipação contínua de energia mecânica, e pode ser compreendida analisando-se separadamente as componentes da velocidade. A componente horizontal $v_x$ sofre desaceleração contínua ao longo de toda a trajetória, ao passo que a componente vertical $v_y$ diminui durante a subida, anula-se no topo e volta a crescer na descida. Quando o projétil retorna a uma dada altura, portanto, $v_x$ já sofreu uma redução significativa, e o módulo da velocidade na descida é em geral menor do que na subida, o que rompe a simetria característica do movimento parabólico no caso ideal.

Conforme discutido anteriormente, o empuxo não contribui para essa assimetria: por atuar como uma redução uniforme da gravidade efetiva, ele preservaria a simetria da parábola na ausência de arrasto. Seu efeito sobre as trajetórias da Figura 7 restringe-se ao alongamento discreto decorrente do prolongamento do tempo de voo, imperceptível na escala do gráfico para os projéteis mais densos.

3.5. Comportamento assintótico da velocidade horizontal

A Figura 8 mostra o logaritmo da velocidade horizontal normalizada, $\ln \left(v_x/v_{0x}\right)$, em função do tempo, para diferentes ângulos de lançamento e módulos de velocidade inicial. A escolha dessa variável é natural: como a componente horizontal não possui mecanismo de restauração, sua equação de movimento reduz-se a

Figura 8
Logaritmo da velocidade horizontal normalizada $\ln \left(v_x/v_{0x}\right)$ em função do tempo, para a bola de vôlei. (à esquerda) $v_0=40$ m/s e diversos ângulos de lançamento. (à direita) ${\theta }_0={35}^{\circ }$ e diversos módulos de velocidade inicial. As curvas em linha contínua representam o caso com empuxo.

(70) $$\frac{d}{dt}\ln v_x=-\frac{k\left(Re\right)v}{m},$$

de modo que a inclinação local da curva mede diretamente a intensidade instantânea do arrasto, normalizada pela massa. Um decaimento exponencial puro corresponderia a uma reta.

O primeiro ponto a observar é que nenhuma das curvas apresenta um patamar inicial: a velocidade horizontal começa a decrescer imediatamente após o lançamento. Para $v_0=40$ m/s e ${\theta }_0={35}^{\circ }$ (caso exemplificado na Tabela 5), $v_x$ já caiu $7\%$ em $\mathrm{0,25}$ s e $12\%$ em $\mathrm{0,5}$ s. Esse comportamento é o esperado a partir da Equação 70: como a

Tabela 5
Evolução do número de Reynolds, do coeficiente de arrasto e da taxa de decaimento logarítmico $k\left(Re\right)v/m$ ao longo do voo da bola de vôlei, para $v_0=40$ m/s e ${\theta }_0={35}^{\circ }$ (caso sem empuxo).

$t$ (s)	$v$ (m/s)	$Re$	$C_D$	$kv/m$ (s-1)
0,00	40,00	$\mathrm{5,65}\times {10}^5$	0,097	0,306
0,50	32,62	$\mathrm{4,61}\times {10}^5$	0,090	0,232
1,00	27,40	$\mathrm{3,87}\times {10}^5$	0,096	0,206
1,86	21,08	$\mathrm{2,98}\times {10}^5$	0,178	0,294
2,50	17,59	$\mathrm{2,49}\times {10}^5$	0,310	0,428
3,50	15,46	$\mathrm{2,19}\times {10}^5$	0,386	0,469
4,21	15,93	$\mathrm{2,25}\times {10}^5$	0,372	0,466

inclinação é proporcional ao módulo da velocidade, ela é máxima justamente no instante do lançamento, quando $v$ é maior. A noção intuitiva de um regime inicial “quase balístico” aplica-se à trajetória, que ainda não teve tempo de se afastar apreciavelmente da parábola ideal, mas não à taxa de desaceleração, que é maior no início.

O segundo ponto é que as curvas não são retas nem apresentam curvatura de sinal único: a inclinação diminui em módulo, atinge um mínimo e volta a crescer. Para $v_0=40$ m/s e ${\theta }_0={35}^{\circ }$, a inclinação vale $-\mathrm{0,28}$ s^-1 em $t=\mathrm{0,2}$ s, cai a $-\mathrm{0,21}$ s^-1 em torno de $t=1$ s e volta a crescer em módulo até $-\mathrm{0,47}$ s^-1 ao final do voo. O mínimo ocorre nas proximidades do ápice da trajetória, onde o módulo da velocidade é menor. Trata-se de uma consequência direta da Equação 70: durante a subida o projétil desacelera, reduzindo $v$ e, com ela, a taxa de perda de $v_x$; durante a descida, $v$ volta a crescer e a taxa se intensifica.

Há, contudo, um segundo mecanismo em ação, específico do modelo com coeficiente de arrasto dependente do número de Reynolds, e que amplifica consideravelmente esse efeito. Como discutido anteriormente, a bola de vôlei é lançada a $Re=\mathrm{5,7}\times {10}^{\text{5}}$, ou seja, além da crise de arrasto, com $C_D\approx \mathrm{0,10}$. À medida que desacelera, ela atravessa a crise no sentido inverso: em $t\approx \mathrm{2,3}$ s, quando $v\approx \mathrm{18,6}$ m/s, o número de Reynolds cruza o valor crítico $Re\approx \mathrm{2,6}\times {10}^{\text{5}}$ e o coeficiente de arrasto sobe abruptamente, atingindo $C_D\approx \mathrm{0,37}$ no instante do pouso. A Tabela 5 detalha essa evolução.

O resultado é muito interessante do ponto de vista didático: embora o módulo da velocidade caia por um fator de aproximadamente 2,5 ao longo do voo, a taxa de decaimento de $v_x$ aumenta por um fator próximo de 2,3 entre o mínimo e o final da trajetória, porque o crescimento de $C_D$ mais do que compensa a redução de $v$. Um modelo com $k$ constante seria incapaz de reproduzir esse comportamento, e a curvatura observada nas linhas da Figura 8 constitui, portanto, uma assinatura direta da dependência $C_D\left(Re\right)$ incorporada ao modelo.

Convém registrar que, nas condições examinadas, o regime assintótico propriamente dito não chega a ser plenamente atingido dentro da duração do voo. Nos instantes finais, a taxa $kv/m$ estabiliza-se em torno de $\mathrm{0,47}$ s^-1 (Tabela 5), sinalizando a aproximação desse regime, mas o projétil atinge o solo antes de nele se estabelecer. Essa observação é relevante do ponto de vista pedagógico: a descrição em termos de três regimes temporais bem separados, proposta por Bradshaw [¹³], é conceitualmente esclarecedora, mas seus limites assintóticos podem não ser realizados em lançamentos de interesse prático, especialmente quando $C_D$ varia ao longo da trajetória.

Quanto ao efeito do empuxo, a Figura 8 evidencia que ele é muito pequeno neste observável. Como o empuxo atua exclusivamente na direção vertical, ele não figura na Equação 70, e sua influência sobre $v_x$ é apenas indireta, mediada pela alteração do módulo da velocidade. Numericamente, a inclinação das curvas com e sem empuxo difere por menos de $\mathrm{0,1}\%$ em $t=1$ s e por cerca de $\mathrm{0,5}\%$ no final do voo. O efeito líquido acumulado, todavia, não é nulo: como o voo com empuxo é mais longo, o valor final de $\ln \left(v_x/v_{0x}\right)$ passa de $-\mathrm{1,47}$ para $-\mathrm{1,51}$, isto é, a bola chega ao solo com velocidade horizontal menor quando o empuxo é considerado. Esse resultado, à primeira vista contrário à expectativa de que o empuxo “favoreça” o movimento, é a mesma manifestação do mecanismo de competição discutido na Seção 2.4.1.

3.6. Análise energética

A Figura 9 apresenta a evolução temporal das diferentes contribuições energéticas do sistema para a bola de vôlei, considerando $v_0=40$ m/s e ${\theta }_0={35}^{\circ }$. São mostradas as energias cinéticas associadas às componentes horizontal e vertical da velocidade, a energia potencial gravitacional efetiva $U=m\tilde{g}y$,

Figura 9
Contribuições energéticas para a bola de vôlei lançada com $v_0=40$ m/s e ${\theta }_0={35}^{\circ }$. São mostradas as energias cinéticas horizontal e vertical, a energia potencial gravitacional efetiva $m\tilde{g}y$, a energia dissipada pelo arrasto e a soma de todas as contribuições. As curvas em linha contínua representam o caso com empuxo.

Equação 66, e a energia dissipada pelo arrasto, bem como a soma de todas as contribuições.

O primeiro aspecto a destacar é a consistência do balanço energético. A soma das quatro contribuições permanece constante e igual a $\frac{1}{\text{2}}m{v}_0^{\text{2}}=\mathrm{216,0}$ J ao longo de todo o voo, com desvio relativo máximo inferior a ${10}^{-5}$ em ambos os casos.

A evolução das componentes é a esperada para um movimento sob arrasto quadrático. A energia cinética horizontal decresce monotonicamente, de $\mathrm{144,9}$ J na largada a cerca de $7$ J no pouso: a componente $v_x$ não possui mecanismo de restauração e é continuamente dissipada pelo arrasto. A energia cinética vertical, ao contrário, parte de $\mathrm{71,1}$ J, anula-se no ápice e volta a crescer durante a descida, sem contudo recuperar o valor inicial. A energia potencial efetiva atinge seu máximo de $\mathrm{51,4}$ J em $t\approx \mathrm{1,9}$ s, instante que coincide com o mínimo da energia cinética vertical e com o ponto de altura máxima da trajetória. Ao final do voo, a energia dissipada corresponde a cerca de $85\%$ da energia mecânica inicial, o que evidencia o caráter fortemente não conservativo do sistema nas condições consideradas.

A comparação entre os casos com e sem empuxo revela um comportamento que merece uma análise cuidadosa.

Considere-se, inicialmente, a potência dissipada instantânea, dada por $P=k{v}^3$. Durante a fase de descida, a redução da gravidade efetiva faz com que o projétil adquira velocidades menores do que adquiriria sob $g$; consequentemente, a potência dissipada é menor. Em $t=4$ s, por exemplo, obtém-se $P=\mathrm{29,7}$ W com empuxo contra $\mathrm{31,1}$ W sem empuxo. De modo correspondente, a energia dissipada acumulada até um mesmo instante passa a ser menor no caso com empuxo a partir de $t\approx \mathrm{2,7}$ s: em $t=\mathrm{4,21}$ s, os valores são $\mathrm{180,1}$ J e $\mathrm{181,6}$ J, respectivamente.

Essa constatação não se estende, contudo, à dissipação total ao longo do voo completo, e a razão é justamente o prolongamento do tempo de permanência no ar. Como o voo com empuxo dura $\mathrm{4,31}$ s contra $\mathrm{4,21}$ s sem empuxo, o arrasto dispõe de um intervalo maior para atuar, e o balanço final inverte-se: a energia total dissipada é de $\mathrm{182,9}$ J com empuxo contra $\mathrm{181,6}$ J sem empuxo, ou seja, um acréscimo de $\mathrm{0,68}\%$. O mesmo ocorre para os demais projéteis de baixa densidade, com acréscimos de $\mathrm{0,98}\%$ para a bola de futebol e $\mathrm{0,80}\%$ para a de basquete; para os projéteis densos, as diferenças são da ordem de ${10}^{-2}\%$ e não apresentam significado físico.

Esse resultado admite demonstração direta, independente de qualquer simulação. Como a trajetória começa e termina em $y=0$, a energia potencial é nula em ambos os extremos, e a Equação 60 reduz-se a

(71) $$E_{dis}=\frac{1}{2}m{v}_0^2-\frac{1}{2}m{v}_f^2,$$

onde $v_f$ é o módulo da velocidade no instante do pouso. A energia dissipada é, portanto, determinada exclusivamente pela velocidade de impacto. Ora, o empuxo reduz a velocidade terminal $v_t=\sqrt{m\tilde{g}/k}$ e, com ela, a velocidade com que o projétil atinge o solo: para a bola de vôlei, a energia cinética no pouso cai de $\mathrm{34,3}$ J para $\mathrm{32,9}$ J. Segue-se imediatamente da Equação 71 que a energia dissipada deve aumentar. O projétil que se beneficia do empuxo voa mais alto e mais longe, mas justamente por isso chega ao solo mais lentamente, tendo convertido em calor uma fração maior de sua energia mecânica inicial.

Também cabe registrar que a energia potencial efetiva máxima diminui com a inclusão do empuxo, passando de $\mathrm{51,7}$ J para $\mathrm{51,4}$ J, ainda que a altura máxima aumente. Não há contradição: a energia potencial pertinente é $m\tilde{g}y$, e a redução de $\tilde{g}$ mais do que compensa o acréscimo de $y$.

Esses resultados são manifestações do mesmo mecanismo de competição analisado na Seção 2.4.1. Lá, mostrou-se que o ganho de altura proporcionado pelo empuxo é parcialmente reabsorvido pelo arrasto, por meio do fator $ℛ\left(a\right)<1$, precisamente porque o voo mais longo concede mais tempo à dissipação. Aqui, o mesmo prolongamento manifesta-se de forma ainda mais nítida: ele não apenas reduz o ganho geométrico como chega a inverter o sinal da variação da dissipação total. Portanto, o empuxo redistribui a dissipação ao longo do voo, diminuindo a potência dissipada nas fases tardias, mas estendendo a duração do processo. Convém enfatizar que se trata de um efeito da ordem de $1\%$, cuja detecção exige precisamente o tipo de comparação controlada aqui realizada.

Por fim, os resultados numéricos evidenciam que o movimento de projéteis sob arrasto quadrático e empuxo exibe uma dinâmica rica, marcada por regimes temporais distintos e por uma dissipação de energia que evolui de maneira não trivial ao longo da trajetória. Essa estrutura qualitativa está em pleno acordo com a análise proposta por Bradshaw [¹³], que demonstra que o comportamento do sistema pode ser compreendido de forma sistemática ao se distinguir regimes de curto, intermediário e longo tempo. Os resultados aqui obtidos corroboram essas conclusões e as estendem ao considerar explicitamente a força de empuxo e um coeficiente de arrasto dependente do número de Reynolds, mostrando que o formalismo energético permanece uma ferramenta conceitual poderosa para interpretar movimentos dissipativos mesmo na ausência de soluções analíticas fechadas para as equações do movimento.

4. Conclusões

Neste trabalho foi realizado um estudo teórico e numérico do movimento de projéteis em meios resistivos, com ênfase na dissipação de energia associada ao arrasto quadrático e na influência da força de empuxo, usualmente negligenciada em abordagens tradicionais. O arrasto foi modelado por meio de um coeficiente dependente do número de Reynolds, o que permitiu incorporar de forma consistente a variação do regime de escoamento ao longo do movimento, e o empuxo foi introduzido por meio de uma gravidade efetiva $\tilde{g}=\left(1-\epsilon \right)g$, com $\epsilon ={\rho }_{ar}/{\rho }_{obj}$.

O resultado central do trabalho é o reconhecimento de que empuxo e arrasto não atuam de forma independente, mas competem. Como o empuxo reduz a gravidade efetiva sem alterar a constante de arrasto, ele diminui a velocidade terminal e, portanto, aumenta a razão $v_0/v_t$, deslocando o projétil para um regime relativamente mais dominado pela dissipação. Para o lançamento vertical essa competição pôde ser expressa em forma fechada, $\Delta h_{max}/h_{max}\simeq \epsilon ℛ\left(a\right)$, com $ℛ\left(a\right)=a/\left[\left(1+a\right)\ln \left(1+a\right)\right]$, relação que tende à unidade no limite balístico e decresce monotonicamente à medida que o arrasto se torna dominante.

As simulações do lançamento oblíquo confirmaram esse mecanismo. Para oito projéteis esféricos cobrindo mais de duas ordens de grandeza em $\epsilon$, o fator de supressão medido situou-se sistematicamente abaixo da unidade e reproduziu sem exceção a ordenação prevista, variando de ${ℛ}_{obs}\approx \mathrm{0,38}$ para a bola de pingue-pongue a ${ℛ}_{obs}\approx \mathrm{0,99}$ para a bola de canhão. Conclui-se que a sensibilidade ao empuxo não é determinada apenas pela densidade do projétil, mas por dois parâmetros independentes: a razão $\epsilon$, que fixa a escala do efeito, e a razão $v_0/v_t$, que determina qual fração dessa escala efetivamente se manifesta na trajetória. É por isso que a ordenação da sensibilidade ao empuxo não acompanha a das densidades: a bola de pingue-pongue, ainda que menos densa que a de basquete, mostrou-se cerca de duas vezes menos sensível a ele.

Do ponto de vista energético, o mesmo mecanismo conduz a um resultado contrário à expectativa intuitiva. Embora o empuxo reduza a potência dissipada nas fases tardias do voo, ele prolonga a permanência do projétil no ar e, com isso, o intervalo de atuação do arrasto. O saldo líquido é um acréscimo da energia total dissipada, da ordem de $1\%$ para os projéteis de baixa densidade. O resultado admite demonstração direta: como a trajetória começa e termina ao nível do solo, a energia dissipada iguala-se à diferença entre as energias cinéticas inicial e de impacto, e o empuxo, ao reduzir a velocidade terminal, faz com que o projétil atinja o solo mais lentamente. O projétil sujeito ao empuxo voa mais alto e mais longe, mas converte em calor mais energia do que aquele que o ignora.

Do ponto de vista didático, este trabalho evidencia que a inclusão explícita do empuxo não acarreta qualquer custo matemático adicional e oferece um exemplo acessível de competição entre dois efeitos físicos, no qual a intuição ingênua conduz a conclusões incorretas e apenas a análise quantitativa permite estabelecer o resultado correto. Como perspectivas futuras, o estudo pode ser estendido à dependência da densidade do ar com a altitude, às forças de sustentação associadas à rotação do projétil ou a lançamentos em fluidos distintos do ar, caso em que $\epsilon$ deixa de ser pequeno e o mecanismo de competição aqui descrito passa a operar em regime não perturbativo.

Disponibilidade de Dados

Todo o conjunto de dados que dá suporte aos resultados deste estudo está disponível mediante solicitação ao autor correspondente Cláudio J. DaSilva.

Referências

• ^[1] I. Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica (G. Brookman, London, 1833), v. 1.
• ^[2] J.L. Lagrange, Analytical Mechanics (Springer, New York, 1997).
• ^[3] S. De Vincenzo, Rev. Bras. Ens. Fis. 47, e20240390 (2025).
• ^[4] P.B. Siegel, American Journal of Physics 85, 313 (2017).
• ^[5] H.M. Nussenzweig, Curso de Física Básica: Mecânica (Edgard Blücher, São Paulo, 2002), v. 1.
• ^[6] J.B. Marion, Classical dynamics of particles and systems (Academic Press, Cambridge, 2013).
• ^[7] J.R. Taylor, Classical mechanics (University Science Books, Nova York, 2005).
• ^[8] G.W. Parker, American Journal of Physics 45, 606 (1977).
• ^[9] R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare, D.J. Jeffrey e D.E. Knuth, Advances in Computational mathematics 5, 329 (1996).
• ^[10] C.H. Belgacem, Journal of Taibah University for Science 11, 328 (2017).
• ^[11] J.C. Hayen, International Journal of Non-Linear Mechanics 38, 357 (2003).
• ^[12] P. Timmerman e J.P. van der Weele, American Journal of Physics 67, 538 (1999).
• ^[13] J.L. Bradshaw, American Journal of Physics 91, 258 (2023).
• ^[14] C.J. DaSilva, Physica Scripta 99, 056103 (2024).
• ^[15] M. Newman, Computational Physics (Createspace Independent Publishing Platform, Scotts Valley, 2013).
• ^[16] J.S. Walker, Phys. Teach 33, 282 (1995).
• ^[17] R.L. Burden e J.D. Faires, Análise Numérica (Cengage Learning, São Paulo, 2016).
• ^[18] G. Bagheri e C. Bonadonna, Powder Technology 301, 526 (2016).
• ^[19] F.A. Morrison, An Introduction to Fluid Mechanics (Cambridge University Press, New York, 2013).
• ^[20] A. Mayme e C.E. Mungan, European Journal of Physics 46, 035004 (2025).
• ^[21] B. Leroy, Revista Brasileira de Física 7, 693 (1977).
• ^[22] C.E. Aguiar e G. Rubini, Revista Brasileira de Ensino de Física 26, 297 (2004).

*Endereço de correspondência:

[e-mail]

Editor-Chefe:

Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  26 Out 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  12 Maio 2026
• Revisado
  25 Ago 2026
• Aceito
  08 Set 2026