A degenerescência do gás de elétrons e sua importância em Astrofísica

Apresentamos uma discussão elementar do regime quântico de um gás de elétrons e suas aplicações à Evolução Estelar, com a ideia de contribuir para uma abordagem física deste importante estado da matéria nos primeiros anos das carreiras de Ciências.

Palavras-chave:
Gás de elétrons; estrelas; equilíbrio hidrostático

Autoria

J.E. Horvath ^** Endereço de correspondência: foton@iag.usp.br

Universidade de São Paulo, Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas, Departamento de Astronomia, São Paulo, SP, Brasil.Universidade de São PauloBrasilSão Paulo, SP, BrasilUniversidade de São Paulo, Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas, Departamento de Astronomia, São Paulo, SP, Brasil.

http://orcid.org/0000-0003-4089-3440

* Endereço de correspondência: foton@iag.usp.br

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Fórmulas (8)

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Figure 1
A distribuição de densidade no interior do Sol hoje. A densidade central é de umas 160 vezes a média, e aumenta conforme o Sol envelhece porque o hélio inerte vai se acumulando, mas a pressão exercida precisa manter o equilíbrio hidrostático. Quando as reações nucleares ficam impossíveis (limite de Schoenberg-Chandrasekhar), a estrela sai da Sequência Principal e seu núcleo se contrai, aumentando ainda mais a densidade. Assim, a densidade central

ρ_{C}

cresce com o tempo, e a região central pode entrar no regime quântico.

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Figure 2
a) Um gás qualquer (no caso, o carbono) mantém as nuvens eletrônicas separadas se a densidade for da ordem de

\sim 1 g c m^{- 3}

; mas quando a densidade aumenta por causa da evolução da estrela, é possível que as nuvens entrem em contato, como mostrado em (b), e os elétrons mostrem sua natureza quântica.

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Figure 3
A plataforma do trem nas horas de pico como analogia da distribuição de elétrons no regime quântico, vide texto.

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Figure 4
Um caroço estelar em contração pode ser detido pela degenerescência eletrônica se sua evolução o leva a intersectar a curva preta que delimita a “região proibida”. Este é o caso do caroço de massa M₁ quando chega no ponto marcado com o quadrado. Porém, se a massa for maior, a degenerescência dos elétrons não joga nenhum papel, e o caroço pode se equilibrar com a pressão do gás perfeito (caso do M₂) já que quando a densidade é muito alta, os elétrons ficam relativísticos, a inclinação diminui e as curvas ficam paralelas, ou seja, a condição de equilíbrio hidrostático não têm mais solução. A cruz preta marca a última massa onde é possível o equilíbrio da gravitação com o gás de elétrons degenerado, precisamente a famosa “massa de Chandrasekhar”.

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Figure 5
As soluções da equação de equilíbrio hidrostático utilizando um gás de elétrons não relativístico (azul) são válidas até

0.5 M_{⊙}

aproximadamente. Para massas maiores, o limite ultra-relativístico é o mais adequado. A massa de Chandrasekhar onde as soluções deixam de existir é a linha pontilhada vertical vermelha [²[2] J.E. Horvath, Rev. Bras. Ensino Fís. 35, 4501(2013).].

(1)

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Figure 1 A distribuição de densidade no interior do Sol hoje. A densidade central é de umas 160 vezes a média, e aumenta conforme o Sol envelhece porque o hélio inerte vai se acumulando, mas a pressão exercida precisa manter o equilíbrio hidrostático. Quando as reações nucleares ficam impossíveis (limite de Schoenberg-Chandrasekhar), a estrela sai da Sequência Principal e seu núcleo se contrai, aumentando ainda mais a densidade. Assim, a densidade central $ρ_{C}$ cresce com o tempo, e a região central pode entrar no regime quântico.

Figure 2 a) Um gás qualquer (no caso, o carbono) mantém as nuvens eletrônicas separadas se a densidade for da ordem de $\sim 1 g c m^{- 3}$ ; mas quando a densidade aumenta por causa da evolução da estrela, é possível que as nuvens entrem em contato, como mostrado em (b), e os elétrons mostrem sua natureza quântica.

Figure 3 A plataforma do trem nas horas de pico como analogia da distribuição de elétrons no regime quântico, vide texto.

Figure 4 Um caroço estelar em contração pode ser detido pela degenerescência eletrônica se sua evolução o leva a intersectar a curva preta que delimita a “região proibida”. Este é o caso do caroço de massa M₁ quando chega no ponto marcado com o quadrado. Porém, se a massa for maior, a degenerescência dos elétrons não joga nenhum papel, e o caroço pode se equilibrar com a pressão do gás perfeito (caso do M₂) já que quando a densidade é muito alta, os elétrons ficam relativísticos, a inclinação diminui e as curvas ficam paralelas, ou seja, a condição de equilíbrio hidrostático não têm mais solução. A cruz preta marca a última massa onde é possível o equilíbrio da gravitação com o gás de elétrons degenerado, precisamente a famosa “massa de Chandrasekhar”.

Figure 5 As soluções da equação de equilíbrio hidrostático utilizando um gás de elétrons não relativístico (azul) são válidas até $0.5 M_{⊙}$ aproximadamente. Para massas maiores, o limite ultra-relativístico é o mais adequado. A massa de Chandrasekhar onde as soluções deixam de existir é a linha pontilhada vertical vermelha [²[2] J.E. Horvath, Rev. Bras. Ensino Fís. 35, 4501(2013).].

(1)

Δ p \geq \frac{ℏ}{Δ x} \sim \frac{ℏ N^{1 / 3}}{V^{1 / 3}} .

(2)

⟨ E_{K} ⟩ = \frac{Δ p^{2}}{2 m} \sim \frac{ℏ^{2} N^{2 / 3}}{V^{2 / 3} m} .

(3)

U = N ⟨ E_{K} ⟩ \sim \frac{ℏ^{2} N^{5 / 3}}{V^{2 / 3} m} .

(4)

P_{e} = k \frac{ℏ^{2} N^{5 / 3}}{V^{5 / 3} m},

(5)

\frac{d P}{d r} = - \frac{G m ρ}{r^{2}},

(6)

E_{grav} = - \frac{3}{5} {(\frac{4 π}{3})}^{1 / 3} \frac{G M^{2}}{V^{1 / 3}},

(7)

P_{grav} \equiv - \frac{\partial E_{grav}}{\partial V} = C M^{2 / 3} ρ^{4 / 3},

(8)

P_{grav} = 2.6 \times 10^{33} {(\frac{M}{M_{⊙}})}^{2 / 3} {(\frac{ρ}{ρ_{0}})}^{4 / 3} \frac{e r g}{c m^{3}} .

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[1] * Endereço de correspondência: foton@iag.usp.br