Dedução da Matriz do Hamiltoniano <i>Tight Binding</i> usando a discretização da Equação de Schrödinger

Neste trabalho realizamos a montagem de uma matriz hamiltoniana para um gás de elétrons bidimensional não interagente. Estes sistemas podem ser formados na interface de heteroestruturas do GaAs-AlGaAs e, na presença de potenciais de confinamento, serem usados como transistores quânticos. Partindo da equação de Schrödinger na aproximação da massa efetiva, deduzimos os Hamiltonianos 1D e 2D na base de sítios Tight Binding. Estes Hamiltonianos foram obtidos através do procedimento de discretização da equação de Schrödinger. Para o caso unidimensional, o resultado encontrado foi a conhecida matriz tridiagonal e, para o caso bidimensional, uma matriz de blocos tridiagonais. A discretização realizada permitiu a dedução dos valores das energias de sítio e de hopping do sistema estudado. Estes resultados demonstraram a ligação direta entre a equação de Schrödinger e o método Tight Binding, e, tais resultados, são muito úteis na realização de métodos numéricos, os quais não são abordados na literatura básica de Física do Estado Sólido.

Palavras-chave:
Tight Binding; equação de Schrödinger; discretização

Autoria

Rodrigo M. Costa

Universidade Federal do ABC, Centro de Ciências Naturais e Humanas, 09210-170, Santo André, SP, Brasil.Universidade Federal do ABCBrasilSanto André, SP, BrasilUniversidade Federal do ABC, Centro de Ciências Naturais e Humanas, 09210-170, Santo André, SP, Brasil.

Michel Mendoza ^**Endereço de correspondência: michel.mendoza@ufabc.edu.br.

http://orcid.org/0000-0002-9855-249X

^*Endereço de correspondência: michel.mendoza@ufabc.edu.br.

SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Figuras | Fórmulas

Figuras (3)
Fórmulas (45)

Thumbnail

Figura 1
(a) Representação pictórica de uma heteroestrutura de GaAs e AlGaAs crescida epitaxialmente na direção z (parte superior). O GaAs se comporta como um poço de potencial e o AlGaAs como uma barreira de potencial (parte inferior). Desta forma na direção z o sistema é confinado e na direção xy a partícula é totalmente livre. (b) Representação pictórica de um

2 D E G

formado na interface entre o GaAs e AlGaAs (plano xy), na esquerda. A técnica de split gate permite gerar uma caixa quântica aberta controlada pelos potenciais

V_{g}

Δ V

, na direita.

Thumbnail

Figura 2
(a) Átomos (naturais ou artificiais) ou sítios desacoplados totalmente. (b) Os sítios anteriores agora acoplados mediante uma energia de hopping t. (c) O sistema acoplado forma uma banda de energia ao redor da energia de sítio

ϵ_{o}

Thumbnail

Figura 3
O procedimento de discretização da equação de Schrödinger significa discretizar o comportamento continuo da função de onda. Esta discretização resulta num Hamiltoniano Tight Binding, o qual pode ser representado espacialmente como em (a). Onde os sítios da discretização são acoplados mediante energias hopping

t_{x}

t_{y}

. (b) Modelamento de uma caixa quântica aberta usando a rede Tight Binding, aqui os sítios em negrito representam barreiras de potencial geradas, de altura

V_{m n}

, por exemplo, usando técnicas de split gate.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Figura 1 (a) Representação pictórica de uma heteroestrutura de GaAs e AlGaAs crescida epitaxialmente na direção z (parte superior). O GaAs se comporta como um poço de potencial e o AlGaAs como uma barreira de potencial (parte inferior). Desta forma na direção z o sistema é confinado e na direção xy a partícula é totalmente livre. (b) Representação pictórica de um $2 D E G$ formado na interface entre o GaAs e AlGaAs (plano xy), na esquerda. A técnica de split gate permite gerar uma caixa quântica aberta controlada pelos potenciais $V_{g}$ e $Δ V$ , na direita.

Figura 2 (a) Átomos (naturais ou artificiais) ou sítios desacoplados totalmente. (b) Os sítios anteriores agora acoplados mediante uma energia de hopping t. (c) O sistema acoplado forma uma banda de energia ao redor da energia de sítio $ϵ_{o}$ .

Figura 3 O procedimento de discretização da equação de Schrödinger significa discretizar o comportamento continuo da função de onda. Esta discretização resulta num Hamiltoniano Tight Binding, o qual pode ser representado espacialmente como em (a). Onde os sítios da discretização são acoplados mediante energias hopping $t_{x}$ e $t_{y}$ . (b) Modelamento de uma caixa quântica aberta usando a rede Tight Binding, aqui os sítios em negrito representam barreiras de potencial geradas, de altura $V_{m n}$ , por exemplo, usando técnicas de split gate.

(1)

- \frac{ℏ^{2}}{2} \nabla . [\frac{1}{m^{*} (r)} \nabla ψ (r)] + V (r) ψ (r) = E ψ (r)

(2)

H = (\begin{matrix} ϵ_{s}^{1} & t & 0 & . & . & . & . & 0 \\ t & ϵ_{s}^{2} & t & 0 & . & . & . & . \\ 0 & t & ϵ_{s}^{3} & t & 0 & . & . & . \\ . & 0 & t & ϵ_{s}^{4} & t & 0 & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & 0 \\ . & . & . & . & . & . & . & t \\ 0 & . & . & . & . & 0 & t & ϵ_{s}^{N} \end{matrix})

(3)

H ψ (x) = - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*}} ψ^{''} (x) + V (x) ψ (x) = E ψ (x)

ψ (x) = ψ (x_{0}) + ψ^{'} (x_{0}) Δ x + \frac{ψ^{''} (x_{0}) Δ x^{2}}{2} + \frac{ψ^{'''} (x_{0}) Δ x^{3}}{6} + \dots

ψ (x) = ψ (x_{0}) + ψ^{'} (x_{0}) Δ x + \frac{ψ^{''} (x_{0}) Δ x^{2}}{2}

ψ (x + Δ x) = ψ (x) + ψ^{'} (x) Δ x + \frac{ψ^{''} (x) Δ x^{2}}{2}

ψ (x - Δ x) = ψ (x) - ψ^{'} (x) Δ x + \frac{ψ^{''} (x) Δ x^{2}}{2}

ψ (x + Δ x) + ψ (x - Δ x) = 2 ψ (x) + ψ^{''} (x) Δ x^{2}

ψ^{''} (x) = \frac{1}{Δ x^{2}} [ψ (x + Δ x) - 2 ψ (x) + ψ (x - Δ x)]

(4)

ψ^{''} (x) = \frac{1}{a^{2}} [ψ (x + a) - 2 ψ (x) + ψ (x - a)]

\begin{aligned} H ψ (x) = - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}} [ψ (x + a) - 2 ψ (x) + ψ (x - a)] \\ + V (x) ψ (x) \end{aligned}

H | m ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [| m + 1 ⟩ - 2 | m ⟩ + | m - 1 ⟩] + V_{m} | m ⟩

\begin{aligned} H | m ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) | m + 1 ⟩ + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) | m - 1 ⟩ \\ + (\frac{ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{m}) | m ⟩ \end{aligned}

(5)

\begin{aligned} ⟨ m^{'} | H | m ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) ⟨ m^{'} | | m + 1 ⟩ \\ + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) ⟨ m^{'} | | m - 1 ⟩ + (\frac{ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{m}) ⟨ m^{'} | | m ⟩ \end{aligned}

⟨ i | | j ⟩ = {\begin{array}{cc} 1, & s e i = j \\ 0, & s e i \neq j \end{array}

\begin{aligned} ⟨ m | H | m ⟩ = (\frac{ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{m}) = ϵ_{s} \end{aligned}

t_{x} = t = - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}

- \frac{ℏ^{2}}{2} \frac{d}{d z} [\frac{1}{m^{*} (z)} \frac{d}{d z} ψ (z)] + V (z) ψ (z) = E ψ (z)

\frac{d}{d z} f (z) \approx \frac{f (z + a) - f (z - a)}{2 a}

\frac{d^{2}}{d z^{2}} f (z) \approx \frac{f (z + a) - 2 f (z) + f (z - a)}{a^{2}}

\begin{aligned} - \frac{ℏ^{2}}{8 a^{2}} [\frac{1}{m^{*} (z + a)} - \frac{1}{m^{*} (z - a)}] [ψ (z + a) - ψ (z - a)] \\ - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} (z) a^{2}} [ψ (z + a) - 2 ψ (z) + ψ (z - a)] \\ + V (z) ψ (z) = E ψ (z) \end{aligned}

M = [\frac{1}{m^{*} (z + a)} - \frac{1}{m^{*} (z - a)}],

\begin{aligned} - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} (z) a^{2}} [1 + \frac{m^{*} (z) M}{4}] ψ (z + a) \\ - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} (z) a^{2}} [1 - \frac{m^{*} (z) M}{4}] ψ (z - a) \\ + [\frac{ℏ^{2}}{m^{*} (z) a^{2}} + V (z)] ψ (z) = H ψ (z) = E ψ (z) \end{aligned}

\begin{aligned} H | m ⟩ = [\frac{ℏ^{2}}{m^{*} (z) a^{2}} + V_{m}] | m ⟩ - \\ \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} (z) a^{2}} [1 + \frac{m^{*} (z) M}{4}] | m + 1 ⟩ - \\ \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} (z) a^{2}} [1 - \frac{m^{*} (z) M}{4}] | m - 1 ⟩ \end{aligned}

(6)

\begin{aligned} H ψ (x, y) = - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*}} [\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}] ψ (x, y) + V (x, y) ψ (x, y) \\ = E (x, y) ψ (x, y) \end{aligned}

H = - \frac{ℏ^{2} \nabla^{2}}{2 m^{*}} + V (x, y)

ψ (x + Δ x, y) = ψ (x, y) + ψ_{x}^{'} (x, y) Δ x + \frac{ψ_{x}^{''} (x, y) Δ x^{2}}{2}

ψ (x - Δ x, y) = ψ (x, y) - ψ_{x}^{'} (x, y) Δ x + \frac{ψ_{x}^{''} (x, y) Δ x^{2}}{2}

\begin{aligned} ψ_{x}^{''} (x, y) Δ x^{2} + 2 ψ (x, y) = ψ (x + Δ x, y) + \\ ψ (x - Δ x, y) \end{aligned}

\begin{aligned} ψ_{x}^{''} (x, y) = \frac{1}{Δ x^{2}} [ψ (x + Δ x, y) - 2 ψ (x, y) \\ + ψ (x - Δ x, y)] \end{aligned}

ψ (x, y + Δ y) = ψ (x, y) + ψ_{y}^{'} (x, y) Δ y + \frac{ψ_{y}^{''} (x, y) Δ y^{2}}{2}

ψ (x, y - Δ y) = ψ (x, y) - ψ_{y}^{'} (x, y) Δ y + \frac{ψ_{y}^{''} (x, y) Δ y^{2}}{2}

\begin{aligned} ψ_{y}^{''} (x, y) = \frac{1}{Δ y^{2}} [ψ (x, y + Δ y) - 2 ψ (x, y) \\ + ψ (x, y - Δ y)] \end{aligned}

\begin{aligned} H ψ (x, y) = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [ψ (x, y + a) - 2 ψ (x, y) + \\ ψ (x, y - a)] + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [ψ (x + a, y) - 2 ψ (x, y) + \\ ψ (x - a, y)] + V (x, y) ψ (x, y) \end{aligned}

\begin{aligned} H ψ (x, y) = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [ψ (x, y + a) - 4 ψ (x, y) + \\ ψ (x, y - a)] + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [ψ (x + a, y) + ψ (x - a, y)] \\ + V (x, y) ψ (x, y) \end{aligned}

\begin{aligned} H | m, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [| m, n + 1 ⟩ + | m, n - 1 ⟩] + \\ (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [| m + 1, n ⟩ + | m - 1, n ⟩] + \\ (\frac{2 ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{m, n}) | m, n ⟩ \end{aligned}

(7)

\begin{aligned} ⟨ m^{'}, n^{'} | H | m, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ m^{'}, n^{'} | | m, n + 1 ⟩ + \\ ⟨ m^{'}, n^{'} | | m, n - 1 ⟩] + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ m^{'}, n^{'} | | m + 1, n ⟩ + \\ ⟨ m^{'}, n^{'} | | m - 1, n ⟩] + (\frac{2 ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{m, n}) ⟨ m^{'}, n^{'} | | m, n ⟩ \end{aligned}

\begin{aligned} ⟨ 1, n^{'} | H | 1, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 1, n^{'} | | 1, n + 1 ⟩ + \\ ⟨ 1, n^{'} | | 1, n - 1 ⟩] + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 1, n^{'} | | 2, n ⟩ + \\ ⟨ 1, n^{'} | | 0, n ⟩] + (\frac{2 ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{1, n}) ⟨ 1, n^{'} | | 1, n ⟩ \end{aligned}

\begin{aligned} ⟨ 1, n^{'} | H | 1, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 1, n^{'} | | 1, n + 1 ⟩ + \\ ⟨ 1, n^{'} | | 1, n - 1 ⟩] + (\frac{2 ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{1, n}) ⟨ 1, n^{'} | | 1, n ⟩ \end{aligned}

ϵ_{s} = \frac{2 ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{m, n}

\begin{aligned} ⟨ 1, n^{'} | H | 2, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 1, n^{'} | | 2, n + 1 ⟩ + \\ ⟨ 1, n^{'} | | 2, n - 1 ⟩] + (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 1, n^{'} | | 3, n ⟩ + \\ ⟨ 1, n^{'} | | 1, n ⟩] + (\frac{2 ℏ^{2}}{m^{*} a^{2}} + V_{1, n}) ⟨ 1, n^{'} | | 2, n ⟩ \end{aligned}

\begin{aligned} ⟨ 1, n^{'} | H | 2, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 1, n^{'} | | 1, n ⟩] \end{aligned}

\begin{aligned} ⟨ 2, n^{'} | H | 1, n ⟩ = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}) [⟨ 2, n^{'} | | 2, n ⟩] \end{aligned}

\begin{aligned} (\begin{matrix} (\begin{matrix} ϵ_{s}^{1, 1} & t_{y} & 0 \\ t_{y} & ϵ_{s}^{1, 2} & t_{y} \\ 0 & t_{y} & ϵ_{s}^{1, 3} \end{matrix}) & (\begin{matrix} t_{x} & 0 & 0 \\ 0 & t_{x} & 0 \\ 0 & 0 & t_{x} \end{matrix}) & (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} t_{x} & 0 & 0 \\ 0 & t_{x} & 0 \\ 0 & 0 & t_{x} \end{matrix}) & (\begin{matrix} ϵ_{s}^{2, 1} & t_{y} & 0 \\ t_{y} & ϵ_{s}^{2, 2} & t_{y} \\ 0 & t_{y} & ϵ_{s}^{2, 3} \end{matrix}) & (\begin{matrix} t_{x} & 0 & 0 \\ 0 & t_{x} & 0 \\ 0 & 0 & t_{x} \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) & (\begin{matrix} t_{x} & 0 & 0 \\ 0 & t_{x} & 0 \\ 0 & 0 & t_{x} \end{matrix}) & (\begin{matrix} ϵ_{s}^{3, 1} & t_{y} & 0 \\ t_{y} & ϵ_{s}^{3, 2} & t_{y} \\ 0 & t_{y} & ϵ_{s}^{3, 3} \end{matrix}) \end{matrix}) \end{aligned}

t_{x} = t_{y} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m^{*} a^{2}}

Como citar

copiar

Sociedade Brasileira de Física Caixa Postal 66328, 05389-970 São Paulo SP - Brazil - São Paulo - SP - Brazil
E-mail: marcio@sbfisica.org.br

Acompanhe os números deste periódico no seu leitor de RSS

Versão para download de PDF

PDF

Português

Versões e tradução automática

Versão original do texto

Português

Tradução automática

Google Translator
Microsoft Translator

Como citar

RIS

BIBTEX

Outros formatos de citação e exportação:

SciELO - Scientific Electronic Library Online
Rua Dr. Diogo de Faria, 1087 – 9º andar – Vila Clementino 04037-003 São Paulo/SP - Brasil
E-mail: scielo@scielo.org

Leia a Declaração de Acesso Aberto

Métricas

Dedução da Matriz do Hamiltoniano <i>Tight Binding</i> usando a discretização da Equação de Schrödinger

PlumX

Mensagem

[1] ^*Endereço de correspondência: michel.mendoza@ufabc.edu.br.