Construção numérica de diagramas conformes em relatividade geral

Numerical construction of conformal diagrams in general relativity

Resumo

A teoria da relatividade, tanto especial quanto geral, postula a invariância da velocidade da luz em qualquer referencial, introduzindo assim uma estrutura adicional no espaço-tempo conhecida como estrutura causal, relacionada aos cones de luz. Esta estrutura pode ser visualizada nos chamados diagramas conformes, causais ou de Carter-Penrose. Neste trabalho, apresentamos um algoritmo numérico para a obtenção desses diagramas, oferecendo uma vantagem significativa ao lidar com casos complexos nos quais as transformações de coordenadas necessárias para métodos analíticos são inviáveis ou impraticáveis. Além disso, o método numérico possui uma vantagem pedagógica, sendo acessível para estudantes que ainda não desenvolveram plenamente suas habilidades matemáticas para lidar com transformações de coordenadas, baseando-se em métodos numéricos simples. Como exemplo ilustrativo, construímos numericamente os diagramas conformes correspondentes às soluções de Schwarzschild e de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker.

Palavras-chave:
Relatividade; estrutura causal; diagramas conformes; métodos numéricos

Abstract

The theory of relativity, both special and general, postulates the invariance of the speed of light in any reference frame, thus introducing an additional structure in spacetime known as the causal structure, related to light cones. This structure can be visualized in the so-called conformal, causal, or Carter-Penrose diagrams. In this work, we present a numerical algorithm for obtaining these diagrams, offering a significant advantage when dealing with complex cases in which the coordinate transformations required for analytical methods are unfeasible or impractical. Furthermore, the numerical method has a pedagogical advantage, being accessible to students who have not yet fully developed their mathematical skills to handle coordinate transformations, as it is based on simple numerical methods. As an illustrative example, we numerically construct the conformal diagrams corresponding to the Schwarzschild and Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker solutions.

Keywords
Relativity; causal structure; conformal diagrams; numerical methods

1. Introdução

Um aspecto marcante dos avanços na física fundamental desde o século XX é a necessidade de adotar conceitos cada vez menos intuitivos à medida que exploramos escalas de comprimento menores e energias e velocidades maiores. No caso da mecânica quântica, a teoria do mundo subatômico, abandonamos a noção de trajetória para partículas, substituindo-a pelas funções de onda cuja interpretação é probabilística. No caso das grandes energias e velocidades, a teoria da Relatividade Restrita (RR) abre mão da existência de um tempo absoluto, postulando uma velocidade invariante, coincidente com a velocidade da luz c, que também é a velocidade máxima de propagação dos sinais físicos. Isto implica que pares de eventos no espaço-tempo quadridimensional podem ou não ser conectados por sinais físicos, fundamentando as relações de causalidade. Embora a palavra “causalidade” possa ser compreendida apenas como a admissão das relações de causa-efeito de forma ordenada em uma variável “tempo”, a existência de um limite físico para propagação de sinais é condição necessária para que haja uma distinção entre eventos causalmente conectados e não conectados em um espaço-tempo. Em uma teoria que admita propagação instantânea de sinais, todos os eventos são causalmente conectados, portanto não há uma estrutura causal além da própria estrutura geométrica do espaço-tempo. Em teorias em que não há propagação instantânea, mas não limite superior para a velocidade de propagação de sinais, então apenas os eventos “simultâneos” (em geral é possível definir simultaneidade neste tipo de teoria) seriam desconectados causalmente. Uma discussão sobre tais noções e como definir horizontes em tais condições pode ser encontrada em [¹] e referências ali inclusas.

Quando passamos à generalização da RR para incluir a gravitação, a teoria da Relatividade Geral (RG), em vez de modelarmos a gravidade como uma força, descrevemo-la através da curvatura do espaço-tempo, que passa a ser uma entidade dinâmica, que reage de acordo com a presença e movimento da matéria ou energia. Descrevemos as soluções da RG através da expressão de sua métrica, um tensor que nos fornece como as distâncias entre eventos são calculadas. No entanto, as componentes da métrica dependem da escolha de um sistema de coordenadas entre infinitas possibilidades, tornando a interpretação de soluções da RG uma tarefa complexa.

Uma das maneiras de aproximar de nossa intuição a informação contida em uma expressão matemática é o uso de representações gráficas. Evidentemente que não há como descrever o espaço-tempo quadridimensional através de gráficos, mas algumas de suas propriedades podem ser reduzidas a uma dimensionalidade menor de maneira que possamos desenhá-las, especialmente em casos onde existem simetrias. Ainda assim, uma representação gráfica não é capaz capturar todo tipo de informação contida na métrica, devendo se restringir a algum aspecto. Por exemplo, podemos tomar uma seção bidimensional do espaço-tempo e representá-la como uma superfície bidimensional no espaço para de alguma forma “enxergar” sua curvatura [²].

Como as relações de causalidade são parte significativa da interpretação de uma solução da RG, compreender a sua estrutura causal nos permite identificar lugares geométricos importantes, como horizontes de eventos e horizontes cosmológicos e o comportamento assintótico no infinito. Por isto, os diagramas conformes, também conhecidos como diagramas causais ou de Carter-Penrose, são muito utilizados no estudo de soluções da RG. Eles consistem em diagramas de duas ou três dimensões que mapeiam o espaço-tempo em uma região compacta do plano ou do espaço, de forma que os cones de luz no diagrama conforme são formados por retas inclinadas em 45° assim como no caso do espaço-tempo de Minkowski, o que nos fornece uma fácil visualização das relações causais entre os eventos.

Esses diagramas facilitam a compreensão dos conceitos da RG, tornando-os úteis no ensino e na pesquisa. No entanto, a construção analítica desses diagramas exige um entendimento matemático avançado. Por esse motivo, este trabalho se concentra na construção numérica desses diagramas por meio de um algoritmo simples. Esse método é mais acessível para estudantes que ainda não dominam completamente as transformações de coordenadas e a geometria diferencial necessárias para a construção analítica.

Com os diagramas conformes numéricos pretendemos providenciar uma ferramenta auxiliar de visualização da estrutura causal dos espaços-tempos, cuja construção é mais acessível a estudantes ainda não familiarizados com transformações de coordenadas e geometria diferencial, necessárias para a construção analítica dos diagramas. Pode também ser um instrumento para a pesquisa em tópicos mais avançados no futuro, pois métodos similares são usados para a análise de soluções sofisticadas da RG em [³, ⁴, ⁵, ⁶]. O algoritmo utilizado é compreensível para qualquer estudante que tenha cursado uma disciplina de Cálculo Numérico em nível de graduação.

A estrutura deste artigo é organizada da seguinte forma: na Seção 2, apresentamos os conceitos fundamentais da RG relacionados à causalidade e definimos os diagramas conformes, além de estabelecer a notação a ser utilizada. Na Seção 3, explicamos o algoritmo numérico proposto para a construção dos diagramas conformes. Na Seção 4, exibimos e discutimos os resultados obtidos para as métricas de Schwarzschild e de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). Por fim, na Seção 5, concluímos o trabalho e sugerimos possíveis aprimoramentos futuros.

2. Fundamentos da Teoria da Relatividade

2.1. Geometria do espaço-tempo

Os postulados da relatividade implicam em um espaço-tempo dotado de uma geometria não-euclidiana, modelado como uma variedade diferenciável 𝒟, munido de uma métrica Lorentziana [²].

A descrição geométrica da RR pode ser formulada a partir da métrica de Minkowski. Nessa formulação, a distância ds entre dois eventos infinitamente próximos é dada pelo intervalo de espaço-tempo:

(1) $$\text{d}{s}^2=\text{d}{x}^2+\text{d}{y}^2+\text{d}{z}^2-c^2\text{d}{t}^2⟶\text{d}{s}^2=\text{d}{r}^2-\text{d}{t}^2,$$

onde fizemos c = 1, pelas unidades naturais, e com r representando as três dimensões espaciais em uma versão bidimensional desse espaço-tempo.

Ao descrever com a métrica bidimensional de Minkowski o movimento de um objeto físico no plano (com r sendo a abscissa e t a ordenada), os pontos sucessivos que definem sua história formam uma linha de mundo – uma curva orientada para futuro – que representa geometricamente sua trajetória no espaço-tempo [⁷, ⁸]. Quando ds² = 0, temos dr = ±dt, resultando em linhas de mundo retas formando ângulos de 45° com os eixos espaço-tempo. Essas são as linhas das partículas a velocidade da luz, definindo o cone de luz, que determina a estrutura causal.

Com ds² = 0 definimos linhas de mundo com intervalos tipo luz. Já linhas de mundo onde ds² > 0 possuem intervalo do tipo espaço e estão localizadas no exterior do cone de luz. Por fim, linhas de mundo onde ds² < 0 definem o intervalo do tipo tempo e essas linhas estão no interior do cone de luz. A condição para a existência de uma relação de causalidade entre eventos é que a curva causal que os une esteja na fronteira (tipo luz) ou dentro (tipo tempo) do cone de luz, com ds² ≤ 0.

As trajetórias das partículas livres em RG são dadas por curvas geodésicas [⁹]. No caso de partículas sem massa, as geodésicas são do tipo luz, coincidindo com as curvas nulas que discutimos acima, com ds² = 0.

Na RG, a descrição do espaço-tempo é mais geral, permitindo sua deformação devido à presença de matéria e energia. A métrica de Minkowski possui curvatura nula, indicando a ausência de interações gravitacionais e matéria. Em RG, a geometria do espaço-tempo é dinâmica, respondendo à distribuição e ao movimento das fontes de matéria e energia. Uma solução da RG é uma métrica que satifaz as equações de Einstein, que relacionam métrica e matéria [²]. Uma das soluções fundamentais da RG é a métrica de Schwarzschild, que descreve o espaço-tempo em torno de um objeto maciço como um buraco negro ou uma estrela compacta. Essa métrica é expressa por:

(2) $$\text{d}{s}^2=\mathrm{}-\left(1-{\displaystyle \frac{2GM}{c^{2}r}}\right)\mathrm{}{c}^2\text{d}{t}^2\mathrm{+}{\left(1-{\displaystyle \frac{2GM}{c^{2}r}}\right)}^{-1}\text{d}{r}^2+r^2\text{d}{\mathrm{\Omega }}^2⟶\text{d}{s}^2=\mathrm{}-\left(1-{\displaystyle \frac{2M}{r}}\right)\mathrm{}\text{d}{t}^2\mathrm{+}{\left(1-{\displaystyle \frac{2M}{r}}\right)}^{-1}\text{d}{r}^2+r^2\text{d}{\mathrm{\Omega }}^2,$$

sendo M a massa do objeto, G a constante de gravitação universal e dΩ² = dθ² + sin²⁡θdϕ² a métrica de uma superfície esférica unitária. Na última igualdade adotamos as unidades naturais da RG, c = G = 1, de modo que $\frac{GM}{c^2}\to M$¹.

Substituindo r = 2M na métrica (2), o primeiro termo se anula enquanto o segundo termo diverge. Essa aparente singularidade pode ser contornada com a transformação para um sistema de coordenadas diferente. Entre as diversas opções, destacam-se as coordenadas de Kruskal [⁹]. Nessas coordenadas, as trajetórias radiais tipo luz (ds² = 0 e dΩ² = 0) formam sempre um ângulo de 45° com os eixos coordenados e o elemento de linha (2) é dado por:

(3) $$\text{d}{s}^2=\mathrm{}{\displaystyle \frac{32M^3}{r}}{e}^{-r/2M}(-\text{d}{T}^2+\text{d}{X}^2)+r^2(\text{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \text{d}{\varphi }^2),$$

em que as coordenadas T e X são definidas em função de t e r.

Diferentemente do que é possível com as coordenadas de Schwarzschild, usando sistemas de coordenadas como o de Kruskal, podemos abranger eventos não apenas na região onde r > 2M, mas também em r < 2M. Apesar dessas transformações resolverem a singularidade de coordenadas que aparece nas coordenadas de Schwarzschild, em r = 0 há uma singularidade física. Tal singularidade não pode ser eliminada por transformações de coordenadas e corresponde a um ponto onde a curvatura do espaço-tempo tende ao infinito, implicando em forças de maré ilimitadas [²].

2.2. Diagramas conformes

Os diagramas conformes são representações bidimensionais de seções de espaço-tempo em uma região compacta do plano. Neles, os cones de luz são retratados como retas inclinadas a 45°, seguindo o padrão do espaço-tempo de Minkowski. Isso oferece uma visualização clara das relações causais entre eventos.

No plano de um diagrama conforme, o eixo vertical representa a coordenada temporal, enquanto o horizontal representa a coordenada espacial. No entanto, essas coordenadas abrangem um intervalo finito de valores, resultando em uma representação compacta do espaço-tempo (ou sua projeção bidimensional). Isso torna os diagramas conformes ferramentas poderosas para compreender a estrutura causal dos eventos no espaço-tempo.

Para construir o diagrama causal, é necessário realizar uma transformação de coordenadas que leve a métrica a uma forma conformemente plana². Essa transformação pode ser verificada em referências como [², ¹⁰]. Com a métrica nessa forma, os cones de luz do espaço-tempo original correspondem a cones geométricos com geratriz de 45° (como no espaço-tempo de Minkowski), permitindo-nos visualizar diretamente no diagrama as relações causais entre eventos e observadores³.

Na Figura 1, temos o diagrama conforme do espaçotempo de Minkowski construído com curvas de t constante, ou t = t₀. Toda a fronteira do diagrama corresponde ao chamado infinito conforme do espaço-tempo de Minkowski. A estrutura do infinito conforme é uma característica do espaço-tempo e é independente do método usado para construção do diagrama. Simbolizando os limites do espaço-tempo compactificado, temos:

Figura 1
Diagrama causal do espaço-tempo de Minkowski. As curvas no interior correspondem a linhas (ou hipersuperfícies, no espaço-tempo quadridimensional) de equação t = constante. As fronteiras correspondem às linhas limite t = ±∞.

• –

  ℐ⁺ e ℐ⁻, infinito futuro nulo e infinito passado nulo, respectivamente, são os lugares geométricos que contêm os limites das geodésicas tipo luz para t → + ∞ e t → − ∞.

• –

  i⁺ e i⁻, infinito futuro temporal e infinito passado temporal, respectivamente, são os lugares geométricos que contêm os limites das geodésicas tipo tempo para t → + ∞ e t→ − ∞.

• –

  i⁰, infinito espacial, é o lugar geométrico que contém os limites r → ± ∞ das geodésicas tipo espaço.

Na Figura 2, temos o diagrama causal do espaço-tempo de Schwarzschild em coordenadas de Kruskal, construído com curvas do tipo r = constante.

Figura 2
Diagrama causal do espaço-tempo de Schwarzschild em coordenadas de Kruskal.

Interpretando esse diagrama, a região I representa o espaço-tempo original de Schwarzschild. Em direção à região II, ultrapassamos a superfície r = 2M, chamada horizonte de eventos. A região II é inescapável, pois ao traçar os cones de luz no diagrama, todos os cones futuros nessa região terminam em r = 0, que é a singularidade central do buraco negro de Schwarzschild. Já a região III é uma cópia da região I, apresentando as mesmas propriedades e infinito conforme. Não há como acessar a região III a partir da I, pois, como já dito, a região II é inescapável. Por fim, temos em IV o chamado buraco branco, que é um buraco negro com tempo invertido: em vez de atrair as partículas, repele-as. Todas as trajetórias causais que se iniciam nessa região escapam dela no futuro.

3. Diagramas Conformes Numéricos

Para a construção numérica de diagramas conformes bidimensionais, o algoritmo foi desenvolvido como reprodução do método apresentado na referência [³]. Abordaremos métricas reduzidas a duas dimensões, como por exemplo as soluções com simetria esférica, onde podemos associar um ponto no plano (t, r) a uma superfície esférica. Neste caso, as hipersuperfícies são dadas por curvas f(t, r) = 0.

O algoritmo que usamos parte primeiro da escolha de uma hipersuperfície espacial S⁴: {(t, r) ∈ 𝒟|f(t, r) = 0}. A partir da escolha de S, realizamos os seguintes procedimentos de forma a associar um ponto (t₀, r₀) nas coordenadas originais para um ponto (y₀, x₀) no diagrama causal:

• Conhecidas num plano bidimensional as coordenadas (t₀, r₀) de um ponto, traçamos a partir dele o par de geodésicas nulas (Figura 3a) dadas pelas equações diferenciais resultantes de ds² = 0 e dΩ² = 0. Via de regra, resolvemos as equações geodésicas numericamente usando o método de Runge-Kutta de 4^a Ordem [¹³,¹⁴,¹⁵] com aplicação do método de passo duplo [¹⁶] a menos dos casos em que se reduzem a equações algébricas, em que o Método de Newton é suficiente para a obtenção das soluções.

Figura 3
(a) Geodésicas nulas partindo de (t₀, r₀) e interceptando a superfície espacial nos pontos r₁ e r₂. (b) Triangulação para encontrar as coordenadas no diagrama. Os pontos x₁ e x₂ correspondem às imagens de r₁ e r₂ após compactificação da superfície de referência. As retas têm inclinação de 45 graus.

• São localizadas as coordenadas espaciais r₁ e r₂ onde tais curvas interceptam a superfície espacial S. Para localizar as interseções, aplicamos o critério da troca de sinal da função f: se uma geodésica parte de, por exemplo, um ponto onde f(t₀, X₀) > 0, verificamos o sinal de f a cada iteração do Runge-Kutta até pararmos quando f(t₀, X₀) < 0.

• A hipersuperfície espacial S passa por uma transformação para torná-la compacta. Essa compactificação, definida em ℝ, é feita com aplicação de uma função inversível, contínua e limitada, sendo no nosso caso escolhido o arco tangente.

• A partir dos pontos x₁ e x₂, traçamos retas com inclinação de 45° a fim de encontrar a interseção dessas retas (Figura 3b), ou seja, encontrar as coordenadas correspondentes (y₀, x₀) do ponto num diagrama conforme. Essa correspondência pode ser estendida a quaisquer outros pontos do espaço-tempo cobertos pelas coordenadas originais.

Tal algoritmo funciona para a obtenção dos diagramas causais porque a construção transforma todas as geodésicas nulas em retas com inclinação de ±45°.

Todas estas etapas foram empregadas em um programa escrito com a linguagem computacional GNU Octave [¹¹].

Se S é uma superfície de Cauchy do espaço-tempo, ou seja, uma superfície acronal tal que a união dos domínios de dependência futuro e passado D⁺(S) e D⁻(S) corresponde a 𝒟 (ver [²]), o diagrama causal assim construído cobrirá todo os eventos do espaço-tempo. Caso S não seja uma superfície de Cauchy, o diagrama construído cobrirá apenas o conjunto D⁺(S)∪D⁻(S), que corresponderá a uma região do espaço-tempo considerado. Caso S não seja do tipo espaço em toda a parte, o algoritmo permanece válido, mas é necessário fazer adaptações: trechos nulos devem ser mapeados em retas com inclinação de 45° e trechos do tipo tempo devem ser mapeados em curvas cujo vetor tangente tenha uma inclinação superior a 45°. Também é necessário que S contenha ao menos um par de pontos distintos ligados por uma curva do tipo espaço para que D⁺(S)∪D⁻(S) seja não vazio.

4. Aplicações

4.1. Métrica de Schwarzschild

Desejamos aplicar o algoritmo descrito na seção 3 para desenhar numericamente um diagrama conforme do espaço-tempo de Schwarzschild. No entanto, as coordenadas usuais de Schwarzschild, segundo a equação (2), apenas descrevem corretamente os eventos na região 2M < r < ∞, pois a métrica é singular sobre o horizonte de eventos localizado em r = 2M. Não podemos passar continuamente para a região 0 < r < 2M. Para uma descrição correta de trajetórias e hipersuperfícies que têm partes na região exterior (r > 2M) e na região interior (r < 2M), é necessário um sistema de coordenadas que descreva continuamente as duas regiões, como as coordenadas de Kruskal supracitadas. Outra alternativa para contornar a singularidade de coordenadas presente na métrica de Schwarzschild é o sistema de coordenadas de Eddington–Finkelstein. Neste, encontramos duas diferentes especificações: uma cujo tempo é avançado e onde definimos v = t + r*; outra cujo tempo é retardado e onde definimos u = t − r*, sendo em ambas:

(4) $$r^{*}=r+2M\ln \left|\frac{r}{2M}-1\right|.$$

Disto, obtemos respectivamente para v e u:

(5) $$\text{d}{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm{}\text{d}{v}^2+2\text{d}v\text{d}r+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2,$$

(6) $$\text{d}{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm{}\text{d}{u}^2-2\text{d}u\text{d}r+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2.$$

Portanto, a fim de construir um diagrama causal numérico do espaço-tempo de Schwarzschild, utilizaremos as coordenadas de Eddington–Finkelstein. Desta forma, poderemos descrever continuamente as regiões no interior e no exterior do horizonte de eventos.

Como ponto de partida, definimos as hipersuperfícies nos dois diferentes sistemas de coordenadas de Eddington-Finkelstein por f(v, r) = v − r* e f(u, r) = u + r*. Tal escolha é conveniente, pois equivale a f(t, r) = t na região descrita pelas coordenadas de Schwarzschild, equação (2).

No entanto, a hipersuperfície escolhida não é uma superfície de Cauchy do espaço-tempo de Schwarzschild, considerando sua extensão geodésica máxima descrita na Figura 2. Por isto, o diagrama que obteremos não cobrirá as quatro regiões que o compõe, tendo como fronteira a parte da hipersuperfície que está na região interior ao horizonte de eventos. Nesta região trata-se de uma curva do tipo tempo e a associamos ao eixo y na construção do diagrama.

As equações diferenciais que definem as geodésicas nulas, em coordenadas de Eddington–Finkelstein de tempo avançado v, são dadas por:

(7) $$\frac{\text{d}{r}_{+}}{\text{d}v}=+\frac{1}{2}\left(1-\frac{2M}{r}\right),$$

(8) $$\text{d}v=0.$$

Já para o tempo retardado u, as equações são:

(9) $$\text{d}u=0,$$

(10) $$\frac{\text{d}{r}_{-}}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left(1-\frac{2M}{r}\right).$$

Contudo, em ambos os pares de equações, uma das duas geodésicas é dada por equação algébrica e, neste caso, não podemos empregar o método de Runge-Kutta de 4a Ordem para resolvê-la. Como alternativa, optamos por encontrar o ponto de cruzamento desta constante com a superfície espacial através do Método de Newton–Raphson [¹²].

A partir disso, foi construído o diagrama causal do espaço-tempo de Schwarzschild em coordenadas de Eddington–Finkelstein (Figura 4). Representamos no diagrama as curvas de r constante. As curvas em preto e verde correspondem à região do espaço em que r > 2M. Essas curvas foram construídas tanto com coordenadas de tempo avançado (preto) quanto com coordenadas de tempo retardado (verde), e a análise do diagrama nos demonstra semelhança entre ambas nesta região. Entretanto, quando r < 2M essa correspondência não é preservada, as curvas estão em regiões diferentes no diagrama causal, sendo aquelas em vermelho oriundas do tempo avançado e aquelas em azul oriundas do tempo retardado.

Figura 4
Diagrama causal numérico do espaço-tempo de Schwarzschild em coordenadas de Eddington-Finkelstein. A grade é construída com trajetórias nulas a fim de indicar os cones de luz.

Vale ressaltar que para a região exterior ao horizonte de eventos a hipersuperfície S está projetada na abscissa, enquanto que em seu interior está projetada na ordenada. Podemos expressar como:

$$\begin{array}{l}x=\{\begin{array}{c}\hfill \frac{\arctan (r^{*})}{\pi }+\frac{1}{2},\text{se}\mathrm{}r\mathrm{}\text{> 2M}\hfill \\ \hfill 0,\text{se}\mathrm{}r\mathrm{}\text{< 2M}\hfill \end{array}\mathrm{}\text{e}\\ y=\{\begin{array}{c}\hfill 0,\text{se}\mathrm{}r\mathrm{}\text{> 2M}\hfill \\ \hfill \frac{1}{2}-\frac{r}{4},\text{se}\mathrm{}r\mathrm{}\text{< 2M}.\hfill \end{array}\end{array}$$

Assim, as curvas de r constante são do tipo tempo (ds² < 0) na região onde r > 2M e, no entanto, são do tipo espaço (ds² > 0) em r < 2M, ultrapassando o horizonte de eventos. Essa transição do tipo de curva entre as regiões exteriores e interiores aos buracos negro e branco é o que caracteriza o espaço-tempo de Schwarzschild.

Ultrapassando o horizonte de eventos (r = 2M) para onde as curvas estão em vermelho, temos as coordenadas de tempo avançado cobrindo uma região inescapável. Isto porque todos os cones futuros dos eventos nesta região terminam na singularidade central do buraco negro de Schwarzschild. Seguindo para onde as curvas estão em azul, temos as coordenadas de tempo retardado cobrindo a região interior ao horizonte de eventos de um buraco branco⁵.

Comparando o diagrama analítico na Figura 2 com o diagrama obtido numericamente na Figura 4, notamos algumas diferenças, mas que se devem ao fato de que os diagramas causais não são únicos. O que todos os diagramas causais do mesmo espaço-tempo têm em comum é a estrutura causal, ou seja, as curvas do tipo luz com inclinação de 45° e todas as relações causais entre os pares de eventos – se um está no passado ou no presente do outro ou se a separação é do tipo espaço – preservadas. Com isso, vemos que os diagramas são compatíveis, mostrando horizontes do tipo luz em r = 2M, que separam as regiões onde as curvas de r constante são do tipo tempo daquelas em que tais curvas são do tipo espaço. Também podemos observar que os infinitos são do tipo luz (inclinação de 45°) e a singularidade central (r = 0) é do tipo espaço.

4.2. Modelo FLRW

Indo além da solução de Schwarzschild, é também muito frutífera a análise da métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. Trata-se de um modelo cosmológico que descreve um espaço-tempo em expansão (ou contração), homogêneo e isotrópico. Seu elemento de linha é dado por

(11) $$\text{d}{s}^2=-\text{d}{t}^2+a{(t)}^2\left[{\displaystyle \frac{\text{d}{r}^2}{1-k{r}^2}}+r^2(\text{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \text{d}{\varphi }^2)\right],$$

onde k ∈ {−1, 0, 1} é uma constante que representa a curvatura do espaço e a(t) é um fator de escala que depende do tempo.

Para construir os diagramas conformes numéricos, partimos da definição da hipersuperfície espacial em f(t, r) = t. Além disso, temos que as equações diferenciais que definem as geodésicas num espaço com curvatura zero (k = 0) no modelo FLRW são:

(12) $$\frac{\text{d}{r}_{+}}{\text{d}t}=+\frac{1}{a(t)}$$

e

(13) $$\frac{\text{d}{r}_{-}}{\text{d}t}=-\frac{1}{a(t)}.$$

Com essas equações foram construídos os diagramas das soluções correspondentes a três diferentes funções do fator escala a(t): $a_1(t)=t^{\frac{1}{2}}$, $a_2(t)=t^{\frac{2}{3}}$ e a₃(t) = e^t.

No modelo FLRW, as diferentes funções para o fator de escala a caracterizam diferentes versões de expansão do universo. Na Figura 5a, onde $a_1=t^{\frac{1}{2}}$, temos um universo dominado por radiação que tem seu início em uma singularidade física com a = 0 num momento t = 0, denominado por Big Bang. Já na Figura 5b, onde $a_2=t^{\frac{2}{3}}$, temos um universo dominado por matéria que é similar ao primeiro, retratando também o Big Bang. Por fim, na Figura 5c, onde a₃ =e^t, temos um universo dominado por energia escura (ou vácuo) que não possui um momento onde a se anula e a densidade se torna infinita.

Figura 5
Comparação entre diagramas causais numéricos de três modelos FLRW. O diagrama (a) corresponde ao fator de escala $a_1(t)=t^{\frac{1}{2}}$, (b) ao fator de escala $a_2(t)=t^{\frac{2}{3}}$ e (c) ao fator de escala a₃(t) = e^t. A grade é construída com trajetórias nulas a fim de indicar os cones de luz.

Todos os diagramas exibidos na Figura 5 apresentam linhas de espaço constante e linhas de tempo constante. As três soluções são interpretadas em um conjunto com ordem cronológica e dadas como eras da expansão do universo, sendo a da radiação a primeira era, a da matéria a intermediária e a da energia escura a final.

Como podemos observar, os três diagramas apresentam um infinito espacial i⁰ à direita, que corresponde ao espaço infinito real, e uma reta limite vertical à esquerda, uma singularidade de coordenadas (r = 0). Nota-se também que para os dois primeiros diagramas a métrica é indefinida em t ≤ 0, enquanto que no terceiro diagrama a métrica está bem definida em todos os números reais, com −∞ < t < ∞. Além do mais, entre os diagramas há divergência quanto ao limite futuro ℐ⁺, que é do tipo luz para os dois primeiros e do tipo espaço para o terceiro.

Devemos, contudo, ressaltar o fato de que no diagrama da Figura 5c o limite onde as curvas terminam é na realidade um limite de coordenadas – a especificação ℐ⁻ foi atribuída com base no apresentado em [¹⁷]. Em outras palavras, esse limite corresponde ao final das coordenadas ao invés de ao final do espaço-tempo e trajetórias de eventos descritas nesse sistema são finitas no passado. Este é um caso em que S não é uma superfície de Cauchy. Existem sistemas de coordenadas alternativos que cobrem um passado completo, que pode ser visto também na referência [¹⁷], onde se demonstra que este espaço-tempo corresponde a uma solução de De Sitter.

5. Conclusões

Construímos numericamente diagramas causais da métrica de Schwarzschild e FLRW através de um algoritmo simples, utilizando-nos apenas de técnicas de cálculo numérico acessíveis a um estudante de graduação em ciências exatas, o método de Runge-Kutta de 4° ordem e o método de Newton-Raphson, além de algumas noções básicas de cinemática relativística. Tal método pode ser útil no ensino de Relatividade Geral para estudantes de graduação, pois oferece um caminho para a interpretação de soluções analíticas sem entrar nas complicações da geometria diferencial e nem da busca por transformações de coordenadas convenientes.

Para o caso específico da métrica de Schwarzschild, é possível que haja uma escolha de coordenadas ainda mais conveniente do que as coordenadas de Eddington-Finkesltein, como as coordenadas de Painlevé-Gullstrand [¹⁸], o que seria uma continuação interessante para este trabalho. As coordenadas de Eddington-Finkelstein têm a propriedade inconveniente – para os nossos fins – de que sempre uma das equações das geodésicas nulas radiais é algébrica, o que implica escrever um código diferente para resolver cada direção de geodésica.

O algoritmo que utilizamos não só é útil como ferramenta didática, como também tem aplicação na pesquisa em Relatividade Geral, sendo usado para soluções onde as transformações coordenadas que tornam a métrica (reduzida a duas dimensões) conformemente plana não podem ser representadas analiticamente, como na solução de McVittie e variações [³–⁶]. Ou seja, tal método têm o mérito adicional de aproximar os estudantes de trabalhos científicos recentes de vanguarda em Relatividade Geral.

Agradecimentos

Agradecemos ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e ao Comitê de Programas de Iniciação Científica da Universidade Federal do ABC pelo apoio no desenvolvimento deste trabalho, por meio dos Editais 03/2019 e 01/2020. Incluímos em nosso agradecimento o ambiente acadêmico e o suporte institucional oferecidos pela UFABC, que foram bons incentivadores. Também agradecemos pelas sugestões e comentários recebidos durante o processo de avaliação, que contribuíram para o aprimoramento deste trabalho.

Material Suplementar

O seguinte material suplementar está disponível online:

Apêndice A

Diagrama conforme numérico Schwarzschild.

Disponibilidade de Dados

Não há dados disponíveis publicamente que sustentem os resultados deste estudo. Contudo, consideramos que as informações apresentadas ao longo do artigo são suficientes para assegurar a compreensão e a reprodutibilidade dos resultados.

Referências

• ^[1] A. Maciel, Phys. Rev. D 93, 104013 (2016).
• ^[2] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley, São Francisco, 2004).
• ^[3] K. Lake e M. Abdelqader, Phys. Rev. D 84, 044045 (2011).
• ^[4] A.M. Silva, M. Fontanini e D.C. Guariento, Phys. Rev. D 87, 064030 (2013).
• ^[5] A. Maciel, D.C. Guariento e C. Molina, Phys. Rev. D 91, 084043 (2015).
• ^[6] D.C. Guariento, A. Maciel, M.M.C. Mello e V.T. Zanchin, Phys. Rev. D 100, 104050 (2019).
• ^[7] R. Resnick, Introdução à Relatividade Especial (Ed. Universidade de São Paulo/São Paulo e Ed. Polígon/São Paulo, 1971).
• ^[8] H. Ohanian, Gravitation and Spacetime (W.W. Norton and Co., New York, 1976), 1 ed.
• ^[9] B. Schutz, A First Course in General Relativity (Cambridge University Press, Cambridge, 2009), 2 ed.
• ^[10] C.H. Coimbra-Araújo, Rev. Bras. Ensino Fís. 38, e3305 (2016).
• ^[11] J.W. Eaton, D. Bateman, S. Hauberg e R. Wehbring, GNU Octave Free Your Numbers, disponível em: https://docs.octave.org/octave-5.2.0.pdf, acessado em: 18/06/2025.
  » https://docs.octave.org/octave-5.2.0.pdf
• ^[12] R.L. Burden, J.D. Faires e A.M. Burden, Análise Numérica (Cengage Learning, São Paulo, 2011), 9 ed.
• ^[13] M.A.G. Ruggiero e V.L.R. Lopes, Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais (Makron Books, São Paulo, 1996), v. 1.
• ^[14] G. Barrato, Soluções de Equações Diferenciais Ordinárias Usando Métodos Numéricos, disponível em: https://www-usr.inf.ufsm.br/~gbaratto/graduacao/ELC1021/atual/textos/EDO/solucao_EDO_pelos_metodos_Euler_Runge-Kutta.pdf, acessado em: 18/06/2025.
  » https://www-usr.inf.ufsm.br/~gbaratto/graduacao/ELC1021/atual/textos/EDO/solucao_EDO_pelos_metodos_Euler_Runge-Kutta.pdf
• ^[15] D. Sperandio, J.T. Mendes e L.H.M. Silva, Cálculo Numérico: características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos (Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2003), v. 1.
• ^[16] S. Chapra, Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB para Engenheiros e Cientistas (AMGH, Porto Alegre, 2013).
• ^[17] S. Hawking e G. Ellis, The Large Scale Structure of Space–Time (Cambridge University Press, Cambridge, 1973)
• ^[18] K. Martel e E. Poisson, Am. J. Phys. 69, 476 (2001).

• 1
  Para obtermos a massa em quilogramas, multiplicamos a massa dada em unidades naturais pelo fator $\frac{c^2}{G}\approx 1,35\times {10}^{27}$ [kg/m].
• 2
  Uma métrica é considerada conformemente plana se ela pode ser expressa como o produto de uma métrica plana por uma função. Um exemplo é a métrica de Schwarzschild em coordenadas de Kruskal, equação (3), desconsiderando a parte angular.
• 3
  Em Relatividade Geral, um observador é representado por uma linha de mundo do tipo tempo, que descreve a “história” de uma partícula no espaço-tempo.
• 4
  Essa condição não é necessária, entretanto essa escolha simplifica o algoritmo ao facilitar a representação de S sobre a abcissa no diagrama conforme final. Demonstraremos essa afirmação construindo também o diagrama conforme a partir de outro tipo de hipersuperfície.
• 5
  Chamamos de buraco branco a região do diagrama de Schwarzschild equivalente a um buraco negro, mas com o sentido do tempo invertido. Assim como o buraco negro, é uma solução de vácuo legítima das equações de Einstein.

Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  01 Ago 2025
• Data do Fascículo
  2025

Histórico

• Recebido
  15 Out 2024
• Revisado
  03 Maio 2025
• Aceito
  06 Jan 2025