A theoretical model for calculating the proton radius

Measuring the proton radius provides information about its internal structure, therefore measurements using different methods have been carried out throughout history. However, in 2010 a new measure that differs 4% from the previous ones generated the so-called proton radius puzzle, refering to the fact that no apparent explanation has been found to explain why such measures differ. Observing that the current proton radius calculations are based on experimental data, this article aims to put forward a simplified theoretical model, being based on the potential energies of the perturbative QCD. Although approximate, the model amounts to 0.817 fm, which differs by 2,9% from the current value considered by CODATA. Therefore, this work seeks to contribute with a didactical formulation to the proton radius problem and the understanding of the fundamental interactions of matter.

Keywords
Potential energies of QCD; quarks; proton form factor

Authorship

Renata Krupczak ^** Endereço de correspondência: renatakrupczak@gmail.com

Universidade Federal do Paraná, Departamento de Física, Curitiba, PR, Brasil.Universidade Federal do ParanáBrasilCuritiba, PR, BrasilUniversidade Federal do Paraná, Departamento de Física, Curitiba, PR, Brasil.

http://orcid.org/0000-0002-8867-9702

César Augusto Dartora

Universidade Federal do Paraná, Departamento de Engenharia Elétrica, Curitiba, PR BrasilUniversidade Federal do ParanáBrasilCuritiba, PR, BrasilUniversidade Federal do Paraná, Departamento de Engenharia Elétrica, Curitiba, PR Brasil

http://orcid.org/0000-0001-5110-5214

* Endereço de correspondência: renatakrupczak@gmail.com

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Figura 1
Representação dos valores experimentais do raio do próton e suas barras de erro, em que é possível perceber os dois diferentes grupos de valores. Cada ponto é identificado com o primeiro autor do artigo e o ano de publicação, os dados completos da montagem experimental podem ser consultados nas referências [⁴4. I. Sick, Physics Letters B 576, 62 (2003)., ⁵5. H. Fleurbaey, S. Galtier, S. Thomas, M. Bonnaud, L. Julien, F. Biraben, F. Nez, M. Abgrall e J. Guéna, Physical Review Letters 120, 183001 (2018)., ⁶6. R. Pohl, A. Antognini, F. Nez, F.D. Amaro, F. Biraben, J.M.R. Cardoso, D.S. Covita, A. Dax, S. Dhawan, L.M.P. Fernandes et al., Nature 466, 213 (2010)., ⁸8. A. Beyer, L. Maisenbacher, A. Matveev, R. Pohl, K. Khabarova, A. Grinin, T. Lamour, D.C. Yost, T.W. Hänsch, N. Kolachevsky et al., Science 358, 79 (2017)., ⁹9. N. Bezginov, T. Valdez, M. Horbatsch, A. Marsman, A.C. Vutha e E.A. Hessels, Science 365, 1007 (2019)., ¹⁰10. W. Xiong, A. Gasparian, H. Gao, D. Dutta, M. Khandaker, N. Liyanage, E. Pasyuk, C. Peng, X. Bai, L. Ye et al., Nature 575, 147 (2019)., ¹¹11. A. Antognini, F. Nez, K. Schuhmann, F.D. Amaro, F. Biraben, J.M.R. Cardoso, D.S. Covita, A. Dax, S. Dhawan, M. Diepold et al., Science 339, 417 (2013)., ¹²12. J.C. Bernauer, Physical Review Letters 105, 242001 (2010)., ¹³13. X. Zhan, Physics Letters B 705, 59 (2011).. A duas linhas tracejadas formam um intervalo à direita e um à esquerda, que representam a média dos valores máximos e mínimos das medidas selecionadas.

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Figura 2
Representação esquemática da posição dos quarks dentro do próton de raio R_p. Os círculos tracejados representam as possíveis regiões de probabilidade para localização do quark, como simplificação propõe-se que os quarks estão localizados exatamente no centro deste círculo de raio R = R_p/2. O cone equilátero central (lado medindo r) representa a área de ligação dos três quarks.

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Figura 3
Gráfico da energia potencial em função do raio do próton

U_{p} = 0, 3341 / R_{p} + \frac{1}{2} R_{p}

, nas unidades adequadas. No gráfico maior percebe-se o comportamento da função energia potencial do próton, já o gráfico do lado superior direito focaliza no ponto de equilíbrio, demonstrando que a função possui um ponto de mínimo, o qual corresponde ao raio do próton R_p = 0,817 fm. A linha tracejada indica a energia correspondente ao ponto de mínimo, a qual vale 0, 81744 GeV.

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Figura 1 Representação dos valores experimentais do raio do próton e suas barras de erro, em que é possível perceber os dois diferentes grupos de valores. Cada ponto é identificado com o primeiro autor do artigo e o ano de publicação, os dados completos da montagem experimental podem ser consultados nas referências [⁴4. I. Sick, Physics Letters B 576, 62 (2003)., ⁵5. H. Fleurbaey, S. Galtier, S. Thomas, M. Bonnaud, L. Julien, F. Biraben, F. Nez, M. Abgrall e J. Guéna, Physical Review Letters 120, 183001 (2018)., ⁶6. R. Pohl, A. Antognini, F. Nez, F.D. Amaro, F. Biraben, J.M.R. Cardoso, D.S. Covita, A. Dax, S. Dhawan, L.M.P. Fernandes et al., Nature 466, 213 (2010)., ⁸8. A. Beyer, L. Maisenbacher, A. Matveev, R. Pohl, K. Khabarova, A. Grinin, T. Lamour, D.C. Yost, T.W. Hänsch, N. Kolachevsky et al., Science 358, 79 (2017)., ⁹9. N. Bezginov, T. Valdez, M. Horbatsch, A. Marsman, A.C. Vutha e E.A. Hessels, Science 365, 1007 (2019)., ¹⁰10. W. Xiong, A. Gasparian, H. Gao, D. Dutta, M. Khandaker, N. Liyanage, E. Pasyuk, C. Peng, X. Bai, L. Ye et al., Nature 575, 147 (2019)., ¹¹11. A. Antognini, F. Nez, K. Schuhmann, F.D. Amaro, F. Biraben, J.M.R. Cardoso, D.S. Covita, A. Dax, S. Dhawan, M. Diepold et al., Science 339, 417 (2013)., ¹²12. J.C. Bernauer, Physical Review Letters 105, 242001 (2010)., ¹³13. X. Zhan, Physics Letters B 705, 59 (2011).. A duas linhas tracejadas formam um intervalo à direita e um à esquerda, que representam a média dos valores máximos e mínimos das medidas selecionadas.

Figura 2 Representação esquemática da posição dos quarks dentro do próton de raio R_p. Os círculos tracejados representam as possíveis regiões de probabilidade para localização do quark, como simplificação propõe-se que os quarks estão localizados exatamente no centro deste círculo de raio R = R_p/2. O cone equilátero central (lado medindo r) representa a área de ligação dos três quarks.

Figura 3 Gráfico da energia potencial em função do raio do próton $U_{p} = 0, 3341 / R_{p} + \frac{1}{2} R_{p}$ , nas unidades adequadas. No gráfico maior percebe-se o comportamento da função energia potencial do próton, já o gráfico do lado superior direito focaliza no ponto de equilíbrio, demonstrando que a função possui um ponto de mínimo, o qual corresponde ao raio do próton R_p = 0,817 fm. A linha tracejada indica a energia correspondente ao ponto de mínimo, a qual vale 0, 81744 GeV.

(1)

\left\langle r_{p}^{2}\right\rangle=6\frac{dG_{p}(Q^{2})}{dQ^{2}}\Bigg{|}_{Q^{% 2}=0},

(2)

U_{QED}=Q_{1}Q_{2}\frac{\alpha\hbar c}{r},

(3)

U_{QCD}=f\frac{\alpha_{s}\hbar c}{r}.

(4)

U_{conf}=kr,

(5)

U_{vacuo}=\frac{4}{3}\pi r^{3}B=2\frac{\alpha_{s}\hbar c}{r}.

(6)

U_{QCD}=-2\frac{\alpha_{s}\hbar c}{r}=-\frac{4}{\sqrt{3}}\frac{\alpha_{s}\hbar c% }{R_{p}}.

(7)

U_{conf}=kR=\frac{kR_{p}}{2},

(8)

U_{vacuo}=2\frac{\alpha_{s}\hbar c}{R}=4\frac{\alpha_{s}\hbar c}{R_{p}}.

(9)

U_{p}=4\frac{\alpha_{s}\hbar c}{R_{p}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\frac{% k}{2}R_{p}.

(10)

R_{p}=\sqrt{\frac{8\alpha_{s}\hbar c}{k}(1-1/\sqrt{3})}\simeq 8,17\times 10^{-% 16}{\rm m},

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