Teorema de Van der Pauw

Van der Pauw theorem

ARTIGOS GERAIS

Teorema de Van der Pauw

Van der Pauw theorem

Renê Robert^I,1; Sergio M. Berleze^II

^IDepartamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, PR, Brasil

^IIDepartamento de Física, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, PR, Brasil

RESUMO

O objetivo deste trabalho é mostrar o uso do teorema de van der Pauw e sua dedução. Este teorema permite determinar a condutividade elétrica de placas planas com perímetros arbitrários, espessura uniforme e quatro contatos sobre a periferia.

Palavras-chave: teorema de van der Pauw, condutividade elétrica.

ABSTRACT

The goal of this work is to show the use of the van der Pauw theorem and its deduction. This theorem allows to determine the electric conductivity of flat plates with arbitrary perimeters, uniform thickness and four contacts on the periphery.

Keywords: van der Pauw theorem, electrical conductivity.

1. Introdução

A medida da condutividade elétrica de um condutor normalmente é realizada utilizando-se a lei de Ohm. Por exemplo, para um condutor retilíneo de seção transversal circular uniforme a condutividade elétrica é dada por s = , onde R é a resistência elétrica, S a seção transversal e o comprimento. O principal obstáculo nesta medida são as resistências de contato nas faces terminais a qual é indefinida e incontrolável. Esta foi a razão pela qual Thomson substituiu a ponte de Wheatstone por uma ponte de circuito mais elaborado.

Em 1958 L.J. van der Pauw [1, 2] deduziu uma expressão que permite medir a condutividade s de um filme condutor de espessura uniforme h (ou a condutividade de um eletrólito espalhado sobre a superfície de um vaso de fundo plano horizontal com espessura uniforme h). Esta expressão recebeu o nome de teorema de van der Pauw, o qual é dado por

onde R_AB,CD = e R_BC,DA = , são chamadas resistências de transferência e definidas, por exemplo, como a relação entre a diferença de potencial entre os nós D e C e a corrente entre os nós A e B da Fig. 1. A corrente entra na amostra pelo contato A e deixa a amostra pelo contato B. A condutividade e o efeito Hall podem ser medidos desde que o contorno da amostra onde estão localizados os pontos A, B, C e D tenha forma arbitrária e satisfaça as seguintes condições:

a) Os contatos estão localizados na circunferência da amostra.

b) Os contatos são suficientemente pequenos.

c) A amostra é homogênea em espessura.

d) A superfície da amostra é simplesmente conexa, isto é, a amostra não tem furos isolados.

Segundo H.B.G. Casimir, quando diretor do laboratório de pesquisas da Philips, o teorema de van der Pauw é um exemplo de como uma técnica pouco sofisticada de matemática pode fornecer um resultado extremamente prático.

2. Teoria

Para provar a Eq. ( 1), mostraremos que ela vale para uma particular forma da amostra. Sendo válida para esta particular forma ela vale para qualquer outra forma, tendo em vista as propriedades da teoria das transformações conforme Bewley [3], ou seja, as resistências são invariantes sob a transformação conforme. Para a particular forma escolheremos um semi-plano infinito com contato nos pontos P, Q, R e S ao longo do contorno (Fig. 2). É sempre possível achar uma função analítica t(z) tal que o semi-plano superior tenha como imagem a amostra no plano complexo t. Em particular os pontos A, B, C e D no plano complexo t têm como imagem os pontos P, Q, R e S no plano complexo z.

Seja w = ln() = u + iv onde z = x + iy e w = u + iv e A uma constante. Expressando z± em coordenadas polares ficamos com u = ln() e v = ln(q₂ - q₁ ).

Na Fig. 3 mostram-se as linhas de corrente v = const e as linhas equipotenciais u = const, que são famílias de círculos com parâmetros v e u, respectivamente. Então a diferença de potencial entre os pontos R e S é

De modo análogo, se a corrente for injetada pelo contato Q e retirada pelo contato R (Fig. 4), obtém-se para a diferença de potencial entre os pontos S e P a equação

Com A = , onde I é a corrente elétrica, h a espessura da amostra e s a sua condutividade elétrica. Portanto, das Eqs. (2) e (3), as resistências de transferência ficam

e

Tendo em vista que

obtém-se

a qual é a equação fundamental do teorema de van der Pauw cujo uso atualmente é bastante difundido [4, 5, 7, 8].

No caso geral não é possível determinar a condutividade elétrica s ou a resistividade elétrica r da Eq. (6), como uma função conhecida. A solução contudo pode ser obtida a partir da equação

onde f é um fator que depende somente da relação [(R_PQ,RS)/( R_QR,SP )] conforme mostra a Fig. 5, a qual é especificada pela fórmula

(vide ^{apêndice A}).

Desta forma determina-se a condutividade ou a resistividade elétrica tirando-se f da Fig. 5 e usando-se a Eq. (7).

Um caso particular é aquele quando a linha PR da Fig. 6 é uma linha de simetria da amostra e Q e S estão dispostos simetricamente com relação a linha PR, neste caso R_PQ,RS = R_QR,SP e então

O coeficiente de Hall também pode ser determinado [1, 2, 6] com esta técnica, tendo a amostra uma forma qualquer e espessura uniforme h. Mede-se a resistência R_PQ,RS sem campo de indução magnética. Aplicando um campo de indução magnética B uniforme e perpendicular à amostra mede-se novamente a resistência R_PQ,RS . A variação de resistência DR_PQ,RS permite calcular o coeficiente de Hall R_H o qual é dado por

3. Experimento

Como exemplo experimental, determinamos a resistividade de uma placa de circuito impresso e de uma placa de cobre. As características geométricas das placas são as seguintes:

Placa de circuito impresso - h = (69±7) mm, a = 10 cm, b = 15 cm.

Placa de cobre - h = (0.212±0.004) mm, a = 9,5 cm, b = 13 cm.

Os equipamentos elétricos usados nos experimentos foram: Sensitive Digital Voltmeter Keithley 182, Calibrator Fluke 5720 e micrometro Mitutoyo 0-25 mm precisão 0,001 mm.

Os eletrodos A, B, C e D foram tomados simetricamente nas placas retangulares, soldados com solda Pb-Sn e usou-se injeção de correntes diferentes de respectivamente 1 A e 2 A. A Eq. (7) foi usada para o cálculo da resistividade das amostras. As Tabelas 1 e 2 resumem os resultados obtidos, cuja temperatura das medidas era 23 ^°C.

Com o uso da Eq. (7) e calculando o fator f usando o software Mathematica^®, obtém-se para as resistividades das amostras os seguintes valores:

Circuito impresso r = (1,899±0,003)×10^-8W m

Placa de cobre r = (2,29±0,01)×10^-8Wm.

Estes valores diferem do valor citado na literatura [9] para o cobre recozido [10] r = 1,72×10^-8Wm a temperatura de 20 ^°C. Na Fig. 7 mostra-se o perfil de cobre no circuito impresso onde se constata a não uniformidade do mesmo.

Com o objetivo de verificar se a diferença na resistividade obtida com relação à tabelada é devida a tensões mecânicas ou impurezas no cobre procedeu-se primeiramente a um recozimento térmico a temperatura de 650 ^°C durante 10 min. O cobre teve sua espessura reduzida por oxidação para (0,199±0.006) mm. O resultado obtido para a nova resistividade foi r = (2,27±0,08) × 10^-8Wm.

A análise química da placa de cobre foi realizada com a técnica de absorção atômica e forneceu os seguintes resultados (parte por milhão) em massa:

Ni - 52,58 ppm

Be - 8,40 ppm

Zn - 29,35 ppm

Al - 32,00 ppm.

Outro método, chamado método dos quatro terminais, foi usado para determinar a resistividade da chapa de cobre. A chapa de cobre usada tinha as seguintes dimensões: a = 112 mm, b = 26,5 mm e h = (0,1970±0,0019) mm. O resultado obtido foi r = (2,29±0,03)×10^-8Wm, à temperatura de 20 ^°C. A conclusão a que se chega é que a solda dos contatos, a não uniformidade da espessura e as impurezas são as causadoras da discrepância entre os valores medidos e os valores tabelados.

Outras medidas realizadas em um placa de cobre com dimensões a = 15,5 cm, b = 9,8 cm e h = (0.096±0.002) mm, porém sem uso de solda de Pb-Sn nos contatos, forneceram os seguintes resultados:

R_AB,CD = (3, 97 ± 0, 03) × 10^-5W

R_BC,DA = (4, 19 ± 0.03) × 10^-5W

Com o uso da Eq. (7) e calculando com o Mathematica^® o parâmetro f = 0.9993147 obtém-se para o valor da resistividade r = (1,78±0,01)×10^-8Wm, o que corresponde a resistividade do cobre duro. Do resultado se conclui que a solda modifica a resistividade de maneira acentuada.

Recebido em 5/9/2006; Aceito em 13/9/2006

Da Eq. (1) podemos escrever, exp( - phR'/ r) +exp( - phR"/ r) = 1 onde fizemos R' = R_AB,CD e R" = R_BC,DA . Chamando agora x = phR' e y = phR" ficamos com a equação

Multiplicando esta última equação por exp() obtém-se

Definindo o fator f como

e agora eliminando x - y obtém-se

Da Eq. (I) e tendo em vista a Eq. (II), obtém-se

Dividindo (III) por (IV) resulta

ou

que é a equação citada no texto.

• [1] L.J. van der Pauw, Philips Research Reports 13, 1 (1958).
• [2] L.J. van der Pauw, Philips Technical Review 20, 220 (1958/59).
• [3] L.V. Bewley, Two-Dimensional Fields in Electrical Engineering (Dover Publications Inc., New York, 1963).
• [4] S. Amer, Solid-State Electronics 6, 141 (1963).
• [5] P.M. Hemenger, Rev. Sci. Instruments 44, 698 (1973).
• [6] R. Chwang, B.J. Smith and C.R. Crowell, Solid-State Electronics 17, 1217 (1974).
• [7] A.I. Olayinka and A.O. Sogbetun, African Journal of Science and Technology 3, 93 (2002).
• [8] K. Polivanov, The Theory of Electromagnetic Field (Mir Publishers, Moscow, 1983), p. 143.
• [9] W.D. Callister Jr., Cięncia e Engenharia de Materiais (LTC Editora, Rio de Janeiro, 2002), p. 421, p. 551.
• [10] Siemens, Manual de Engenharia Elétrica (Livraria Nobel S.A., Săo Paulo, 1988), v. 1, p. 147.

Apêndice A 

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  15 Jun 2007
• Data do Fascículo
  2007

Histórico

• Recebido
  05 Set 2006
• Aceito
  13 Set 2006