Resumo
O tensor de momento-energia é a entidade matemática que representa de forma unificada as fontes de momento e energia no formalismo covariante, tanto em espaços planos, como em espaços curvos. Em espaços curvos o tensor de momento-energia fica conectado a curvatura do espaço-tempo via equação de campo de Einstein. O tensor de momento-energia caracteriza os campos de matéria do sistema. Por sua vez as condições de energia estabelecidas por Hawking e Ellis classificam os diversos tipos de fluidos quanto a atratividade/repulsividade, a causalidade, interação com o vacuo e a positividade. Tambem abordamos a conservação do tensor de momento-energia via equação Tolemam-Openhaimer-Volkov(TOV), que é um importante formalismo para o estudo de estruturas e modelos estelares. Vamos estudar o tensor momento-energia nas suas versões isotrópicas e anisotrópicas, bem como a sua conservação e relação com a constante cosmológica.
Palavras-chave:
Hidrodinâmica; Fluidos Relativísticos
Abstract
The energy-momentum tensor is the mathematical entity that represents the sources of momentum and energy in a covariant formalism, both in flat and curved spaces. In curved spaces the energy-momentum tensor is connected tBo the space-time curvature via the Einstein field equation. The energy-momentum tensor characterizes the matter fields of the system. In turn, the energy conditions established by Hawking and Ellis classify the various types of fluids according to their attractiveness/repulsiveness, causality, interaction with the vacuum and positivity. We also address the conservation of the energy-momentum tensor via the Tolemam-Openhaimer-Volkov (TOV) equation, which is an important formalism for the study of stellar structures and models. We will study the energy-momentum tensor in its isotropic and anisotropic versions, as well as its conservation and relation to the cosmological constant.
Keywords:
Hydrodynamics; Relativistic Fluids
1. Introdução
Historicamente desde a Grécia antiga, que a humanindade tem interesse pelo estudo de fluidos [1][1] V. A. Bezerra, Revista Latino americana de filosofia e história da ciência 4, 177 (2006).. Uma história muito popular e quase folclórica foi o famoso “Eureka” de Arquimedes após resolver um problema ligado ao empuxo, supostamente durante um banho de imersão.
O estudo dos fluidos e seu escoamento foi por séculos uma área de grande importância para o desenvolvimento da tecnologia, nomes como Stokes e Mach construiram conceitos matemáticos capazes de entender o movimento de fluidos, sendo extensíveis aos campos gravitacionais e eletromagnéticos [2][2] G. A. ToBkaty, A history and philosophy of fluid mechanics (Dover Publications, New York, 1994)..
O eletromagnetismo tratava os campos eletromagnéticos como fluidos, a própria idéia de corrente conservada, já continha em si a idéia de escoamento, onde o campo elétrico estaria associado ao fluxo por uma região determinada e o campo magnético associado aos vórtices em torno da corrente. As cargas seriam as fontes e os sorvedouros dos campos. Essa idéia foi incrementada com o advento da relatividade restrita, campos elétricos e magnéticos passaram a ter uma drescição unificada.
Em relatividade geral e algumas sub-áreas como cosmologia e astrofísica um dos principais debates é acerca do tipo de matéria, que está gerando o campo gravitacional. Nas equações de Einstein [3[3] L. D. Landau and E.M. Lifschitz, The Classical Theory of Fields (Pergamon Press, Oxford, 1975). [4] J. Frenel, Principios da Eletrodinâmica Clássica (EDUSP, São Paulo, 2005).–5[5] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004).] a fonte do campo é a o tensor de momento-energia o tipo de matéria é um fluido caracterizado por sua equação de estado, que seria uma limitação imposta sobre o tensor de momento-energia. Contudo até o trabalho de Hawking-Ellis [6[6] S. W. Hawking and G.F.R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time (Cambridge University Press, Cambridge, 1973)., 7[7] C. S. Santos, Condições de Energia de Hawking-Ellis e as equações de Raychaudhury. Tese de Doutorado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro (2011).] não havia qualquer limitação às equações de estado. Hawnking-Ellis introduziram as chamadas condições de energia que são imposições sobre o tensor de momento-energia quanto a propagação do fluido por ele descrito. Estudar essas condições de energia é hoje uma tarefa importante para pesquisadores, que trabalham com inflação [8][8] A. R. Liddle, arXiv:astro-ph/9901124v1 (1999)., estrelas estranhas [9][9] M. Kalam, F. Rahaman, S. Ray, S.K.M. Hossein, I. Karar and J.Naskar, arXiv:1201.5234 (2012)., energia escura, [5[5] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004)., 10[10] S. M. Carroll, Living Rev. Relativ. 4, 5 (2001). [11] S. M. Carroll, arXiv:astro-ph/0107571 (2001). [12] S. M. Carroll, M. Hoffman and M.Trodden, Phys.Rev. D 68, 023509 (2003).–13[13] R. Chan, M.F.A. da Silva and J.F. Villas da Rocha, Modern Physics Letters A 24, 1137 (2009).], campos escalares [14][14] F. M. Santos, Fluidos Ideias em Relatividade Geral e Cosmologia. Tese de Doutorado, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória (2016)., matéria de quark [15][15] F. S. Bemfica, M.M. Disconzi and J. Noronha, Phys. Rev. D 98, 104064 (2018). e uma vasta quantidade de temas. Não existe limite para a violação das condições de energia, na verdade todas podem ser violadas, mas a violação de cada uma delas implica um tipo de fluido. O tensor de momento-energia mais simples que existe é o chamado tensor de poeira, que se trata de um fluido não interagente. Assim cada interação requer um termo a mais. A introdução de um termo proporcional à métrica implica energia do vácuo [5[5] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004)., 10[10] S. M. Carroll, Living Rev. Relativ. 4, 5 (2001).], propriedades de anisotropia implicam uma quadrivelicdade com componente radial, porém sem quebra da simetria esférica, em geral esta é associada a introdução de campos eletromagnéticos [16][16] N. K. Glendenning, Compact Stars: Nuclear Physics, Particle Physics, and General Relativity (Springer Verlag, New York, 1997).. Todos estes tipos de tensores de fluido relativístico ideal, obedecem à conservação de momento e energia, derivada da simetria de Bianchi do tensor de Einstein. Essa simetria é importante no estudo de fluidos que compõem estrelas, sendo uma das mais ativas áreas da astrofísica atualmente [17][17] H. Rodrigues, S.B. Duarte and J.C.T. Oliveira, The Astrophysical Journal 30, 1 (2011)..
Propriedades de superfluidos têm sido observada [18][18] G. E. Volovik, Phys.Rept. 351 195 (2001). em sistemas gravitacionais, o que levou ao surgimento de uma nova área de pesquisa que seria o estudo da estrutura causal da propagação de ondas em colóides, com o intuito de gerar analogias à estrutura causal em campos gravitacionais de objetos colapsados [19][19] R. Dey, S. Liberati and R. Turcati, Phys. Rev. D 94, 104068 (2016).. O trabalho está dividido da seguinte forma: Seção 2: Estudamos os campos eletromagnéticos como fluidos, explicando as relações com vórtices e escoamentos. Seção 3: Deduzimos o tensor de Maxewell, aprofundando as propriedades de fluidos e observando a equação da continuidade. Seção 4: Construímos o tensor de de momento-energia associado ao campo eletromagnético. Seção 5: O tensor de momento-energia é estudado como formalismo para descrever um fluido ideal, as restrições às equações de estado associadas às condições de energia são estabelecidas. Estudamos ainda a conservação do tensor de momento-energia para uma métrica genérica e para um objeto esférico. Seção 6: Estudamos um tensor de momento-energia com propriedade de anisotropia, estudamos as condições de energia associadas a esse tipo de fluido e demonstramos a conservação do tensor de momento-energia anisotrópico Seção 7: É construido um tensor de momento-energia associado a constante cosmológica e estudada a sua conservação.
2. A eletrodinâmica como uma teoria de fluido
Os experimentos originais do eletromagnetismo concebiam a corrente como um fluido de portadores de carga, que se propagava pelos condutores. A própria idéia de campos também trazia em seu cerne o conceito de fluido, sendo o caso do campo elétrico um fluido, o fluxo era calculado pela lei de Gauss
e carga . Vórtices associados a esse fluido são descritos pela lei de Faraday
onde o campo magnético é associado à propriedade de circulação do fluido. Além disso divergente do campo magnético é nulo
que mostra a inexistência de fontes magnéticas (monopolos), completando a simetria entre os campos, temos a lei de Ampere-Maxwell
sendo a corrente de deslocamento descoberta por Maxwell. Na ausência de fontes , temos
Portanto o vórtice de um campo elétrico implica na variação temporal do campo magnético, assim como o vórtice magnético implica na variação temporal do campo elétrico. Aplicando o rotacional em (8), temos:
logo vemos, a equação de onda para o campo magnético, podemos da mesma forma deduzir para o campo elétrico aplicando o rotacional na equação (6)
Embora os campos sejam similares a fluidos, a onda eletromagnética não se propaga em nenhum meio, essa foi uma das maiores revoluções da ciência, pois colocou fim a ideia do éter luminífero , que mais tarde a experiência de Michelson-Morley demonstrou não existir.
3. O Tensor de Maxwell
Podemos definir os campos auxiliares, chamados potenciais eletromagnéticos e . Em seguida escrevemos os campos elétrico e magnético em termos dos potenciais,
Esses potenciais tem um papel importante por exemplo no efeito Aharonov-Bohm. Podemos unificar os campos e contruir o formalismo tensorial. Definimos então o quadrivetor potencial
onde , e , são as componentes do vetor potencial, unificando tambem as derivadas . Devemos notar que os índices subscritos e sobrescritos se referem à propriedades de transformação de coordenadas, tais propriedades são conhecidas como contravariância e covariância respectivamente. A relação entre essas quantidades é dada pelo tensor métrico que é definido pelo produto escalar da base de um determinado espaço. Podemos definir o tensor de Maxwell
Explicitamente escrevemos, usando i = 1,2,3:
Escrevemos finalmente a matriz associada ao tensor Maxwell
Conhecendo a equação da continuidade
onde são a densidade de corrente vetorial e a carga, podemos generalizar essa corrente (18) usando a equação da continuidade (18)
temos então a quadridivergencia da quadri-corrente . Se agimos com o operador derivada no tensor de Maxwell
de forma mais explicita, se agimos , e ainda, onde .
4. Tensor de momento-energia: fluido relativistico
Vamos definir a ação seguindo [3][3] L. D. Landau and E.M. Lifschitz, The Classical Theory of Fields (Pergamon Press, Oxford, 1975).
onde, são variáveis generalizadas.
Minimizando a ação (22)
o segundo termo se anula sobre a integração em todo o espaço. Podemos então escrever a equação do movimento como
aqui assumimos a soma sobre indices repetidos. Seguindo agora um procedimento similiar ao usado para verificar a conservação da energia
substituindo na equação de movimento , considerando que , temos:
usando a seguinte propriedade
O tensor de momento-energia em termos das variáveis canônica é:
Seguindo esta forma do tensor de momento-energia, o mais simples [3[3] L. D. Landau and E.M. Lifschitz, The Classical Theory of Fields (Pergamon Press, Oxford, 1975). [4] J. Frenel, Principios da Eletrodinâmica Clássica (EDUSP, São Paulo, 2005).–5[5] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004)., 10[10] S. M. Carroll, Living Rev. Relativ. 4, 5 (2001)., 11[11] S. M. Carroll, arXiv:astro-ph/0107571 (2001).]
sendo a quadri-velocidade de um observador em movimento junto com o fluido e o quadri-momentum. Usualmente especificamos as componentes do tensor de momento-energia também definimos nominalmente temos a normalização
a densidade de energia
o fluxo de energia
o tensor das tensões
aqui índices latinos limitam se a e índices gregos a . O tensor de momento-energia é uma matriz simétrica, ou seja
Relacionando o tensor de momento-energia energia momentum a estrutura cinemática da relatividade especial , temos
A conservação do tensor de energia momentum de poeira tem uma consequência fundamental,
Podemos definir a quadri-força como
A força de Lorentz é também um quadri-vetor
pela lei de Newton chegamos a
substituindo (38) em (35), temos
a quadri-corrente pode ser escrita como , ficamos então:
pela equação (20) chegamos que a
usando as propriedades da derivada do produto
e evocando a propriedade de simetria
temos
logo
Finalmente o tensor de momento-energia para o campo eletromagnético é
operando com , verificamos facilmente que o traço desse tensor eletromagnético é nulo. Matricialmente escrevemos o tensor de momento-energia como
Sabendo da propriedade de anti-simetria do tensor de Maxwell , facilmente verificavel em (17), aplicando essa mesma propriedade em (48) notamos que . As componentes com formam o chamado tensor das tensões. Já as componentes
deotam o vetor de Poyting que é a densidade direcional de propagação de energia.
5. Fluido isotrópico
Inspirados em (27) definimos o tensor de momento-energia de um fluido ideal o mais geral possivel (sem anisotropia) [5[5] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004)., 10[10] S. M. Carroll, Living Rev. Relativ. 4, 5 (2001)., 11[11] S. M. Carroll, arXiv:astro-ph/0107571 (2001).] como
O traço do tensor de energia momento é
e a fonte de densidade de energia é dada por
Podemos definir o projetor . Assim achamos a pressão
O tensor de momento-energia pode ser reenscrito em termos do projetor como
Temos ainda os casos de um tensor de momento-energia , que é chamado de tensor de momento-energia de poeira, neste caso temos pressão p = 0, e um fluido de radiação é descrito neste caso temos equação de estado . Definimos então o fator bariotrópico
onde esse fator constante assume valores de acordo com o tipo de matéria [5][5] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004)..
Nenhuma imposição sobre o tensor de momento-energia é feita a priori [7[7] C. S. Santos, Condições de Energia de Hawking-Ellis e as equações de Raychaudhury. Tese de Doutorado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro (2011)., 14[14] F. M. Santos, Fluidos Ideias em Relatividade Geral e Cosmologia. Tese de Doutorado, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória (2016).]. Alguns fluidos são repulsivos, outros podem violar causalidade, ou serem ultra-relativisticos essas condições de energia classificam os fluidos quanto a estes critérios que vamos abordar a seguir (Figura 1) Seja um dado vetor tipo tempo ,,com portanto , tenhamos e para um vetor nulo ,, temos . Deduzimos disso que
As condições de energia são aplicadas a fluidos perfeitos. Representando valores possiveis de densidade de energia e pressão. [5][5] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004).
Isso implica e . Surge então a chamada condição de energia Fraca
5.1. Condição de energia fraca
Vamos analisar a condição de eneria fraca
se fazemos temos , alternativamente fazemos duas das constantes nulas, por exemplo b = c = 0 e a = 1 temos . Escrevemos então
Podemos ainda fazer , fluidos barotrópicos são conhecidos pela equação de estado , então reescrevemos a condição de energia fraca
Essa condição esta associada a causalidade do escoamento do fluido. Portanto o fluido escoa respeitando o cone de luz [12][12] S. M. Carroll, M. Hoffman and M.Trodden, Phys.Rev. D 68, 023509 (2003).. Existe uma versão mais fraca dessa condição de energia, que passamos abordar agora
5.2. Condição de energia nula
Procedendo da mesma forma que procedemos para a condição de energia fraca [10[10] S. M. Carroll, Living Rev. Relativ. 4, 5 (2001). [11] S. M. Carroll, arXiv:astro-ph/0107571 (2001).–12[12] S. M. Carroll, M. Hoffman and M.Trodden, Phys.Rev. D 68, 023509 (2003).], porém usamos vetores tipo luz, assim
onde , se fizermos então
essa condição admite densidade negativa , em casos de fluidos ultra-relativisticos, por isso Usamos vetores tipo luz.
5.3. Condição de energia dominante
Um observador com quadri-velocidade , vera uma quadri-corrente , ou seja, temos que não pode ser tipo-espaço, que é equivalente a dizer então temos
De , obtemos . A quadri-corrente não ser um vetor tipo-espaço, o que implica que , se fizermos , ficamos com e , isso implica que . Escrevemos finalmente
As condições de energia acima não são as únicas, vamos enunciar mais duas condições de energia, que são associadas à presença de campo gravitacional. Faremos isso depois de algumas considerações sobre o tensor de momento-energia em espaços curvos
6. Tensor de momento-energia como fonte para o campo gravitacional
A ação dos campos gravitacionais em relatividade geral é associada à curvatura do espaço-tempo, estes espaços-tempos são associadas à variedades riemaninas [5][5] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004).. A curvatura dessas variedades é medida pelo tensor de Riemaann que definimos a seguir
temos que a conexão define a variedade sob a qual estamos trabalhando, no caso os simbolos de Christoffel
O tensor de Ricci é encontrado fazendo a contração , ou seja
O escalar de Ricci é então
esses objetos caracterizam a curvatura do espaço-tempo. Podemos agora definir a ação de Hilbert-Einstein [5][5] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004).
usando o acoplamento minimo com uma ação de matéria , temos
onde ou seja
sendo a densidade de lagrangiana de matéria. Rearranjando os termos, temos
chamamos o tensor de momento-energia
onde , chegamos então a equação de Einstein
escrevendo o tensor de Einstein , temos
com
Pela idêntidade de Bianchi temos [5][5] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004).:
se contrairmos essa expressão, temos
ou seja,
assim chegamos a a conservação do tensor de momento-energia
A conservação do tensor de momento-energia gera a chamada equação de Tolemam-Opennhaimer-Volkov.
Podemos agora estudar duas condições de energia, associadas a regimes gravitacionais.
6.1. Condição de energia nula dominante
Consideremos agora duas condições de energia
a primeira , ja foi mencionada e implica , por sua vez . Sabemos que , logo . Logicamente a única condição restante é . Essa condição de energia exclui todas as fontes, excluidas pela Condição de energia dominante, exceto a energia do vácuo [12][12] S. M. Carroll, M. Hoffman and M.Trodden, Phys.Rev. D 68, 023509 (2003).
Da equação (49), vemos que A condição de energia nula está associada à constante cosmológica. A solução da equação de Einstein para este tipo de tensor de momento-energia, implica em um espaço-tempo dito maximal [5[5] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004)., 10[10] S. M. Carroll, Living Rev. Relativ. 4, 5 (2001). [11] S. M. Carroll, arXiv:astro-ph/0107571 (2001).–12[12] S. M. Carroll, M. Hoffman and M.Trodden, Phys.Rev. D 68, 023509 (2003).].
6.2. Condição de energia forte
Essa condição está ligada à gravidade atrativa, usando a equação de Einstein , temos
implica , já pela equação (51). Entao , como so nos resta escrever que . Escrevemos finalmente
A violação dessa condição gera gravidade repulsiva.
6.3. Demonstração da TOV isotrópica: fluido ideal em uma métrica genérica
Partimos da equação (49) e derivamos , então
A equação da continuidade, ou de conservação de massa é , vemos então que
Sabemos que , e que temos quadri-velocidade . Portanto a única componente diferente de zero da derivada da 4-velocudade é , escrevemos pois
contraindo com a métrica
finalmente
chegamos então a equação que representa a conservação da massa-energia
6.4. Demonstração da TOV Isotrópica: métrica de um objeto esférico
Vamos estudar a equação de Tolemam-Openhaimer-Volkov (TOV) para uma dada distribuição de massa esférica. A TOV é a equação que corresponde ao equilibrio hidroestático de um fluido relativístico. Podemos também interpretar a TOV como a conservação do tensor de momento-energia [16][16] N. K. Glendenning, Compact Stars: Nuclear Physics, Particle Physics, and General Relativity (Springer Verlag, New York, 1997).. A métrica de uma distribuição esférica de massa m
sendo a métrica dada em forma matricial
Podemos então calcular os símbolos de Christoffel associados à métrica de uma distribuição esférica
Aqui é preciso dizer que estamos usando um sistema de unidades em que massa e raio tem a mesma unidade. O tensor de Ricci associado a essas conexões têm as seguintes componentes
O escalar de Ricci é
Usando a componente rr da equação de Einstein que se lê
achamos então
A componente tt é
onde , é a equação da continuidade. Podemos escrever o tensor de momento-energia
Dado que as funções são dependentes da coordenada r, temos a derivada covariante do tensor de momento-energia.
assim a TOV
junto com a equação da continuidade,
formam as chamadas equações de estrutura para uma estrela [16][16] N. K. Glendenning, Compact Stars: Nuclear Physics, Particle Physics, and General Relativity (Springer Verlag, New York, 1997)..
7. Fluido anisotrópico
Definindo o tensor de momento-energia de um gás ideal anisotrópico [9[9] M. Kalam, F. Rahaman, S. Ray, S.K.M. Hossein, I. Karar and J.Naskar, arXiv:1201.5234 (2012)., 13[13] R. Chan, M.F.A. da Silva and J.F. Villas da Rocha, Modern Physics Letters A 24, 1137 (2009).]
onde é perpendicular a quadri-velocidade de escoamento do fluido , , Em termos matriciais
O Elemento
é o chamado fator anisotrópico, , ou seja, um fator repulsivo, ou , neste caso a anisotropia colabora com a ação gravitacional O traço do tensor de momento-energia é
Vamos agora estudar as limitações conhecidas como condições de energia [?, 13[13] R. Chan, M.F.A. da Silva and J.F. Villas da Rocha, Modern Physics Letters A 24, 1137 (2009).]. Vamos gerar condições de energia semelhantes as condições para o caso isotrópico, semellhantes no sentido que os vetores tipo-tempo e tipo-luz, serão escolhidos para se adequarem ao tensor de momento-energia com componentes diferentes.
7.1. Condição de energia fraca
Como nas seções anteriores a condição de energia fraca é
sendo vetor tipo-tempo, estabelecemos que , então . Escolhendo chegamos à positividade do traço
Aqui o fator barotrópico fica modificado
a causalidade fica então modificada, passando a levar em conta a pressão tangencial.
7.2. condição de energia nula
Usando os vetores nulos a condição de energia nula é
Verificamos pois que, , escolhendo, obrigatóriamente temos , ficamos com , alternativamente fazemos ficamos com , então
Ficamos com duas inequações semlhantes, que represetam condições para fluidos ultra-relativísticos.
7.3. condição de energia dominante
A condição de energia dominante é
De , obtemos . A quadri-corrente não ser um vetor tipo-espaço implica que , se fizermos , ficamos com e , implica que . Seguindo um raciocionio similar , chegamos a . Escrevemos finalmente
7.4. condição de energia nula-dominante
A condição de energia nula dominante é expressa
, já foi calculada e implica , por sua vez . Sabemos que , fazendo logo . Logicamente a única condição restante é . Podemos ainda fazer , implicando que . Portanto temos tambem , logo a energia do vácuo não é anisotrópica. Resumindo
expressa os resultados.
7.5. condição de energia forte
Essa condição esta ligada à gravidade atrativa, usando a equação de Einstein temos
novamente , implica , já pela equação (112). Entao , como só nos resta escrever que . Escrevemos finalmente
A violação dessa condição gera gravidade repulsiva.
7.6. Demonstração da TOV anisiotrópica
A exemplo do que fizemos no caso isotrópico, escrevemos aqui a métrica em termos de funções métricas [9][9] M. Kalam, F. Rahaman, S. Ray, S.K.M. Hossein, I. Karar and J.Naskar, arXiv:1201.5234 (2012)..
podemos agora usar a equação de Einstein (78). A componente tt é
e a componente rr
a componentes angular gera
A equação para representa a pressão anisotrópica, aqui se manifesta a diferença com o caso isotrópico. Esse é o modelo usual para estrelas estranhas anisotrópicas.
Consideremos o equilibrio hidroestático [20][20] J. R. Oppenheimer and G.M. Volkoff, Phys. Rev. 55, 374 (1939).
onde é a força gravitacional, a força hidroestática e a força anisotrópica . Podemos então escrever a TOV na sua versão anisotrópica como
A primeira parcela da TOV é idêntica ao caso isotrópico, pois as equações (102) são muito similtares a equação (126). . Temos escrevemos finalmente a TOV. Assim como
que é a TOV isotrópica.
8. A constante cosmológica
Também é possível construirmos um tensor de momento-energia levando em conta a interação da matéria com a constante cosmológica. Neste caso a equação de Einstein é modificada para
a versão homogênea desta equação seria a equação de Einstein para o vácuo, conhecida como equação de De Sitter [5[5] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004)., 10[10] S. M. Carroll, Living Rev. Relativ. 4, 5 (2001). [11] S. M. Carroll, arXiv:astro-ph/0107571 (2001).–12[12] S. M. Carroll, M. Hoffman and M.Trodden, Phys.Rev. D 68, 023509 (2003)., 21[21] O. Zubairi, A. Romero and F. Weber, Journal of Physics: Conference Series 615 (2015).],
tem como solução
um tensor de Ricci proporcional a métrica, poderiamos alternativamente pensar em um tensor energia momento proporcional a métrica , essa condição, é associada a métrica de De Sitter
e o tensor energia momento proporcional a métrica, implica em uma equação de estado (49)
[10[10] S. M. Carroll, Living Rev. Relativ. 4, 5 (2001)., 11[11] S. M. Carroll, arXiv:astro-ph/0107571 (2001).], tendo um fator barimétrico , uma equação de estado deste tipo, obedece a condição de energia NDEC
Para efetivamente calcularmos a TOV precisamos de uma métrica [21][21] O. Zubairi, A. Romero and F. Weber, Journal of Physics: Conference Series 615 (2015). assim usamo
explicitando as componentes da métrica e usando a relação
escrevemos então a métrica na forma matricial
aqui as funções métricas e . Calculamos o tensor de Ricci , lembrando sempre que . Escrevemos as componentes da equação de Einstein.
Componente tt:
Componente rr:
para uma estrela estática consideramos
Assim a derivada covariante do tensor de momento-energia que induz o seguinte resultado
Lembramos a componente rr da métrica , então
assim
Definimos agora a massa para uma casca esférica de raio r como
diferenciando a massa e substituindo na componente temporal da equação de Einstein (140) obtemos
integrando temos
assim chegamos finalmente que a componente rr da métrica
somando as componentes radial e temporal da equação de Einstein, respectivamente as equações (140), (142), temos:
Derivando a equação (150) com respeito a coordenada radial temos
substituimos agora as equações (146), (150) na equação (151) obtemos
substituindo (146) na equação (153) chegamos finalmente a TOV com constante cosmologica:
A introdução da constante cosmológica gera um efeito interessante, se fizermos , termos um efeito associado à pressão do vácuo
Costumamos considerar que a equação de estado do vácuo é , obdecendo a condição de energia (79), induziria a equação acima a ser (155) idênticamente nula, logo a pressão do vacuo fosse uma constante. Contudo se considerarmos o efeito do termo da constante cosmologica como uma pressão extra, de forma semelhante ao que fazemos na presença de pressão tangencial, poderiamos considerar que a parte associada à constante () cosmológica fosse uma anisotropia. Uma pressão extra negativa, que tenta compensar os efeitos da pressão radial.
9. Conclusão
O estudo do tensor de momento-energia é um tópico fundamental em relatividade, a revisão das condições clássicas de energia é uma necessidade dado a sua relevância para diversas linhas de pesquisa em astrofísica e cosmologia. O surgimento de fluidos relativisticos escuros e exóticos, traz a necessidade de revisarmos a suas condições de energia em especial quanto a causalidade. A anisotropia do tensor de momento-energia é um tema que ainda suscita muitas duvidas entre os discentes e a constante cosmológica vem cada vez mais sendo associada a objetos ultra-densos. Revisamos estes temas calculando a conservação do tensor de momento-energia, buscamos contribuir com a discussão acerca das condições de energia, tanto no caso isotrópico como anisotrópico, identicando exatamente qual a condição de energia associada à energia do vácuo.
Pretendemos no futuro estender essa revisão a fluidos com simetria esférica e a fluidos exóticos, assim como o fenômeno da superfluides, que cada vez mais se torna importante tanto no estudo de matéria de quark, quanto no estudo de fluidos escuros.
Referências
-
[1]V. A. Bezerra, Revista Latino americana de filosofia e história da ciência 4, 177 (2006).
-
[2]G. A. ToBkaty, A history and philosophy of fluid mechanics (Dover Publications, New York, 1994).
-
[3]L. D. Landau and E.M. Lifschitz, The Classical Theory of Fields (Pergamon Press, Oxford, 1975).
-
[4]J. Frenel, Principios da Eletrodinâmica Clássica (EDUSP, São Paulo, 2005).
-
[5]S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison-Wesley Professional, Boston, 2004).
-
[6]S. W. Hawking and G.F.R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time (Cambridge University Press, Cambridge, 1973).
-
[7]C. S. Santos, Condições de Energia de Hawking-Ellis e as equações de Raychaudhury Tese de Doutorado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro (2011).
-
[8]A. R. Liddle, arXiv:astro-ph/9901124v1 (1999).
-
[9]M. Kalam, F. Rahaman, S. Ray, S.K.M. Hossein, I. Karar and J.Naskar, arXiv:1201.5234 (2012).
-
[10]S. M. Carroll, Living Rev. Relativ. 4, 5 (2001).
-
[11]S. M. Carroll, arXiv:astro-ph/0107571 (2001).
-
[12]S. M. Carroll, M. Hoffman and M.Trodden, Phys.Rev. D 68, 023509 (2003).
-
[13]R. Chan, M.F.A. da Silva and J.F. Villas da Rocha, Modern Physics Letters A 24, 1137 (2009).
-
[14]F. M. Santos, Fluidos Ideias em Relatividade Geral e Cosmologia Tese de Doutorado, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória (2016).
-
[15]F. S. Bemfica, M.M. Disconzi and J. Noronha, Phys. Rev. D 98, 104064 (2018).
-
[16]N. K. Glendenning, Compact Stars: Nuclear Physics, Particle Physics, and General Relativity (Springer Verlag, New York, 1997).
-
[17]H. Rodrigues, S.B. Duarte and J.C.T. Oliveira, The Astrophysical Journal 30, 1 (2011).
-
[18]G. E. Volovik, Phys.Rept. 351 195 (2001).
-
[19]R. Dey, S. Liberati and R. Turcati, Phys. Rev. D 94, 104068 (2016).
-
[20]J. R. Oppenheimer and G.M. Volkoff, Phys. Rev. 55, 374 (1939).
-
[21]O. Zubairi, A. Romero and F. Weber, Journal of Physics: Conference Series 615 (2015).
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
04 Nov 2019 -
Data do Fascículo
2020
Histórico
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Recebido
06 Jan 2019 -
Revisado
08 Jul 2019 -
Aceito
10 Set 2019