A capacitância de um condensador com placas planas não paralelas

The capacitance of a capacitor with not parallel plane plates

ARTIGOS GERAIS

A capacitância de um condensador com placas planas não paralelas

The capacitance of a capacitor with not parallel plane plates

Jürgen W. Precker¹; Wilton P. da Silva

Departamento de Física, Centro de Ciências e Tecnologia, Universidade Federal de Campina Grande, Campina Grande, PB, Brasil

RESUMO

Analisamos neste artigo três métodos para obter a capacitância de um condensador com placas planas não paralelas: a solução por integração, a solução por limites e uma solução proposta. Apesar de cada uma das soluções envolver aproximações diferentes, as três capacitâncias obtidas são coerentes.

Palavras-chave: capacitores, capacitância, campo elétrico, diferença de potencial.

ABSTRACT

We analyze in this article three different methods to obtain the capacitance of a capacitor with not parallel plane plates: a solution by integration, a solution by limits and a proposed solution. In spite of the fact that each of the solutions involves different approximations, the three capacitances obtained are coherent.

Keywords: capacitors, capacitance, electric field, potential difference.

1. Introdução

Recentemente, um novo método para calcular a capacitância de um condensador com placas planas, mas não paralelas, foi abordado na Rev. Bras. Ens. Fis. [1]. Duas soluções para o problema foram apresentadas no citado trabalho: a solução por integração encontrada em livros-texto e uma nova solução por limites. Nas duas soluções, a curvatura das linhas de força do campo elétrico entre as placas é desprezada.

Apresentamos neste trabalho mais uma solução que leva em conta a curvatura das linhas de força, e comparamos os três resultados obtidos para o capacitor com placas planas não paralelas. Destacamos neste trabalho também as aproximações usadas em cada uma das três soluções.

Nosso ponto de partida é o capacitor de placas planas e paralelas com a capacitância C_o dada por:

no sistema SI, onde A é a área das placas, d a distância entre elas e e_o = 8,85 pF/m é a permissividade do vácuo. Efeitos de borda não são considerados na Eq. (1) e também não nas deduções feitas a seguir.

2. Solução por integração

Este método já foi exposto em [1], mas apresentamo-lo novamente, destacando as aproximações nele envolvidas. O campo elétrico E, criado numa superfície condutora por uma carga superficial s, é perpendicular a ela e dado por:

onde n é o vetor ortonormal a superfície. A diferença de potencial DV entre as placas do capacitor é constante e dada pela integral de linha:

Na placa, em x = 0, o campo elétrico tem apenas o componente E_x (ver Fig. 1), e a integração sobre dx vai de x₁ = 0 até a placa inclinada, descrita pela equação y = (l/2d)x - ld/2d, ou x₂ = (2d/l)y + d:

Note que a validade de E_x = s(y)/e_o, que é correto na superfície da placa em x = 0, é estendida na integração para todos os x sem justificativa. Observe também que y varia de -l/2 até l/2, mas perto das extremidades da placa situada em x = 0 não há uma placa inclinada ao lado oposto, e não podemos efetuar a integral na Eq. (4) de x = 0 até a placa inclinada (ver Fig. 1). Ignoramos este obstáculo como primeira aproximação.

Faltaria elaborar a integral sobre a variável y. Como s é uma função de y, o componente E_y do campo elétrico depende também de y. E aí vem a segunda aproximação desta solução: desprezamos a contribuição de E_y, quer dizer, fazemos:

e escrevemos para a diferença de potencial:

No próximo passo calculamos a carga q na placa situada em x = 0,

Podemos obter a densidade superficial de carga s(y) da Eq. (6), e o elemento de área dA é dado por dA = ldy, onde l é a largura da placa com a superfície A, e, portanto, A = l². Substituindo as devidas expressões na integral da Eq. (7), temos:

A capacitância C é definida por q = CDV, e daí

3. Solução por limites

Segundo os autores, "este método consiste em aproximar a placa inclinada por uma escada composta de n capacitores de área A/n. Quando n tender a infinito, a escada tende a uma reta inclinada" [1]. O resultado, deduzido detalhadamente em [1], é:

Nesta abordagem, as placas são sempre paralelas e o campo elétrico tem apenas um componente E_x (ver Fig. 2), evitando assim a complicação com o componente E_y criada pela mudança na direção de E com x crescente na solução anterior. Por outro lado, a placa inclinada com comprimento inicial l cresceu para um comprimento l' tal que sua projeção sobre o eixo y é igual a l. Aceitamos este efeito como conseqüência da aproximação.

4. Solução proposta

Nesta abordagem, deslocamos a placa inclinada um pouco, como mostra a Fig. 3. Neste deslocamento, não há trabalho realizado (na aproximação de se desprezar efeitos de borda), pois o campo é perpendicular à placa. Logo, como a carga e a energia do condensador não são alteradas neste deslocamento, sua capacidade deve se manter constante. Uma vez aceita esta pequena modificação do capacitor como aproximação, o cálculo é exato (desprezando, como sempre, efeitos de borda). Nesta nova configuração, as linhas de força do campo são círculos, perpendiculares às duas placas eqüipotenciais. Usando coordenadas polares (r, q), o campo elétrico na superfície da placa em x = 0 é dado pela Eq. (2) na forma:

onde e_q é o vetor unitário na direção q. O componente angular do campo elétrico na direção q, E_q, é, por simetria, apenas uma função de r e a integral de linha na Eq. (3) torna-se agora:

A diferença de potencial é, portanto, dada por:

Este resultado, baseado na geometria da Fig. 3, envolve nenhuma aproximação (desprezando efeitos de borda) e representa a solução exata do problema.

Calculamos a carga q na placa por:

e a capacitância segue como:

onde tan q_o = 2d/l. Da Fig. 3 temos r₁ = l(d/d - 1)/2, r₂ = r₁ + l = l(d/d + 1)/2 e r₂/r₁ = (d + d)/(d - d). Reescrevendo a Eq. (15), temos:

Chegamos, então, a três soluções diferentes para o mesmo problema, que discutiremos a seguir.

5. Discussão e conclusões

A razão d/d = 3/4, mostrada na Fig. 1, fere a condição d d, imposta nas soluções discutidas em [1]. Mesmo assim, é interessante calcular as capacitâncias C₁, C₂ e C₃, usando a geometria da Fig. 1:

e

Para calcular C₃, temos tan q_o = 2d/l = 3/10 e q_o = atan (3/10) = 0,2915 rad. Portanto,

A capacitância C₂ é menor que as outras, pois foram desprezados, na dedução da Eq. (10), termos numa expansão em potências de d/d, que não é adequado no caso d/d = 3/4. Levando mais termos em consideração, o valor de C₂ aumentará.

Com a expansão:

podemos reescrever as capacitâncias C₁ e C₃ como:

resultado idêntico a C₂ na Eq. (10). Se d/d << 1 na Eq. (16) para C₃, tan q_o» q_o = 2d/l, e

mais uma vez o mesmo resultado. Observe que as três expressões para C₁, C₂ e C₃ recuperam C_o no limite d ® 0. Do ponto de vista didático, achamos interessante, como três abordagens tão diferentes para o mesmo problema fornecem resultados tão consistentes.

Podemos ainda perguntar: porque a capacidade do condensador com placas planas não paralelas aumenta, e não diminui ou permanece constante? A inclinação da placa é simétrica, e, intuitivamente, podíamos esperar que a capacitância não mudasse. Um argumento simples é fornecido pela solução dos limites.

Como mostra a Fig. 2, a primeira aproximação da placa inclinada consiste em dois capacitores C₊ e C_- em paralelo, com as capacitâncias:

e

Levando em conta apenas termos lineares nas expansões, obtemos para a capacitância total:

que é o resultado esperado intuitivamente. Mas o cálculo exato de C fornece:

e mostra que C é realmente maior que C_o, sendo, portanto, um efeito de segunda ordem: o ganho de capacitância na aproximação de placas supera a perda no afastamento (ver Fig. 4).

Recebido em 22/8/2005; Revisado em 18/12/2005; Aceito em 3/1/2006

• [1] A.C. Bertuola e M.V. Figueredo, Rev. Bras. Ens. Fís. 26, 161 (2004).

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  19 Jul 2006
• Data do Fascículo
  2006

Histórico

• Aceito
  03 Jan 2006
• Revisado
  18 Dez 2005
• Recebido
  22 Ago 2005