Derivação da equação de Schrödinger II: a entropia de Boltzmann

Silva Filho, Olavo L. da; Ferreira, Marcello

doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2024-0219

home Sumário navigate_before Anterior Atual Seguinte navigate_next

home Sumário

Physics Education Research • Rev. Bras. Ensino Fís. 46 • 2024 • https://doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2024-0219 linkcopiar

Derivação da equação de Schrödinger II: a entropia de Boltzmann

Autoria SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Em um artigo anterior, derivamos matematicamente a equação de Schrödinger usando como construto a “Função Característica”. Mostramos que esta derivação tem um grande número de consequências importantes e pode ajudar a compreender do que realmente trata a Mecânica Quântica. Neste artigo, apresentamos outra derivação matemática axiomática baseada no construto “entropia de Boltzmann”. Mostramos também como essas duas derivações estão matematicamente conectadas e obtemos, a partir disso, a função de distribuição de probabilidade positivo – definida no espaço de fase. Esta função de distribuição de probabilidade mostra-se como a única capaz de reproduzir a equação de Schrödinger e maximizar a entropia, ao mesmo tempo que minimiza a energia. A Mecânica Bohmiana é considerada e reinterpretada a partir da perspectiva desenvolvida nesta abordagem a partir dos resultados matemáticos. Alguns exemplos são elaborados para dar alguma concretude aos professores interessados em utilizar este material em suas salas de aula.

Palavras-chave:
Mecânica Bohmiana; Entropia; Equação de Schrödinger; Derivação matemática; Ensino de Mecânica Quântica

Energy Partition Function	Momentum Partition Function
$Z_{e} = \sum_{r} e^{- β E_{r}}$	$Z = \int F (q, p; t) e^{\frac{i}{ℏ} p δ q} d p$
$〈E〉 = - \frac{\partial \ln Z_{e}}{\partial β}$	$〈p〉 = \lim_{δ q \to 0} - i ℏ \frac{\partial \ln Z}{\partial (δ q)}$
$〈E^{2}〉 = \frac{1}{Z_{e}} \frac{\partial^{2} Z_{e}}{\partial β^{2}}$	$〈p^{2}〉 = \lim_{δ q \to 0} - \frac{ℏ^{2}}{Z} \frac{\partial^{2} Z}{\partial {(δ q)}^{2}}$
$〈Δ E^{2}〉 = \frac{\partial^{2} \ln Z_{e}}{\partial β^{2}}$	$〈δ p^{2}〉 = \lim_{δ q \to 0} - ℏ^{2} \frac{\partial^{2} \ln Z}{\partial {(δ q)}^{2}}$

n	F_n(q, p)	E_n
0	$\frac{1}{π} e^{- β q^{2} - \frac{p^{2}}{ℏ^{2} β}}$	$\frac{1}{2}$
1	$\frac{2 {\|\sqrt{β} q\|}^{3}}{π ℏ \sqrt{β q^{2} + 1}} e^{- β q^{2} - \frac{p^{2} q^{2}}{ℏ^{2} (β q^{2} + 1)}}$	$\frac{3}{2}$
2	$\frac{{\|2 β q^{2} - 1\|}^{3}}{2 π ℏ \sqrt{2 β^{2} q^{4} + 4 β q^{2} + 5}} e^{- β q^{2} - \frac{p^{2} {(2 β q^{2} - 1)}^{2}}{ℏ^{2} β (2 β^{2} q^{4} + 4 β q^{2} + 5)}}$	$\frac{5}{2}$
3	$\frac{{\|\sqrt{β} q (2 β q^{2} - 3)\|}^{3}}{3 π ℏ \sqrt{4 β^{3} q^{6} + 9 β q^{2} + 9}} e^{- β q^{2} - \frac{p^{2} q^{2} {(2 β q^{2} - 3)}^{2}}{ℏ^{2} (4 β^{3} q^{6} + 9 β q^{2} + 9)}}$	$\frac{7}{2}$

(n, ℓ, m)	Momentum Fluctuations	E
(1,0,0)	$\frac{1}{r}$	$- \frac{1}{2}$
(2,0,0)	$\frac{1}{2} \frac{(8 - 5 r + r^{2})}{r {(r - 2)}^{2}}$	$- \frac{1}{8}$
(2,1,0)	$\frac{1}{2} \frac{r ξ^{2} + 1}{r^{2} ξ^{2}}$	$- \frac{1}{8}$
(2,1,±1)	$\frac{1}{2 r}$	$- \frac{1}{8}$
(3,0,0)	$\frac{1}{3} \frac{2187 - 1944 r + 648 r^{2} - 84 r^{3} + 4 r^{4}}{r {(27 - 18 r + 2 r^{2})}^{2}}$	$- \frac{1}{18}$
(3,1,0)	$\frac{1}{6} \frac{108 r ξ^{2} - 27 r^{2} ξ^{2} + 2 r^{3} ξ^{2} + 108 - 36 r + 3 r^{2}}{r^{2} {(r - 6)}^{2} ξ^{2}}$	$- \frac{1}{18}$
(3,1,±1)	$\frac{1}{6} \frac{(- 27 r + 108 + 2 r^{2})}{r {(r - 6)}^{2}}$	$- \frac{1}{18}$

(n, ℓ, m)	F (r, θ, ϕ, p_r, p_θ, p_ϕ; t)
(1,0,0)	$r^{3 / 2} e^{- 2 r} e^{- \frac{3}{2} [p_{r}^{2} + \frac{p_{θ}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{ϕ}^{2}}{r^{2} \sin^{2} θ}] r}$
(2,0,0)	$\frac{r^{3 / 2} {\|r - 2\|}^{5}}{{(8 - 5 r + r^{2})}^{3 / 2}} e^{- r} e^{- 3 [p_{r}^{2} + \frac{p_{θ}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{ϕ}^{2}}{r^{2} \sin^{2} θ}] \frac{r {(r - 2)}^{2}}{8−5 r + r^{2}}}$
(2,1,0)	$\frac{\| r ξ \|^{5} e^{- r} e^{- 3 [p_{r}^{2} + \frac{p_{θ}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{ϕ}^{2}}{r^{2} \sin^{2} θ}] \frac{ξ^{2} r^{2}}{ξ^{2} r + 1}}}{{(ξ^{2} r + 1)}^{3 / 2}}$
(2,1,1)	$r^{7 / 2} \sin^{2} θ e^{- r} e^{- 3 [p_{r}^{2} + \frac{p_{θ}^{2}}{r^{2}} + \frac{{(p_{ϕ} - 1)}^{2}}{r^{2} \sin^{2} θ}] r}$

vertical_align_top show_chart

more_horiz close
- image
- translate
- link
- article
- vertical_align_top
- file_download
- show_chart
- image
- translate
- link
- article

location_on

Sociedade Brasileira de Física - SBF Av. Prof. Lineu Prestes, 748, Bloco B - Cidade Universitária, São Paulo, SP, Brasil, CEP 05508-000, Tel: +55 (11) 3091-6680 - São Paulo - SP - Brazil
E-mail: rbef@sbfisica.org.br, marcellof@unb.br

rss_feed Acompanhe os números deste periódico no seu leitor de RSS