Hidrodinâmica relativística: a representação de diversos fluidos em relatividade geral

Relativistic hydrodynamics: the representation of several fluids in general relativity

Resumo

O tensor de momento-energia é a entidade matemática que representa de forma unificada as fontes de momento e energia no formalismo covariante, tanto em espaços planos, como em espaços curvos. Em espaços curvos o tensor de momento-energia fica conectado a curvatura do espaço-tempo via equação de campo de Einstein. O tensor de momento-energia caracteriza os campos de matéria do sistema. Por sua vez as condições de energia estabelecidas por Hawking e Ellis classificam os diversos tipos de fluidos quanto a atratividade/repulsividade, a causalidade, interação com o vacuo e a positividade. Tambem abordamos a conservação do tensor de momento-energia via equação Tolemam-Openhaimer-Volkov(TOV), que é um importante formalismo para o estudo de estruturas e modelos estelares. Vamos estudar o tensor momento-energia nas suas versões isotrópicas e anisotrópicas, bem como a sua conservação e relação com a constante cosmológica.

Palavras-chave:
Hidrodinâmica; Fluidos Relativísticos

Abstract

The energy-momentum tensor is the mathematical entity that represents the sources of momentum and energy in a covariant formalism, both in flat and curved spaces. In curved spaces the energy-momentum tensor is connected tBo the space-time curvature via the Einstein field equation. The energy-momentum tensor characterizes the matter fields of the system. In turn, the energy conditions established by Hawking and Ellis classify the various types of fluids according to their attractiveness/repulsiveness, causality, interaction with the vacuum and positivity. We also address the conservation of the energy-momentum tensor via the Tolemam-Openhaimer-Volkov (TOV) equation, which is an important formalism for the study of stellar structures and models. We will study the energy-momentum tensor in its isotropic and anisotropic versions, as well as its conservation and relation to the cosmological constant.

Keywords:
Hydrodynamics; Relativistic Fluids

1. Introdução

Historicamente desde a Grécia antiga, que a humanindade tem interesse pelo estudo de fluidos ^[1]. Uma história muito popular e quase folclórica foi o famoso “Eureka” de Arquimedes após resolver um problema ligado ao empuxo, supostamente durante um banho de imersão.

O estudo dos fluidos e seu escoamento foi por séculos uma área de grande importância para o desenvolvimento da tecnologia, nomes como Stokes e Mach construiram conceitos matemáticos capazes de entender o movimento de fluidos, sendo extensíveis aos campos gravitacionais e eletromagnéticos ^[2].

O eletromagnetismo tratava os campos eletromagnéticos como fluidos, a própria idéia de corrente conservada, já continha em si a idéia de escoamento, onde o campo elétrico estaria associado ao fluxo por uma região determinada e o campo magnético associado aos vórtices em torno da corrente. As cargas seriam as fontes e os sorvedouros dos campos. Essa idéia foi incrementada com o advento da relatividade restrita, campos elétricos e magnéticos passaram a ter uma drescição unificada.

Em relatividade geral e algumas sub-áreas como cosmologia e astrofísica um dos principais debates é acerca do tipo de matéria, que está gerando o campo gravitacional. Nas equações de Einstein [³ –⁵] a fonte do campo é a o tensor de momento-energia o tipo de matéria é um fluido caracterizado por sua equação de estado, que seria uma limitação imposta sobre o tensor de momento-energia. Contudo até o trabalho de Hawking-Ellis [⁶, ⁷] não havia qualquer limitação às equações de estado. Hawnking-Ellis introduziram as chamadas condições de energia que são imposições sobre o tensor de momento-energia quanto a propagação do fluido por ele descrito. Estudar essas condições de energia é hoje uma tarefa importante para pesquisadores, que trabalham com inflação ^[8], estrelas estranhas ^[9], energia escura, [⁵, ¹⁰ –¹³], campos escalares ^[14], matéria de quark ^[15] e uma vasta quantidade de temas. Não existe limite para a violação das condições de energia, na verdade todas podem ser violadas, mas a violação de cada uma delas implica um tipo de fluido. O tensor de momento-energia mais simples que existe é o chamado tensor de poeira, que se trata de um fluido não interagente. Assim cada interação requer um termo a mais. A introdução de um termo proporcional à métrica implica energia do vácuo [⁵, ¹⁰], propriedades de anisotropia implicam uma quadrivelicdade com componente radial, porém sem quebra da simetria esférica, em geral esta é associada a introdução de campos eletromagnéticos ^[16]. Todos estes tipos de tensores de fluido relativístico ideal, obedecem à conservação de momento e energia, derivada da simetria de Bianchi do tensor de Einstein. Essa simetria é importante no estudo de fluidos que compõem estrelas, sendo uma das mais ativas áreas da astrofísica atualmente ^[17].

Propriedades de superfluidos têm sido observada ^[18] em sistemas gravitacionais, o que levou ao surgimento de uma nova área de pesquisa que seria o estudo da estrutura causal da propagação de ondas em colóides, com o intuito de gerar analogias à estrutura causal em campos gravitacionais de objetos colapsados ^[19]. O trabalho está dividido da seguinte forma: Seção 2: Estudamos os campos eletromagnéticos como fluidos, explicando as relações com vórtices e escoamentos. Seção 3: Deduzimos o tensor de Maxewell, aprofundando as propriedades de fluidos e observando a equação da continuidade. Seção 4: Construímos o tensor de de momento-energia associado ao campo eletromagnético. Seção 5: O tensor de momento-energia é estudado como formalismo para descrever um fluido ideal, as restrições às equações de estado associadas às condições de energia são estabelecidas. Estudamos ainda a conservação do tensor de momento-energia para uma métrica genérica e para um objeto esférico. Seção 6: Estudamos um tensor de momento-energia com propriedade de anisotropia, estudamos as condições de energia associadas a esse tipo de fluido e demonstramos a conservação do tensor de momento-energia anisotrópico Seção 7: É construido um tensor de momento-energia associado a constante cosmológica e estudada a sua conservação.

2. A eletrodinâmica como uma teoria de fluido

Os experimentos originais do eletromagnetismo concebiam a corrente como um fluido de portadores de carga, que se propagava pelos condutores. A própria idéia de campos também trazia em seu cerne o conceito de fluido, sendo o caso do campo elétrico um fluido, o fluxo era calculado pela lei de Gauss

(1) $$\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$$

e carga $q={\displaystyle {\int }_V\rho }dV$. Vórtices associados a esse fluido são descritos pela lei de Faraday

(2) $$\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-{\partial }_t\overrightarrow{B},$$

onde o campo magnético é associado à propriedade de circulação do fluido. Além disso divergente do campo magnético é nulo

(3) $$\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}=0,$$

que mostra a inexistência de fontes magnéticas (monopolos), completando a simetria entre os campos, temos a lei de Ampere-Maxwell

(4) $$\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{J}+{\mu }_0{ϵ}_0{\partial }_t\overrightarrow{E},$$

sendo ${\mu }_0{ϵ}_0{\partial }_t\overrightarrow{E}$ a corrente de deslocamento descoberta por Maxwell. Na ausência de fontes $q=0,\overrightarrow{j}=0$, temos

(5) $$\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=0,$$

(6) $$\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-{\partial }_t\overrightarrow{B},$$

(7) $$\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}=0,$$

(8) $$\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0{ϵ}_0{\partial }_t\overrightarrow{E}.$$

Portanto o vórtice de um campo elétrico implica na variação temporal do campo magnético, assim como o vórtice magnético implica na variação temporal do campo elétrico. Aplicando o rotacional em (8), temos:

(9) $${\nabla }^2\overrightarrow{B}-\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2\overrightarrow{B}=0,$$

logo vemos, a equação de onda para o campo magnético, podemos da mesma forma deduzir para o campo elétrico aplicando o rotacional na equação (6)

(10) $${\nabla }^2\overrightarrow{E}-\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2\overrightarrow{E}=0.$$

Embora os campos sejam similares a fluidos, a onda eletromagnética não se propaga em nenhum meio, essa foi uma das maiores revoluções da ciência, pois colocou fim a ideia do éter luminífero , que mais tarde a experiência de Michelson-Morley demonstrou não existir.

3. O Tensor de Maxwell

Podemos definir os campos auxiliares, chamados potenciais eletromagnéticos $\Phi$ e $\overrightarrow{A}$. Em seguida escrevemos os campos elétrico e magnético em termos dos potenciais,

(11) $$\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\nabla }\Phi -\frac{1}{c}{\partial }_t\overrightarrow{A},$$

(12) $$\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{A}.$$

Esses potenciais tem um papel importante por exemplo no efeito Aharonov-Bohm. Podemos unificar os campos e contruir o formalismo tensorial. Definimos então o quadrivetor potencial

(13) $$A^{\mu }=(A^0,A^1,A^2,A^3),$$

onde $A^0=\Phi$, e $A^1,A^2,A^3$, são as componentes do vetor potencial, unificando tambem as derivadas ${\partial }_{\mu }\equiv \frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=(\frac{1}{c}{\partial }_t,\overrightarrow{\nabla })$. Devemos notar que os índices subscritos e sobrescritos se referem à propriedades de transformação de coordenadas, tais propriedades são conhecidas como contravariância e covariância respectivamente. A relação entre essas quantidades é dada pelo tensor métrico $g_{\mu \nu }$ que é definido pelo produto escalar da base de um determinado espaço. Podemos definir o tensor de Maxwell

(14) $$F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }.$$

Explicitamente escrevemos, usando i = 1,2,3:

(15) $$F^{0i}=E^i=-{\partial }^0{A}^i-{\partial }^i{A}^0,$$

(16) $$F^{ij}={\partial }^i{A}^j-{\partial }^j{A}^i=B_k{ϵ}^{ijk}.$$

Escrevemos finalmente a matriz associada ao tensor Maxwell

(17) $$F^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}0& E^1& E^2& E^3\\ -E^1& 0& B^3& B^2\\ -E^2& -B^3& 0& B^1\\ -E^3& -B^2& -B^1& 0\end{array}\right].$$

Conhecendo a equação da continuidade

(18) $$\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{j}+c{\partial }_t\rho =0,$$

onde $\overrightarrow{j},\rho$ são a densidade de corrente vetorial e a carga, podemos generalizar essa corrente (18) usando a equação da continuidade (18)

(19) $${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0,$$

temos então a quadridivergencia da quadri-corrente $J^{\mu }=(\rho ,\overrightarrow{j})$. Se agimos com o operador derivada no tensor de Maxwell

(20) $${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }={\mu }_0{J}^{\nu },$$

de forma mais explicita, se agimos ${\partial }_i{F}^{0i}={\partial }_i{E}^i=\nabla A^0=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$, e ainda, ${\partial }_i{F}^{ij}={\mu }_0{j}^j$ onde $J^j=\overrightarrow{j}$.

4. Tensor de momento-energia: fluido relativistico

Vamos definir a ação seguindo ^[3]

(21) $$S={\displaystyle \int \xi }\left(q,\frac{\partial q}{\partial x^i}\right)dVdt=\frac{1}{c}{\displaystyle \int \xi }d\Omega$$

onde, $q_{,i}\equiv \frac{\partial q}{\partial x_i}$ são variáveis generalizadas.

Minimizando a ação (22)

(22) $$\begin{array}{l}\delta S=\frac{1}{c}{\displaystyle \int \left(\frac{\partial \xi }{\partial q}\delta q+\frac{\partial \xi }{\partial q_{,i}}\delta q_{,i}\right)}d\Omega \\ =\frac{1}{c}{\displaystyle \int \left[\frac{\partial \xi }{\partial q}\delta q\frac{\partial }{\partial x^i}\left(\frac{\partial \xi }{\partial q_{,i}}\right)-(\delta q)\frac{\partial }{\partial x^i}\frac{\partial \xi }{\partial q_{,i}}\right]}d\Omega =0,\end{array}$$

o segundo termo se anula sobre a integração em todo o espaço. Podemos então escrever a equação do movimento como

(23) $$\frac{\partial }{\partial x^i}\frac{\partial \xi }{\partial q_i}-\frac{\partial \xi }{\partial q}=0,$$

aqui assumimos a soma sobre indices repetidos. Seguindo agora um procedimento similiar ao usado para verificar a conservação da energia

(24) $$\frac{\partial \xi }{\partial x^i}=\frac{\partial \xi }{\partial q}\frac{\partial q}{\partial x^i}+\frac{\partial \xi }{\partial q_{,k}}\frac{\partial q_{,k}}{\partial x^i},$$

substituindo na equação de movimento , considerando que $q_{,k,i}=q_{,i,k}$, temos:

(25) $$\frac{\partial \xi }{\partial x^i}=\frac{\partial }{\partial x^k}\left(\frac{\partial \xi }{\partial q_{,k}}\right)q_{,i}+\frac{\partial \xi }{\partial q_{,k}}\frac{\partial q_{,i}}{\partial x^k}=\frac{\partial }{\partial x^k}\left(q_{,i}\frac{\partial \xi }{\partial q_{,k}}\right)$$

usando a seguinte propriedade

(26) $$\frac{\partial \xi }{\partial x^i}={\delta }_i^k\frac{\partial \xi }{\partial x^k}.$$

O tensor de momento-energia em termos das variáveis canônica é:

(27) $$T_i^k=q_{,i}\frac{\partial \xi }{\partial q_{,i}}-{\delta }_i^k\xi .$$

Seguindo esta forma do tensor de momento-energia, o mais simples [³ –⁵, ¹⁰, ¹¹]

(28) $$T^{\mu \nu }=U^{\mu }{P}^{\nu },$$

sendo $U^{\mu }=c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}[1.\frac{v^{\alpha }}{c}]$ a quadri-velocidade de um observador em movimento junto com o fluido e $P^{\mu }=m_{0}c{U}^{\mu }$ o quadri-momentum. Usualmente especificamos as componentes do tensor de momento-energia também definimos nominalmente temos a normalização

(29) $$g_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }=1,$$

a densidade de energia

(30) $$T^{00}=\rho ,$$

o fluxo de energia

(31) $$T^{i0}=c{P}^i$$

o tensor das tensões

(32) $$T^{ij}=u^i{p}^i,$$

aqui índices latinos limitam se a $i,j=1,2,3$ e índices gregos a $\mu ,\nu =0,1,2,3$. O tensor de momento-energia é uma matriz simétrica, ou seja

(33) $$T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }.$$

Relacionando o tensor de momento-energia energia momentum a estrutura cinemática da relatividade especial , temos

(34) $$T^{\mu \nu }=m_{0}c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}{U}^{\mu }{U}^{\nu }.$$

A conservação do tensor de energia momentum de poeira tem uma consequência fundamental,

(35) $${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=m_0{c}^2({\partial }_{\mu }{U}^{\mu })U^{\nu }=0.$$

Podemos definir a quadri-força como

(36) $$f^{\mu }={\partial }_t(m{U}^{\mu }).$$

A força de Lorentz é também um quadri-vetor

(37) $$f^{\nu }=\frac{q}{c}{U}_{\mu }{F}^{\mu \nu },$$

pela lei de Newton chegamos a

(38) $$m_{0}c{\partial }_t{U}^{\mu }=\frac{q}{c}{U}_{\mu }{F}^{\mu \nu },$$

substituindo (38) em (35), temos

(39) $${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=\frac{q}{c}{U}_{\mu }{F}^{\mu \nu },$$

a quadri-corrente pode ser escrita como $J^{\mu }=q{U}^{\mu }$, ficamos então:

(40) $${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=\frac{1}{c}{J}_{\mu }{F}^{\mu \nu }$$

pela equação (20) chegamos que a

(41) $${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=\frac{{\mu }_0}{c}({\partial }^{\alpha }{F}_{\alpha \mu })F^{\mu \nu }$$

usando as propriedades da derivada do produto

(42) $${\partial }^{\alpha }(F_{\alpha \mu }{F}^{\mu \nu })=({\partial }^{\alpha }{F}_{\alpha \mu })F^{\mu \nu }+F_{\alpha \mu }{\partial }^{\alpha }{F}^{\mu \nu }$$

(43) $${\partial }^{\alpha }(F_{\alpha \mu }{F}^{\mu \nu })-F_{\alpha \mu }{\partial }^{\alpha }{F}^{\mu \nu }=({\partial }^{\alpha }{F}_{\alpha \mu })F^{\mu \nu }$$

e evocando a propriedade de simetria

$$\begin{array}{l}({\partial }^{\alpha }{F}_{\alpha \mu })F^{\mu \nu }=\left[{\partial }^{\alpha }(F^{\mu \nu }{F}_{\alpha \mu })-F_{\alpha \mu }{\partial }^{\alpha }{F}^{\mu \nu }\right]\\ F_{\alpha \mu }{\partial }^{\alpha }{F}^{\mu \nu }=\frac{1}{2}(F_{\alpha \mu }{\partial }^{\alpha }{F}^{\mu \nu }+F_{\mu \alpha }{\partial }^{\mu }F\nu \alpha )\\ =\frac{1}{2}{F}_{\alpha \mu }({\partial }^{\alpha }{F}^{\alpha \mu }+{\partial }^{\mu }{F}^{\alpha \mu })=-\frac{1}{2}{F}_{\alpha \mu }{\partial }^{\alpha }{F}^{\mu \alpha }\\ =-\frac{1}{4}{\partial }^{\nu }(F_{\alpha \mu }{F}^{\mu \alpha }),\end{array}$$

temos

(44) $$\frac{1}{c}{F}^{\mu \nu }{J}_{\mu }=\frac{1}{4}\left[\partial (F^{\alpha \mu }{F}_{\alpha \mu })-\frac{1}{4}{\partial }^{\nu }(F_{\mu \alpha }{F}^{\mu \alpha })\right]$$

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(45) $${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=\frac{1}{4\pi }{\partial }_{\alpha }\left(F^{\nu \mu }{F}_{\mu }^{\alpha }-\frac{1}{4}{g}^{\nu \alpha }{F}_{\mu \rho }{F}^{\mu \rho }\right).$$

Finalmente o tensor de momento-energia para o campo eletromagnético é

(46) $$T_{em}^{\nu \alpha }=\frac{1}{4\pi }\left(-F^{\nu \mu }{F}_{\mu }^{\alpha }-\frac{1}{4}{g}^{\nu \alpha }{F}_{\mu \rho }{F}^{\mu \rho }\right),$$

operando com $g_{\nu \alpha }$, verificamos facilmente que o traço desse tensor eletromagnético é nulo. Matricialmente escrevemos o tensor de momento-energia como

(47) $$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}{T}^{00}& T^{01}& T^{02}& T^{03}\\ T^{10}& T^{11}& T^{12}& T^{13}\\ T^{20}& T^{21}& T^{22}& T^{23}\\ T^{30}& T^{31}& T^{32}& T^{33}\end{array}\right].$$

Sabendo da propriedade de anti-simetria do tensor de Maxwell $F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$, facilmente verificavel em (17), aplicando essa mesma propriedade em (48) notamos que $T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }$. As componentes $T^{ij}$ com $i,j=1,2,3$ formam o chamado tensor das tensões. Já as componentes $T^{0i}$

(48) $$T_{em}^{0i}=-\frac{1}{4\pi }{F}^{0\mu }{F}_{\mu }^i$$

deotam o vetor de Poyting $\overrightarrow{S}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ que é a densidade direcional de propagação de energia.

5. Fluido isotrópico

Inspirados em (27) definimos o tensor de momento-energia de um fluido ideal o mais geral possivel (sem anisotropia) [⁵, ¹⁰, ¹¹] como

(49) $$T^{\mu \nu }=(\rho +p)U^{\mu }{U}^{\nu }+p{g}^{\mu \nu }$$

(50) $$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\rho & 0& 0& 0\\ 0& -p& 0& 0\\ 0& 0& -p& 0\\ 0& 0& 0& -p\end{array}\right].$$

O traço do tensor de energia momento é

(51) $$T=\rho -3p$$

e a fonte de densidade de energia é dada por

(52) $$\rho =T^{\mu \nu }{U}_{\mu }{U}_{\nu }.$$

Podemos definir o projetor $P_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-U_{\mu }{U}_{\nu }$. Assim achamos a pressão

(53) $$-\frac{1}{3}{P}_{\mu \nu }{T}^{\mu \nu }=p.$$

O tensor de momento-energia pode ser reenscrito em termos do projetor como

(54) $$T^{\mu \nu }=\rho U^{\mu }{U}^{\nu }+p{P}^{\mu \nu }.$$

Temos ainda os casos de um tensor de momento-energia $T^{\mu \nu }=\rho U^{\mu }{U}^{\nu }$, que é chamado de tensor de momento-energia de poeira, neste caso temos pressão p = 0, e um fluido de radiação é descrito $T^{\mu \nu }=p(U^{\mu }{U}^{\nu }+g^{\mu \nu })$ neste caso temos equação de estado $p=3\rho$. Definimos então o fator bariotrópico

(55) $$\omega =\frac{p}{\rho }$$

onde esse fator constante assume valores de acordo com o tipo de matéria ^[5].

$$\begin{array}{ll}\text{matéria}\hfill & \omega \hfill \\ \text{ordinária}\hfill & 0\hfill \\ \text{radiação}\hfill & \frac{1}{3}\hfill \\ \text{curvatura}\hfill & -\frac{1}{3}\hfill \\ \text{vacuo}\hfill & -1\hfill \end{array}$$

Nenhuma imposição sobre o tensor de momento-energia é feita a priori [⁷, ¹⁴]. Alguns fluidos são repulsivos, outros podem violar causalidade, ou serem ultra-relativisticos essas condições de energia classificam os fluidos quanto a estes critérios que vamos abordar a seguir (Figura 1) Seja um dado vetor tipo tempo $t^{\mu }=\gamma (1,a,b,c)$,$\gamma =\frac{1}{1-a^2-b^2-c^2}$,com $g_{\alpha \beta }{t}^{\alpha }{t}^{\beta }$ portanto $a^2+b^2+c^2<1$, tenhamos $T_{\mu \nu }{U}^{\mu }{U}^{\nu }\ge 0$ e para um vetor nulo $l^{\mu }=(1,a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })$,$1={a^{\prime }}^2+{b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2$, temos $T_{\mu \nu }{l}^{\mu }{l}^{\nu }\ge 0$. Deduzimos disso que

(56) $$\rho =T^{\mu \nu }{U}_{\mu }{U}_{\nu },T_{\mu \nu }{l}^{\mu }{l}^{\nu }=(\rho +p){\left(U_{\mu }{l}^{\mu }\right)}^2.$$

Figura 1
As condições de energia são aplicadas a fluidos perfeitos. Representando valores possiveis de densidade de energia e pressão. ^[5]

Isso implica $\rho \ge 0$ e $(\rho +p)\ge 0$. Surge então a chamada condição de energia Fraca

5.1. Condição de energia fraca

Vamos analisar a condição de eneria fraca

(57) $$T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }=(\rho +a^{2}p+b^{2}p+c^{2}p)\ge 0,$$

se fazemos $a=b=c=0$ temos $\rho \ge 0$, alternativamente fazemos duas das constantes nulas, por exemplo b = c = 0 e a = 1 temos $(\rho +p)\ge 0$. Escrevemos então

(58) $$\rho \ge 0;(\rho +p)\ge 0.$$

Podemos ainda fazer $\frac{\rho +p}{\rho }=1+\frac{p}{\rho }$, fluidos barotrópicos são conhecidos pela equação de estado $p=\omega \rho$, então reescrevemos a condição de energia fraca

(59) $$\omega \ge -1$$

Essa condição esta associada a causalidade do escoamento do fluido. Portanto o fluido escoa respeitando o cone de luz ^[12]. Existe uma versão mais fraca dessa condição de energia, que passamos abordar agora

5.2. Condição de energia nula

Procedendo da mesma forma que procedemos para a condição de energia fraca [¹⁰ –¹²], porém usamos vetores tipo luz, assim

(60) $$T_{\mu \nu }{l}^{\mu }{l}^{\nu }\ge 0,$$

onde $T_{\mu \nu }{l}^{\mu }{l}^{\nu }=\rho +{a^{\prime }}^{2}p+{b^{\prime }}^{2}p+{c^{\prime }}^{2}p\ge 0$, se fizermos ${a^{\prime }}^2+{b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2=1$ então

(61) $$\rho +p\ge 0,$$

essa condição admite densidade negativa $\rho <0$, em casos de fluidos ultra-relativisticos, por isso $l^{\mu }{l}_{\mu }=0$ Usamos vetores tipo luz.

5.3. Condição de energia dominante

Um observador com quadri-velocidade $U^{\mu }$, vera uma quadri-corrente $-T_{\nu }^{\mu }{U}^{\nu }$, ou seja, temos que $-T_{\nu }^{\mu }{U}^{\nu }$ não pode ser tipo-espaço, que é equivalente a dizer $T_{\mu \nu }{T}_{\lambda }^{\nu }{t}^{\mu }{t}^{\lambda }\le 0$ então temos

(62) $$T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }\ge 0;T_{\mu \nu }{T}_{\lambda }^{\nu }{t}^{\mu }{t}^{\lambda }\le 0.$$

De $T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }\ge 0$, obtemos $\rho \ge 0$. A quadri-corrente não ser um vetor tipo-espaço, o que implica que ${\gamma }^2\left(-{\rho }^2+(a^2+b^2+c^2)p^2\right)$, se fizermos $b=c=0$, ficamos com ${\rho }^2\ge a^2{p}^2$ e $a<1$, isso implica que $\rho \ge \left|p\right|$. Escrevemos finalmente

(63) $$\rho \ge 0;\rho \ge \left|p\right|.$$

As condições de energia acima não são as únicas, vamos enunciar mais duas condições de energia, que são associadas à presença de campo gravitacional. Faremos isso depois de algumas considerações sobre o tensor de momento-energia em espaços curvos

6. Tensor de momento-energia como fonte para o campo gravitacional

A ação dos campos gravitacionais em relatividade geral é associada à curvatura do espaço-tempo, estes espaços-tempos são associadas à variedades riemaninas ^[5]. A curvatura dessas variedades é medida pelo tensor de Riemaann que definimos a seguir

(64) $$R_{\mu \nu \kappa }^{\lambda }={\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\lambda }-{\partial }_{\kappa }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }-{\Gamma }_{\sigma \kappa }^{\lambda }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\sigma }+{\Gamma }_{\sigma \nu }^{\lambda }{\Gamma }_{\mu \kappa }^{\sigma },$$

temos que a conexão define a variedade sob a qual estamos trabalhando, no caso os simbolos de Christoffel

(65) $${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }=\frac{1}{2}{g}^{\lambda \sigma }\left({\partial }_{\mu }{g}_{\nu \sigma }+{\partial }_{\nu }{g}_{\sigma \mu }-{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu }\right).$$

O tensor de Ricci é encontrado fazendo a contração $\lambda =\nu$, ou seja

(66) $$R_{\mu \kappa }=R_{\mu \nu \kappa }^{\nu }.$$

O escalar de Ricci é então

(67) $$R=g^{\mu \kappa }{R}_{\mu \kappa },$$

esses objetos caracterizam a curvatura do espaço-tempo. Podemos agora definir a ação de Hilbert-Einstein ^[5]

(68) $$S_H={\displaystyle \int R}\sqrt{-g}{d}^{4}x,$$

usando o acoplamento minimo com uma ação de matéria $S_m$, temos

(69) $$\delta S=\delta S_H+8\pi \delta S_M=0,$$

onde $G=c=1$ ou seja

(70) $$\begin{array}{l}\delta S={\displaystyle \int (\frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{8\pi }{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g}{L}_M)}{\delta g^{\mu \nu }}}\\ +\frac{8\pi }{\sqrt{-g}}\frac{\partial (\sqrt{g}{L}_M)}{\partial ({\partial }_k{g}^{k\nu })}\delta ({\partial }_k{g}^{k\mu })))\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x=0,\end{array}$$

sendo ${ℒ}_M=\sqrt{-g}{L}_M$ a densidade de lagrangiana de matéria. Rearranjando os termos, temos

(71) $$\delta S=\int \left(\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }}\frac{R}{2\sqrt{-g}}-\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{8\pi }{\sqrt{-g}}\frac{\delta ({ℒ}_M)}{\delta g^{\mu \nu }})\right)\times \sqrt{-g}\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x$$

chamamos o tensor de momento-energia

(72) $$T^{\mu \nu }=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta ({ℒ}_M)}{\delta g^{\mu \nu }},$$

onde $R_{\mu \nu }=\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}$, chegamos então a equação de Einstein

(73) $$R^{\mu \nu }-\frac{R}{2}{g}^{\mu \nu }-8\pi T^{\mu \nu }=0,$$

escrevendo o tensor de Einstein $G^{\mu \nu }=R^{\mu \nu }-\frac{R}{2}{g}^{\mu \nu }$, temos

(74) $$G^{\mu \nu }=8\pi T^{\mu \nu }$$

com $G=c=1$

Pela idêntidade de Bianchi temos ^[5]:

(75) $$g^{\nu \sigma }{g}^{\mu \lambda }\left({\nabla }_{\lambda }{R}_{\rho \sigma \mu \nu }+{\nabla }_{\rho }{R}_{\sigma \lambda \mu \nu }+\nabla \sigma R_{\lambda \rho \mu \nu }\right)=0$$

se contrairmos essa expressão, temos

(76) $${\nabla }^{\mu }{R}_{\rho \mu }-{\nabla }_{\rho }R+{\nabla }^{\mu }{R}_{\rho \mu }=0,$$

ou seja,

(77) $${\nabla }^{\mu }{R}_{\rho \mu }=\frac{1}{2}{\nabla }_{\rho }R,$$

assim chegamos a a conservação do tensor de momento-energia

(78) $${\nabla }_{\mu }{G}^{\mu \nu }={\nabla }_{\mu }\left[R^{\mu \nu }-\frac{R}{2}{g}^{\mu \nu }\right]=8\pi {\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0.$$

A conservação do tensor de momento-energia gera a chamada equação de Tolemam-Opennhaimer-Volkov.

Podemos agora estudar duas condições de energia, associadas a regimes gravitacionais.

6.1. Condição de energia nula dominante

Consideremos agora duas condições de energia

(79) $$T_{\mu \nu }{l}^{\mu }{l}^{\nu }\ge 0;T_{\mu \nu }{T}_{\lambda }^{\nu }{l}^{\mu }{l}^{\lambda }\le 0,$$

a primeira $T_{\mu \nu }{l}^{\mu }{l}^{\nu }$, ja foi mencionada e implica $\rho +p\ge 0$, por sua vez $T_{\mu \nu }{T}_{\lambda }^{\nu }{l}^{\mu }{l}^{\lambda }={\rho }^2+({a^{\prime }}^2+{b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2)p$. Sabemos que ${a^{\prime }}^2+{b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2=1$, logo $\rho +p\le 0$. Logicamente a única condição restante é $p=-\rho$. Essa condição de energia exclui todas as fontes, excluidas pela Condição de energia dominante, exceto a energia do vácuo ^[12]

(80) $$p=-\rho .$$

Da equação (49), vemos que $T^{\mu \nu }=p{g}^{\mu \nu }$ A condição de energia nula está associada à constante cosmológica. A solução da equação de Einstein para este tipo de tensor de momento-energia, implica em um espaço-tempo dito maximal $R_{\mu \nu }\propto g_{\mu \nu }$ [⁵, ¹⁰ –¹²].

6.2. Condição de energia forte

Essa condição está ligada à gravidade atrativa, usando a equação de Einstein $R_{\mu \nu }=\left(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }\right)$, temos

(81) $$R_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }=\left(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }\right)t^{\mu }{t}^{\nu }\ge 0,$$

$T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }\ge 0$ implica $\rho +p\ge 0$, já $\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }=-\frac{1}{2}(\rho -3p)$ pela equação (51). Entao $R_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }=\left(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }\right)t^{\mu }{t}^{\nu }=\rho +p+\frac{1}{2}(\rho -3p)\ge 0$, como $\rho +p\ge 0$ so nos resta escrever que $\rho -3p\ge 0$. Escrevemos finalmente

(82) $$\rho +p\ge 0;\rho -3p\ge 0.$$

A violação dessa condição gera gravidade repulsiva.

6.3. Demonstração da TOV isotrópica: fluido ideal em uma métrica genérica

Partimos da equação (49) e derivamos ${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }$, então

(83) $${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }={\nabla }_{\mu }\left(p+\rho \right)U^{\mu }{U}^{\nu }+(\rho +p)(({\nabla }_{\mu }{U}^{\mu })U^{\nu }+U^{\nu }{\nabla }_{\mu }{U}^{\mu })+{\nabla }_{\mu }p{g}^{\mu \nu }.$$

A equação da continuidade, ou de conservação de massa é ${\nabla }_{\mu }(\rho U^{\mu })=U^{\mu }{\nabla }_{\mu }\rho +(\rho +p){\nabla }_{\mu }{U}^{\mu }=0$, vemos então que

(84) $${\nabla }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=({\nabla }_{\mu }p)U^{\mu }{U}^{\nu }+(\rho +p)U^{\nu }{\nabla }_{\mu }{U}^{\mu }+({\nabla }_{\mu }p)g^{\mu \nu }.$$

Sabemos que ${\nabla }_{\mu }{U}^{\nu }={\partial }_{\mu }{U}^{\nu }+{\Gamma }_{\alpha \mu }^{\nu }{U}^{\alpha }$, e que temos quadri-velocidade $U^t=\sqrt{g^{00}},U^1=0$. Portanto a única componente diferente de zero da derivada da 4-velocudade é ${\nabla }_r{U}^t={\partial }_r(\sqrt{g^{tt}})+{\Gamma }_{tr}^t\sqrt{g^{tt}}$, escrevemos pois

(85) $$({\nabla }_{\mu }p)g^{00}+(\rho +p)\sqrt{g^{00}}{\nabla }_{\mu }\sqrt{g^{00}}+({\nabla }_{\mu }p)g^{00}=0,$$

contraindo com a métrica

(86) $$2{\nabla }_{\mu }p+(\rho +p)\sqrt{g^{00}}{\Gamma }_{00}^{\nu }{g}^{tt}{g}_{\mu \nu }{g}^{00}=0,$$

finalmente

(87) $${\nabla }_{\mu }p=-(\rho +p)\sqrt{g^{00}}{\Gamma }_{00}^{\nu }{g}^{00}{g}_{\mu \nu }{(g^{00})}^{-1}$$

chegamos então a equação que representa a conservação da massa-energia

(88) $${\nabla }_{\mu }p=-(\rho +p)\sqrt{g^{00}}{\Gamma }_{00}^{\nu }{g}_{\mu \nu }.$$

6.4. Demonstração da TOV Isotrópica: métrica de um objeto esférico

Vamos estudar a equação de Tolemam-Openhaimer-Volkov (TOV) para uma dada distribuição de massa esférica. A TOV é a equação que corresponde ao equilibrio hidroestático de um fluido relativístico. Podemos também interpretar a TOV como a conservação do tensor de momento-energia ^[16]. A métrica de uma distribuição esférica de massa m

(89) $$\begin{array}{l}d{s}^2=-e^{\Phi (r)}d{t}^2+{\left(1-\frac{2m}{r}\right)}^{-1}d{r}^2\\ +r^2\left(d{\theta }^2+\sin (\theta )d{\varphi }^2\right),\end{array}$$

sendo a métrica dada em forma matricial

(90) $$g^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}-e^{\Phi (r)}& 0& 0& 0\\ 0& {\left(1-\frac{2m}{r}\right)}^{-1}& 0& 0\\ 0& 0& r^2& 0\\ 0& 0& 0& r^2\sin (\theta )\end{array}\right].$$

Podemos então calcular os símbolos de Christoffel associados à métrica de uma distribuição esférica

(91) $${\Gamma }_{tr}^t={\Phi }^{\prime },$$

(92) $${\Gamma }_{tt}^r={\Phi }^{\prime }{e}^{2\Phi }\left(1-\frac{2m}{r}\right),$$

(93) $$,{\Gamma }_{rr}^r=\frac{r{m}^{\prime }-m}{r^2-2mr},$$

(94) $${\Gamma }_{r\theta }^{\theta }={\Gamma }_{r\varphi }^{\varphi }=\frac{1}{r},$$

(95) $${\Gamma }_{\theta \varphi }^{\varphi }=-\sin (\theta )\cos (\theta ),$$

(96) $${\Gamma }_{\theta \theta }^r={\Gamma }_{\varphi \varphi }^{\theta }={\csc }^2(\theta ),$$

(97) $${\Gamma }_{\varphi \varphi }^r=2m-r.$$

Aqui é preciso dizer que estamos usando um sistema de unidades em que massa e raio tem a mesma unidade. O tensor de Ricci associado a essas conexões têm as seguintes componentes

(98) $$\begin{array}{l}{R}_{tt}=e^{2\Phi }[\left({\Phi }^{″}+{{\Phi }^{\prime }}^2\right)\left(1-\frac{2m}{r}\right)\\ +{\Phi }^{\prime }\left(\frac{2r-3m-r{m}^{\prime }}{r^2}\right)],\end{array}$$

(99) $$R_{rr}={\left(1-\frac{2m}{r}\right)}^{-1}\left[\frac{(r{m}^{\prime }-m)(2+r{m}^{\prime })}{r^3}\right]-{\Phi }^{″}-{{\Phi }^{\prime }}^2,$$

(100) $$R_{\theta \theta }={\csc }^2(\theta )R_{\varphi \varphi }=(2m-r){\Phi }^{\prime }+m^{\prime }+\frac{m}{r}.$$

O escalar de Ricci é

(101) $$R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }=2[\frac{2m^{\prime }}{r}+{\Phi }^{\prime }(3m-2r+r{m}^{\prime })-\left(1-\frac{2m}{r}\right)\left({\Phi }^{″}+{{\Phi }^{\prime }}^2\right)].$$

Usando a componente rr da equação de Einstein que se lê

(102) $$G_{rr}=\frac{2}{r}\left({\Phi }^{\prime }-\frac{m}{1-\frac{2m}{r}}\right)=\frac{8\pi p}{1-\frac{2m}{r}},$$

achamos então

(103) $${\Phi }^{\prime }=\frac{m+4\pi r^{3}p}{r(r-2m)}.$$

A componente tt é

(104) $$G_{tt}=\frac{2m^{\prime }{e}^{2\Phi }}{r^2}=8\pi \rho e^{2\Phi }$$

onde $m^{\prime }=\frac{dm}{dr}=4\pi \rho r^2$, é a equação da continuidade. Podemos escrever o tensor de momento-energia

(105) $$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\rho e^{-2\Phi }& 0& 0& 0\\ 0& (1-\frac{2m}{r})p& 0& 0\\ 0& 0& \frac{p}{r^2}& 0\\ 0& 0& 0& p\frac{{\csc }^2(\theta )}{r^2}\end{array}\right].$$

Dado que as funções são dependentes da coordenada r, temos a derivada covariante do tensor de momento-energia.

(106) $$\begin{array}{l}{\nabla }_r{T}^{r\nu }={\partial }_r{T}^{r\nu }+T^{\sigma \mu }{\Gamma }_{\sigma \mu }^r+T^{r\sigma }{\Gamma }_{\sigma \nu }^{\nu }\\ {\partial }_r{T}^{rr}+T^{rr}({\Gamma }_{r\nu }^{\nu }+{\Gamma }_{rr}^r)+T^{\theta \theta }{\Gamma }_{\theta \theta }^r+T^{\varphi \varphi }{\Gamma }_{\varphi \varphi }^r\\ =\left(1-\frac{2m}{r}\right)\left[\frac{dp}{dr}+(\rho +p){\Phi }^{\prime }\right]=0,\end{array}$$

assim a TOV

(107) $$\frac{dp}{dr}=-(\rho +p)\frac{m+4\pi p{r}^3}{r(r-2m)},$$

junto com a equação da continuidade,

(108) $$\frac{dm}{dr}=4\pi \rho r^2,$$

formam as chamadas equações de estrutura para uma estrela ^[16].

7. Fluido anisotrópico

Definindo o tensor de momento-energia de um gás ideal anisotrópico [⁹, ¹³]

(109) $$T^{\mu \nu }=(\rho +p_t)U^{\mu }{U}^{\nu }+p{g}^{\mu \nu }+(p_t-p)s^{\mu }{s}^{\nu }$$

onde $s^{\mu }$ é perpendicular a quadri-velocidade de escoamento do fluido $U^{\mu }=(1,0,0,0)$, $s^{\mu }{U}_{\mu }=0$, Em termos matriciais

(110) $$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\rho & 0& 0& 0\\ 0& p& 0& 0\\ 0& 0& p_t& 0\\ 0& 0& 0& p_t\end{array}\right].$$

O Elemento

(111) $$\Delta =p_t-p$$

é o chamado fator anisotrópico, $\Delta >0,p_t>p$, ou seja, um fator repulsivo, ou $\Delta <0,p_t<p$, neste caso a anisotropia colabora com a ação gravitacional O traço do tensor de momento-energia é

(112) $$T=\rho -p-2p_t.$$

Vamos agora estudar as limitações conhecidas como condições de energia [?, ¹³]. Vamos gerar condições de energia semelhantes as condições para o caso isotrópico, semellhantes no sentido que os vetores tipo-tempo e tipo-luz, serão escolhidos para se adequarem ao tensor de momento-energia com componentes diferentes.

7.1. Condição de energia fraca

Como nas seções anteriores a condição de energia fraca é

(113) $$T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }\ge 0$$

sendo $t^{\mu }$ vetor tipo-tempo, estabelecemos que $t^{\mu }=(1,a,b,c)$, então $T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }=\rho +ap+b{p}_t+c{p}_t$. Escolhendo $a=b=c=1$ chegamos à positividade do traço

(114) $$\rho +p+2p_t\ge 0.$$

Aqui o fator barotrópico fica modificado $1+\omega +2\frac{p_t}{\rho }\ge 0$

(115) $$\omega \ge -1-2\frac{p_t}{\rho }$$

a causalidade fica então modificada, passando a levar em conta a pressão tangencial.

7.2. condição de energia nula

Usando os vetores nulos $l^{\mu =1.a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }}$ a condição de energia nula é

(116) $$T_{\mu \nu }{l}^{\mu }{l}^{\nu }\ge 0.$$

Verificamos pois que, $T_{\mu \nu }{l}^{\mu }{l}^{\nu }=\rho +{a^{\prime }}^{2}p+({b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2)p_t$, escolhendo$b^{\prime }=c^{\prime }=0$, obrigatóriamente temos $a^{\prime }=1$, ficamos com $\rho +p\ge 0$, alternativamente fazemos $a^{\prime }=0$ ficamos com $\rho +p_t\ge 0$, então

(117) $$\rho +p\ge 0,\rho +p_t\ge 0.$$

Ficamos com duas inequações semlhantes, que represetam condições para fluidos ultra-relativísticos.

7.3. condição de energia dominante

A condição de energia dominante é

(118) $$T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }\ge 0,T_{\mu \nu }{T}_{\lambda }^{\nu }{t}^{\mu }{t}^{\lambda }\le 0.$$

De $T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }\ge 0$, obtemos $\rho \ge 0$. A quadri-corrente não ser um vetor tipo-espaço implica que ${\gamma }^2\left(-{\rho }^2+(a^2{p}^2+(b^2+c^2)p_t)\right)$, se fizermos $b=c=0$, ficamos com ${\rho }^2\ge a^2{p}^2$ e $a<1$, implica que $\rho \ge \left|p\right|$. Seguindo um raciocionio similar $a=0$, chegamos a $\rho \ge \left|p_t\right|$. Escrevemos finalmente

(119) $$\rho \ge 0;\rho \ge \left|p\right|;\rho \ge \left|p_t\right|.$$

7.4. condição de energia nula-dominante

A condição de energia nula dominante é expressa

(120) $$T_{\mu \nu }{l}^{\mu }{l}^{\nu }\ge 0;T_{\mu \nu }{T}_{\lambda }^{\nu }{l}^{\mu }{l}^{\nu }\le 0$$

$T_{\mu \nu }{l}^{\mu }{l}^{\nu }$, já foi calculada e implica $\rho +p\ge 0,\rho +p_t\ge 0$, por sua vez $T_{\mu \nu }{T}_{\lambda }^{\nu }{l}^{\mu }{l}^{\nu }={\rho }^2+{a^{\prime }}^{2}p+({b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2)p_t$. Sabemos que ${a^{\prime }}^2+{b^{\prime }}^2+{c^{\prime }}^2=1$, fazendo $b^{\prime }=c^{\prime }=0$ logo $\rho +p\le 0$. Logicamente a única condição restante é $p=-\rho$. Podemos ainda fazer $a^{\prime }=0$, implicando que $\rho +p_t\le 0$. Portanto temos tambem $p_t=-\rho$, logo a energia do vácuo não é anisotrópica. Resumindo

(121) $$p_t=p=-\rho$$

expressa os resultados.

7.5. condição de energia forte

Essa condição esta ligada à gravidade atrativa, usando a equação de Einstein temos $R_{\mu \nu }=\left(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }\right)$

(122) $$R_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }=\left(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }\right)t^{\mu }{t}^{\nu }\ge 0,$$

novamente $T_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }\ge 0$, implica $\rho -p-2p_t\ge 0$, já $\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }=-\frac{1}{2}(\rho -p-2p_t)$ pela equação (112). Entao $R_{\mu \nu }{t}^{\mu }{t}^{\nu }=\left(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }\right)t^{\mu }{t}^{\nu }=\rho +p+2p_t+\frac{1}{2}(\rho -p-2p_t)\ge 0$, como $\rho +p+2p_t\ge 0$ só nos resta escrever que $\rho -p-2p_t\ge 0$. Escrevemos finalmente

(123) $$\rho +p+2p_t\ge 0;\rho -p-2p_t\ge 0.$$

A violação dessa condição gera gravidade repulsiva.

7.6. Demonstração da TOV anisiotrópica

A exemplo do que fizemos no caso isotrópico, escrevemos aqui a métrica em termos de funções métricas $\nu (r),\lambda (r)$ ^[9].

(124) $$d{s}^2=-e^{\nu (r)}d{t}^2+e^{\lambda (r)}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2(\theta )d{\varphi }^2),$$

podemos agora usar a equação de Einstein (78). A componente tt é

(125) $$e^{-\lambda (r)}\left(\frac{{\lambda }^{\prime }}{r}-\frac{1}{r^2}\right)+\frac{1}{r^2}=8\pi \rho$$

e a componente rr

(126) $$e^{-\lambda (r)}\left(\frac{1}{r^2}+\frac{{\nu }^{\prime }}{r}\right)-\frac{1}{r^2}=8\pi p,$$

a componentes angular $\theta \theta$ gera

(127) $$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}{({\nu }^{\prime })}^2+{\nu }^{″}-\frac{1}{2}{\lambda }^{\prime }{\nu }^{\prime }+\frac{1}{r}({\nu }^{\prime }-{\lambda }^{\prime })\right)=8\pi p_t.$$

A equação para $p_t$ representa a pressão anisotrópica, aqui se manifesta a diferença com o caso isotrópico. Esse é o modelo usual para estrelas estranhas anisotrópicas.

Consideremos o equilibrio hidroestático ^[20]

(128) $$F_g+F_{Hidro}+F_{anisio}=0,$$

onde $F_g=\frac{1}{2}(\rho +p)d_r\nu (r)$ é a força gravitacional, $F_{hidro}=-\frac{dp}{dr}$ a força hidroestática e a força anisotrópica $F_{ani}=2\frac{(p_t-p)}{r}$. Podemos então escrever a TOV na sua versão anisotrópica como

(129) $$\frac{dp}{dr}=-m\frac{\rho +p}{r^2}\frac{d\nu (r)}{dr}+\frac{2}{r}(p_t-p)$$

A primeira parcela da TOV é idêntica ao caso isotrópico, pois as equações (102) são muito similtares a equação (126). ${\nu }^{\prime }(r)={\Phi }^{\prime }(r)$. Temos escrevemos finalmente a TOV. Assim como

(130) $$\frac{dp}{dr}=-(\rho +p)\frac{m+4\pi p{r}^3}{r(r-2m)}+\frac{2}{r}(p_t-p)$$

que é a TOV isotrópica.

8. A constante cosmológica

Também é possível construirmos um tensor de momento-energia levando em conta a interação da matéria com a constante cosmológica. Neste caso a equação de Einstein é modificada para

(131) $$R_{\mu \nu }-\frac{R}{2}{g}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu },$$

a versão homogênea desta equação seria a equação de Einstein para o vácuo, conhecida como equação de De Sitter [⁵, ¹⁰ –¹², ²¹],

(132) $$R_{\mu \nu }-\frac{R}{2}{g}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0$$

tem como solução

(133) $$R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }$$

um tensor de Ricci proporcional a métrica, poderiamos alternativamente pensar em um tensor energia momento proporcional a métrica $T_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }$, essa condição, é associada a métrica de De Sitter

(134) $$d{s}^2=-\left(1-\frac{\Lambda r^2}{3}\right)d{t}^2+\frac{1}{1-\frac{\Lambda r^2}{3}}d{l}^2+r^2(d{\theta }^2+\sin \theta d{\varphi }^2)$$

e o tensor energia momento proporcional a métrica, implica em uma equação de estado (49)

(135) $$p=-\rho$$

[¹⁰, ¹¹], tendo um fator barimétrico $\omega =-1$, uma equação de estado deste tipo, obedece a condição de energia NDEC

Para efetivamente calcularmos a TOV precisamos de uma métrica ^[21] assim usamo

(136) $$d{s}^2=e^{\nu }d{t}^2-e^{\lambda (r)}d{r}^2-r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right),$$

explicitando as componentes da métrica $g_{tt}=e^{\nu },g_{rr}=-e^{\lambda },g_{\theta \theta }=-r^2,g_{\varphi \varphi }=-r^2{\sin }^2(\theta )$ e usando a relação

(137) $$g^{\mu \nu }{g}_{\nu \lambda }={\delta }_{\lambda }^{\mu },$$

escrevemos então a métrica na forma matricial

(138) $$g^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}{e}^{-\nu }& 0& 0& 0\\ 0& -e^{\lambda }& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{1}{r^2}& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{{(r\sin \theta )}^2}\end{array}\right],$$

aqui as funções métricas $\nu =\nu (r)$ e $\lambda =\lambda (r)$. Calculamos o tensor de Ricci $R_{\mu \nu }={\partial }_{\alpha }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\alpha }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \alpha }^{\alpha }+{\Gamma }_{\beta \alpha }^{\alpha }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\beta }-{\Gamma }_{\beta \mu }^{\alpha }{\Gamma }_{\alpha \nu }^{\beta }$, lembrando sempre que $R_{\beta }^{\alpha }=g^{\alpha \mu }{R}_{\mu \beta }$. Escrevemos as componentes da equação de Einstein.

Componente tt:

(139) $$G_t^t=-8\pi T^t{}_t$$

(140) $$8\pi \rho =e^{-\lambda }\left(\frac{{\lambda }^{\prime }}{r}-\frac{1}{r^2}\right)+\frac{1}{r^2}-\Lambda ,$$

Componente rr:

(141) $$G_r^r=8\pi T_r^r,$$

(142) $$8\pi p=e^{-\lambda }\left(\frac{{\nu }^{\prime }}{r}+\frac{1}{r^2}\right)-\frac{1}{r^2}+\Lambda$$

para uma estrela estática consideramos

(143) $$\frac{d\rho }{dt}=\frac{dp}{dt}=0.$$

Assim a derivada covariante do tensor de momento-energia que induz o seguinte resultado

(144) $$(\rho +p)({\partial }_{\mu }{u}_{\sigma })u^{\mu }+{\partial }_{\sigma }p+{\partial }_{\mu }p{u}^{\mu }{u}_{\sigma }=0.$$

Lembramos a componente rr da métrica $g_{rr}=-e^{\lambda }$, então

(145) $$(\rho +p)({\partial }_{\mu }{u}_t)u^{\mu }-{\partial }_{r}p=0,$$

assim

(146) $${\partial }_{r}p=-\frac{(\rho +p)}{2}\frac{d\nu }{dr}.$$

Definimos agora a massa para uma casca esférica de raio r como

(147) $$m(r)=4\pi {\displaystyle {\int }_0^r\rho }(r^{\prime }){r^{\prime }}^{2}d{r}^{\prime },$$

diferenciando a massa e substituindo na componente temporal da equação de Einstein (140) obtemos

(148) $$\frac{dm}{dr}=-\frac{1}{2}\frac{d}{dr}\left[e^{-\lambda }r-r+\frac{\Lambda r^3}{3}\right],$$

integrando temos

(149) $$2{\displaystyle {\int }_0^r\frac{dm}{dr}}dr=-{\displaystyle {\int }_0^r\frac{1}{2}}\frac{d}{dr}\left[e^{-\lambda }r-r+\frac{\Lambda r^3}{3}\right]dr,$$

assim chegamos finalmente que a componente rr da métrica

(150) $$e^{-\lambda (r)}=1-\frac{2m(r)}{r}-\frac{\Lambda r^3}{3},$$

somando as componentes radial e temporal da equação de Einstein, respectivamente as equações (140), (142), temos:

(151) $$8\pi (\rho +p)=\frac{{\lambda }^{\prime }{e}^{-\lambda }}{r}+\frac{e^{-\lambda }{\nu }^{\prime }}{r}.$$

Derivando a equação (150) com respeito a coordenada radial temos

(152) $${\lambda }^{\prime }{e}^{-\lambda }=\frac{2m^{\prime }}{r}-\frac{2m}{r^2}+\frac{2\Lambda r}{3}$$

substituimos agora as equações (146), (150) na equação (151) obtemos

(153) $$8\pi (\rho +p)=\left(\frac{2m^{\prime }}{r}-\frac{2m}{r^3}+\frac{2\Lambda }{3}\right)+\frac{1}{r}\frac{d\nu }{dr}\left(1-\frac{2m}{r}-\frac{\Lambda r^2}{3}\right)$$

substituindo (146) na equação (153) chegamos finalmente a TOV com constante cosmologica:

(154) $$\frac{dp}{dr}=-\rho \left(1+\frac{p}{\rho }\right)\frac{m+4\pi p{r}^3-\frac{\Lambda r^3}{3}}{r^2(1-\frac{2m}{r}-\frac{\Lambda r^2}{3})}.$$

A introdução da constante cosmológica gera um efeito interessante, se fizermos $m=0$, termos um efeito associado à pressão do vácuo

(155) $$\frac{dp}{dr}=-\rho \left(1+\frac{p}{\rho }\right)\frac{4\pi p{r}^3-\frac{\Lambda r^3}{3}}{r^2(1-\frac{\Lambda r^2}{3})}.$$

Costumamos considerar que a equação de estado do vácuo é $p=-\rho$, obdecendo a condição de energia (79), induziria a equação acima a ser (155) idênticamente nula, logo a pressão do vacuo fosse uma constante. Contudo se considerarmos o efeito do termo da constante cosmologica como uma pressão extra, de forma semelhante ao que fazemos na presença de pressão tangencial, poderiamos considerar que a parte associada à constante ($\Lambda >0$) cosmológica fosse uma anisotropia. Uma pressão extra negativa, que tenta compensar os efeitos da pressão radial.

9. Conclusão

O estudo do tensor de momento-energia é um tópico fundamental em relatividade, a revisão das condições clássicas de energia é uma necessidade dado a sua relevância para diversas linhas de pesquisa em astrofísica e cosmologia. O surgimento de fluidos relativisticos escuros e exóticos, traz a necessidade de revisarmos a suas condições de energia em especial quanto a causalidade. A anisotropia do tensor de momento-energia é um tema que ainda suscita muitas duvidas entre os discentes e a constante cosmológica vem cada vez mais sendo associada a objetos ultra-densos. Revisamos estes temas calculando a conservação do tensor de momento-energia, buscamos contribuir com a discussão acerca das condições de energia, tanto no caso isotrópico como anisotrópico, identicando exatamente qual a condição de energia associada à energia do vácuo.

Pretendemos no futuro estender essa revisão a fluidos com simetria esférica e a fluidos exóticos, assim como o fenômeno da superfluides, que cada vez mais se torna importante tanto no estudo de matéria de quark, quanto no estudo de fluidos escuros.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  04 Nov 2019
• Data do Fascículo
  2020

Histórico

• Recebido
  06 Jan 2019
• Revisado
  08 Jul 2019
• Aceito
  10 Set 2019