Solução de um potencial exponencial via superálgebra

Solution to an exponential potential via superalgebra

Resumos

Esse artigo traz uma revisão do formalismo da Mecânica Quântica Supersimétrica e mostra sua aplicação para solucionar um potencial exponencial que, com uma escolha apropriada de parâmetros, é identificado como o potencial de Morse. A solução da equação de Schrödinger para esse potencial é encontrada via fatorização e construção de uma hierarquia de Hamiltonianos, e com o uso dessas ferramentas são encontrados os autovalores de energia e suas respectivas autofunções. A partir do resultado encontrado, fixamos valores de parâmetros com intuito de resgatar os resultados para estados ligados presentes na literatura.

Palavras-chave:
Supersimetria; Mecânica Quântica; Operadores Bosônicos; Potencial de Morse

This article provides a review of the Supersymmetric Quantum Mechanics formalism and shows its application to solve an exponential potential that, with an appropriate choice of parameters, is identified as the Morse potential. The solution of the Schrödinger equation for this potential is found via factorization and construction of a hierarchy of Hamiltonians, with the use of these tools the energy eigenvalues and their respective eigenfunctions are found. From the obtained result, we fixed parameter values in order to retrieve the results for bound states present in the literature.

Keywords:
Supersymmetry; Quantum Mechanics; Bosonic operators; Morse Potential

1. Introdução

Dentro do atual panorama da Mecânica Quântica, a equação de Schrödinger (ES) possui lugar de destaque [¹, ², ³, ⁴, ⁵], sendo uma equação de onda usada para descrever a natureza em um aspecto fundamental (atômico, subatômico e molecular).

Assim, determinar as soluções da ES é fundamental para a compreensão de sistemas quânticos. Nesse artigo, é estudado um potencial exponencial tal que usando um conjunto adequado dos parâmetros o potencial de Morse é obtido. Esse nome faz referência a Philip M. Morse, que introduziu esse potencial em 1929 no estudo de vibrações de moléculas diatômicas [⁶]. Desde então, há na literatura diversos trabalhos relacionados a esse tipo de potencial, tanto relativos à sua resolução por diferentes métodos matemáticos (analíticos e numéricos) [⁷, ⁸, ⁹] quanto às aplicações em problemas físicos [¹⁰, ¹¹].

Diferente da abordagem convencional para resolução da ES [¹², ¹³, ¹⁴], utiliza-se como metodologia a hierarquia de Hamiltonianos, que é descrita pela fatorização das equações diferenciais e construção das autofunções por intermédio dos operadores bosônicos [¹⁵, ¹⁶, ¹⁷, ¹⁸], como mostrado na próxima seção.

A metodologia apresentada permite fatorizar por meio dos chamados operadores supersimétricos o Hamiltoniano original que descreve o sistema estudado. A inversão da ordem desses operadores permite identificar o parceiro supersimétrico. Com o uso desse formalismo, constrói-se uma cadeia de Hamiltonianos ligados entre si, através dos operadores supersimétricos, denominada de hierarquia de Hamiltonianos [¹⁴, ¹⁷]. Além disso, é importante salientar que a abordagem utilizada nesse trabalho é focada em potenciais com soluções analíticas/exatas. Porém, nos casos em que a equação diferencial para o sistema sujeito ao potencial não pode ser resolvido dessa maneira, há a possibilidade de aplicar métodos aproximativos, como o método variacional [⁹, ¹⁹, ²⁰].

O presente trabalho está organizado como se segue. Na seção ², apresenta-se o formalismo da hierarquia de Hamiltonianos, descrito com algumas de suas características abordadas de forma detalhada. Na seção ³, o potencial exponencial proposto é resolvido via hierarquia de Hamiltonianos. Na seção ⁴ são apresentados os resultados e a restrição dos parâmetros que leva ao caso particular do potencial de Morse, conhecido na literatura. Por fim, na seção ⁵ são apresentadas as conclusões.

2. Formalismo

De acordo com o formalismo seguido, o ponto de partida é a equação de Schrödinger,

(1) $$H_o\psi (x)=\left(-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}+V_0(x)\right)\psi (x)=E\psi (x),$$

sendo que consideramos $\mathrm{\hslash }=2m=1$ como uma simplificação. A solução com o uso do formalismo da Mecânica Quântica Supersimétrica (MQS) se baseia na fatorização do Hamiltoniano em dois operadores de primeira ordem [¹⁸],

(2) $$H_o=-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}+V_0(x)=A^{+}{A}^{-}+E_0^{(1)},$$

em que $E_0^{(1)}$ é o autovalor de energia do estado fundamental para o Hamiltoniano em questão – primeiro membro da hierarquia – e $A^{+}$ e $A^{-}$ são os operadores de primeira ordem que aqui serão chamados de operadores bosônicos.

Os operadores bosônicos são definidos como

(3) $$A_m^{+}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}+W(x,b_m)$$

e

(4) $$A_m^{-}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}+W(x,b_m),$$

onde $W(x,b_m)$ é um superpotencial dependente da variável x e de um conjunto de parâmetros b_m.

A ordem de aplicação dos operadores determina os Hamiltonianos companheiros supersimétricos, sendo que essa definição pode levar à construção de uma hierarquia de Hamiltonianos relacionados entre si através da supersimetria [¹⁶, ¹⁸]. Dessa forma, o primeiro Hamiltoniano e seu companheiro supersimétrico são dados, respectivamente, por

(5) $$H_{1,-}=H_o-E_0^{(1)}=A_1^{+}{A}_1^{-}=-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}+V_0(x)$$

e

(6) $$H_{1,+}=A_1^{-}{A}_1^{+}=-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}+V_1(x),$$

sendo que, quando há solução exata/analítica para o estado fundamental, $V_0(x)$ difere do potencial original por uma constante que corresponde a energia do estado fundamental do problema, $E_0{}^{(1)}$.

Uma diferença entre os espectros dos companheiros supersimétricos, quando não há quebra de supersimetria, é o espectro de energia. Para H o nível mais baixo de energia corresponde ao primeiro estado excitado de H_1,-.

Com a substituição das equações (3) e (4) na equação (5) encontramos a equação de Ricatti [²¹],

(7) $$W_1{}^2(x,b_1)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{W}_1(x,b_1)=V_0(x)-E_0^{(1)},$$

de forma que, conhecendo um superpotencial que satisfaça a equação (7), é possível encontrar o estado fundamental do Hamiltoniano da equação (5). Assim, pela fatorização proposta, é encontrado o menor autovalor de energia para o problema estudado. Além disso, com as considerações feitas na equação (6), se define $V_1(x)$ como:

(8) $$V_1(x)=W_1{}^2(x)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{W}_1(x).$$

Para continuar com a construção da hierarquia, vamos construir H_2,- pela fatorização de H_1,+,

(9) $$H_{2,-}=H_{1,+}-E_0^{(2)}=A_2^{+}{A}_2^{-},$$

sendo os operadores bosônicos $A_2^{+}$ e $A_2^{-}$ construídos com um superpotencial $W_2(x)$ que é dependente da variável x e um novo conjunto de parâmetros b₂. Destarte, a solução da equação (9) também é obtida pela solução de uma equação de Ricatti que fornece $E_0^{(2)}$.

Além de encontrar H_2,-, também se contrói seu companheiro supersimétrico invertendo a ordem de aplicação dos operadores bosônicos,

(10) $$H_{2,+}=-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}+V_2(x)=A_2^{-}{A}_2^{+},$$

em que $V_2(x)=W_2{}^2+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{W}_2$.

Os demais Hamiltonianos dessa hierarquia são construídos seguindo os mesmos passos, ou seja, identificando o superpotencial para cada membro. Deve-se ficar atento para o fato de que conforme a hierarquia aumenta, os espectros de energia dos Hamiltonianos são deslocados. Dessa forma, o nível mais baixo de energia de um membro da hierarquia corresponde ao primeiro estado excitado do Hamiltoniano do anterior. Para H_1,- e H_2,- a relação entre o espectro de energia é

(11) $$E_0^{(2)}=E_1^{(1)}.$$

Generalizando esse caso para um espectro com n estados de energia em uma hierarquia de m Hamiltonianos, temos [¹⁶, ¹⁸]

(12) $$E_n^{(m)}=E_{n+1}^{(m-1)}=\mathrm{\dots }=E_{n+m-1}^{(1)},$$

com $n=\mathrm{0,1,2,3}\mathrm{\dots }$ representando o nível de energia e $m=\mathrm{1,2,3}\mathrm{\dots }$ os Hamiltonianos da hierarquia.

Por meio da utilização dos operadores bosônicos é possível obter também a autofunção para cada Hamiltoniano construído. Considerando que, por definição, $A_1^{+}{A}_1^{-}$ tem autovalor nulo [¹⁸], é condição suficiente para que

(13) $$A_1^{-}{\psi }_0^{(1)}=0.$$

Dessa forma, a autofunção pode ser obtida pela equação diferencial de primeira ordem, vide a definição do operador $A^{+}$ na equação (3). Temos então

(14) $${\psi }_0^{(1)}\propto \exp \left[-{\int }_x{W}_1(\overline{x})d\overline{x}\right].$$

Para os demais Hamiltonianos a autofunção do estado fundamental é encontrada de forma análoga [²²], o que leva a

(15) $${\psi }_0^{(m)}\propto \exp \left[-{\int }_x{W}_{m}d\overline{x}\right].$$

O estado fundamental de cada Hamiltoniano que compõe a hierarquia corresponde a um nível de energia do Hamiltoniano anterior, e por consequência também tem um correspondente em H_1,-. O mesmo se aplica às autofunções e, em potenciais exatamente ou parcialmente solúveis, é possível encontrar as autofunções de estados excitados, vide [¹⁸], pelas relações

(16) $${\psi }_n^{(m)}\propto A_{m-1}^{-}\mathrm{\dots }{A}_1^{-}{\psi }_{n+m-1}^{(1)}$$

e

(17) $${\psi }_{n+m-1}^{(1)}\propto A_1^{+}\mathrm{\dots }{A}_{m-1}^{+}{\psi }_n^{(m)}.$$

Aplicando este formalismo em problemas de potenciais exatamente ou parcialmente solúveis, conseguimos encontrar a solução para a ES via fatorização do Hamiltoniano, como no caso trabalhado a seguir, por exemplo.

3. Potencial Exponencial

O potencial de interesse, estudado nessa seção, é dado por

(18) $$V(x)=\alpha e^{-2ax}+\beta e^{-ax}+\gamma ,$$

sendo que $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ são constantes relacionadas com a profundidade do poço e a com a largura. Vamos discutir casos mais imediatos, em que $\alpha \ge 0$, $\beta$ e $\gamma$ são reais, e também restringimos $a>0$ e real. A ES a ser resolvida corresponde à equação (1) para o potencial acima. Seguindo o formalismo da MQS mostrado na seção anterior, para fatorizar o primeiro Hamiltoniano da hierarquia é necessário um superpotencial que satisfaça a equação de Ricatti (7) para o potencial trabalhado. Dessa forma, temos

(19) $$W_1{}^2(x)-W_1{}^{\prime }(x)+E_0^{(1)}=\alpha e^{-2ax}+\beta e^{-ax}+\gamma ,$$

que é satisfeita por

(20) $$W_1(x)=-\sqrt{\alpha }{e}^{-ax}+b_1.$$

O superpotencial acima satisfaz a equação (19) com o parâmetro $b_1=-(\frac{a}{2}+\frac{\beta }{2\sqrt{\alpha }})$. A constante $\sqrt{\alpha }$ também pode ser determinada considerando-a como um parâmetro adicional e fixado a posteriori. Entretanto, como esse parâmetro é sempre o mesmo ao longo da hierarquia, optou-se por fixá-lo de início, sem sobrecarregar a notação. Com isso, o autovalor de energia do estado fundamental é

(21) $$E_0^{(1)}=\gamma -b_1{}^2.$$

A autofunção do primeiro Hamiltoniano pode ser obtida a partir da equação (15):

(22) $${\psi }_0^{(1)}(x)\propto \exp \left[-\frac{\sqrt{\alpha }}{a}{e}^{-ax}-b_{1}x\right].$$

A construção do companheiro supersimétrico de H_1,- é feita como na equação (6) e H_2,- é construído como visto na equação (9). Sendo assim, temos:

(23) $$W_2{}^2(x)-W_2{}^{\prime }(x)+E_0^{(2)}$$ $$=\alpha e^{-2ax}+(\sqrt{\alpha }a-2\sqrt{\alpha }{b}_1)e^{-ax}+\gamma .$$

Pode ser observado que o potencial do companheiro supersimétrico tem a mesma forma funcional do potencial original (shape invariant) [²³, ²⁴]. Dessa maneira, o superpotencial que satisfaz a equação (23) é similar a $W_1(x)$ [¹⁸, ²³], sendo

(24) $$W_2(x)=-\sqrt{\alpha }{e}^{-ax}+b_2.$$

A solução do estado fundamental para o segundo Hamiltoniano da hierarquia, de forma análoga ao primeiro, é exata para o parâmetro $b_2=-(\frac{3a}{2}+\frac{\beta }{2\sqrt{\alpha }})$, com a energia valendo

(25) $$E_0^{(2)}=\gamma -b_2{}^2.$$

A função de onda ${\psi }_0^{(2)}(x)$, assim como ${\psi }_0^{(1)}(x)$, é obtida pela equação (15):

(26) $${\psi }_0^{(2)}(x)\propto \exp \left[-\frac{\sqrt{\alpha }}{a}{e}^{-ax}-b_{2}x\right].$$

Aplicando o operador $A_1^{+}$ sobre ${\psi }_0^{(2)}(x)$ obtém-se a função de onda para o primeiro estado excitado de H_1,-,,

(27) $${\psi }_1^{(1)}(x)\propto -(\sqrt{\alpha }{e}^{-ax}-b_2)\exp \left[-{\displaystyle \frac{\sqrt{\alpha }}{a}}{e}^{-ax}-b_{2}x\right]$$ $$-\sqrt{\alpha }\exp \left[-\left(a+b_2\right)x-{\displaystyle \frac{\sqrt{\alpha }}{a}}{e}^{-ax}\right]$$ $$+b_1\exp \left[-{\displaystyle \frac{\sqrt{\alpha }}{a}}{e}^{-ax}-b_{2}x\right].$$

Para obter as próximas funções de onda e níveis de energia para os estados excitados é necessário a construção dos próximos membros da hierarquia de Hamiltonianos, como explicitado nas equações (16) e (17). Como já mencionado, há uma invariância na forma funcional, sendo assim os superpotenciais são generalizados da seguinte maneira:

(28) $$W_m(x)=-\sqrt{\alpha }{e}^{-ax}+b_m.$$

Na equação (28) os membros da hierarquia são representados por $m=\mathrm{1,2,3}\mathrm{\dots }$

Os autovalores de energia são escritos de acordo com a equação (12), por consequência a expressão geral para a energia do primeiro Hamiltoniano é

(29) $$E_n^{(1)}=\gamma -b_m{}^2,$$

onde a representação dos níveis de energia é dada por $n=\mathrm{0,1,2,3}\mathrm{\dots }$; $m=\mathrm{1,2,3}\mathrm{\dots }$ está relacionado com a hierarquia. Na generalização conseguimos estabelecer o vínculo para um espectro de energia de forma que $m=n+1$.

O parâmetro b é generalizado como

(30) $$b_m=-\left[\left(m-\frac{1}{2}\right)a+\frac{\beta }{2\sqrt{\alpha }}\right].$$

A função de onda geral para o estado fudamental dos membros da hierarquia tem a seguinte forma:

(31) $${\psi }_0^{(m)}\propto \exp \left[-\frac{\sqrt{\alpha }}{a}{e}^{-ax}-b_{m}x\right].$$

Para construir os estados excitados, usamos as autofunções encontradas em (31) na relação (17), de modo que

(32) $${\psi }_n^{(1)}\propto A_1^{+}\mathrm{\dots }{A}_n^{+}\left(\exp \left[-{\displaystyle \frac{\sqrt{\alpha }}{a}}{e}^{-ax}-b_{m}x\right]\right).$$

Assim, a solução geral é dada pelos autovalores de energia apresentados na equação (29) e pelas autofunções associadas, descritas nas equações (31) e (32).

4. Potencial de Morse Usual

A solução apresentada até aqui é válida para qualquer valor de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ e a para o potencial original. A fim de verificar essa solução, consideramos as constantes $\alpha =D$, $\beta =-2D$ e $\gamma =0$ para um caso particular do potencial de Morse [⁶]:

(33) $$V_M(x)=D{e}^{-2ax}-2D{e}^{-ax}.$$

O autovalor de energia do estado fundamental (n=0) para o primeiro Hamiltoniano do caso particular é dado também pela equação (29). Todavia, agora a energia estará relacionada com o parâmetro D de forma que

(34) $$E_0^{(1)}=-{\left(\frac{a}{2}-\sqrt{D}\right)}^2.$$

A função de onda para esse estado, seguindo a indicação da equação (22), é dada pela expressão:

(35) $${\psi }_0^{(1)}(x)\propto \exp \left[-\frac{\sqrt{D}}{a}{e}^{-ax}+\left(\frac{a}{2}-\sqrt{D}\right)x\right].$$

Os demais níveis de energia são obtidos pela equação (29), com b_m, da equação (30), reescrito como

(36) $$b_m=-\left[\left(m-\frac{1}{2}\right)a-\sqrt{D}\right],$$

para $m=\mathrm{1,2,3}\mathrm{\dots }$.

Sendo assim, os autovalores são

(37) $$E_n=-b_m{}^2,$$

com $n=\mathrm{0,1,2,3}\mathrm{\dots }$, e o vínculo $m=n+1$.

De forma análoga às equações (31) e (32), as autofunções para o estado fundamental de cada Hamiltoniano neste caso são

(38) $${\psi }_0^{(m)}\propto \exp \left[-\frac{\sqrt{D}}{a}{e}^{-ax}-b_{m}x\right],$$

e para os estados excitados temos

(39) $${\psi }_n^{(1)}\propto A_1^{+}\mathrm{\dots }{A}_n^{+}\left(\exp \left[-\frac{\sqrt{D}}{a}{e}^{-ax}-b_{m}x\right]\right).$$

Como esperado, os resultados encontrados para esse caso particular presentes na literatura [⁶, ²⁵, ²⁶] estão de acordo com a solução apresentada aqui.

5. Conclusões

Neste trabalho, foi feito uma revisão do formalismo da MQS aplicado na fatorização e construção de uma hierarquia de Hamiltonianos. Com os resultados obtidos, encontramos a solução para um tipo de potencial exponencial generalizado. Partindo da solução geral, encontramos também a solução para um caso particular, atribuindo valores aos parâmetros $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ que restringe o caso mais geral para o potencial de Morse usual [⁶].

Assim, foi identificado uma classe de potenciais que correspondem a uma generalização do potencial de Morse. Na literatura encontramos alguns trabalhos que abordam essa generalização por outros formalismos [²⁷, ²⁸]. Entretanto, até onde vai o conhecimento dos autores, não se encontrou nenhuma discussão via Mecânica Quântica Supersimétrica do resultado aqui apresentado.

O formalismo discutido pode ser usado como um método alternativo de obtenção da solução da equação de Schrödinger, podendo ser usado em outros problemas. Também é possível ampliar sua aplicação para outros tipos de problemas, como potenciais parcialmente solúveis ou mesmo potenciais que exigem métodos aproximativos.

Em especial, para o potencial tratado aqui, o formalismo permite a construção analítica dos operadores supersimétricos. Com essa solução, também se pode aplicar a metodologia para sistemas com condições de contorno não usuais e obter soluções aproximadas. O caso particular do potencial de Morse confinado [²⁹] é um exemplo.

Agradecimentos

Os autores agradecem pelo suporte financeiro parcial da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), processos números 88887.641424/2021-00, 88887.606561/2021-00 e 88887.606562/2021-00; e do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo processo número 130527/ 2021-1.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  28 Out 2022
• Data do Fascículo
  2022

Histórico

• Recebido
  26 Abr 2022
• Revisado
  23 Set 2022
• Aceito
  25 Set 2022