Fundamentos e Metodologia de Construção de um Relógio Solar Analemático para o Ensino de Astronomia

Fundamentals and Methodology for Building an Analemmatic Solar Clock for Teaching Astronomy

Resumo

O presente artigo objetiva apresentar a metodologia de construção e análise de um relógio solar analemático localizado no Polo Astronômico Rodolpho Caniato da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), campus Campo Mourão, bem como previamente simular o seu funcionamento e sua precisão em um software gratuito, de maneira a evitar erros sistemáticos prejudiciais aos procedimentos. Os cálculos foram realizados a partir das coordenadas geográficas locais e as simulações ocorreram no Google SketchUp. Constatado o déficit de conteúdos e tutoriais que abordem adequadamente a concepção, a construção e o uso desse aparato, a pesquisa propõe um roteiro para subsidiar professores e interessados. A localização do relógio solar no campus universitário, ademais, teve como propósito o incentivo à Astronomia, dado que o artefato pode ser utilizado no apoio a processos de ensino-aprendizagem de Astronomia e Física para estudantes universitários ou da Educação Básica e outros interessados que regularmente visitam o espaço.

Palavras-chave:
Ensino de Astronomia; Google SketchUp; Movimento Aparente do Sol; Relógio Solar Analemático

Abstract

This article aims to present the methodology for constructing and analyzing an analemmatic sundial located at the Rodolpho Caniato Astronomical Center of the Federal Technological University of Paraná (UTFPR), Campo Mourão campus, as well as to previously simulate its operation and accuracy in free software, in order to avoid systematic errors that could be detrimental to the procedures. The calculations were performed based on local geographic coordinates and the simulations were performed in Google SketchUp. Given the lack of content and tutorials that adequately address the design, construction and use of this device, the research proposes a roadmap to support teachers and interested parties. Furthermore, the location of the sundial on the university campus had the purpose of encouraging Astronomy, since the artifact can be used to support teaching-learning processes in Astronomy and Physics for university or basic education students and other interested parties who regularly visit it.

Keywords:
Astronomy Education; Google SketchUp; Apparent Solar Motion; Analemmatic Sundial

1. Introdução

O ensino de Astronomia e Física no Brasil apresenta uma série de dificuldades em sua execução, entre as quais a experimentação e a diversificação de metodologias [¹, ², ³, ⁴, ⁵, ⁶, ⁷, ⁸, ⁹, ¹⁰]. Abordagens que não consideram a modernização curricular, em particular de fundamentos, materiais, métodos e avaliação, têm produzido indisposição à aprendizagem [¹¹]. Por outro lado, a adequada interação com o conteúdo e suas extensões didáticas é fundamental para propiciar construções qualificadas de conhecimentos e, no limite, levar a aprendizagens significativas [¹²]. Um aparato pedagógico, imersivo e potencialmente lúdico para a aprendizagem é o relógio solar [¹³].

Uma das variações desse recurso é o relógio solar analemático, que é construído em formato de elipse, com um eixo cortando-a ao meio. As marcações das horas se distribuem ao longo da elipse; no eixo central, encontra-se a marcação das datas. A diferença entre este e suas tipificações comuns se deve ao fato de a declinação do Sol ao longo dos dias ser corrigida pela alteração do gnômon (ponteiro) de posição ao longo dos meses e das semanas, ampliando significativamente sua precisão, além de ter seu formato baseado nas respectivas coordenadas geográficas. A aferição do tempo pode ser observada ao verificar o ponto onde a sombra do gnômon alcança a elipse que marca as horas [¹⁴]. Se tiver tamanho suficiente, o ponteiro do relógio pode ser substituído por uma pessoa, tornando-o ainda mais interativo, como no caso de que cuida esta exposição.

A esse propósito, são apresentados alguns tipos de relógios solares, seguindo-se breve explicação acerca do movimento aparente do Sol no céu. Continuamente, descreve-se o processo de construção do relógio, desde os softwares que simulam seu funcionamento e determinam sua precisão até questões relativas à sua estrutura física. Por fim, são apresentadas considerações acerca do processo, do resultado, das aplicações e das limitações do modelo.

2. Tipos de Relógios Solares

Os relógios solares são instrumentos de medição do tempo utilizados desde a Antiguidade por diversas culturas e com aplicação na organização cronológica, social, cultural e produtiva das civilizações. Com o avanço das tecnologias, e o consequente surgimento de medidores de tempo mais simples, acessíveis, versáteis e precisos, esses instrumentos perderam sua importância prática, embora sejam ainda valorizados como objetos decorativos e de estudo histórico e científico. O Quadro 1 ilustra e descreve alguns exemplares de relógios solares.

Quadro 1
Diferentes tipos de relógios solares. Fonte: [⁵, ¹⁵].

Tipo	Descrição	Imagem
Horizontal	O relógio solar horizontal, conhecido também como relógio solar de haste, é o modelo mais simples e comum. Ele é composto por uma placa plana e uma haste vertical que projeta sombra na superfície. Esse tipo funciona com maior eficácia quando o Sol está próximo do zênite (ponto celeste diretamente acima de um observador), embora sua precisão possa variar pela latitude ou época do ano.	A: Relógio horizontal – França. Fonte: [15].
Polar	O relógio polar emprega um gnômon posicionado perpendicularmente a um plano com inclinação corresponde à latitude local. Esse design permite que ele marque as horas do dia em qualquer latitude, embora sua precisão seja inferior à do relógio solar horizontal em regiões próximas ao equador.	B: Relógio polar – França. Fonte: [15].
Vertical	Também conhecido como relógio solar de parede, esse tipo de relógio é instalado em superfícies verticais, como paredes, e funciona de maneira semelhante aos relógios de haste. Sua estrutura consiste em uma base plana e uma haste perpendicular à parede, que projeta uma sombra sobre ela. Popularizados durante a Idade Média na Europa, esses relógios são frequentemente encontrados em igrejas e edifícios históricos, servindo como testemunhos da precisão e da arte da medição do tempo naquela época.	C: Relógio vertical – França. Fonte: [15].
Equatorial	O relógio solar equatorial possui um gnômon alinhado paralelamente ao eixo de rotação da Terra e uma superfície marcada com as divisões das horas cuja inclinação é determinada pela latitude do local, de modo que o ângulo do gnômon corresponda ao seu complemento. Por exemplo, para garantir a precisão do relógio, em um local com latitude de 20 graus, o gnômon deve ser inclinado em um ângulo de 70 graus em relação à horizontal.	D: Relógio equatorial – França. Fonte: [15].
Analemático	O relógio solar analemático é composto por um plano horizontal com uma marcação em forma de elipse; nele, o próprio usuário pode se posicionar para projetar sua sombra e indicar as horas. Sua construção exige cálculos precisos que consideram a latitude local, a declinação do Sol e correções ao longo do ano, o que garante maior precisão na medição do tempo. No hemisfério norte, ele deve ser orientado em direção ao norte verdadeiro (ou norte geográfico); no sul, a orientação deve ser para o sul verdadeiro (ou sul geográfico), assegurando seu adequado funcionamento.	E: Relógio analemático – França. Fonte: [15].

Esses modelos não são exaustivos e cada qual apresenta vantagens e desvantagens específicas que variam em complexidade e precisão. A escolha do tipo ideal depende da finalidade de utilização e das condições específicas do local de instalação.

3. Radiação Solar: Fundamentos e Aplicações para o Ensino de Astronomia

3.1. Introdução à radiação solar

A radiação solar é um fenômeno eletromagnético fundamental para a compreensão da Astronomia e da Física. O relógio solar analemático utiliza diretamente a posição aparente do Sol para marcar o tempo, sendo fundamental o entendimento da natureza matemática da radiação dessa estrela. A base teórica para a sua compreensão requer considerar a natureza eletromagnética da radiação social e o transporte energético pelo espaço.

3.2 O Vetor de poynting e a energia solar

A exposição ao Sol leva à percepção de que grande quantidade de energia incide por meio de ondas eletromagnéticas. A quantidade de energia transportada por unidade de área, por uma onda eletromagnética, pode ser descrita por um vetor $\overrightarrow{S}$, chamado de vetor de Poynting, definido por [¹⁶, ¹⁷]:

(1)$$\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$$

em que:

• $\overrightarrow{S}$ é o vetor de Poynting (potência por unidade de área);

• $\overrightarrow{E}$ é o campo elétrico;

• $\overrightarrow{B}$ é o campo magnético; e

• μ₀ é a permeabilidade magnética no vácuo.

Em outros termos, $\overrightarrow{S}$ representa a densidade direcional do fluxo de energia (ou a potência) de um campo eletromagnético. Para ondas planas no vácuo, a magnitude do vetor de Poynting pode ser expressa como:

(2)$$S=\frac{c{B}^2}{{\mu }_0}={\epsilon }_{0}c{E}^2$$

em que c é a velocidade da luz no vácuo e ε₀, a permissividade elétrica do vácuo. O valor médio do Vetor de Poynting depende dos campos elétrico e magnético.

3.3. Intensidade da radiação solar

A intensidade média da radiação solar que atinge a Terra, conhecida como constante solar, é aproximadamente $I_{\mathrm{solar}}=1361\frac{W}{m^2}$. Esta é a potência por unidade de área recebida no topo da atmosfera terrestre. Na superfície e em condições ideais, devido à absorção e à dispersão atmosférica, ela é reduzida para cerca de $1000\frac{W}{m^2}$ [¹⁸, ¹⁹].

3.4. Variação da radiação solar ao longo do ano

A órbita elíptica da Terra em torno do Sol faz com que a distância entre eles varie entre o periélio (cerca de 147,1 milhões de km) e o afélio (cerca de 152,1 milhões de km). A intensidade da radiação solar varia inversamente com o quadrado da distância; apesar de a variação ser relativamente pequena, ela influencia na quantidade de radiação que chega até a Terra. Ainda assim, é a inclinação da superfície o fator que mais afeta a densidade de energia recebida. A intensidade efetiva em uma superfície inclinada em um ângulo θ em relação à direção dos raios solares é:

(3)$$I_{\mathrm{efetiva}}=I_{\mathrm{solar}}·\cos \theta$$

Esta relação explica a variação sazonal na intensidade da radiação solar recebida em diferentes latitudes, como consequência do mencionado na descrição do relógio solar analemático (Quadro 1E).

A abordagem matemática da radiação solar, fundamentada nas equações de Maxwell e no vetor de Poynting, fornece ferramentas para o ensino de Astronomia. Quando aplicada ao estudo de relógios solares analemáticos, ela permite uma compreensão mais profunda dos fenômenos astronômicos e de sua relação com fundamentos de Física. A integração didática desses conceitos pode favorecer a conformação de operadores da construção de conhecimentos e da aprendizagem significativa, conectando teoria matemática abstrata com observações concretas do movimento aparente do Sol, detalhamento que pode ser encontrado em [¹⁸, ¹⁹].

Um experimento simplificado pode ser realizado para demonstrar os efeitos na prática [²⁰], posicionando, em um ambiente com pouca luz, uma lanterna diante de um pedaço de cartolina preso de modo perpendicular ao feixe luminoso. Nele, a luz incide em uma área específica com determinada intensidade (Figura 1(a)). Se a cartolina for inclinada 20° em relação à posição original (Figura 1(b)), a região iluminada com a mesma intensidade se expande. A potência da fonte luminosa permanece inalterada; entretanto, como a área de distribuição da luz aumenta, cada parte dessa superfície recebe menor quantidade de energia.

Figura 1
Representação da superfície da cartolina: (a) perpendicular ao fluxo de luz e (b) inclinada de 20 em relação a vertical [²⁰].

3.5. O movimento aparente do sol

O Sol, a estrela central do Sistema Solar, tem seu movimento aparente no céu registrado desde os primórdios da humanidade, sendo uma das observações astronômicas mais antigas e fundamentais da história. Ao longo do tempo, os astrônomos estudaram esse deslocamento aparente diário e as suas implicações para as diferentes culturas e sociedades. O movimento aparente do Sol é resultado do movimento de rotação da Terra em torno de seu próprio eixo. Combinado com a órbita da Terra em torno do Sol faz com que o sol pareça mover-se no céu ao longo do dia, passando da região leste para a região oeste, no referencial de um observador na Terra [²¹].

Na Figura 2, elaborada utilizando o software Google SketchUp, é apresentada uma simulação da trajetória percorrida pelo Sol ao longo do dia. O ponto maior, destacado em vermelho, representa a posição do Sol no dia 20 de março. A simulação foi realizada considerando as coordenadas geográficas exatas do Polo Astronômico Rodolpho Caniato UTFPR/Campo Mourão.

Figura 2
Simulação, no Google SketchUp, da trajetória percorrida pelo Sol ao longo do dia, em vermelho, em 20 de março: a) 6h38 (a.m.); b) 7h23 (a.m.); e c) 7h51 (a.m.).

No entanto, é importante mencionar que o movimento aparente do Sol não é uniforme ao longo do ano. Isso ocorre porque a órbita da Terra em torno do Sol não é circular, mas elíptica. Isso significa que a Terra está mais próxima do Sol em certas épocas do ano e mais distante em outras, o que causa variações na velocidade aparente do Sol. Além disso, esse movimento é afetado pela inclinação do eixo da Terra em relação ao plano da órbita. Essa condição causa as estações do ano e faz com que o Sol pareça se mover em uma trajetória ligeiramente diferente no céu entre o solstício de verão e de inverno [²²].

Utilizando o mesmo simulador e a partir das mesmas coordenadas geográficas, foi gerada a Figura 3, que ilustra a variação da posição do Sol ao longo do ano. A simulação foi realizada considerando um horário fixo, às 7h (a.m.). Sua análise permite observar que, próximo ao solstício de verão, o Sol atinge uma posição mais elevada no céu; de outro lado, quando próximo ao equinócio, especificamente no dia 4 de setembro, ele se posiciona em uma altitude mais baixa. As demais imagens complementam a representação, detalhando a variação completa da trajetória solar ao longo do ciclo anual.

Figura 3
Simulação, no Google SketchUp, da posição do Sol às 7h (a.m.) para diferentes datas. a) 22 de dezembro; b) 5 de fevereiro; c) 2 de abril; d) 4 de setembro; e) 9 de outubro; e f) 27 de novembro.

O movimento aparente do Sol, além de ser um fenômeno astronômico fundamental, possui profunda relevância cultural e científica; ademais, tem sido importante para diversas áreas, incluindo a agricultura, navegação, astrologia e religião [²³]. Por exemplo, em muitas culturas antigas, o Sol era considerado uma divindade e seu movimento no céu era associado a diferentes eventos e festivais religiosos. Ele não apenas define os ciclos de dias e noites, mas influencia estações, climas e, consequentemente, a vida na Terra. Sua compreensão permitiu o desenvolvimento de calendários, a orientação geográfica e o avanço de civilizações, evidenciando a intrínseca conexão entre o céu e a humanidade. Contemporaneamente, o seu estudo continua a ser importante para a Astronomia e para a compreensão do universo.

4. A Construção do Relógio Solar Analemático

Para a construção de um relógio solar, é essencial realizar cálculos que levem em consideração a longitude e a latitude do local de sua instalação. Embora existam softwares que os automatizam, muitos apresentam imprecisões quando submetidos a simulações cuidadosas. Diante disso, os cálculos foram efetuados manualmente e, em seguida, comparados aos resultados obtidos por meio dos softwares disponíveis, com o objetivo de identificar a ferramenta com maior precisão.

A longitude do local indica a distância em relação ao meridiano de Greenwich [²⁴]. À primeira vista, essa medida pode parecer irrelevante, uma vez que a escolha daquele sistema de referência foi baseada em critérios políticos em detrimento a conceitos astronômicos. No entanto, a sincronização entre as horas observadas no relógio mecânico e aquelas indicadas pelo relógio solar analemático também depende desse parâmetro, como será detalhado adiante.

Já a latitude influencia diretamente a configuração do analema solar, uma vez que a trajetória aparente do Sol no céu varia de acordo com ela e, consequentemente, a sombra projetada no solo também se altera. Dessa maneira, a excentricidade da elipse formada pelo analema será variável conforme a latitude. Além disso, a coordenada desempenha um papel crucial na definição do ponto cardeal para o qual o relógio solar deve estar orientado. Em regiões localizadas no hemisfério norte (acima do equador), os relógios solares devem ser voltados para o norte verdadeiro, enquanto aqueles construídos no hemisfério sul, como é o caso do relógio deste estudo, para o ponto cardeal sul.

O norte verdadeiro está diretamente associado ao eixo de rotação da Terra, correspondendo ao Polo Norte Geográfico [²⁵]. Por outro lado, o norte magnético está relacionado ao campo geomagnético, representando a direção para a qual a bússola aponta, uma vez que sua agulha se alinha com as linhas de força do campo magnético terrestre [¹⁷, ²⁶]. Em termos práticos, isso significa que o norte indicado pela bússola pode diferir do norte geográfico, fenômeno cuja medida angular é denominada declinação [²⁵].

Além disso, as rochas que contêm minerais ferromagnéticos registram informações acerca do campo magnético terrestre em diferentes épocas geológicas. Esses registros evidenciam que o polo que denominamos ‘Norte Magnético’ sofre deslocamentos e até variações em sua intensidade ao longo do tempo [²⁶].

Fisicamente, o polo próximo ao Ártico – para o qual a bússola aponta – comporta-se como um polo sul magnético, uma vez que atrai o polo norte da agulha magnética. No entanto, devido a uma convenção histórica, ele é denominado Polo Norte Magnético [²⁵]. Essa distinção entre ‘norte geográfico’ e ‘norte magnético’ é essencial em áreas como navegação, cartografia e na compreensão de fenômenos como a Anomalia Magnética do Atlântico Sul, que também está relacionada à dinâmica do campo magnético terrestre [²⁶].

A diferença angular, em graus, entre o norte verdadeiro e o magnético é denominada declinação magnética. Ela varia conforme a localização geográfica e pode ser consultada em tabelas ou modelos globais, como o International Geomagnetic Reference Field (IGRF), que são atualizados periodicamente para garantir a precisão das informações [¹⁷, ²⁶]. O sul verdadeiro e o magnético sofrem influências semelhantes às descritas para o norte, uma vez que todo o campo geomagnético está sujeito às mesmas variações físicas [²⁵].

Existem diversas maneiras de determinar o sul ou o norte verdadeiro [²⁷, ²⁸, ²⁹]. Dois dos métodos mais conhecidos são: 1) utilizar uma bússola para identificar o sul magnético e, em seguida, subtrair a declinação magnética; ou 2) acompanhar a trajetória da sombra de um objeto perpendicular ao solo por alguns minutos, próximo ao meio-dia solar. Nesse caso, a trajetória da sombra indicará a direção do eixo leste-oeste verdadeiro. Com o auxílio da tecnologia, é possível encontrar o sul verdadeiro de maneira mais prática, como por meio de aplicativos de smartphones que fornecem a localização do sul magnético e do sul verdadeiro, a exemplo do CompassGM, que já inclui a correção da declinação magnética em seus cálculos.

4.1. O Software Google SketchUp

A construção manual de um relógio solar analemático exige o uso de diversas ferramentas, como régua ou trena, transferidor, compasso, esquadro e bússola, entre outros. No entanto, a utilização e o manuseio desses instrumentos podem introduzir erros que comprometem a precisão final.

Neste projeto, os cálculos necessários para a construção do relógio solar analemático foram realizados, inicialmente, sem o auxílio de softwares que fornecem o aparato ou suas marcações já prontas, uma vez que a maioria dos programas disponíveis não detalha as definições relacionadas a tais cálculos e, quando confrontados com a literatura, frequentemente revelam erros conceituais. Para minimizar o erro humano e, posteriormente, validar o funcionamento adequado, foi utilizado o software de engenharia Google SketchUp, que oferece, de forma digital, as ferramentas necessárias para a construção virtual do relógio e a simulação de seu funcionamento com base nas sombras projetadas de acordo com a geolocalização.O Google SketchUp é um programa bastante intuitivo e de fácil utilização voltado, principalmente, para as áreas de Engenharia Civil e Arquitetura. No entanto, sua versatilidade permite a aplicação em diversas outras áreas, sendo útil para qualquer finalidade que envolva a criação de esboços bidimensionais ou tridimensionais, o que o torna ideal para a elaboração de maquetes. Ele possui uma versão gratuita, disponível on-line e acessível mediante cadastro em sua página eletrônica (https://www.sketchup.com). O seu funcionamento não exige alto processamento computacional, pois combina operação em nuvem com esforço local, o que amplia sua acessibilidade.

4.2. Configurando o Software Google SketchUp

Após realizar o cadastro na plataforma on-line, é necessário configurar algumas opções antes de iniciar a utilização do software. Ao clicar ‘Criar Novo’, uma janela será aberta com um projeto em branco no qual as configurações devem ser definidas. Na aba ‘Informações do Modelo’, localizada no lado direito da tela inicial, é possível definir a unidade de medida a ser utilizada e ajustar a precisão na seção ‘Unidades de Comprimento’, conforme ilustrado na Figura 4(a).

Figura 4
Capturas de tela do software Google SketchUp sendo configurado: a) definindo as unidades e a precisão; b) habilitando as sombras; c) encontrando os eixos cardeais; e d) ferramentas úteis circuladas à direita e indicadas por uma seta.

Na aba logo acima da anterior, intitulada ‘Exibição’, é necessário ativar a função de sombras para permitir a simulação precisa do relógio solar. Nessa mesma aba, também é possível definir a data e a hora desejadas. Posteriormente, essas ferramentas serão essenciais para simular as sombras projetadas ao longo das horas em diferentes datas, conforme ilustrado na Figura 4(b).

Os eixos cardeais podem ser localizados, no programa, por meio da identificação dos eixos coloridos centrais. O verde representa o eixo Norte-Sul, enquanto o vermelho, o eixo Leste-Oeste, tal como mostrado na Figura 4(c).

Para ativar a geolocalização, é necessário acessar o menu de preferências localizado no canto superior esquerdo da tela. Ao clicar ‘Adicionar Localização’, é possível definir a geolocalização do projeto. Dessa maneira, as sombras geradas pelo programa simularão com precisão as sombras reais do local selecionado.

Como mencionado, a utilização do software é ideal para aumentar a precisão das medidas, uma vez que minimiza erros humanos associados ao manuseio de ferramentas físicas. O programa disponibiliza os recursos citados (régua ou trena, transferidor, compasso, esquadro e bússola, entre outros) no menu localizado ao lado esquerdo da tela (indicados por uma seta preta), conforme ilustrado na Figura 4(d). Eles podem ser utilizados no de maneira análoga à empregada analogicamente, porém com precisão significativamente maior.

4.3. Construindo a elipse adequada

A elipse varia de acordo com a latitude do local. Por definição, para a sua construção, é suficiente conhecer: 1) o comprimento de seu semieixo menor; 2) a distância de seus focos; e 3) o comprimento do seu semieixo maior. Este último pode ser definido arbitrariamente, com base no tamanho desejado para a elipse, considerando sua finalidade e o local de instalação. No modelo em discussão, o relógio solar analemático foi construído no Polo Astronômico Rodolpho Caniato, localizado na Universidade Tecnológica Federal do Paraná, em Campo Mourão, Paraná, Brasil, com a seguinte geolocalização: 24°03’37.54S (latitude), 52°23’12.58°O (longitude); o comprimento do semieixo maior foi definido como 3,0 metros, pois o gnômon utilizado equivale à estatura humana.

Com a geolocalização definida e o tamanho do semieixo maior estabelecido, o primeiro passo é desenhar uma circunferência com raio igual ao semieixo maior escolhido, conforme ilustrado na Figura 5(a). Em seguida, traça-se um segmento de reta partindo da extremidade esquerda da circunferência em direção ao centro com a angulação correspondente ao valor da latitude do local, como mostrado na Figura 5(b).

Figura 5
Capturas de tela do software Google SketchUp: a) criação do círculo; b) ângulo igual ao da latitude local; c) definição do ponto de interseção; e d) medição do comprimento da semirreta (a linha E-D representa a direção leste-oeste).

Ao percorrer o segmento de reta, haverá um único ponto que será ortogonal ao segmento e, ao mesmo tempo, terá uma projeção de um segmento de reta em direção ao centro da circunferência. Este ponto pode ser determinado por meio de conceitos trigonométricos. No exemplo em questão, o ângulo inicial corresponde a 24,06° (latitude local) e o ângulo desejado, que é ortogonal à reta, possui 90° em direção ao centro. Assim, o ângulo do segmento que parte da origem em direção ao segmento de reta inicial deve ter 65,94°, como pode ser visto na Figura 5(c).

Com o ponto determinado, mede-se o comprimento da origem até o ponto B. Esse corresponderá ao tamanho do semieixo menor da elipse, conforme mostrado na Figura 5(d). O ponto que define o semieixo menor, partido da origem, será chamado de C.

Para determinar os focos da elipse, é necessário projetar uma segunda circunferência com o mesmo raio do inicial, entretanto com centro em C. Os pontos em que a circunferência cortar o semieixo maior, E-D, determinarão os focos da elipse (Figura 6(a)). O comprimento do semieixo menor determinado foi de ±122,3079 cm e as posições dos focos foram ±272,1065cm (Figura 5(b)) no eixo X.

Figura 6
a) determinação dos focos da elipse; b) medição da distância focal; c) realização das marcações de 15° em 15°; e d) círculo com todas as marcações.

Com a elipse definida, é possível, então, marcar os pontos correspondentes às horas. Na circunferência, fazem-se marcações de 15° em 15°, conforme ilustrado nas Figuras 6(c e d). Uma das maneiras de construir o relógio seria projetar diretamente os pontos da circunferência na elipse. No entanto, para garantir maior precisão, é necessário realizar ainda uma correção adicional com base na longitude.

O sistema de horas universal é baseado em zonas, conhecidas como zone-times, que dividem o globo em intervalos de 15° em 15°. Entretanto, o Sol não respeita as zone-time, pois, para ele, não importa se a hora é a mesma para Brasília, São Paulo e Paraná, já que estas cidades estão dentro da mesma zone-time. As sombras projetadas pelo Sol serão ligeiramente diferentes em cada local, o que resultará em erros se um mesmo relógio solar for utilizado, tornando as medidas com base nas zone-times imprecisas [²⁴].

Para corrigir esse erro, verifica-se em qual zone-time o relógio será instalado e a qual meridiano ele pertence. Em seguida, subtrai-se a longitude da localização do relógio pelo ângulo da zone-time. Por exemplo, o relógio deste trabalho está localizado na longitude de 52,39° e encontra-se na zone-time de Brasília (UTC-3) cujo meridiano central é 45°. Subtraindo 45° de 52,39°, obtém-se o valor de 7,39°, que corresponde ao ângulo em graus pelo qual a circunferência do item anterior deve ser girada, no sentido horário (para o hemisfério sul), para realizar a correção, conforme ilustrado na Figura 7(a). Com a regulagem concluída e a elipse desenhada, as horas podem ser marcadas por meio da projeção das marcações da circunferência na elipse, conforme mostrado nas Figuras 7(b e c).

Figura 7
Capturas de tela do software Google SketchUp: a) regulagem com base na longitude; b) marcação das horas na elipse; e c) horas definidas.

É importante destacar que a marcação correspondente ao ângulo de 90° (antes da regulagem) representa o horário do meio-dia. As marcações com ângulos maiores que 90° correspondem aos horários após o meio-dia, enquanto as com ângulos menores que 90° representam horários antes do meio-dia, seguindo uma sequência inversa à dos relógios analógicos convencionais.

4.4. Marcação dos meses

Como o relógio solar analemático requer ajustes constantes do gnômon para compensar a declinação do Sol, há um eixo central que corresponde às marcações das datas. Ele indica a posição em que o gnômon deve ser posicionado no primeiro dia de cada mês (linha que corta a elipse na vertical). A declinação do Sol varia significativamente ao longo dos meses; entretanto, em um mesmo dia, em anos diferentes, a variação é de apenas alguns graus, o que mantém a precisão do relógio ao longo do tempo. Tabelas de declinação solar para cada latitude estão amplamente disponíveis e foram utilizadas neste trabalho (segunda coluna da Tabela 1) [¹⁴, ³⁰, ³¹, ³², ³³]. As marcações das datas no relógio solar podem ser feitas utilizando, em conjunto com uma tabela de declinação solar, a seguinte equação:

(4)$$Y=-L·\cos \left(\phi \right)\tan \left(\theta \right)$$

em que L é o comprimento do semieixo maior da elipse, θ é a declinação solar do dia, φ é a latitude e Y fornece o comprimento do eixo. O sinal negativo deve-se ao fato do relógio estar localizado no hemisfério sul. Para se calcular para o hemisfério norte, a mesma equação pode ser utilizada, porém com sinal inverso.

Tabela 1
Declinações solares e coordenadas das datas correspondentes no relógio solar analemático.

Data	Declinação (θ)	Comprimento do eixo (cm)
01/jan	–22,95	115,9964849
01/fev	–16,96	83,54125664
01/mar	–7,41	35,62656056
01/abr	4,72	–22,61782553
01/mai	15,22	–74,52917814
01/jun	22,11	–111,2891637
01/jul	23,07	–116,6736875
01/ago	17,89	–88,42579501
01/set	8,11	–39,03550163
01/out	–3,37	16,13080282
01/nov	–14,57	71,20157609
01/dez	–21,86	109,8990754

Para o relógio solar estudado neste trabalho, as declinações solares foram calculadas e organizadas na Tabela 1 [³⁴] (coluna 2). A partir desses dados, as posições das marcações de datas (em centímetros) foram determinadas utilizando a Equaçãoeq4, adotando-se como referência um semieixo maior de 300 cm.

Com as posições das marcações das datas definidas, é possível finalizar o esboço do relógio solar analemático, conforme ilustrado na Figura 8. As distâncias determinadas pela Equação eq4 são medidas a partir do centro da elipse. Uma vez o relógio solar completamente modelado na maquete virtual do Google SketchUp, é possível simular sombras para verificar seu correto funcionamento teórico antes da execução prática. Além disso, utilizando-se a ferramenta “Trena” do software, foram determinadas as coordenadas cartesianas de cada uma das marcações das horas e datas.

Figura 8
Elipse com as datas definidas.

Após comparar os resultados obtidos com diversos softwares disponíveis que propõem entregar coordenadas prontas para construção de um relógio solar analemático, um programa destacou-se por três características importantes: 1) praticidade de uso; 2) abordagem didática; e, principalmente, 3) ser o único (dentre os testados) a gerar um esboço de relógio idêntico ao feito utilizando cálculos manuais, incluindo a correção de longitude. Trata-se de uma ferramenta desenvolvida por Alexander R. Pruss, denominada “Analemmatic Sundial PDF Generator”, que se mostrou a mais adequada para este propósito, combinando precisão técnica com interface intuitiva e acesso gratuito.

4.5. Desenvolvendo o relógio solar analemático na prática

O relógio solar analemático, cujo método de construção foi detalhado em seções anteriores, foi instalado no Polo Astronômico Rodolpho Caniato, localizado no campus Campo Mourão da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR). A localização exata foi obtida utilizando o Google Maps, com coordenadas (–24.060451, –52.386760).

Para a execução do aparato, foi construída uma base de concreto usinado, gerando uma superfície lisa, regular e estável, condição ideal para uma ótima visualização das sombras geradas pelo gnômon. O local foi selecionado considerando algumas características importantes: 1) amplitude espacial livre de interferências (árvores, edificações e estruturas urbanas); 2) orientação precisa ao sul geográfico; 3) validação prévia por meio de simulações no Google SketchUp (Figura 9(a)); e 4) testes, in loco, com protótipo temporário (Figura 9(b)).

Figura 9
Simulação de sombras do local em 17 de setembro às 3h (p.m.).

O início da construção da base foi condicionado à obtenção de resultados positivos nas etapas preliminares. A estrutura construída (Figura 10(a e b)) possui dimensões ligeiramente maiores que o relógio, passou por um processo de preparação que inclui pintura fosca verde, estabelecimento de um sistema cartesiano (y+ = Sul; x+ = Oeste) e marcações precisas das coordenadas das horas e datas. O projeto foi finalmente materializado pela aplicação do esboço desenvolvido conforme a metodologia descrita.

Figura 10
Relógio finalizado: a) grupo de estudantes que visitaram o Polo Astronômico; e b) monitora explicando o funcionamento do relógio solar analemático.

5. Considerações Finais

O modelo descrito neste artigo pretende-se uma contribuição relevante (e em Português) para o ensino de Astronomia e Física, especialmente na compreensão e no uso de relógios solares analemáticos como ferramentas didáticas. A pesquisa identificou carência de tutoriais completos e precisos acerca do tema, o que motivou a criação deste guia detalhado, que abrange fundamentos teóricos e aplicação prática. Os resultados obtidos explicitam que a metodologia adotada, que combina cálculos manuais com simulações no software Google SketchUp, é eficaz para garantir a precisão do relógio solar analemático. A validação do projeto por meio de simulações digitais antes da construção física revelou-se estratégia útil para minimizar erros e aperfeiçoar o processo.

Além disso, o uso de ferramentas acessíveis, como o software mencionado e o aplicativo Analemmatic Sundial PDF Generator, desenvolvido por Alexander R. Pruss, reforça a viabilidade da replicação e interpretação do projeto em diferentes contextos educacionais. A construção do relógio solar analemático no Polo Astronômico Rodolpho Caniato da UTFPR/Campo Mourão concretizou os objetivos desta investigação e evidenciou o potencial do aparato para envolver estudantes e visitantes em atividades interdisciplinares.

O fato de o próprio usuário assumir o papel do gnômon visa tornar a experiência mais interativa e facilitar a compreensão de conceitos astronômicos e físicos. Além disso, este estudo reforça a importância de abordagens inovadoras no ensino de ciências, integrando teoria, experimentação, tecnologia e divulgação científica. A disponibilização de um tutorial acessível, como se pretende o aqui apresentado, pode incentivar outros professores a adotar modelos e métodos semelhantes, promovendo possibilidades de construção de conhecimentos e aprendizagens significativas.

Por fim, recomenda-se que pesquisas futuras explorem a aplicação e a avaliação desse modelo de relógio solar analemático em diferentes níveis de ensino e o desenvolvimento de materiais complementares, como vídeos ou aplicativos interativos, para ampliar seu alcance educacional. Iniciativas como esta têm grande potencial para tornar o ensino de Astronomia e Física envolvente, relevante e significativo, operando como vetor em mediações e interações de ensino-aprendizagem que busquem resgatar abordagens didáticas com conteúdo científico relevante e atualizado e materiais e métodos bem estruturados e com consistente vinculação teórico-experimental.

Agradecimentos

Os autores expressam reconhecimento e gratidão às seguintes instituições: Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR); Polo Astronômico Rodolpho Caniato; Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq); Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes), código de financiamento 001; Fundação Araucária (FA) e Secretaria da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior do Paraná (SETI) – PDI 346/2024; e Rede Paranaense de Pesquisa em Fenômenos Extremos do Universo (NAPI).

Disponibilidade de Dados

Todo o conjunto de dados que dá suporte aos resultados deste estudo foi publicado no próprio artigo.

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Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  01 Ago 2025
• Data do Fascículo
  2025

Histórico

• Recebido
  03 Jun 2025
• Aceito
  26 Jun 2025