Comprimento focal de lentes esféricas

Focal length of spherical lens

Resumos

Uma lente esférica não se comporta como uma lente fina pois sua espessura não é desprezível. Neste trabalho apresentamos a dedução da equação do comprimento focal de uma lente esférica por meio da técnica de traçado de raios. Comparamos o resultado obtido com a expressão de comprimento focal de lentes grossas obtido pelo método matricial. Também aplicamos a expressão para o caso de uma esfera de água e comparamos com valores experimentais.

Palavras-chave:
comprimento focal; lentes esféricas; esfera de água; lentes grossas

A spherical lens can not be considered as a thin lens because the thickness is not negligible. In this work we present the deduction of the focal length equation for a spherical lens, developed through ray tracing technique. We compared the result with the focal length equation for thick lens obtained from matrix formalism. We also used the equation for a water sphere and compared with experimental data.

Keywords:
focal length; spherical lens; water sphere; thick lens

1. Introdução

Existem iniciativas para melhorar o ensino, tal como a instrumentalização [¹], que auxilia o educador a trazer a realidade mais perto do aluno, com a visualização dos fenômenos físicos e de suas aplicações.

Na Literatura encontramos trabalhos sobre a construção de microscópios ópticos caseiros [²-⁵], visando o Ensino de Ciências em sala de aula. Seguindo nesse tema, temos o trabalho de Vannoni e outros [³], que apresenta um modelo de microscópio cujo formato assemelha-se ao microscópio composto apresentado em alguns livros didáticos [⁶-⁸]. O microscópio proposto pode ser composto por duas lentes (lentes objetiva e ocular) ou três lentes (lentes objetiva, de campo e ocular), instalados em um tubo junto a um suporte vertical. Em formato diferente, o trabalho de Sepel e outros [⁴] apresenta um modelo de microscópio construído com um gargalo de garrafa plástica (PET), onde a rosca do gargalo funciona como um sistema para ajuste de foco da lente, que está fixada na tampa. Enquanto que, no trabalho de Myint e outros [⁵], o modelo difere mais porque utiliza uma gota de água para atuar como uma lente objetiva, e o suporte dessa lente também tem formato diferenciado.

Alguns microscópios ópticos podem conter esferas de vidro que formam a imagem de objetos. Em uma esfera de vidro de raio $R$ atuando como uma lente, sua espessura ($2R$) é da mesma ordem de grandeza dos raios de curvatura da superfície da lente, tanto da interface de entrada $R_1$ quanto da interface de saída $R_2$. Então a espessura não é desprezível, como se considera na dedução da fórmula de Gauss [⁶], o que inviabiliza a utilização desta última. Algumas vezes a fórmula é chamada como “equação dos fabricantes de lentes” [⁹,¹⁰], a qual é normalmente apresentada em livros textos do Ensino Médio [¹¹]. Uma expressão para o cálculo do comprimento focal dessas esferas de vidro pode ser encontrada no sítio da Optipedia [¹²], porém não há explicação sobre as hipóteses utilizadas nem as limitações dessa expressão. Apresentamos neste trabalho uma forma de dedução dessa expressão utilizando a técnica de traçado de raios [⁶]. Comparamos com outros trabalhos encontrados na Literatura e apresentamos uma aplicação.

2. Comprimento focal de uma esfera

A dedução da expressão para o cálculo do comprimento focal inicia-se considerando uma esfera uniforme (figura 1), de índice de refração $n$ e raio $R$, cujo centro é o ponto $C$, e por este ponto passa uma reta que chamamos de eixo óptico. Esta esfera é iluminada por um raio de luz que incide na interface do lado esquerdo e sai pela interface do lado direito. O raio de luz incide na superfície da lente a um ângulo $\alpha$ em relação a normal da superfície, mas paralelo ao eixo óptico, a uma altura $y$ em relação ao eixo óptico. Após refratar na primeira superfície da lente, o raio segue com ângulo $\beta$ em relação a normal da superfície, e com ângulo $\delta$ em relação a reta paralela ao eixo óptico. Depois o raio de luz incide na segunda interface a um ângulo $\gamma$ em relação à normal, e com ângulo $\delta$ em relação a outra reta paralela ao eixo óptico e a altura $x$ em relação ao eixo óptico. Neste ponto o raio de luz refrata para o meio externo a um ângulo $\epsilon$ em relação à normal à superfície e a um ângulo $\phi$ em relação à reta paralela ao eixo óptico. A distância entre o centro $C$ (que na aproximação paraxial que utilizaremos está contido no plano principal da lente [⁶]) e o ponto de convergência do raio de luz com o eixo óptico é chamada distância focal $f$. Enquanto que a distância entre o ponto de intersecção entre a interface da esfera e o eixo óptico até o ponto de convergência do raio de luz com o eixo óptico é chamada de distância focal posterior ($dfp$) [⁶].

Figura 1
Esquema de traçado de raios em uma lente esférica.

Inicialmente, consideramos a aproximação paraxial $y\ll R$, então o ângulo $\alpha$ é pequeno e podemos aproximar:

(1) $$\begin{array}{rcll}sin\left(\alpha \right)=\frac{y}{R}\approx \alpha .& & & \end{array}$$

Procedendo da mesma maneira para o ângulo $\beta$:

(2) $$\begin{array}{rcll}sin\left(\beta \right)\approx \beta .& & & \end{array}$$

Sendo o meio externo o ar, $n_{ar}$ = 1, $n>$ 1 (vidros comuns tem valores típicos de 1,5) e usando a Lei de Snell [⁶], temos no ponto de entrada da lente:

(3) $$\begin{array}{rcll}{n}_{ar}sin\left(\alpha \right)=nsin\left(\beta \right),& & & \end{array}$$

das expressões 1 e 2 obtemos:

(4) $$\begin{array}{rcll}\frac{y}{R}=n\beta \Rightarrow \beta =\frac{y}{nR}.& & & \end{array}$$

Na interface de entrada, temos a relação entre ângulos:

(5) $$\begin{array}{rcll}\alpha =\delta +\beta \Rightarrow \delta =\alpha -\beta ,& & & \end{array}$$

pelas equações 1 e 4 obtemos:

(6) $$\begin{array}{rcll}\delta =\frac{y}{R}\left(\frac{n-1}{n}\right).& & & \end{array}$$

Na figura 1, temos a relação entre as alturas $x$ e $y$:

(7) $$\begin{array}{rcll}x=y-2Rtan\left(\delta \right),& & & \end{array}$$

considerando $\delta <\alpha$: $sin\left(\delta \right)\approx \delta$ e de modo similar $tan\left(\delta \right)\approx \delta$, então:

(8) $$\begin{array}{rcll}x=y-2R\delta ,& & & \end{array}$$

substituindo $\delta$ da equação 6, temos:

(9) $$\begin{array}{rcll}x=y\left(\frac{2-n}{n}\right).& & & \end{array}$$

Na interface de saída, o ângulo $\theta$ é dado por:

(10) $$\begin{array}{rcll}\theta \approx \frac{x}{R},& & & \end{array}$$

e a relação entre os ângulos é dada por:

(11) $$\begin{array}{rcll}\gamma =\theta +\delta =\frac{y}{R}\left(\frac{2-n}{n}\right)+\frac{y}{R}\left(\frac{n-1}{n}\right)=\frac{\alpha }{n},& & & \end{array}$$

onde foram utilizadas as expressões 9, 6 e 1.

Agora aplicando a Lei de Snell na interface de saída da lente:

(12) $$\begin{array}{rcll}nsin\left(\gamma \right)=n_{ar}sin\left(\epsilon \right),& & & \end{array}$$

usando as aproximações $sin\left(\gamma \right)\approx \gamma$ e $sin\left(\epsilon \right)\approx \epsilon$, e substituindo $\gamma$ pela expressão 11, obtemos:

(13) $$\begin{array}{rcll}\epsilon =\alpha .& & & \end{array}$$

No lado externo da esfera, temos a seguinte relação entre os ângulos $\phi$, $\epsilon$ e $\theta$ dada por:

(14) $$\begin{array}{rcll}\phi =\epsilon -\theta ,& & & \end{array}$$

usando as expressões 13, 10, 9 e 1, obtemos:

(15) $$\begin{array}{rcll}\phi =\alpha -\frac{x}{R}=\frac{2y\left(n-1\right)}{Rn}.& & & \end{array}$$

O ângulo $\phi$ (figura 1) também pode ser calculado fazendo a seguinte aproximação:

(16) $$\begin{array}{rcll}tan\left(\phi \right)\approx \frac{y}{f}\approx \phi ,& & & \end{array}$$

das expressões 15 e 16, obtemos a expressão do comprimento focal $f$:

(17) $$\begin{array}{rcll}f=\frac{Rn}{2\left(n-1\right)}.& & & \end{array}$$

O resultado acima foi obtido considerando que a lente está imersa no ar, $n>1$, que os raios de luz que atravessam a lente sejam apenas os raios próximos ao eixo óptico da lente e utilizamos a Lei de Snell nas interfaces da lente. A partir de $f$, obtemos $dfp$ por:

(18) $$\begin{array}{rcll}dfp=f-R.& & & \end{array}$$

3. Lentes espessas

Na Literatura encontramos uma expressão para o cálculo do comprimento focal $f$ de uma lente espessa [⁶,¹³] imersa no ar:

(19) $$\begin{array}{rcll}\frac{1}{f}=\left(n-1\right)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)+\frac{{\left(n-1\right)}^2}{n}\left(\frac{t}{R_1{R}_2}\right),& & & \end{array}$$

onde $R_1$ é o raio de curvatura da superfície a esquerda, $R_2$ é o raio de curvatura da superfície a direita, $t$ é a espessura da lente e $n$ é o índice de refração da lente. Essa expressão foi deduzida por meio do método matricial [⁶], onde cada elemento óptico é representado por uma matriz, e um raio de luz é transformado pela matriz que representa a lente. Para uma lente fina o valor de $t$ é desprezível, então o segundo termo é zero e resta apenas o primeiro termo, que é igual a fórmula de Gauss.

Aplicando ao caso de uma lente esférica, onde $R_1=R$, $R_2=-R$, e espessura $t=2R$, obtemos:

(20) $$\begin{array}{rcll}\frac{1}{f}=\left(n-1\right)\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\right)+\frac{{\left(n-1\right)}^2}{n}\left(\frac{-2R}{RR}\right),& & & \end{array}$$

logo:

(21) $$\begin{array}{rcll}f=\frac{nR}{2\left(n-1\right)},& & & \end{array}$$

que é igual a expressão que foi deduzida acima na equação 17, confirmando a relação entre $f$ e $R$.

Cabe ressaltar que Helene e Helene [¹⁴] construíram um modelo de olho humano com uma esfera de vidro, e mostraram que a expressão do comprimento focal desse modelo é:

(22) $$\begin{array}{rcll}f=\frac{nR}{\left(n-1\right)}.& & & \end{array}$$

Esta expressão também foi deduzida pelo traçado de raios, mas difere da equação 17 pela ausência do fator dois no divisor. Essa diferença é justificada porque, para o modelo do olho humano, foi considerada apenas a refração na superfície de entrada da esfera, uma vez que os autores estavam interessados na projeção da imagem na segunda superfície da esfera, como ocorre no olho humano, onde a imagem é projetada sobre a retina.

Pelo exposto acima, vemos a importância da equação 17, pois a equação de Gauss não é adequada quando temos lentes espessas.

4. Esfera de água

Para ilustrar a utilidade da equação 17, apresentamos a medida de $dfp$ de uma bolha de vidro (figura 2), cheia de água destilada e lacrada. Considerando as paredes da bolha tão finas que podemos desprezar os seus efeitos, vamos considerá-la como uma esfera de água. Suspendemos a esfera sobre uma mesa e usamos ela para formar a imagem de uma luminária (figura 3), com quatro lâmpadas fluorescentes e está acima da esfera a cerca de 2 m de altura (assim podemos considerar que os feixes de luz vem paralelos entre si). Projetamos a imagem da luminária em um papel sobre a mesa (figura 4). O raio da esfera é (13,15 $\pm$ 0,05) mm, o índice de refração $n$ da água é 1,333 [⁶], logo: $f$ = (26,6 $\pm$ 0,1) mm. Subtraindo o raio da esfera, o valor de $dfp$ é (13,2 $\pm$ 0,1) mm.

Figura 2
Bolha de vidro cheia de água destilada e lacrada.

Figura 3
Esquema de formação de imagem da luminária sobre a mesa.

Figura 4
Esfera de água formando uma imagem na mesa.

Devido ao excesso de luminosidade da luminária, tivemos dificuldade para ajustar a distância focal com precisão, então medimos as distâncias anterior e posterior ao ponto focal onde percebemos a distorção da imagem. A distância focal estará entre esses dois valores. Calculando o valor médio dessas distâncias, obtemos o valor de $dfp$ e o resultado é (13 $\pm$ 1) mm. Este valor é compatível com o valor calculado pela expressão 17.

Para montar uma esfera de água, sugerimos usar uma lâmpada de filamento e de vidro transparente, retirando a base e o filamento [¹⁵], depois preencher com água e vedar. O bulbo das lâmpadas de geladeira tem o formato mais esférico que outros tipos de lâmpadas, tornando-as mais indicadas para este experimento.

5. Conclusão

Apresentamos a dedução do comprimento focal $f$ de uma esfera imersa no ar, por meio da técnica de traçado de raios, onde consideramos apenas os raios paraxiais. Foram utilizadas aproximações de algumas funções trigonométricas. A expressão deduzida é compatível com expressões de comprimento focal de lentes grossas encontradas na Literatura. Com isto, fica evidente a limitação da fórmula de Gauss, ensinada nos cursos de Óptica. Medimos o valor de $dfp$ de uma esfera de água, com resultados compatíveis com o obtido pela expressão deduzida. Esse experimento pode ser implementado como uma atividade prática em cursos de Física básica, devido a sua simplicidade, e a dedução da expressão é um excelente exemplo da aplicação da Lei de Snell, com conteúdo de Trigonometria.

Agradecimentos

Os autores agradecem o auxílio técnico de Claudio Hiroyuki Furukawa (Instituto de Física da USP), pela confecção da esfera de água utilizada neste trabalho. Também agradecem a Sarah Isabel P.M.N. Alves, Isis V. de Brito e Michele H. Ueno-Guimarães, pelas sugestões na elaboração do trabalho.

Referências

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  2017

Histórico

• Recebido
  04 Out 2016
• Revisado
  04 Jan 2017
• Aceito
  06 Fev 2017