Eletrodinâmica Quântica: uma visão geral

Quantum Electrodynamics: an overview

Resumo

O presente manuscrito apresenta um estudo histórico-conceitual, teórico e aplicado da Eletrodinâmica Quântica [Quantum electrodynamics (QED)]. Neste trabalho, abordamos de maneira ampla e revisiva alguns aspectos adjacentes ao desenvolvimento histórico da QED, por Dirac, Weisskopf, Lamb, Retherford, Bethe, Schwinger, Tomonaga, Feynman e Dyson durante as décadas de $20$ e $40$ do século passado. Analisamos as bases conceituais para a teoria de quantização associada às interações eletromagnéticas entre partículas carregadas. Apresentamos um aparato teórico, de modo a garantir uma aplicação básica e didática de revisão em um clássico modelo real emergente da QED: o processo de espalhamento Bhabha em cenário de altas energias $E_{CM}\gg m_e$, com um estudo detalhado na perspectiva analítica e gráfica para sua seção de choque através dos parâmetros angulares e energéticos $(\theta ,E,d\sigma /d\text{Ω})$.

Palavras-chave:
História da Física; Teoria Quântica de Campos; Eletrodinâmica Quântica; Espalhamento Bhabha

Abstract

This manuscript results from a historical-conceptual theoretical and applied study in Quantum Electrodynamics (QED). In this work, we approach in an broad and review way some aspects related to the historical development of QED, by Dirac, Weisskopf, Lamb, Retherford, Bethe, Schwinger, Tomonaga, Feynman e Dyson during the decades of ${20}^{\prime }s$ and ${40}^{\prime }s$ of the last century. We analyzed the conceptual bases for quantization theory associated with electromagnetic interactions between charged particles. We presented a theoretical apparatus, in order to guarantee one review basic and didactic application in a classical real model emerging from QED: the Bhabha scattering processe in a high-energy scenario $E_{CM}\gg m_e$, with a detailed study in the analytical and graphical perspective for its cross section through the angular and energetic parameters $(\theta ,E,d\sigma /d\text{Ω})$.

Keywords:
History of Physics; Quantum Field Theory; Quantum Electrodynamics; Bhabha scattering

1. Introdução

A Eletrodinâmica Quântica, literalmente denominada Quantum Electrodynamics (QED) na literatura de língua inglesa, é uma Teoria Quântica de Campos (TQC) que descreve as interações entre partículas eletricamente carregadas (matéria e radiação). Trata-se da primeira teoria que possibilitou quantizar uma das quatro interações fundamentais da natureza, a saber: gravitacional; eletromagnética; nuclear fraca; nuclear forte. O desenvolvimento teórico da QED gerou os alicerces para a quantização das demais interações elementares a posteriori, com exceção da gravidade, culminando nos chamados Modelo Eletrofraco – unificação da interação eletromagnética e fraca – [Electroweak model] (EWM) e Cromodinâmica Quântica [Quantum Chromodynamics] (QCD). Juntas, a EWM (que já incorpora a QED) e QCD fundamentam o Modelo Padrão (MP) das partículas elementares.

De maneira sintética, o MP é uma teoria de calibre não-abeliana cujo grupo de simetria é ancorado por $U\left(1\right)\times SU\left(2\right)\times SU\left(3\right)$, fisicamente representada pelos bósons de calibre: fótons $\left\{\gamma \right\}$ para a QED, os bósons vetoriais $\{\gamma ,W^{\pm },Z^0\}$ para a EWM e os glúons $\{g_1,g_2,g_3,g_4,g_5,g_6,g_7\text{e}{g}_8\}$ como combinações lineares entre as cargas de cores (red, antired, green, antigreen, blue e antiblue) para a QCD. Tais bósons são responsáveis pela interação das partículas e antipartículas fermiônicas que formam toda e qualquer matéria ordinária presente no universo: léptons e antiléptons $\{e^{\mp },{\mu }^{\mp },{\tau }^{\mp },{\nu }_e,{\overline{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\overline{\nu }}_{\mu },{\nu }_{\tau },{\overline{\nu }}_{\tau }\}$ (não trocam glúons) e quarks e antiquarks {$u,\overline{u},d,\overline{d},s,\overline{s},c,\overline{c},b,\overline{b},t,\overline{t}$} (trocam glúons) [¹, ², ³, ⁴, ⁵]. É importante ressaltar que o MP apresenta algumas limitações teóricas ainda não esclarecidas como, por exemplo, o problema de massa dos neutrinos e a não incorporação da matéria escura e da energia escura, que representam quase $95\%$ da natureza.

Fundamentalmente, o campo eletromagnético gerado por um férmion, cuja descrição é a essência do eletromagnetismo clássico, é descrito por um quadripotencial¹ covariante na forma $A^{\mu }=(\varphi ,\overrightarrow{\mathit{A}})$ [ou também $A_{\mu }=(\varphi ,-\overrightarrow{\mathit{A}})$], em que $\varphi$ é o potencial elétrico e $\overrightarrow{\mathit{A}}$ o potencial vetorial magnético. A lagrangiana associada, que dita a dinâmica do sistema eletromagnético, torna-se invariante (não se altera) sob transformações locais para $A^{\mu }:A^{\mu }\left(x\right)\to A^{\prime \mu }\left(x\right)=A^{\mu }\left(x\right)-{\partial }^{\mu }\theta \left(x\right)$, sendo $x=x^{\mu }=(x^0,x^1,x^2,x^3)\equiv (t,x,y,z)$ (ou $x_{\mu }=(x_0,x_1,x_2,x_3)\equiv (t,-x,-y,-z)$) e $\theta \left(x\right)$ é qualquer função continuamente diferenciável, que depende da posição e do tempo. O elemento simétrico e local $U=e^{i\theta \left(x^{\mu }\right)}$ que age sobre a fase dos férmions, para transformação do grupo abeliano $U\left(1\right)$, é uma matriz unitária $\left[1\times 1\right]\in ℂ$ que resulta no mapeamento das componentes do quadripotencial $A^{\prime \mu }=U\left(A^{\mu }-i/e{\partial }^{\mu }\right)U^{-1}=A^{\mu }-{\partial }^{\mu }\theta$, em que $e$ é a carga do elétron, reconhecida como a constante de acoplamento para esse contexto [⁶, ⁷, ⁸]. Uma vez que as bases do eletromagnetismo se sustentam sob as transformações de calibre do grupo $U\left(1\right)$, espera-se que sua representação quântica, via QED, também obedeça tal grupo de simetria.

Por ser uma descrição completa e consistente de como matéria e radiação interagem em nível quântico e relativístico, trocando fótons entre si, há diversas contribuições presentes na Ciência e Tecnologia² (C&T) associadas à QED, desde sua implementação. Algumas conquistas da teoria foram explicações mais detalhadas de diversos processos e decaimentos, tais como³: efeito fotoelétrico, efeito Compton, emissão de raios-X, emissão de raios-$\gamma$, criação e aniquilação de pares, entre outros. Outras importantes previsões e compatibilidades experimentais foram o tratamento dos momento de dipolo magnético anômalo do elétron, o desvio de Lamb dos níveis de energia do hidrogênio e a constante de estrutura fina ($\alpha =e^2/\left(4\pi \hslash c{\epsilon }_0\right)\approx 1/137$), associada à magnitude da força eletromagnética. A QED é considerada uma das teorias mais precisas da Física e da Ciência, com erro teórico-experimental na ordem de $\approx {10}^{-12}$ para o momento magnético do elétron ($\mu$) segundo recentes medições verificadas por Fan et al. [¹²], cuja sustentação nas medidas decorre das correções de outros setores do MP, refinadas a partir de valores corrigidos de $\alpha$, com incerteza 10 vezes menor que os dados experimentais de 2009.

A organização deste trabalho está constituida da seguinte maneira: na Seção (2) discorremos acerca dos principais momentos históricos que estabeleceram a QED, partindo das pesquisas inaugurais de Dirac, em 1928, até a demonstração da equivalência das formulações de Feynman, Schwinger e Tomonaga para a teoria, realizadas por Dyson em 1949; na Seção (3) apresentamos os conceitos (ideias) e a teoria (bases matemáticas) que constituem o tratamento covariante da QED dentro da perspectiva proposta por Feynman; na Seção (4) construímos, didaticamente, uma aplicação base da QED, enfatizando os resultados analíticos e análises fenomenológicas para amplitudes de probabilidade $𝒜$ e seção de choque $d\sigma /d\text{Ω}$ associada à interação Bhabha no limite de altas energias, com exposição dos comportamentos gráficos $(\theta ,E,d\sigma /d\text{Ω})$; na Seção (5) encerramos este estudo com uma síntese geral e considerações finais. Esperamos que este trabalho seja útil aos discentes de graduação e iniciação científica interessados no tema, encorajando-os a aprofundar seus conhecimentos. Ademais, contamos que este documento sirva como revisional complementar aos pós-graduandos da área, permitindo-lhes extrair sínteses de diferentes aspectos abordados sobre a evolução, teoria e aplicação da QED.

2. Recortes Históricos da Eletrodinâmica Quântica

Entre os anos de 1925 e 1926, enquanto Werner Karl Heisenberg (^∗1901–^†1976) e Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (^∗1887–^†1961), independentemente, rompiam com a formulação semi-clássica da antiga física quântica, propondo os operadores matriciais⁴ associados aos observáveis físicos e uma equação ondulatória para tratamento dinâmico das partículas⁵ quânticas, em suas célebres e respectivas obras [¹⁶, ¹⁷], os físicos Samuel Abraham Goudsmit (^∗1902–^†1978), George Eugene Uhlenbeck (^∗1900–^†1988) e Wolfgang Ernst Pauli (^∗1900–^†1958) tentavam compreender, sem amplo sucesso, a real natureza do momento angular intrínseco do elétron, denotado por spin⁶, que foi verificado indiretamente por Pieter Zeeman (^∗1865–^†1943) em 1896 [¹⁹, ²⁰] e constatado diretamente nos experimentos de Otto Stern (^∗1888–^†1969) e Walther Gerlach (^∗1889–^†1979) em 1922 [²¹]. É importante destacar que nesse cenário surgiram as propostas de Pauli para os operadores quânticos matriciais e seu princípio de exclusão [²², ²³], em uma teoria não relativística para o spin. Porém, esse aparente problema relacionado à característica espinorial do elétron estava para ser sanado pela perspicácia de um dos maiores físicos teóricos do século XX, Paul Adrien Maurice Dirac (^∗1902–^†1984), que almejava uma explicação completa e consistente para a interação entre matéria e radiação através do ferramental matemático presente na Mecânica Quântica (MQ) e na Relatividade Restrita (RR). A partir daqui iniciamos uma jornada histórica pela QED - Destacamos que, apesar de não conseguirmos fornecer todas as riquezas dos detalhes históricos relacionados à construção da QED neste manuscrito, sugerimos fortemente ao leitor interessado em se aprofundar no tema a seguinte obra inigualável em informações: [²⁴]QED and the men who made it: Dyson, Feynman, Schwinger and Tomanaga, de Silvan S. Schweber, publicada em 1994.

2.1. Dos alicerces de Dirac aos problemas iniciais da QED

P.A.M. Dirac iniciou sua carreira científica de modo extraordinário. Em 1926, provou, em sua tese de doutorado [²⁵], a compatibilidade direta entre as formulações da MQ de Heisenberg e de Schrödinger sob um único formalismo matemático sustentado na Álgebra Linear. No mesmo ano, M. Born, E. P. Jordan e W. Heisenberg propuseram que o campo eletromagnético poderia ser decomposto em modos normais equivalentes a um conjunto de osciladores harmônicos quantizados no vácuo, ou seja, a base conceitual da quantização de campos [²⁶].

Quase dois anos depois, em 2 de janeiro e 2 de fevereiro de 1928, Dirac enviou os famosos trabalhos “The Quantum Theory of the Electron”[²⁷] e “The Quantum Theory of the Electron – Part II”[²⁸] à The Royal Society of London (RSL), gerando a primeira descrição relativística para o spin do elétron, como consequência da unificação original entre a MQ e a RR. Era criada a dinâmica quântica relativística associada ao elétron:

(1) $$\left(i{\gamma }_{\mu }{\partial }^{\mu }-m\right)\text{Ψ}=0,$$

escrita aqui em notação moderna, em que ${\gamma }_{\mu }$ são as matrizes $\left[4\times 4\right]$ gama de Dirac construídas sob as matrizes $\left[2\times 2\right]$ de Pauli, $({\sigma }_0,\overrightarrow{\mathit{\sigma }})$; ${\partial }^{\mu }=({\partial }^0,\overrightarrow{\mathbf{\nabla }})$ é a derivada contravariante no espaço-tempo de Minkowski; $m$ e $\text{Ψ}=\text{Ψ}\left(x^{\mu }\right)$ são a massa e a função de onda espinorial $\left[4\times 1\right]$ do elétron, respectivamente. Tal dinâmica é válida para partícula livre (em potencial nulo, $V=0$) e dotada de spin$1/2$. Esses dois artigos, juntamente com sua obra antecessora “The Quantum Theory of Emission and Absortion of Radiation”[²⁹], fundaram as bases iniciais para a TQC. O spin passou a ser interpretado não apenas como uma mera característica quântica da matéria, mas também como um novo grau de liberdade intrínseco à toda e qualquer partícula devido às propriedades do espaço-tempo minkowskiano em que essas existem.

Tomando como base histórica as ricas análises bibliográficas de Bassalo&Caruso [³⁰] e Helayël-Neto [³¹], observamos que Dirac desenvolveu mais dois valiosos artigos nos anos seguintes: “A Theory of Electrons and Protons”[³²] submetido à comunidade científica em 6 de dezembro de 1929; “Quantised Singularities in the Electromagnetic Field”[³³] tornado público em 29 de maio de 1931. Ambos, também publicados pela RSL. O primeiro desses artigos trouxe à tona o conceito de vácuo quântico, primordial para o desenvolvimento futuro da QED. O segundo artigo, além de predizer a existência teórica dos monopolos magnéticos⁷, apresentou uma solução para a quantização da carga elétrica e previu, de modo antecipado, a existência de anti-partículas. Essa última previsão teórica foi constatada por Carl David Anderson (^∗1905–^†1991), pela descoberta do pósitron $\left\{e^{+}\right\}$ (anti-partícula do elétron) em 1932 [³⁴, ³⁵] e pelos físicos Emilio Gino Segrè (^∗1905–^†1989) e Owen Chamberlain (^∗1920–^†2006), que identificaram o anti-próton $\left\{\overline{p}\right\}$[³⁶] em 1955.

Os primeiros registros formais para o desenvolvimento de um protótipo da QED ocorreram após uma série de correspondências e discussões envolvendo Vladimir Aleksandrovich Fock (^∗1898–^†1974), Boris Podolsky (^∗1896–^†1966) e Dirac. O trio pioneiro apresentou, em 25 de outubro de 1932, um modelo de segunda quantização relativística com número fixo de $N$ elétrons sob interação de um campo eletromagnético. Tal modelo é uma extensão da função de onda de multi-partículas de Schrödinger para um cenário relativístico da mecânica ondulatória do tipo multi-tempo, [³⁷, ³⁸], publicados no periódico soviético Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion. Na segunda edição de seu ilustre livro The Principles of Quantum Mechanics[³⁹], de 1935, Dirac apresentou, pela primeira vez em um livro-texto, a teoria Dirac-Fock-Podolsky (DFP)⁸, que desempenharia grande destaque na formulação covariante da QED nos anos finais da década de 1940.

O modelo de DFP tornou-se uma das primeiras formulações quântica-relativísticas entre elétrons e o campo eletromagnético no período pré-renormalização, sendo, portanto, um estágio intermediário entre a mecânica quântica relativística e a QED. O sistema multi-tempo acoplado $\text{Ψ}=\text{Ψ}(t_1,{\mathit{x}}_1,\dots ,t_N,{\mathit{x}}_N)$ admite cada uma das $N$ partículas em sua respectiva coordenada do espaço-tempo $x_i^{\mu }=(t_i,{\mathit{x}}_i)$, $i=1,\dots ,N$. Contudo, mesmo mantendo uma covariância relativística mais evidente, a teoria apresentava uma série de falhas, a saber [⁴⁰] e [⁴¹]: (i) inconsistência dinâmica – já que o tratamento de partículas sob interação nesse modelo é extremamente difícil de se construir; (ii) hamiltonianos não limitados inferiormente – por causa das dificuldades matemáticas no formalismo multi-partícula com os estados de energia negativa oriundas do operador de Dirac; (iii) divergências ultravioletas – necessitava de cortes (cutoffs) artificiais, rompendo com a invariância relativística para sanar as quantidades infinitas das interações ponto a ponto; (iv) indefinição de estados físicos – necessidade de métricas indefinidas e surgimento de probabilidades negativas para certos estados; (v) falta de uma estrutura de campo completa – não tratava os processos de criação e de aniquilação de partículas de modo natural. Desse modo, observamos que o modelo DFP não falhou por estar “errado”, mas por ser incompleto diante das exigências quântica relativísticas [⁴²].

Apesar dos caminhos abertos por Dirac e colaboradores, essa antiga formulação da QED apresentava uma série de problemas quando se estudava a interação entre elétrons e campos eletromagnéticos a partir de métodos perturbativos. Uma vez que a intensidade do acoplamento eletromagnético era mensurável através da constante de estrutura fina⁹, $\alpha$, esperava-se que as $n$-ésimas ordens de perturbação da teoria ficassem cada vez menores para $n\ge 2$ (conforme $n$ aumenta, esses termos podem ser desprezados, já que $n=1$ era a ordem mais relevante, fisicamente). Contudo, tais termos, levados à risca na série perturbativa, geravam integrais divergentes – infinitas – associadas às informações físicas para: os níveis de energia das órbitas eletrônicas do hidrogênio ($H$) [por exemplo, a degenerescência nos níveis $2s_{1/2}$ e $2p_{1/2}$, sendo o par $(s,p)$ associado aos números quânticos secundários $l=0$ e $l=1$, respectivamente]; a autoenergia do elétron ($E_e$); a carga ($e^{-}$), massa de repouso ($m_e$) e o momento magnético (${\mu }_e$) do elétron; além da permissividade elétrica no vácuo (${\epsilon }_0$). Desse modo, ao longo da década de 1930, várias teorias e medições experimentais foram realizadas a fim de solucionar esses problemas conhecidos como Eletrodinâmica Divergente ou Física das Subtrações [³⁰, ⁴³], segundo Bassalo&Caruso. Aqui, cabe destacar o resultado obtido por Victor Frederick Weisskopf¹⁰ (^∗1908–^†2002) em 1934 para a autoenergia do elétron [⁴⁴], comportando-se como divergência logarítmica:

(2) $$E_e=E_{\mathrm{e0}}\left[1+\left(3e^2/2\pi hc\right)\ln \left({\lambda }_C/a\right)\right],$$

em que $E_{\mathrm{e0}}=m_e{c}^2$ é a autoenergia do elétron em repouso e ${\lambda }_C\equiv h/\left(m_{e}c\right)$ é o comprimento de onda Compton do elétron, com $h$, $c$ e $a$ sendo a constante de Planck, velocidade da luz no vácuo e raio clássico do elétron, respectivamente. Numa autointeração, que ocorre ponto a ponto do espaço-tempo, o elétron deve ser tratado como partícula pontual. Logo, para $a\to 0$ observa-se uma divergência na equação (2).

Um dos estudos mais relevantes para o entendimento teórico da “polarização do vácuo”¹¹, a partir da teoria dos buracos/mar de Dirac [³³] entre partículas e anti-partículas, foi elaborado por Edwin Albrecht Uehling (^∗1901–^†1985) em 1935 [⁴⁵], no qual indicou a relação entre a carga elétrica teórica (nua) do elétron $e^{-}\mapsto e_t$ e sua carga elétrica observada no vácuo (efetiva) $e^{-}\mapsto e_{\mathrm{ov}}$:

(3) $$e_{\mathrm{ov}}={\left[e_t^2(1-(\alpha /3\pi )\ln {(\text{Λ}/m_e)}^2)\right]}^{1/2},$$

sendo $\alpha =e^2{\left(4\pi {\epsilon }_0\hslash c\right)}^{-1}\simeq 1/137$ a já mencionada constante de estrutura fina, $\text{Λ}$ o máximo momento linear da partícula e $m_e$ a massa do elétron. Nesse mesmo trabalho, Uehling mostrou que as degenerescências nos níveis $2s_{1/2}$ e $2p_{1/2}$ de $H$ permitiam que os estados eletrônicos $l=0\mapsto s$ tivessem maior probabilidade de penetrar o núcleo atômico, reduzindo a frequência de energia associadas ao par ($2s_{1/2}\mathrm{,2}{p}_{1/2}$) em $27MHz$ – efeito Uehling (correção ao potencial de Coulomb devido à polarização do vácuo). Certos detalhes acerca da polarização do vácuo é apresentada na Subseção (2.2).

Outro tipo de divergência que ocorria à época estava relacionada à seção de choque $\sigma$ de elétrons em espalhamento sob campo eletrostático – conhecido por processo bremsstrahlung¹² (radiação de frenagem), que resultava em $\sigma \propto \ln \left(m_e/{\lambda }_{\min }\right)$, sendo ${\lambda }_{\min }$ o comprimento de onda para fótons de baixa frequência. Estudos realizados por Felix Bloch (^∗1905–^†1983) e Arnold Theodore Nordsieck (^∗1911–^†1971) em 1937 solucionaram a catástrofe do infravermelho [⁴⁶], ou seja ${\lambda }_{\min }\to 0$, interpretando o cenário como problema aparente da teoria de perturbação utilizada. Devido a todas essas divergências relacionadas ao elétron, em especial ao problema nos níveis $2s_{1/2}$ e $2p_{1/2}$ de $H$, o físico Robert Serber (^∗1909–^†1997) cunhou, em 1936, o termo renormalização da carga elétrica [⁴⁷], a fim de elucidar essa diferença. Portanto, durante toda a década de 1930 e meados de 1940, ficou claro que uma nova teoria para a QED deveria ampliar e reformular a antiga proposta de Dirac-Fock-Podolsky.

2.2. Uma busca pela renormalização

A Teoria Quântica de Campos é amplamente reconhecida como um dos programas de pesquisa mais bem sucedidos na ciência ao longo do século XX, com conceitos e técnicas atemporais na perspectiva acadêmica. Suas bases renderam previsões e observações fundamentais para o desenvolvimento da QED, teoria de calibre abeliana, e demais teorias de calibre não-abelianas (EWM e QCD) [⁴³], principalmente no período de 1927 a 1971. Ao longo de sua construção, marcada especialmente pela QED, previsões com valores infinitos nos observáveis físicos, conhecidos como problemas de divergências, foram evidenciadas. A técnica chave para solução dessas divergências recai sobre um procedimento denominado renormalização. Vários livros-textos sobre TQC abordam, em diferentes níveis de detalhes, as técnicas físicas e matemáticas para aplicações de renormalizações para diversos cenários, desde campos escalares não carregados até campos fermiônicos e de calibre que estão presentes em teorias bem consolidadas na literatura.

Uma abordagem conceitual acerca da renormalização carece de discussões aprofundadas que são pouco comum nos livros acadêmicos em geral [¹, ⁶] e [⁸]. Contudo, uma análise consistente sobre a natureza da renormalização, seja como dispositivo teórico-ad hoc ou condição criteriosa para validação de teorias físicas, é bem explorada no modelo reticulado de racionalidade científica de Larry Laudan¹³, por V. A. Bezerra [⁴⁸]. Dessa maneira, marcadamente ancorados nessa abordagem de Bezerra, faremos uma breve descrição histórica-conceitual sobre a renormalização. Dentro dessa perspectiva, observamos que foi justamente na transição do modelo de DFP para a QED que os problemas de divergências necessitavam de uma interpretação física mais acurada e consistente.

Durante as décadas de 1930 e 1940, o físico teórico V. F. Weisskopf analisou o problema da autoenergia do elétron [⁴⁴] – elucidada na equação (2), incluindo os cálculos iniciais para predição do desvio de Lamb que, embora não publicados em tempo hábil, mostraram-se corretos anos mais tarde. Fez contribuições significativas nos estudos iniciais de renormalização, que foram levados mais a fundo por Hendrik Anthony Kramers (^∗1894–^†1952) durante suas apresentações nas Conferência de Shelter Island e Conferência Solvay de 1948, ainda em nível não-relativístico [⁴⁹]. Mais precisamente, ao longo de 1936, Weisskopf foi bolsista no Instituto Bohr em Copenhague, local em que se debruçou a estudar as propriedades do vácuo na presença de campos eletromagnéticos, apresentando argumentos conceituais para a remoção de infinitos sob certas condições e enunciando a base inicial para renormalização de cargas elétricas. Seus trabalhos culminaram na teoria quântica das transições radiativas e na teoria das reações nucleares.

Historicamente, é crucial mencionar alguns detalhes da relação direta entre as contribuições de Weisskopf e a noção de polarização do vácuo. O conceito desse fenômeno passou por modificações essenciais, sendo polêmico e com mais de uma interpretação nos primeiros momentos da década de 1930. Heisenberg e Pauli encontraram divergências severas ao tentar entender esses efeitos na teoria do elétron relativístico, expondo inconsistências ultravioletas e a necessidade de uma reformulação [⁵⁰]. Inclusive, Heisenberg chegou a relatar para Pauli e Weisskopt que “a polarização do vácuo deveria ser exatamente zero” [⁵¹]. Enquanto Weisskopf demonstrou explicitamente, no contexto da TQC, como a polarização do vácuo leva a correções mensuráveis, como o “screening” da carga (efeito pelo qual a carga elétrica efetiva de uma partícula é parcialmente “blindada” pelas flutuações do meio) – vide Figura(1) – em QED de baixas energias, antecipando a ideia de renormalização [⁴⁴, ⁵²]. Inclusive, é neste último trabalho citado que Weisskopf revela evidências de que o comprimento crítico da QED (escala em que a autointeração eletromagnética domina) é tão pequeno quanto $\left(h/mc\right)e^{-hc/e^2}$.

Figura 1
Processo de “blindagem” de um elétron na QED devido à polarização do vácuo – flutuações dos pares de elétron-pósitron em torno de um elétron. Fonte da imagem: De autoria própria.

A Figura (1) nos mostra porque era difícil compreender e mensurar a polarização do vácuo naquela época, já que a nuvem de partículas virtuais (pares de elétron-pósitron) criadas em volta do elétron gera uma atenuação em sua carga nua (carga teórica) – $e_t$ da (3) –. Assim, um observador que se afastasse da carga nua, viria essa carga com valores mais difuso, e conforme se aproximasse da carga nua, determinaria um aumento desta, pois estaria penetrando na nuvem virtual e começando a mensurar seu valor real – $e_{\mathrm{ov}}$ da (3) –. Por essa razão, esse processo leva o nome de “blindagem”. E, muito provavelmente, devido a essa sutileza, que Heisenberg interpretava que $e_t=e_{\mathrm{ov}}$. É possível notar, portanto, que a polarização do vácuo foi um dos fatores principais para a criação da QED.

Os físicos Hans Albrecht Bethe (^∗1906–^†2005), Willis Eugene Lamb (^∗1913–^†2008) e Robert Curtis Retherford (^∗1912–^†1981) foram responsáveis pelos experimentos cruciais associados à constante de estrutura hiperfina do átomo de hidrogênio, com análises não-relativística e de desvio de Lamb¹⁴ tratando pela primeira vez da tentativa de renormalizar a massa do elétron. Nos estudos de Lamb e Retherford [⁵³], os resultados indicaram que, contrariamente à teoria, as curvas magnéticas a partir do método de micro-ondas associadas ao átomo de hidrogênio concordaram com a hipótese de Pasternack¹⁵, revelando que o estado $2^{\text{2}}{s}_{1/2}$ é superior ao $2^{\text{2}}{p}_{1/2}$ em torno de $9\%$ da separação do dupleto devido ao spin$\left(\mathrm{0,03}/\mathrm{cm}\right)$. Uma análise semelhante foi realizada para transições de radiofrequência menores, entre ${}_{}{}^{2}s_{1/2}^{}\left(m_s=1/2\right)$ e ${}_{}{}^{2}p_{1/2}^{}\left(m_s=\pm 1/2\right)$, em que foi possível mensurar o quadrado da constante de estrutura fina $\alpha$ através da relação para alargamento Doppler de frequência emitida, $\text{Δ}\nu ={\alpha }^{2}R/16$, para a separação de dupletos.

Contemporaneamente, inspirado nos resultados de Lamb e Retherford, Bethe deduziu o deslocamento de Lamb no espectro do hidrogênio ao implementar a ideia de renormalização de massa, lançando luz às noções para o desenvolvimento moderno da eletrodinâmica quântica. Isso permitiu explicitar a diferença de energia observada entre elétrons ligados e elétrons livres em seu trabalho denominado The Electromagnetic Shift of Energy Levels, publicado em 1947 [⁵⁴]. Na linguagem atual, é possível estimar os desvios da energia de Lamb (desvio de Lamb) $\text{Δ}{E}_{\mathrm{Lamb}}$, previsto por Bethe em perturbações de energia potencial coulombiana $⟨E_{\mathrm{coulomb}}\left(r+\delta r\right)⟩=-Z{e}^2/4\pi {\epsilon }_0⟨{\left(r+\delta r\right)}^{-1}⟩$, nas formas:

(4) $$\begin{array}{l}\text{Δ}{E}_{\mathrm{Lamb}}={\alpha }^5{m}_e{c}^2\frac{k\left(n\mathrm{,0}\right)}{4n^3},\\ l=0\text{e}\text{Δ}{E}_{\mathrm{Lamb}}\\ ={\alpha }^5{m}_e{c}^2\frac{1}{4n^3}\left[k(n,\ell )\pm \frac{1}{\pi \left(j+\frac{1}{\text{2}}\right)\left(\ell +\frac{1}{\text{2}}\right)}\right],\\ l\ne 0,\end{array}$$

com $k\left(n\mathrm{,0}\right)\approx 13$ variando ligeiramente com $n$ e $\ln \left(k(n,l)\right)\approx k(n,l)=-\mathrm{0,05}$, respectivamente. Sendo $\alpha$ a constante de estrutura fina, $m_e$ a massa do elétron, $n$ o número quântico principal, $l$ o número quântico orbital e $j=l+s$ o número quântico de momento angular total para spin$s=1/2$ do átomo de hidrogênio.

A História mostra que os trabalhos do quarteto Bethe-Lamb-Retherford-Weisskopf para a caracterização inicial da constante de estrutura fina e o desvio de energia dos elétrons, oriundas das primeiras tentativas de renormalização de carga elétrica e de massa, fundamentaram a interpretação da existência de fótons virtuais nos processos de emissão e absorção dos elétrons, revelando pequenas perturbações/oscilações no ponto zero na medida dos observáveis – o cerne da eletrodinâmica quântica, deixando evidente a interpretação de que elétrons estão continuamente “vestidos” pelas flutuações do campo eletromagnético, modificando seus valores mensuráveis/observáveis. Portanto, a polarização do vácuo (alteração da carga efetiva) e a interpretação dos fótons virtuais (que geram o desvio de Lamb via autoenergia do elétron) são manifestações físicas das divergências que a técnica de renormalização busca absorver na massa e na carga observável. Maiores detalhes sobre a vida pessoal, acadêmica e científica de Weisskopf e Lamb podem ser apreciadas nas biografias descritas por Jackson e Gottfried [⁵⁵] e no memorial biográfico desenvolvido por Cohen e Scully [⁵⁶], respectivamente.

Não obstante às colaborações teóricas-experimentais previamente discutidas acerca da natureza do elétron, é de suma importância enfatizar que no final da década de 1940, outra grande contribuição surgia para edificação futura da QED: Eugene Paul Wigner (^∗1902–^†1995) estabeleceu a classificação das partículas bosônicas e fermiônicas por representações do grupo de Poincaré (grupo de Lorentz “somado” às translações) [⁵⁷], fornecendo a base matemática para descrição de operadores de criação e aniquilação na segunda quantização, fundamentando conceitos importante à TQC desde 1927.

2.3. Feynman, Schwinger, Tomonaga e Dyson – equivalência das QEDs

No âmbito do Modelo Padrão para a física das partículas elementares, a QED se estabelece como uma teoria completa e robusta à luz das análises e comprovações teórica-fenomenológica-experimental, além de servir como base conceitual e matemática às demais interações físicas fundamentais. Muito embora é importante frisar que, na perspectiva histórica, sua construção e roupagem final se manifestaram por três visões distintas – de Tomonaga, Schwinger e Feynman – culminando na mesma essência covariante percebida por Dyson. Logo, não é exagero pensar que se a QED teve uma vasta “genealogia” discutida anteriormente, de Heisenberg até Bethe entre 1926 e 1947, seu completo auge foi alcançado no biênio de 1948–1949 por quatro genitores de maneira independente. Destacamos que, apesar dos problemas de divergência não serem resolvidos em essência pela QED, as técnicas de renormalização das formulações a seguir são as responsáveis em extrair previsões físicas de tais divergências – reforçamos a leitura da obra de Silvan S. Schweber [²⁴].

2.3.1. O método de Tomonaga

Shin’ichirō Tomonaga (^∗1906–^†1979) iniciou sua trajetória acadêmica na (atual) Universidade de Kyoto (Kyodai), obtendo o bacharelado em física em 1929 e inclinando-se à física teórica na sequência [⁵⁸, ⁵⁹]. Sob orientação do Prof. Dr. Yoshio Nishina (^∗1890–^†1951) e já pesquisador associado no Instituto de Pesquisa Física e Química em Tóquio (Riken), Tomonaga dedicou-se aos problemas oriundos da eletrodinâmica quântica. Um dos pilares fundamentais que emergiu de seu trabalho na QED foi a formulação covariante da teoria quântica de campos, proposta inicialmente em 1942. Essa abordagem buscava generalizar o conceito de estado quântico para assegurar covariância relativística [⁶⁰]. A formulação, posteriormente denominada teoria super-many-time (SMT), permitia associar distintas variáveis temporais a cada ponto espacial, satisfazendo o princípio da relatividade ao equiparar tempo e espaço [⁶¹].

Podemos afirmar que um dos trabalhos mais relevantes de Tomonaga para a QED foi “On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields”¹⁶, em que revelou ao mundo ocidental o conceito de “super-many-time theory” – uma generalização da teoria de Schrödinger depentende do tempo da MQ para uma formulação covariante usando folheações temporais do espaço-tempo por meio de superfícies tipo-espaço¹⁷$t\in ℝ\mapsto t_1,t_2,\dots ,t_N$[⁶²]:

(5) $$\begin{array}{l}\left\{H_n(q_n,p_n,\left(U_n(q_n,t_n)\right))+\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial t_n}\right\}\\ \times \Phi (q_1{t}_1,q_2{t}_2,\dots ,q_N{t}_N)=0,n=\mathrm{1,2},\dots ,N,\end{array}$$

em que uma função de onda $\Phi (q_1,q_2,\dots ,q_N,t)$, que outrora possuia apenas uma variável temporal para as $N$ coordenadas generalizadas $q$, agora é expandida para $\Phi (q_1{t}_1,q_2{t}_2,\dots ,q_N{t}_N)$, que satisfaz simultaneamente $N$ folheações. Essa generalização garantiu a covariância de expansão perturbativa da QED.

Durante a Segunda Guerra Mundial, Tomonaga se dedicou ao desenvolvimento teórico de sistemas de micro-ondas, incluindo o magnetron. Para modelar o movimento de elétrons em um magnetron, aplicou o conceito de campo médio análogo ao método de Hartree, com o qual já tinha familiaridade em problemas de física de muitos corpos [⁵⁹, ⁶⁰]. Logo após a guerra, Tomonaga retomou à pesquisa acadêmica, visando investigar a natureza do campo tanto na teoria de mésons quanto na eletrodinâmica quântica. A descoberta do deslocamento de Lamb-Retherford em 1947 e a identificação de um erro crítico nos cálculos de Dancoff sobre divergências levaram Tomonaga e seu grupo de pesquisa a reconhecerem que as infinitudes na teoria poderiam ser “amalgamadas” ou absorvidas em modificações da massa e carga do elétron, substituindo essas quantidades teóricas divergentes por valores finitos observados experimentalmente [⁶¹]. Esse procedimento, inicialmente denominado por Tomonaga como “método de subtração autoconsistente”, apresentava analogias com o método de Hartree-Fock [⁶²].

É importante destacar que Tomonaga transferiu-se para Princeton em 1949, período após o qual não publicou novos trabalhos sobre eletrodinâmica quântica, exceto em seu discurso do Prêmio Nobel. Paralelamente, dedicou-se intensamente a atividades administrativas e à formulação de políticas científicas, liderando a reconstrução da ciência japonesa no pós-guerra. Desempenhou papel crucial no estabelecimento de importantes institutos de pesquisa, atuando como Presidente da Universidade de Educação de Tóquio e do Conselho de Ciência do Japão [⁶³].

2.3.2. A formalidade de Schwinger

Julian Schwinger (^∗1918–^†1994) foi uma figura central na física teórica do século XX, conhecido por sua notável precocidade e determinação, com profundo interesse pela física desde seus 13 anos, quando teve contato com a obra “The Principles of Quantum Mechanics” de Paul Dirac. Esse talendo o fez frequentar seminários de física teórica na Columbia University, local em que obteria seu doutorado em 1939, aos 21 anos, com a tese intitulada “On the Magnetic Scattering of Neutrons”[⁴³, ⁶⁴].

Após apresentar suas abordagens para atacar os problemas vigentes da QED na Pocono Conference em 1948, Schwinger publicou uma série de artigos denominados Quantum Electrodynamics na Physical Review, destacando-se aqui o manuscrito de abertura, “Quantum Electrodynamics. I. A Covariant Formulation”[⁶⁵], no qual revelava um formalismo operacional covariante completo e rigoroso, empregando conceitos como funcionais de ação e a atual equação de Schwinger-Dyson. Foi nesta obra que Schwinger examinou as variações no comutador $[F,G]$ ou anticomutador $\{F,G\}$ de duas variáveis de campo associadas a dois pontos em uma superfície do tipo-espaço – os princípios das funções de correlação em TQC,

(6) $$\frac{\partial }{\partial x_{\nu }}[F\left(x\right),G\left(x-\xi \right)]\text{ou}\frac{\partial }{\partial x_{\nu }}\{F\left(x\right),G\left(x-\xi \right)\},$$

para quaisquer campos variáveis $F=F\left(x\right)$ e $G=G\left(x\right)$, com um vetor do tipo-espaço ${\xi }_{\mu }$.

A contribuição de Schwinger para o desenvolvimento da QED se destaca como um alicerce de seu legado científico, uma vez que lidou com as divergências/termos infinitos que surgiam naturalmente nos cálculos associados às propriedades do elétron, finalmente resolvidas por meio da renormalização. Baseado em sua estruturação matemática robusta de 1948, Schwinger publicou o famoso trabalho “On calibre Invariance and Vacuum Polarization” de 1951, que trouxe à tona uma precisão fenomenológica notável ao derivar o momento magnético do elétron, quantificado como um acréscimo de $\alpha /2\pi$ magnetons no fator giromagnético do elétron $\left(g-2\right)$. Esse resultado foi obtido mediante um cálculo perturbativo de segunda ordem, no qual Schwinger empregou seu método do tempo próprio, com ênfase em quantidades covariantes de calibre [⁶⁶]. Tal abordagem não apenas assegurou resultados finitos, mas também preservou a invariância de calibre [⁶⁷], sendo reconhecidamente um dos grandes triunfos da QED moderna que convenceu a vários físicos céticos de sua validação teórica.

Ademais, de 1945 a 1972, Schwinger foi professor na Harvard University, ocasião em que prosseguiu suas investigações em QED, formalizando teoremas fundamentais como o Princípio Mínimo da Ação Quântica e o Teorema CPT via invariância de calibre. Como consequência imediata de suas contribuições à QED, destaca-se que ele antecipou a unificação eletrofraca, ao reconhecer a necessidade de partículas massivas (hoje denominadas bósons vetoriais $W^{\pm }$ e $Z^0$) para mediar a interação fraca, materializada posteriormente nos trabalhos de seu aluno Sheldon Glashow. Em seus últimos anos na University of California, Schwinger concentrou-se no desenvolvimento da chamada Teoria de Fontes, uma abordagem alternativa que visava eliminar as divergências intrínsecas, sem recorrer ao processo de renormalização [⁴³, ⁶⁸]. Schwinger produziu uma extensa obra acadêmica, totalizando centenas de publicações científicas e dezenas de orientações de teses de doutorado, resultando no estado da arte de quatro futuros laureados com o Prêmio Nobel de Física.

2.3.3. A ousadia pictórica de Feynman

Richard Phillips Feynman (^∗1918–^†1988) é reconhecido como um dos expoentes mais originais da física teórica do século XX devido às suas contribuições fundamentais à física e ao seu ensino [⁶⁹]. Sua formação acadêmica iniciou-se no Massachusetts Institute of Technology, onde demonstrou grande interesse pela dispersão da luz solar branca pelas moléculas de água presentes na atmosfera, concluindo sua graduação em Física no ano de 1939 e, posteriormente, ingressou na Princeton University para sua pós-graduação [⁷⁰]. Durante o doutorado, Feynman deparou-se com as limitações da teoria quântica do eletromagnetismo vigente, especialmente os problemas das divergências infinitas na autoenergia do elétron e nos graus de liberdade do campo eletromagnético [⁷¹]. Entre 1947 e 1948, Feynman desenvolveu uma formulação da mecânica quântica¹⁸ fundamentada no conceito de integrais de trajetória [⁷³]. Para Feynman, a evolução de uma função de onda – na MQ não-relativística – em qualquer ponto de evento $P:(x_k,t)$ para $P^{\prime }:(x_{k+1},t+\epsilon )$ do espaço-tempo é caracterizado por todas as possíveis “trajetórias” associadas à função de onda $\psi (x_k,t)$, integrando-se sob uma ação $S=S(x_{k+1},x)$:

(7) $$\psi (x_{k+1},t+\epsilon )=\int exp\left[\frac{i}{\hslash }S(x_{k+1},x_k)\right]\psi (x_k,t)\mathit{d}{x}_k.$$

Baseando-se nas ideias pioneiras de Dirac sobre a relação entre o formalismo lagrangiano e a teoria quântica, Feynman propôs que a amplitude de um evento quântico corresponde à soma das amplitudes associadas a todos os caminhos espaço-temporais possíveis. No ano seguinte, em 1949, Feynman empregou essa proposta para fundamentação e aplicação na eletrodinâmica quântica, uma vez que ele relacionou a amplitude de probabilidade de interações entre partículas carregadas arbitrárias $a,b$ que evoluem de um ponto $({\mathit{x}}_a^{\prime },{\mathit{x}}_b^{\prime },t^{\prime })$ para $({\mathit{x}}_a,{\mathit{x}}_b,t)$ do espaço-tempo, interagindo entre si, $K({\mathit{x}}_a,{\mathit{x}}_b,t;{\mathit{x}}_a^{\prime },{\mathit{x}}_b^{\prime },t^{\prime })$[⁷⁴], permitindo que tal interação seja representada pictoricamente por diagramas – que mais tarde, viriam a ser conhecidos como diagramas de Feynman – usadas nos dias atuais para todo e qualquer cenário de estudos teóricos, fenomenológicos e experimentais do Modelo Padrão de física de partículas elementares.

A equação analítica que está associada ao diagrama da Figura (2) é descrita pela seguinte amplitude de espalhamento [⁷⁴]:

Figura 2
Primeira ilustração do diagrama de Feynman na história, representando uma interação fundamental entre dois elétrons trocando quanta de fótons virtuais. Fonte da imagem: reproduzida de R.P. Feynman, Space – time approach to quantum electrodynamics, Phys.Rev. 76 (1949) 769-789. [⁷⁴].

(8) $$\begin{array}{l}{K}^{\left(1\right)}(\mathrm{3,4};\mathrm{1,2})\\ =-i{e}^2\int \int K_{+a}\left(\mathrm{3,5}\right)K_{+b}\left(\mathrm{4,6}\right){\gamma }_{a\mu }{\gamma }_{b\mu }{\delta }_{+}{s}_{56}^{\text{2}}\\ \cdot K_{+a}\left(\mathrm{5,1}\right)K_{+b}\left(\mathrm{6,2}\right)d{\tau }_{5}d{\tau }_6,\end{array}$$

indicando que os elétrons do passado $t<t_0$ se propagam com amplitudes de probabilidade $K_{+a}\left(\mathrm{5,1}\right)$ e $K_{+b}\left(\mathrm{6,2}\right)$, interagindo com troca de fótons virtuais de propagador $s_{56}$, seguindo para o futuro $t>t_0$ com nova propagação $K_{+a}\left(\mathrm{3,5}\right)$ e $K_{+b}\left(\mathrm{4,6}\right)$. O termo $-i{e}^2$ representa a constate de acoplamento da interação, enquanto ${\gamma }_{a\mu }$ e ${\gamma }_{b\mu }$ estão associados às matrizes de Dirac para o vértice de interação entre essas partículas. Essa abordagem possibilitou compreender as divergências infinitas através das interpretações físicas via técnicas de renormalização [⁷⁰, ⁷¹], uma vez que não permitia a interação direta entre cargas elétricas, necessitando de um campo de calibre intermediário (fótons). Assim, eliminava-se o problema da auto-interação do elétron, “absorvendo-se” as divergências presentes desde o modelo de DFP. É importante ressaltar que historicamente, a princípio, seu mentor, John Archibald Wheeler (^∗1911–^†2008) incentivou Feynman na busca pela análise, interpretação e solução do problema. Nesse mesmo cenário, Feynman constatou a necessidade de empregar propagadores (soma das funções de Green avançada e retardada) no campo gerado por cada carga, validando-se a necessidade de incluir antipartículas à caracterização dos campos fermiônicos para tratamento completo da QED.

Após rigorosas análises matemáticas, esta abordagem demonstrou consistência teórica e possibilitou a eliminação das divergências das autoenergias infinitas [⁷¹]. Feynman deixou significativas contribuições à física teórica, especialmente no estudo da luz e dos constituintes fundamentais da matéria hadrônica. Seus trabalhos foram decisivos para o desenvolvimento da QED e para a interpretação do espalhamento inelástico profundo através do modelo de partons, sendo fundamental para a formulação da QCD, teoria que descreve as interações entre quarks e glúons [⁷⁰]. Para além das contribuições científicas, Feynman também é conhecido por seu estilo de ensino único, que priorizava a compreensão conceitual em vez da memorização [⁶⁹]. As Feynman Lectures on Physics são uma prova duradoura de sua capacidade de simplificar conceitos complexos [⁷⁰] e ainda influenciam o ensino de física globalmente.

2.3.4. A unificação de Dyson para uma QED

Freeman John Dyson (^∗1923–^†2020) foi um físico e matemático de renome, ganhando prestígio acadêmico sem nunca ter obtido um título de doutorado. Sua notável habilidade intelectual manifestou-se desde a infância, evidenciada pelo fato de que, aos quatro anos de idade, já tentava calcular o número de átomos existentes no Sol [⁷⁵]. Dyson iniciou sua formação acadêmica em matemática na University of Cambridge, onde foi influenciado por pesquisadores como G. H. Hardy e Abram Besicovitch. No entanto, após a Segunda Guerra Mundial, percebeu a física teórica como um campo em pleno desenvolvimento científico, o que o levou a migrar da matemática para essa área. Como parte dessa transição, em 1947, obteve uma bolsa do Commonwealth Fund para cursar pós-graduação na Cornell University, sob orientação do físico Hans Bethe [⁷⁶].

Ao longo de sua carreira, Dyson se identificou como um matemático aplicado, focando na aplicação prática de conhecimentos consolidados em vez de criar teorias originais. Ele se destacou como um solucionador de problemas complexos utilizando métodos matemáticos estabelecidos, em contraste com os matemáticos puros [⁷⁷]. Sua contribuição mais seminal foi a unificação das abordagens da QED, desenvolvidas por Richard Feynman, Julian Schwinger e Shin’ichirō Tomonaga [⁷⁸]. Dyson demonstrou a equivalência entre as formulações de Feynman (diagramas) e Schwinger (operadores) na eletrodinâmica quântica, conquistando notoriedade inicial na comunidade física. Embora inicialmente cético, Julius Robert Oppenheimer (^∗1904 – ^†1967) ficou convencido pelos resultados apresentados por Dyson, admitindo a legitimidade de sua metodologia, principalmente após a demonstração de renormalização através dos diagramas de Feynman. A validação de Oppenheimer era importante, tendo em vista que na antiga proposta dele [⁷⁹] e Wendell Hinkle Furry (^∗1907–^†1984) (modelo de Furry-Oppenheimer) [⁸⁰], o campo eletromagnético quantizado é acoplado a férmions relativísticos, permitindo criação e aniquilação de pares elétron–pósitron, onde estabelecera um passo decisivo rumo à QED de muitos corpos. Isso levou à concessão de um cargo para Dyson no Institute for Advanced Study (IAS) [⁷⁵]. Com as notações dos dias atuais, a chamada equação de Schwinger-Dyson para o valor esperado de qualquer medida $F$ em termos de um campo $\varphi$, $⟨F\left[\varphi \right]⟩$ bem como a descrição de um funcional gerador para a ação de campos arbitrários $S\left[\varphi \right]$ e suas fontes respectivas $⟨J,\varphi ⟩$, foram concebidas e aplicadas por Dyson nas formas (com $𝒟$ sendo uma medida de integração sobre todo espaço):

(9) $$\begin{array}{c}⟨\frac{\delta F\left[\varphi \right]}{\delta \varphi }⟩=-i⟨F\left[\varphi \right]\frac{\delta 𝒮\left[\varphi \right]}{\delta \varphi }⟩\text{e}\\ Z\left[J\right]=\int 𝒟\varphi e^{i\left(𝒮\left[\varphi \right]+⟨J,\varphi ⟩\right)}.\end{array}$$

A unificação teórica proposta por Dyson, que integra as formulações de Schwinger, Feynman e Tomonaga, é amplamente considerada uma contribuição digna do Prêmio Nobel. Foi graças aos seus trabalhos que os diagramas de Feynman tornaram-se uma linguagem padrão para física de partículas. Contudo, em 1965, o prêmio foi concedido apenas aos três físicos originais, já que o comitê do Nobel limita a premiação a um máximo de três laureados por categoria [⁷⁷]. Em suma, toda essa abordagem histórica do desenvolvimento da QED pode ser sintetizada na linha do tempo da Figura (3), onde criamos uma representação cronológica a partir da seleção de informações presentes em [⁴⁸].

Figura 3
Cronograma e linha do tempo dos principais eventos históricos no desenvolvimento da QED. Fonte da imagem: De autoria própria.

Para além da discussão histórica da QED, na seção seguinte, apresentamos uma síntese da física dessa teoria, de modo a instigar um aprofundamento aos leitores iniciais da área, bem como estabelecer uma breve revisão aos leitores mais avançados.

3. Bases Conceituais e Teóricas da QED

A seção histórica revelou que, em princípio, a QED nasceu com a finalidade de compreender a interação entre férmions e fótons. Com o avanço da TQC e das outras áreas relacionadas à construção do Modelo Padrão das partículas elementares, atualmente a QED aplica-se a todas interações de partículas dotadas de carga elétrica – sejam léptons, quarks ou bósons vetoriais carregados. Nesta seção, fornecemos uma síntese conceitual e teórica da QED, ancoradas principalmente nas referências [¹, ⁶] e [⁸¹] – por essa razão, diferentemente de outros livros-textos, optamos por omitir a simbolização “chapéu” $\widehat{𝒪}$ nos operadores quânticos: $𝒪$.

3.1. Fundamentação física da QED

A densidade de lagrangiana associada à equação de Dirac (1) para férmions de spin$1/2$ é caracterizada por:

(10) $${ℒ}_D=\overline{\text{Ψ}}\left(i\partial ̸-m\right)\text{Ψ},$$

em que $\overline{\text{Ψ}}={\text{Ψ}}^{†}{\gamma }^0$ é a estrutura dual do espinor $\text{Ψ}$, e $\partial ̸\equiv {\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }$ obedece a notação slash de Feynman para contrações entre as matrizes gama de Dirac e objetos covariantes. As simetrias internas para os espinores e seus correspondentes duais são explicitadas pela transformação global do grupo unitário $U\left(1\right)$: $\text{Ψ}\mapsto e^{-i\theta }\text{Ψ}$ e $\overline{\text{Ψ}}\mapsto e^{+i\theta }\overline{\text{Ψ}}$ (sendo $\theta \in ℝ$); de modo a manter a informação física associada à dinâmica da equação (10) invariante.

Os espinores, que representam os férmions de spin$1/2$, devem estar relacionados às matrizes gama de Dirac que, por sua vez, podem ser construídas em diferentes bases, a saber: Dirac, Weyl e Majorana. Aqui, usaremos a base de Weyl¹⁹ para o conjunto $(\left\{{\gamma }^{\mu }=({\gamma }^0,{\gamma }^i)\right\},{\gamma }^5),i=\mathrm{1,2,3}$,

(11) $${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}𝕆& 𝕀\\ 𝕀& 𝕆\end{array}\right),{\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}𝕆& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& 𝕆\end{array}\right)\text{e}{\gamma }^5=\left(\begin{array}{cc}-𝕀& 𝕆\\ 𝕆& 𝕀\end{array}\right),$$

sendo as matrizes de Pauli ${\sigma }^i$ expressas na forma:

(12) $${\sigma }^1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }^2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)\text{e}{\sigma }^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

Devemos destacar que as matrizes gama de Dirac obedecem a composição de sua anticomutação sob a álgebra de Clifford $\{\cdot ,\cdot \}$ em $𝒞l_{\mathrm{1,3}}\left(ℝ\right)$ e a comutação geradora $S^{\mu \nu }$ para transformações de Lorentz da teoria, respectivamente:

(13) $$\begin{array}{c}\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}\equiv {\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }𝕀\text{e}\\ S^{\mu \nu }\equiv [{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }]\equiv {\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }-{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=\frac{i}{2}\left({\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }-{\eta }^{\mu \nu }𝕀\right).\end{array}$$

Ao acoplar férmions com o campo eletromagnético (manifestação clássica dos fótons) temos uma nova lagrangiana que preserva simetria sob transformações locais do grupo $U\left(1\right)=(G,\cdot )$, tal que $G=\{e^{i\theta \left(x\right)};\theta \left(x\right)\in \left[\mathrm{0,2}\pi \right)\}$:

(14) $${ℒ}_{QED}=-\frac{1}{\text{4}}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+\overline{\text{Ψ}}\left(i\partial ̸-m\right)\text{Ψ}-e\overline{\text{Ψ}}{\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }\text{Ψ},$$

sendo a primeira parcela, ${ℒ}_{EM}=-\left(1/4\right)F_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }$, a parte cinética da densidade de lagrangiana para o campo eletromagnético puro, expressa em termos do tensor eletromagnético $F_{\mu \nu }\equiv {\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$, cujos quadripotenciais eletromagnéticos são $A^{\mu }=(\varphi ,\overrightarrow{\mathit{A}})$ [ou $A_{\mu }=(\varphi ,-\overrightarrow{\mathit{A}})$]. É importante observar que esses quadripotenciais especificam os campos elétricos e magnéticos, tendo em vista que $\overrightarrow{\mathit{E}}=-\overrightarrow{\mathbf{\nabla }}\varphi -\partial \overrightarrow{\mathit{A}}/\partial t$ e $\overrightarrow{\mathit{B}}=\overrightarrow{\mathbf{\nabla }}\times \overrightarrow{\mathit{A}}$; a segunda parcela, ${ℒ}_D=\overline{\text{Ψ}}\left(i\partial ̸-m\right)\text{Ψ}$, é a já discutida densidade de lagrangiana para um férmion livre; a terceira parcela, ${ℒ}_{int}=-e\overline{\text{Ψ}}{\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }\text{Ψ}$, é o acoplamento direto entre o campo espinorial representativo ao férmion e o potencial eletromagnético associado ao fóton, em que $e$ (carga fundamental) é a constante de acoplamento da interação. O calibre de Lorenz, ${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$, é preservado na dinâmica de $U\left(1\right)=(G,\cdot )$.

Note que ao transpormos a física de um férmion livre para uma interação com fótons, ${ℒ}_D\mapsto {ℒ}_{QED}$, é importante que seja garantida uma covariância de calibre para os operadores e uma transformação de calibre para os campos envolvidos, a fim de manter a invariância sobre a dinâmica emergente da lagrangiana estudada. Desse modo, definimos a derivada covariante $D_{\mu }$ e as transformações de calibre para os campos ${\text{Ψ}}^{\prime }={\text{Ψ}}^{\prime }\left(x^{\mu }\right)$ e $A^{\prime }=A_{\mu }^{\prime }\left(x^{\mu }\right)$, respectivamente, como:

(15) $$D_{\mu }\text{Ψ}={\partial }_{\mu }\text{Ψ}+ie{A}_{\mu }\text{Ψ},$$

(16) $$\begin{array}{c}\text{Ψ}\left(x^{\mu }\right)\mapsto {\text{Ψ}}^{\prime }\left(x^{\mu }\right)=e^{+i\theta }\text{Ψ}\left(x^{\mu }\right)\text{e}\\ A_{\mu }\left(x^{\mu }\right)\mapsto A_{\mu }^{\prime }\left(x^{\mu }\right)=A_{\mu }\left(x^{\mu }\right)-{\partial }_{\mu }\theta ,\end{array}$$

em que $\theta =\theta \left(x^{\mu }\right)$ é uma função arbitrária. A invariância do calibre global conserva a carga. Vê-se que a transformação de calibre da QED é local, com um acoplamento expresso pelo quadripotencial $A_{\mu }$.

No âmbito da segunda quantização da teoria, os operadores quânticos associados aos campos fermiônicos e ao quadripotencial eletromagnético são soluções de ondas planas, construídas no espaço de Minkowski. Tais campos quânticos são expansões dos quadrivetores de polarização ${ϵ}_{\nu }(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda )$ para os quadripotenciais $A_{\nu }\left(x^{\mu }\right)$, bem como expansão dos autoespinores e antiautoespinores $(u(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma );v(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma ))$ para o campo espinorial (e seu dual) $\text{Ψ}\left(x^{\mu }\right)$ (e $\overline{\text{Ψ}}\left(x^{\mu }\right)$), via transformada de Fourier no espaço dos momenta:

(17) $$\begin{array}{l}{A}_{\nu }\left(x^{\mu }\right)={\displaystyle \sum _{\lambda =1}^2}\int \frac{d^3\overrightarrow{\mathit{p}}}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{1}{2\left|\overrightarrow{\mathit{p}}\right|}[a(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda ){ϵ}_{\nu }(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda )e^{-i{p}_{\mu }{x}^{\mu }}\\ +a^{†}(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda ){ϵ}_{\nu }(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda )e^{+i{p}_{\mu }{x}^{\mu }}],\end{array}$$

(18) $$\begin{array}{l}\text{Ψ}\left(x^{\mu }\right)={\displaystyle \sum _{\sigma =1}^2}\int \frac{d^3\overrightarrow{\mathit{p}}}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{1}{\sqrt{E_{\overrightarrow{\mathit{p}}}}}[b(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )u(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )e^{-i{p}_{\mu }{x}^{\mu }}\\ +c^{†}(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )v(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )e^{+i{p}_{\mu }{x}^{\mu }}],\end{array}$$

(19) $$\begin{array}{l}\overline{\text{Ψ}}\left(x^{\mu }\right)={\displaystyle \sum _{\sigma =1}^2}\int \frac{d^3\overrightarrow{\mathit{p}}}{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{1}{\sqrt{E_{\overrightarrow{\mathit{p}}}}}[c(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )\overline{v}(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )e^{-i{p}_{\mu }{x}^{\mu }}\\ +b^{†}(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )\overline{u}(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )e^{+i{p}_{\mu }{x}^{\mu }}],\end{array}$$

em que: $a(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda )$ e $a^{†}(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda )$ são os operadores de aniquilação e criação associados aos vetores polarizados ${ϵ}_{\nu }(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda )$, de momento $\overrightarrow{\mathit{p}}$ e polarização $\lambda$, que obedecem a relação de calibre de Coulomb estendida, ${ϵ}_{\nu }(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda )\cdot {ϵ}_{\nu }(\overrightarrow{\mathit{p}},{\lambda }^{\prime })={ϵ}^{\lambda }\cdot {ϵ}^{{\lambda }^{\prime }}={\eta }^{\lambda {\lambda }^{\prime }}$ (escolha de ${ϵ}^1⟂{ϵ}^2$ para polarizações transversais na forma vertical/horizontal, circular esquerda/direita e afins); $b(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )$ e $b^{†}(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )$ são os operadores de aniquilação e criação associados ao autoespinor (e seu dual) $u(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )$ ($\overline{u}(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )$), com função similar aos operadores $c(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )$ e $c^{†}(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )$ para o antiautoespinor (e seu dual) $\overline{v}(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )$ ($v(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )$), de momento $\overrightarrow{\mathit{p}}$ e spin$\sigma$.

Pelo teorema spin-estatística, as regras de comutação (bósons de spin$1$ (17)) e anticomutação (férmions de spin$1/2$ (18)–(19)) para os operadores de criação e aniquilação presentes nos campos quânticos são, respectivamente:

(20) $$[a(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda ),a^{†}(\overrightarrow{\mathit{q}},{\lambda }^{\prime })]=-{\eta }^{\lambda {\lambda }^{\prime }}{\left(2\pi \right)}^3{\delta }^3\left(\overrightarrow{\mathit{p}}-\overrightarrow{\mathit{q}}\right),$$

(21) $$\begin{array}{l}\{b(\overrightarrow{\mathit{p}},\rho ),b^{†}(\overrightarrow{\mathit{q}},\sigma )\}=\{c(\overrightarrow{\mathit{p}},\rho ),c^{†}(\overrightarrow{\mathit{q}},\sigma )\}\\ ={\left(2\pi \right)}^3{\delta }_{\rho \sigma }{\delta }^3\left(\overrightarrow{\mathit{p}}-\overrightarrow{\mathit{q}}\right),\end{array}$$

em que os algoritmos algébricos para comutação e anticomutação são, ordenadamente, $[A,B]=AB-BA$ e $\{A,B\}=AB+BA$, integrados no espaço de fase $(\overrightarrow{\mathit{p}},\overrightarrow{\mathit{q}})$, bem como de simetrias internas $(\lambda ,{\lambda }^{\prime })$ e $(\rho ,\sigma )$, para bósons e férmions. Todas as outras combinações de (anti)comutadores possíveis são nulas.

Uma vez garantida a relação algébrica dos operadores de criação e aniquilação (20) e (21), podemos elucidar a maneira como tais objetos atuam no estado de vácuo pertencente ao espaço de Hilbert para caracterizações dos estados de partículas, $|0⟩\in \mathscr{H}$:

(22) $$a(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda )|0⟩=0\text{e}{a}^{†}(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda )|0⟩=|\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda ⟩,$$

(23) $$b(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )|0⟩=0\text{e}{b}^{†}(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )|0⟩=|\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma ⟩,$$

(24) $$c(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )|0⟩=0\text{e}{c}^{†}(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )|0⟩=-|\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma ⟩,$$

sendo que $a(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda )$ aniquila e $a^{†}(\overrightarrow{\mathit{p}},\lambda )$ cria fótons; $b(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )$ aniquila e $b^{†}(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )$ cria elétrons (partículas); $c(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )$ aniquila e $c^{†}(\overrightarrow{\mathit{p}},\sigma )$ cria pósitrons (antipartículas).

Em TQC, um propagador é a concepção de uma função que especifica a amplitude de probabilidade de uma partícula viajar de um lugar para outro em um determinado período de tempo, sob certa energia e momento. Os propagadores de Feynman para os campos eletromagnéticos e de Dirac são de fundamental importância para a garantia da causalidade nos eventos físicos que ocorrem de um ponto $x^{\mu }$ até outro ponto $y^{\mu }$ (ou vice-versa) no espaço-tempo, em termos das ordens temporais $x^0$ e $y^0$. Para sua definição, devemos, primeiramente, explicitar os operadores de ordenação temporal $T$, causal, para bósons e férmions. Tais objetos são descritos seguindo uma seta temporal $x^0>y^0$ ( $y^0>x^0$), ou seja:

(25) $$\begin{array}{l}T\left\{A^{\mu }\left(x\right)A^{\nu }\left(y\right)\right\}=\{\begin{array}{cc}{A}^{\mu }\left(x\right)A^{\nu }\left(y\right),x^0>y^0\hfill & \\ A^{\nu }\left(y\right)A^{\mu }\left(x\right),y^0>x^0\hfill & \end{array},\\ T\left\{\text{Ψ}\left(x\right)\overline{\text{Ψ}}\left(y\right)\right\}=\{\begin{array}{cc}\text{Ψ}\left(x\right)\overline{\text{Ψ}}\left(y\right),x^0>y^0\hfill & \\ -\overline{\text{Ψ}}\left(y\right)\text{Ψ}\left(x\right),y^0>x^0\hfill & \end{array}.\end{array}$$

Segundo a formulação de Feynman, introduzida em 1948, o valor esperado para um propagador $G_F$, no espaço dos momenta, de um certo campo, deve ser mensurado a partir do operador temporal $T$ atuando cronologicamente no estado associado ao campo em questão, podendo gerar o valor esperado do vácuo do produto ordenado no tempo: $⟨G_F⟩=-i⟨0\left|T\{\cdot ,\cdot \}\right|0⟩$. Desse modo, em posse dos operadores de campos quânticos (17)–(19) e do ordenamento (25), definimos os propagadores de Feynman para os campo eletromagnético, $D_F^{\mu \nu }$, e espinores de Dirac, $S_F$, respectivamente, como:

(26) $$\begin{array}{l}{D}_F^{\mu \nu }\left(x-y\right)=-i⟨0\left|T\left\{A^{\mu }\left(x\right)A^{\nu }\left(y\right)\right\}\right|0⟩\\ =\int \frac{d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^4}\frac{-i{\eta }^{\mu \nu }}{p^2+i\epsilon }{e}^{-ip\cdot \left(x-y\right)},\end{array}$$

(27) $$\begin{array}{l}{S}_F\left(x-y\right)=-i⟨0\left|T\left\{\text{Ψ}\left(x\right)\overline{\text{Ψ}}\left(y\right)\right\}\right|0⟩\\ =\int \frac{d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^4}\frac{-i\left(\mathit{p̸}+m\right)}{p^2-m^2+i\epsilon }{e}^{-ip\cdot \left(x-y\right)},\end{array}$$

sendo $i\epsilon$ um parâmetro de deformação de caminho denominado prescrição de Feynman, decorrente dos deslocamentos dos pólos do propagador. No limite $\epsilon ⟶0$, o valor físico do propagador é obtido. Esses propagadores são invariantes de Lorentz, desde que os operadores de campo comutem entre si quando os pontos $x$ e $y$ são separados por um intervalo tipo espaço.

Agora, podemos analisar as chamadas regras de Feynman, que são ferramentas imprescindíveis para tratamento de processos físicos entre férmions-férmions, férmions-bósons e bósons-bósons.

3.2. Regras de Feynman

As regras de Feynman são essenciais para o estudo de processos físicos descritos a partir da interação entre dois ou mais campos. Tais regras são construídas a partir da integral para amplitude de probabilidade e com essas, constrói-se os diagramas, cuja finalidade é representar pictoricamente as informações físicas e amplitudes de probabilidade, via produtórios de integrações, relacionadas às trocas de momento e energia das partículas envolvidas antes e após uma dada interação, respeitando a causalidade, bem como as simetrias externas e internas da teoria investigada, em todos os níveis de perturbação. Nesse caso, a densidade de lagrangiana analisada pode ser descrita explicitamente em parcelas livre e de interação, ou seja, $ℒ={ℒ}_0+{ℒ}_{int}$.

Antes de enunciar as regras de Feynman, é importante expressar algumas bases teóricas fundamentais para que tais regras sejam respeitadas:

• Fórmula de Dyson. Para um estado inicial de um sistema físico $\text{Ψ}\left(t_0\right)$ que evolui para um estado $\text{Ψ}\left(t\right)$, é necessário existir um operador de evolução temporal unitário, $U(t,t_0)$, de modo que $\text{Ψ}\left(t\right)=U(t,t_0)\text{Ψ}\left(t_0\right)$. A variação de $U$ no tempo está associada ao operador hamiltoniano da dinâmica do estado físico, $idU/dt=H\left(t\right)U$. Além disso, o operador de evolução temporal deve obedecer às condições $U(t,t)=1$ e $U(t_0,t_1)U(t_1,t_2)\cdots U(t_i,t_{i+1})\cdots U(t_{n-1},t_n)=U(t_0,t_n)$. A solução para a equação $dU/dt=-iH\left(t\right)U$ se estabelece como:

(28) $$U(t,t_0)=T\exp \left(-i{\int }_{t_0}^{t}H\left(t^{\prime }\right)\mathit{d}{t}^{\prime }\right),$$

em que $T$ é o operador de ordenamento temporal. A equação (28) é conhecida como fórmula de Dyson. É devido ao limite contínuo dos infinitos incrementos de $-iH\left(t\right)dt$ que surge uma exponencial.

• Teorema de Wick. Para qualquer coleção de campos arbitrários ${\Phi }_1=\Phi \left(x_1\right)$, ${\Phi }_2=\Phi \left(x_2\right)$,…, ${\Phi }_n=\Phi \left(x_n\right)$, o operador temporal $T$ sobre os campos deve ser:

(29) $$T\left({\Phi }_1\dots {\Phi }_n\right)=N({\Phi }_1\dots {\Phi }_n+\text{todas as possibilidades de contração}),$$

sendo $N$ o operador de ordenamento normal, com base no propagador de Feynman para cada par de campo, $⟨0\left|T\left(\Phi \left(x_1\right)\Phi \left(x_x\right)\right)\right|0⟩={\text{Δ}}_F\left(x_1-x_k\right)$, com $k=2,\dots ,n$.

• Amplitude de probabilidade e a matriz $𝒮$. Nos limites assintóticos de um processo de interação, os estados são correspondentes às partículas livres e podem ser descritos pelos autoestados quânticos inicial $\text{Ψ}\left(t⟶-\infty \right)\equiv |i⟩$ e final $\text{Ψ}\left(t⟶+\infty \right)\equiv |f⟩$. Inicialmente as partículas estão muito distantes umas das outras e quando se aproximam, interagem por um breve período de tempo. Tal interação está relacionada à amplitude de probabilidade em função do operador de evolução temporal $U\left(t_{-}⟶-\infty ,t_{+}⟶+\infty \right)$ da equação (28) como:

(30) $$\underset{t_{\pm }⟶\pm \infty }{lim}⟨f\left|U(t_{+},t_{-})\right|i⟩\equiv ⟨f\left|𝒮\right|i⟩,$$

em que $𝒮\equiv {lim}_{t_{\pm }⟶\pm \infty }U(t_{+},t_{-})$ é a chamada matriz-S da amplitude de probabilidade da interação. Tal objeto é usado principalmente em análises de espalhamentos, seções de choque, luminosidades e outras medições que emergem das interações de partículas. No espaço dos momenta e a partir da equação (30), podemos definir o valor esperado:

(31) $$⟨f\left|𝒮-𝕀\right|i⟩=i{𝒜}_{if}{\left(2\pi \right)}^4{\delta }^4\left(p_f-p_i\right),$$

em que ${𝒜}_{if}$ é a densidade de amplitude de probabilidade definida a partir da conservação dos quadrimomentos inicial $p_i$ e final $p_f$, podendo ser derivada a partir dos diagramas de Feynman. Com os elementos das equações (30) e (31), a probabilidade $P$ e a diferencial de seção de choque $d\sigma$ associadas às partículas no estado $|i⟩$, com momento $p_i$, que decaem para o estado $|f⟩$, com momento $p_f$, são, respectivamente:

(32) $$P=\frac{{\left|⟨f\left|S\right|i⟩\right|}^2}{⟨f|f⟩⟨i|i⟩}\text{e}\frac{d\sigma }{d\text{Ω}}=\frac{{\left|{𝒜}_{if}\right|}^2}{64{\pi }^2{E}^2},$$

sendo $d\text{Ω}=sen\theta d\theta d\phi$ o infinitésimo de ângulo sólido e $E$ a energia relativística conservada.

De modo geral, os chamados diagramas de Feynman são representações pictóricas usadas para expansões de espalhamentos $⟨f\left|𝒮\right|i⟩$, obtidos pelo Teorema de Wick. Cada um desses diagramas inclui correspondência biunívoca com os termos da expansão $⟨f\left|𝒮-𝕀\right|i⟩$.

3.2.1. Regras atribuídas no cálculo dosdiagramas

• Com relação ao tipo de linha – Os estados inicial e final, $(|i⟩,|f⟩)$, das partículas são representadas por linhas externas, sendo: férmions com linhas sólidas; escalares com linhas tracejadas; bósons vetoriais com linhas onduladas. Vide a Figura (4). A direção e sentido das linhas externas num processo de interação obedecem a causalidade no tempo²⁰, $t\in {ℝ}^{+}$.

• Linhas externas – representam partículas reais, ou seja, que obedecem a relação de conservação de energia momento linear relativísticos $E^2=p^2+m^2$. Dizemos nesse caso, que tais partículas estão na camada de massa. São as partículas externas que podem, eventualmente, ser detectadas em aceleradores de partículas.

  Fótons em um diagrama são representados por seus vetores de polarização. Nesse caso ${\epsilon }_{\mu }/{\epsilon }_{\mu }^{\ast }$ são utilizados para fótons entrando e saindo do vértice de interação, respectivamente, conforme pode ser visto na Figura (5). Para os férmions são utilizados os espinores usual e dual $u\left(p\right)$/$\overline{u}\left(p\right)$ – soluções da equação de Dirac – para férmions com momento $p$ entrando e saindo do vértice de interação, respectivamente; anti-espinores dual e usual $\overline{v}\left(p\right)$/$v\left(p\right)$ para anti-férmions entrando e saindo do vértice de interação, respectivamente.

• Linhas internas – Partículas representadas por linhas internas são chamadas partículas virtuais que, embora não violem o princípio da incerteza, não satisfazem a relação de momento e energia relativísticos $E^2-p^2\ne m^2$. Dizemos nesse caso que elas estão fora da camada de massa. Note que não satisfazer a relação de energia-momento não é um problema, pois tais partículas vivem por um período de tempo extremamente curto e portanto, não podem ser detectadas. Cada linha interna é regida pelo propagador da teoria, sendo os principais usados em QED:

(33) $$\begin{array}{c}{G}_F\left(p\right)=\frac{i}{p^2-{\mu }^2+i\epsilon },\\ S_F\left(p\right)=\frac{i\left(\mathit{p̸}+m\right)}{p^2-m^2+i\epsilon }\text{e}{D}_F^{\mu \nu }\left(p\right)=-\frac{i{\eta }^{\mu \nu }}{p^2+i\epsilon },\end{array}$$

que correspondem aos propagadores de Feynman dos campos escalares, ferminônicos de Dirac e fótons, respectivamente, sendo $p$ o momento, $\mu$ a massa de partícula escalar e $m$ a massa de partícula fermiônica.

• Vértices de interação – Linhas externas e internas são unidas via vértices de interação, no qual as informações físicas devem ser conservadas da passagem dos estados $|i⟩$ para $|f⟩$, como: momento linear, energia, carga (elétrica e/ou cor), spin, hipercarga, números leptônicos e bariônicos. Cada vértice de interação possui um valor $-ig$ associado, sendo $g$ uma representação genérica para a constante de acoplamento da interação. Para a QED, $g=e{\gamma }^{\mu }$, sendo $e$ a carga elétrica.

• Loops – para cada loop fechado²¹ no processo, é necessário integrar $d^{4}k/{\left(2\pi \right)}^4$ sobre o espaço dos momenta, $k$. Observe a Figura (6).

Figura 4
Linhas que representam: férmions (primeira), escalares (segunda) e bósons vetoriais (terceira). Fonte da imagem: De autoria própria.

Figura 5
Regras de Feynman para as linhas externas em um diagrama. Fonte da imagem: De autoria própria.

Figura 6
Da esquerda para direita: vértice de interação; loop fechado para férmion; loop fechado para escalar; loop fechado para bóson vetorial. Fonte da imagem: De autoria própria.

4. Aplicação na QED: Espalhamento Bhabha

Como aplicação didática e direta da QED, após a síntese teórica presente na Seção (3), propomos revisitar um processo elementar denominado o espalhamento Bhabha, do físico nuclear indiano Homi Jehangir Bhabha (1909^∗-–1966^†), cujo trabalho original foi publicado em [⁸²] – sendo uma das referências para luminosidade em aceleradores de elétron-pósitron. Destaca-se que tal processo, neste trabalho, é estudado em nível de árvore²² de perturbação da teoria, $n=0$. Ou seja, não serão obtidas correções quânticas em $n\ge 1$ (loops) da perturbação. Para fins de comparação, os detalhes de nossos cálculos e resultados concordam em absoluto com aqueles já explorados na literatura, tais como apresentados nas referências [⁸⁴, ⁸⁵]. A diferença sutil é que neste estudo de revisão, exploramos o comportamento gráfico para a evolução da seção de choque $d\sigma /d\text{Ω}$, provindo da amplitude de espalhamento dessa interação, em cenário ultra-relativístico $\left(E\gg m_e\right)$ em termos: do ângulo $2d:(\theta ,d\sigma /d\text{Ω})$; da energia $2d:(E,d\sigma /d\text{Ω})$; do ângulo e energia simultâneamente $3d:(\theta ,E,d\sigma /d\text{Ω})$, com a explicitação dos cálculos mais específico e detalhado que [⁸⁵], nesse contexto.

4.1. Amplitude de probabilidade da interação Bhabha

O espalhamento Bhabha, conforme ilustrado pela Figura (7), envolve a interação de um par elétron-pósitron mediados por fótons com outro par elétron-pósitron:

Figura 7
Ilustração dos dois possíveis diagramas de Feynman, em nível de árvore, que contribuem para o elemento matricial de espalhamento do processo Bhabha. Com a seta do tempo na horizontal temos, à esquerda, o canal $s$ (aniquilação) e, à direita, o canal $t$ (espalhamento). Fonte da imagem: De autoria própria.

(34) $$e^{-}+e^{+}⟶e^{+}+e^{-}.$$

No trabalho original de Bhabha [⁸²], de 1935, surgiu claramente a necessidade de somar amplitudes de probabilidade, alinhando-se ao que depois se consolidaria com a QED moderna e ao uso dos diagramas de Feynman. Além de ser um dos primeiros espalhamentos de correções radiativas e renormalizáveis (embora nosso trabalho se limite ao nível de árvore), tal processo ajudou a consolidar as seções de choque como cálculos perturbativos em TQC. E, ainda nos dias atuais, continua sendo um dos processos padrão que garante estudos de luminometria²³ em aceleradores de partículas.

Os cálculos para amplitude de probabilidade dessa interação não polarizada estão executados no limite ultra-relativístico, em que a energia do centro de massa é muito maior que a massa de repouso do elétron, $E_{CM}\gg m_e$. Cada contribuição para a amplitude de probabilidade no processo, via equação (31), torna-se mais prático com a leitura do diagrama de Feynman pois a ordem dos elementos para $i𝒜$ se constrói como: antipartícula in (vértice) partícula in (propagador) antipartícula out (vértice) partícula out. Desse modo, utilizando as regras de Feynman da Seção 3.2.1 e, levando em conta que os objetos matemáticos de tais regras devem ser dispostos de modo a garantir uma amplitude que seja um escalar, para as duas amplitudes possíveis da Figura (7), temos ${𝒜}_1$ e ${𝒜}_2$:

(35) $$i{𝒜}_1=\overline{v}\left(k\right)\left(-ie{\gamma }^{\alpha }\right)u\left(p\right)\left(-\frac{i{\eta }_{\alpha \beta }}{q^2}\right)\overline{u}\left(p^{\prime }\right)\left(-ie{\gamma }^{\beta }\right)v\left(k^{\prime }\right),$$

sendo $u$ e $v$ os autoespinores dos elétron e pósitron, respectivamente, com momentos de entrada $(p,k)$ e saída $(p^{\prime },k^{\prime })$, de modo que o momento do fóton do primeiro diagrama é $q=p+k=p^{\prime }+k^{\prime }$ e

(36) $$i{𝒜}_2=\overline{u}\left(p^{\prime }\right)\left(-ie{\gamma }^{\alpha }\right)u\left(p\right)\left(-\frac{i{\eta }_{\alpha \beta }}{q^2}\right)\overline{v}\left(k\right)\left(-ie{\gamma }^{\beta }\right)v\left(k^{\prime }\right),$$

em que o momento do fóton do segundo diagrama é $q=p-p^{\prime }=k-k^{\prime }$.

Em posse das equações (35) e (36), a amplitude total do processo é descrita como

(37) $$i𝒜=i{𝒜}_1+i{𝒜}_2=i{e}^2(\frac{1}{s}{\eta }_{\alpha \beta }\overline{v}\left(k\right){\gamma }^{\alpha }u\left(p\right)\overline{u}\left(p^{\prime }\right){\gamma }^{\beta }v\left(k^{\prime }\right)+\frac{1}{t}{\eta }_{\alpha \beta }\overline{u}\left(p^{\prime }\right){\gamma }^{\alpha }u\left(p\right)\overline{v}\left(k\right){\gamma }^{\beta }v\left(k^{\prime }\right)),$$

sendo $s={\left(p+k\right)}^2={\left(p^{\prime }+k^{\prime }\right)}^2$, $t={\left(p-p^{\prime }\right)}^2={\left(k-k^{\prime }\right)}^2$ e $u={\left(p-k^{\prime }\right)}^2={\left(k-p^{\prime }\right)}^2$ as variáveis de Mandelstam, para simplificação.

É válido destacar que na maioria dos experimentos, os feixes das partículas iniciais não são polarizados e o detector não observa as polarizações de spin. Então, estatisticamente, a média quadrática da amplitude é a média de todos os spins possíveis dos estados $|i⟩$ e $|f⟩$, preservando a indistinguibilidade das partículas idênticas (elétron e pósitron), à lá MQ, nos estados iniciais/finais. Portanto,

(38) $$\sum _{\sigma ,{\sigma }^{\prime }}{\left|𝒜\right|}^2\equiv \sum _{spin}{\left|𝒜\right|}^2=\sum _{spin}{\left|{𝒜}_1\right|}^2+\sum _{spin}{\left|{𝒜}_2\right|}^2+\sum _{spin}{𝒜}_1^{\ast }{𝒜}_2+\sum _{spin}{𝒜}_2^{\ast }{𝒜}_1,$$

configura todas as contribuições de polarização de spin do processo.

Após computarmos os valores individuais de cada parcela da amplitude ${\left|𝒜\right|}^2$ em (38) com uso da equação (37), no limite ultra-relativístico ($m\ll E:m\simeq 0$) da equação (64) (Vide a riqueza dos detalhes no Apêndice), chegamos em:

(39) $$\sum _{spin}{\left|𝒜\right|}^2=32e^4\frac{1}{s^2}\left[\left(p\cdot p^{\prime }\right)\left(k\cdot k^{\prime }\right)+\left(p^{\prime }\cdot k\right)\left(p\cdot k^{\prime }\right)\right]+32e^4\frac{1}{t^2}\left[\left(p\cdot k^{\prime }\right)\left(p^{\prime }\cdot k\right)+\left(p\cdot k\right)\left(p^{\prime }\cdot k^{\prime }\right)\right]-32e^4\frac{1}{st}[(p\cdot p^{\prime })(k\cdot p^{\prime })-(p^{\prime }\cdot k)(p\cdot k)+(k\cdot k^{\prime })(p\cdot k^{\prime })-(k^{\prime }\cdot p)(k\cdot p)],$$

revelando uma amplitude de espalhamento ultra-relativístico para a interação Bhabha, que concorda com as análises presentes nas referências [⁸⁴, ⁸⁵].

4.2. Gráficos da seção de choque da interação Bhabha

Para tratamentos observacionais em aceleradores de partículas, é útil que o referencial trabalhado seja no centro de massa. Assim, define-se um ângulo $\theta$ arbitrário entre os pares elétrons-pósitrons dos estados $|i⟩$ e $|f⟩$. Os quadrimomentos iniciais e finais das partículas no processo são:

(40) $$\begin{array}{c}p\equiv p^{\mu }=(E,\overrightarrow{\mathit{p}}),k\equiv k^{\mu }=(E,-\overrightarrow{\mathit{p}}),\\ p^{\prime }\equiv p^{\prime \mu }=(E,{\overrightarrow{\mathit{p}}}^{\prime })\text{e}{k}^{\prime }\equiv k^{\prime \mu }=(E,-{\overrightarrow{\mathit{p}}}^{\prime }),\end{array}$$

observando que no limite de altas energias proposto, ${\overrightarrow{\mathit{p}}}^2=E^2-m^2\simeq E^2$. Nessas condições, as combinações dos momentos e variáveis de Maldestam oriundas da amplitude (39) tornam-se:

(41) $$\begin{array}{c}p\cdot k=p^{\prime }\cdot k^{\prime }=E^2+{\overrightarrow{\mathit{p}}}^2=2E^2,\\ p^{\prime }\cdot k=p\cdot k^{\prime }=E^2+\overrightarrow{\mathit{p}}\cdot {\overrightarrow{\mathit{p}}}^{\prime }=E^2\left(1+\cos \theta \right),\\ s={\left(p+k\right)}^2=4E^2,\end{array}$$

(42) $$\begin{array}{cc}\hfill k^{\prime }\cdot k& =p\cdot p^{\prime }=E^2-\overrightarrow{\mathit{p}}\cdot {\overrightarrow{\mathit{p}}}^{\prime }=E^2\left(1-\cos \theta \right)\text{e}t\hfill \\ & ={\left(p-p^{\prime }\right)}^2=2m^2-2p\cdot p^{\prime }=-2E^2\left(1-\cos \theta \right).\hfill \end{array}$$

Desse modo, com uso da equação (32) e em posse da expressão para a amplitude de probabilidade (39), bem como das condições para o referencial no centro de massa provindos pelas equações (41) e (42), a diferencial da seção de choque para o espalhamento Bhabha se escreve como

(43) $$\begin{array}{l}\frac{d\sigma }{d\text{Ω}}=\frac{{\left|{𝒜}_{if}\right|}^2}{64{\pi }^2{E}^2}\\ =\frac{e^4}{256{\pi }^2{E}^2}[(1+{\cos }^2\theta )+\frac{2\left(4+{\left(1+\cos \theta \right)}^2\right)}{{\left(1-\cos \theta \right)}^2}+\frac{1}{1+\cos \theta }(2(1-{\cos }^2\theta )-4(1+\cos \theta ))],\end{array}$$

que de maneira mais compacta pode ser reescrita na forma:

(44) $$\frac{d\sigma }{d\text{Ω}}=\frac{e^4}{128{\pi }^2{E}^2}[\frac{1}{\text{2}}(1+{\cos }^2\theta )+\frac{1+{\cos }^4\theta /2}{{\mathrm{sen}}^4\left(\theta /2\right)}-\frac{2{\cos }^4\theta /2}{{\mathrm{sen}}^2\left(\theta /2\right)}].$$

Com o auxílio do software Wolfram Mathematica 14.2 [⁸⁶], plotamos os gráficos associados à equação (44) para fins de interpretação física. Primeiramente, notamos que a variação da seção de choque em termos do ângulo sólido, devido à expressão final (44), revela que para ângulos de $\theta \to \pi$ temos que $d\sigma /d\text{Ω}\to cte$ e $\theta \to 0$ ou $\theta \to 2\pi$ temos $d\sigma /d\text{Ω}\to \infty$, como pode ser observado na Figura (8), [transladados com mapeamento $\left(\mathrm{0,2}\pi \right)\to \left(\mathrm{0,6}\right)$ para normalização], abaixo.

Figura 8
Gráfico 2d da seção de choque diferencial $d\sigma /d\text{Ω}$ de espalhamento do processo Bhabha (normalizada) em função do ângulo de choque $\theta$. Fonte da imagem: De autoria própria.

Tal comportamento pode ser explicado através da equação (42): note que quando $\theta \to 0$ o momento do fóton virtual $t\to 0$. Essa é uma característica de interações mediadas por bósons vetoriais sem massa, cujo potencial é de longo alcance, $1/r$. Tal divergência é conhecida como divergência infravermelha e evidencia o alcance infinito da interação eletromagnética. Porém, a variação da seção de choque em termos do ângulo sólido mostra que há uma evolução assintótica com a energia $E$, sendo $E\to 0:d\sigma /d\text{Ω}\to \infty$ e o oposto para $E\to \infty :d\sigma /d\text{Ω}\to 0$, facilmente perceptível pela Figura (9) (esquerda). Ademais, é possível vislumbrar o comportamento simultâneo para variação da seção de choque em termos do ângulo sólido em termos angulares e energéticos, configurando a superposição dos gráficos das figuras (8) e (9) (esquerda) no gráfico total $(\theta ,E)\mapsto d\sigma /d\text{Ω}$ da ilustração em $3d$ (direita), a seguir. Com esses gráficos, podemos interpretar que o comportamento de $d\sigma /d\text{Ω}$ no processo Bhabha em altas energias é fortemente anisotrópico, dominado pela típica de troca de fótons e caracterizado por: (i) atingir um pico acentuado em pequenos ângulos, devido à dominância do canal-$t$ (Mandelstam); (ii) decrescer em ângulos intermediários, por causa da interferência conjunta entre os canais $s$ e $t$; (iii) revelar que quanto maior a energia, menor a seção de choque total da interação.

Figura 9
Gráfico 2d da seção de choque diferencial $d\sigma /d\text{Ω}$ de espalhamento do processo Bhabha (normalizada) em função da energia $E$ (esquerda). Gráfico 3d da seção de choque diferencial $d\sigma /d\text{Ω}$ de espalhamento do processo Bhabha (normalizada) em função da energia $E$ e do ângulo $\theta$ (direita). Fonte da imagem: De autoria própria.

Partindo da definição de luminosidade $L=N{\sigma }^{-1}$, que relaciona o número de eventos observados no processo ($N$) com a seção de choque ($\sigma$), podemos declarar a luminosidade Bhabha em altas energias, a partir da equação (44), num intervalo de espalhamento com ângulos máximo e mínimo, $\theta \in [{\theta }_{\min },{\theta }_{\max }]$:

(45) $$L=N({\int }_0^{2\pi }{\int }_{{\theta }_{\min }}^{{\theta }_{\max }}\{\frac{e^4}{128{\pi }^2{E}^2}[\frac{1}{\text{2}}(1+{\cos }^2\theta )+\frac{1+{\cos }^4\theta /2}{{\mathrm{sen}}^4\left(\theta /2\right)}-\frac{2{\cos }^4\theta /2}{{\mathrm{sen}}^2\left(\theta /2\right)}]\}\mathrm{sen}\theta d\theta d\phi ){}^{-1}.$$

Por fim, destacamos que discussões acerca do papel dos processos de espalhamento de Bhabha ainda são objetos de estudos, como podemos ver no recente trabalho de 2026 de Placzek et al. [⁸⁷], em que os autores investigam as medições mais precisas para pequenos e grandes ângulos de ${\left(d\sigma /d\text{Ω}\right)}_{\mathrm{Bhabha}}$.

5. Considerações Finais e Conclusões

Este trabalho se debruça sobre os aspectos históricos mais relevantes na construção da Eletrodinâmica Quântica (QED), discutindo em detalhes como se deu o nascimento e a ascensão dessa teoria que, com o passar do século XX, revelou-se como uma das mais completas e precisas (entre predição teórica e medidas experimentais) na física, até os dias atuais. Partimos dos rudimentos da mecânica quântica, por Heisenberg, Schrödinger, Dirac e outros grandes fundadores da física em nível sub-atômico. Analisamos os alicerces de Dirac e as contribuições teóricas/experimentais de Weisskopf, Krames, Lamb, Retherford e Bethe para a QED primitiva. Posteriormente, desbravamos os principais trabalhos e contribuições do quarteto Tomonaga-Schwinger-Feynman-Dyson para a consolidação teórica preditiva da QED. Para fins didáticos, em nível de anos finais de graduação, atendendo a alunos de iniciação científica na área, e início de pós-graduação, desenvolvemos uma breve síntese conceitual e teórica para a QED, partindo da fundamentação da teoria quântica de campos e culminando nas regras de Feynman. Ademais, finalizamos os estudos com uma análise revisiva, em detalhes, dos cálculos para a amplitude de espalhamento ${\left|𝒜\right|}^2$ e a seção de choque da interação Bhabha, concordando com os estudos já consolidados na literatura. Finalmente, expusemos os comportamentos gráficos em $2d$ e $3d$ da seção de choque diferencial $d\sigma /d\text{Ω}$ em termos dos parâmetros angulares $\theta$ e energéticos $E$ para um referencial no centro de massa, em cenário ultra-relativístico $E_{CM}\gg m_e$. Apesar de termos aplicado a teoria em nível de árvore, discutimos a razão da divergência dessa interação quando $\theta \to 0$, no regime infravermelho (longo alcance do fóton). É importante frisar que tal divergência é resolvida no contexto completo da QED (incluindo correções de loop) por meio da inclusão da emissão de fótons “moles”²⁴ (soft photons) no estado final, gerando o cancelamento da divergência do infravermelho.

Agradecimentos

Os autores Rodrigo de Castro Lima, Cássio Cecato Favarato e Maycon Rodrigues Vieira são gratos à Diretoria de Pesquisa, Pós-Graduação e Inovação (DPPI) do IFNMG câmpus Januária pelo apoio aos processos de pesquisa – Processo SEI nº 23393.001212/2022-57 (total) e nº 23393.002992/2024-14 (parcial). A autora Iris Queron Freitas Gonçalves é grata à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior CAPES – Processo 88887.249700/2026-00. A autora Laura Cristina Duarte agradece a Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS (Processo 23/2551-0001943-4) e à Diretoria de Ensino, Pesquisa e Extensão (DEPE) do IF Sul de Minas câmpus Carmo de Minas.

Disponibilidade de Dados

Os autores deste artigo declaram à editora SciELO Brasil e à Revista Brasileira de Ensino de Física (RBEF) que este documento é de nossa autoria e que não contém material previamente publicado ou escrito por nós.

Declaramos também que todo o conjunto de dados que embasa os resultados deste estudo está publicado no artigo.

Ademais, declaramos que não fizemos uso de qualquer tipo de Inteligência Artificial (IA) ao longo deste trabalho.

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¹

Nas unidades do SI, sua representação é explicitada por $A^{\mu }=(\varphi /c,\overrightarrow{\mathit{A}})$. Neste trabalho estamos adotando as unidades naturais, em que $c=\hslash =1$ (exceto para certos valores ou dados experimentais contextualizados que deixaremos explícitos nas unidades do SI), bem como a assinatura métrica minkowskiana ${\eta }^{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }=diag(1,-1,-1,-1)$.

²

No âmbito tecnológico, podemos citar algumas aplicações emergentes dos triunfos da QED, tais como: (i) Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (LASER), que hoje são fundamentais em telecomunicações, medicina e indústria; (ii) Eletrônica de semicondutores (transistores e microchips) com funcionamento dependente de interações eletromagnéticas e quânticas em sólidos, unindo QED efetiva e TQC de muitas partículas; (iii) Métodos Radiológicos e Imagens (MRI), que explora a interação entre momentos magnéticos nucleares e campos eletromagnéticos, com descrição refinada baseada em princípios quânticos e correções previstas pela QED.

³

É importante mencionar que tanto o efeito fotoelétrico quanto o efeito Compton também podem ser explicados sem a necessidade da quantização do campo eletromagnético, como se pode conferir em [⁹, ¹⁰, ¹¹].

⁴

Elucidamos que, da perspectiva histórica, o uso de matrizes como operadores quânticos foi estabelecido pelo trio Max Born (^∗1882–^†1970), Ernst Pascual Jordan (^∗1902–^†1980) e Heisenberg, como pode ser observado em detalhes nas referências [¹³], [¹⁴] e [¹⁵], culminando no que hoje conhecemos por mecânica matricial de Heisenberg.

⁵

Nessa época, apenas os elétrons, prótons e fótons eram as partículas conhecidas.

⁶

Nome cunhado por Goudsmit e Uhlenbeck [¹⁸]. Posteriormente, os próprios autores se arrependeram do termo utilizado, visto que é impossível uma partícula pontual, como o elétron, realizar um giro “spin” sobre o próprio eixo de simetria.

⁷

Para maior clareza ao leitor, enfatizamos que até o presente momento não existem evidências experimentais na literatura acerca de detecções diretas de monopolos magnéticos.

⁸

Hoje, reconhecida como antiga (ou primeira) eletrodinâmica quântica.

⁹

Constante adimensional que quantifica a intensidade da interação eletromagnética entre partículas carregadas.

¹⁰

Apelidado de Viki entre seus pares mais próximos, realizou trabalhos de pós-doutorado sob supervisões de Bohr, Heisenberg, Schrödinger e Pauli. Participou do projeto Manhattan durante a II Guerra Mundial, sendo forte crítico do uso de armas nucleares nos anos posteriores. Fez parte do time de fundadores e diretores pioneiros do CERN.

¹¹

Nome moderno para a interpretação do processo em que uma perturbação sobre campos eletromagnéticos podem criar pares elétron-pósitron de partículas virtuais, alterando a distribuição de carga e corrente elétrica geradora do campo original. Nesse contexto, por exemplo, uma carga $q>0$ atrairia elétrons e afastariam pósitrons, criando uma espécie de polarização entre um ponto $P$ situado em $q$ e outro ponto $P^{\prime }$ localizado a uma grande distância de $q$.

¹²

Radiação emitida por uma partícula carregada quando é acelerada/desacelerada através de um campo eletromagnético, desde que cumpra as seguintes condições: um centro espalhador (potencial externo); transferência de momento não nula; acoplamento eletromagnético ativo, que permita emissão de fótons reais.

¹³

Segundo o autor, a racionalidade na ciência não se baseia em um único critério fixo, mas em uma rede dinâmica de interações entre teorias, métodos e objetivos, que se ajustam mutuamente ao longo do tempo.

¹⁴

Uma pequena diferença de energia entre níveis eletrônicos que deveriam ser degenerados no átomo de hidrogênio, explicada por efeitos de flutuações do vácuo e correções radiativa.

¹⁵

A hipótese de Pasternack estabelece que, no átomo de hidrogênio descrito pela equação de Dirac, certos elementos de matriz radiais para de operadores do tipo $r^k,k\in \mathbb{Z}$, $⟨nk\left|r^k\right|n{k}^{\prime }⟩$ se anulam. Ou seja, estados com o mesmo número quântico principal $n$ podem zerar para valores específicos de $k$, revelando cancelamentos não triviais associados à estrutura relativística, o que simplifica regras de seleção e cálculos espectroscópicos.

¹⁶

Publicação traduzida ao inglês dos trabalhos japoneses anteriores a 1943.

¹⁷

Hipersuperfície no espaço-tempo em que todos os pontos são separados por intervalos do tipo espaço, de modo que nenhum par de eventos nela pode estar causalmente conectado.

¹⁸

Essa formulação é pedagogicamente popularizada como quarto formalismo da mecânica quântica [⁷²], uma vez que sugere uma fundamentação matemática e conceitual diferente daquelas desenvolvidas entre os anos de 1925 e 1927 por Heisenberg, Schrödinger, Dirac e outros grandes fundadores da teoria.

¹⁹

Preferencialmente utilizada em cenários ultrarelativísticos/sem massa devido à sua relação direta com os autoestados de quiralidade. Tal cenário será útil para análise final da interação Bhabha em regime $E_{CM}\gg m_e$ mais adiante.

²⁰

Em geral, nos diagramas de Feynman, os bósons não possuem representação com setas para linhas internas ou externas. O foco da Figura (4) é deixar claro o formato nas linhas para cada partícula associada.

²¹

Em teorias de perturbação, como é o caso da Teoria Quântica de Campos, a contribuição de uma perturbação à amplitude de transição leva em conta todos os estados da teoria com ordem $n$, via um dado potencial $V$. Cada loop, em um diagrama de Feynman, representa exatamente isso: uma ordem na expansão de $\hslash$. Assim, soma-se todos os estados intermediários que fornecem um elemento da matriz $𝒮$ diferente de zero e os estados externos.

²²

Uma interação em nível de árvore é caracterizada pelos diagramas de Feynman sem loops, sendo, portanto, a ordem mais baixa na expansão perturbativa. Representa a contribuição dominante para amplitudes de espalhamento. Ademais, há uma relação direta desse conceito com o chamado teorema de Furry – sim! o mesmo físico do modelo Furry-Oppenheimer – que impõe a anulação de qualquer amplitude envolvendo um número ímpar de fótons acoplados a um mesmo loop de férmions, devido à simetria do operador conjugação de carga $𝒞$. Desse modo, já no nível de árvore, pode haver contribuições proibidas ou que só aparecem via correções consistentes com essa simetria [⁸³]. Maiores detalhes didáticos podem ser consultados em [¹].

²³

É a medição da luminosidade do feixe, ou seja, da taxa efetiva de colisões por área e por tempo, que determina quantos eventos de um processo podem ocorrer. Sendo, portanto, a calibração da intensidade real das colisões.

²⁴

Fótons de energia arbitrariamente baixa.

*Endereço de correspondência:

[e-mail]

Editor-Chefe:

Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  16 Out 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  12 Nov 2025
• Revisado
  18 Jul 2026
• Aceito
  17 Ago 2026