Sobre o desenvolvimento do campo elétrico nas vizinhanças de um ponto

CARTAS AO EDITOR

Sobre o desenvolvimento do campo elétrico nas vizinhanças de um ponto

G. F. Leal Ferreira

Instituto de Física de São Carlos-USP C.P. 369, 13560-970, São Carlos, SP

Em interessante artigo nesta revista [1], H. Fleming reproduz e comenta dois teoremas de Helmholtz sobre campos vetoriais. O primeiro deles garante que todo campo vetorial que se anula no infinito está determinado pela sua divergência e pelo seu rotacional. O segundo versa sobre o comportamento do campo vetorial nas vizinhanças de um ponto, e que, no âmbito do Eletromagnetismo, fornece o campo elétrico () nas vizinhanças de uma origem , onde o campo é (), como

Nesta equação, div = 4pr, sendo r a densidade de carga. No termo em rot , usa-se a lei de Faraday, obtendo-se

(A consideração da dependência com o tempo no campo vetorial é, certamente, de iniciativa do autor da Ref. [1] e não de Helmholtz). Em [1] esse termo é substituido por -1/c(¶ / ¶t)₀, sendo o potencial vetor, mas preferiremos mantê-lo como na Eq.2, ou seja.

No que segue, estaremos interessados no último termo da Eq.1, ·Sº, em que Sº é um tensor simétrico sem traço. É fácil ver que ·Sº é um campo vetorial sem divergência e sem rotacional. Ilustrando em duas dimensões, teríamos

com

Na figura abaixo ilustramos para S₁₁ = 0 e S₁₂ = 1. Como a Eq. 4 mostra em geral e a figura em particular, o campo é nulo em , crescendo em módulo ao se afastar do mesmo. Sendo sem divergência e sem rotacional, ele é um campo laplaciano, isto é, derivado de um potencial, e solução da equação de Laplace. Quem determina ?

Naturalmente as fontes de são, em princípio, as cargas e as correntes exteriores a . Notemos, porém, que o efeito das correntes já está incorporado ao termo ₀, e esta é a razão de o termos mantido como na Eq.3. Sendo assim = .Sº engloba somente o efeito das cargas afastadas de . A dependência linear em de indica que deriva do potencial, em geral retardado, das cargas exteriores a uma pequena esfera em torno de , vamos dizer de raio a, obtido pelo desenvolvimento do potencial das cargas exteriores à esfera, em pontos interiores à esfera. Por ser proporcional a , deriva de potencial do tipo quadrupolo. Isso tudo no limite em que a®0. É o que gostaríamos de comentar.

[1] H. Fleming, Two Theorems by Helmholtz, Rev. Bras. Ens. Fis. 23, 153 (2001).

16/07/2003

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  05 Maio 2004
• Data do Fascículo
  Dez 2003