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É seguro atirar para cima? Uma analise da letalidade de projéteis subsônicos

Is it safe to shoot up? An analysis of the lethality of subsonic projectiles

Resumo

Os tiros de comemoração referem-se aos tiros dados para o alto por ocasião de celebrações festivas. Este é um hábito em países como o Afeganistão, Paquistão e algumas regiões da América Latina. Neste artigo, resolvemos o problema de projéteis com velocidade subsônica atirados para alto, considerando a resistência do ar. Com fins didáticos, traçamos um paralelo entre esse caso e aquele em que a resistência do ar é desprezada. Concluímos que mesmo projéteis de pequeno calibre podem ser letais na queda, apesar da diminuição da velocidade e da energia cinética.

Palavras-chave:
projéteis; letalidade; força de arrasto; resistência do ar

Abstract

Celebratory gunfire is the shooting of a firearm into the air in celebration. This is common in countries as Afghanistan, Pakistan and regions of Latin American. In this article, we have solved the problem of a projectile with subsonic speed shooted upward, considering the air resistance. For didactic purposes, we draw a parallel between the case with and without air resistance. We conclude that even small-caliber projectile can be lethal when falling, a despite the decrease in speed and kinetics energy.

Keywords:
bullet; lethality; drag; air resistance

1. Introdução

Ocasionalmente vemos celebrações em filmes ou noticiários que envolvem pessoas atirando para o alto. Esse é um hábito culturamente aceito em diversas regiões do mundo como o Afeganistão, Paquistão, Índia e algumas partes da América Latina [1][1] S.A. Ali, S. M. Tahir, A. Makhdoom, A. R. Shaikh e A. R. Siddique, Iran. Red Crescent Med. J. 17, e26179 (2015).. Apesar da sua associação com situações festivas, como celebrações do Ano Novo, Natal, casamentos, e etc., seria essa uma prática segura para as pessoas presentes nessas comemorações ou próximas das mesmas?

Se nos esquecermos por um momento da expressão “despreze a resistência do ar", tão utilizada nos exercícios de mecânica básica, a resposta será óbvia; a velocidade da bala na descida será a mesma que na subida e, consequentemente, as pessoas atingidas podem morrer. Contudo, como a resistência do ar aumenta com a velocidade e projéteis de armas movidos a expansão de gases possuem velocidades elevadas, a resistência do ar não pode ser desprezada nessas circunstâncias nem mesmo como aproximação.

Nesse artigo, resolvemos o problema de projéteis subsônicos atirados na vertical considerando a resistência do ar e analisamos a questão da possível letalidade desse projétil nessa situação. Essa discussão também possui um forte apelo didático, uma vez que a resistência do ar é geralmente negligenciada nos cursos de mecânica básica. Por esse motivo, traçamos alguns paralelos entre os resultados apresentados ao se considerar e ao se desprezar a resistência do ar.

O trabalho está estruturado da seguinte forma: na seção II apresentamos os aspectos essenciais da força de arrasto para a nossa analise. A seção III é dedicada à análise do movimento vertical, tanto ascendente quanto descendente, do projétil. Os resultados e discussões são apresentados na seção IV. Na seção V apresentamos a conclusão.

2. A força de arrasto

A força de arrasto sobre um corpo imerso em um fluido e que se movimenta com uma velocidade v em relação a esse fluido, pode ser descrita pela equação 1.

(1) F a = 1 2 ρ C d A v 2 ,

em que v é a velocidade do corpo em relação ao fluido, ρ é a densidade do fluido, Cd é o coeficiente de arrasto, e A é a área de seção transversal do corpo. Essa forma funcional é adequada apenas para velocidades situadas entre alguns poucos metros por segundo e próximas à velocidade do som.

A equação 1 admite como hipótese que o coeficiente de arrasto Cd é constante. Essa é uma aproximação razoável em duas condições: quando o projétil se movimenta com uma velocidade abaixo da velocidade do som no meio e para projéteis que se movimentam em velocidades supersônicas, maiores que Mach 2 [3[3] C. I. Farrar e D. W. Leeming, Military Ballistics a Basic Manual, Battlefield Weapons Systems and Technology, vol.10 (Royal Military College of Science, Shrivenham, UK, 1983). [4] D. G. Figueredo and A. F. Neves, “Equações Diferenciais Aplicadas,” (IMPA, Rio de Janeiro, 2007)-5[5] M. S. D. Cattani, “Elementos de mecânica dos fluidos,” (Blucher LTDA, São Paulo, 2005 2ª ed.]. Naturalmente, nosso tratamento não pode se aplicar a projéteis supersônicos, uma vez que nessa faixa de velocidades há grande variação no coeficiente de arrasto Cd, conforme podemos ver na (Figura 1). Portanto, nos limitaremos a projéteis subsônicos.

Figura 1
Coeficiente de arrasto em função do número de Mach para o modelo padrão de projétil do tipo G1. Figura produzida a partir de dados obtidos em [2][2] R. L. McCoy, Modern Exterior Ballistics (Schiffer Publishing, Atglen, 2001)..

Projéteis trafegando a velocidades subsônicas tipicamente são aqueles atirados por revólveres e pistolas. Na Tabela 1, apresentamos a velocidade inicial v0, ou seja, a velocidade de saída do cano da arma, para alguns calibres tipicamente utilizados em revólveres e pistolas. Também é apresentado a massa m desses projéteis.

Tabela 1
Massa m e velocidade inicial v0 de uma seleção de projéteis de pistolas e revólveres [6][6] B. Madea, Handbook of Forensic Medicine, (Wiley-Blackwell, New Jersey, 2014)..

O coeficiente de arrasto Cd é função da forma do projétil. Os projéteis da Tabela 1 possuem uma forma similar àquela do modelo padrão G1 (Figura 1). Como podemos ver da Figura 1, na região subsônica destacada, o coeficiente de arrasto médio é de 0,24. Adotaremos esse valor para o coeficiente de arrasto de todos os projéteis apresentados na Tabela 1. A título de comparação, observe a Figura 2 onde observamos resultados para o comportamento do coeficiente de arrasto de um projétil calibre .22 long rifle como função do número de Mach. Note que os valores do coeficiente de arrasto e o formato do projétil estão em um acordo razoável com o do modelo G1.

Figura 2
Coeficiente de arrasto em função do número de Mach para um calibre .22 long rifle. Observe que próximo de Mach 1 ocorre um grande aumento no coeficiente de arrasto. Figura retirada de [7][7] R. L. McCoy, Aerodynamic Characteristics of Caliber. 22 Long Rifle Match Ammunition (No. BRL-MR-3877), Army Ballistic Research Lab Aberdeen Proving Ground MD (1990)..

3. Movimento de projéteis na vertical

No intuito de estudar o movimento de projéteis atirados para cima, na vertical, vamos dividi-lo em duas partes: a subida (vertical ascendente) e a descida (vertical descendente).

Adotamos a localização de onde o projétil sai do cano da arma como sendo a origem y=0 do nosso sistema de coordenadas e adotamos o tempo em que o projétil é atirado como t=0.

3.1. Vertical ascendente

No caso do movimento ascendente, a segunda lei de Newton nos permite escrever (em uma dimensão)

(2) m d v d t = ( F d + P ) = ( 1 2 ρ A C d v 2 + m g ) ,

onde m é a massa do projétil, P é o peso do mesmo e g é a aceleração da gravidade.

A equação (2) é separável e pode ser integrada de forma trivial. A posição e velocidade do projétil em função do tempo (tomando os outros parâmetros como constantes) no movimento ascendente do projétil são dadas, respectivamente, por:

(3) y ( t ) = v t 2 g ln | cos [ g v t ( t s t ) ] cos ( g t s v t ) | , 0 t t s

e

(4) v ( t ) = v t t a n [ a r c t a n ( v 0 v t ) - g v t t ] ,0 t t s

onde v0 é a velocidade inicial do projétil ao sair da boca do cano da arma e vt é a velocidade atingida pelo projétil quando o peso e a força de arrasto se igualam, conhecida como velocidade terminal. A velocidade terminal pode ser obtida facilmente fazendo Dvt2=mg, o que nos dá vt=mgD, em que D=12ρACd. Além disso, ts é o tempo que o projétil leva para atingir o ponto mais alto de sua trajetória. Esse tempo pode ser obtido fazendo (v(ts)=0) na equação (4). Com isso, obtemos

(5) t s = v t g a r c t a n ( v 0 v t ) .

A altura máxima hmax atingida pelo projétil corresponde à posição y(ts). A expressão é dada por:

(6) h max = - v t 2 g l n | c o s ( g t s v t ) | .

O balanço de energia para esse caso também é bem simples de se fazer, uma vez que a energia (cinética) do projétil ao sair da boca do cano da arma é k0=(1/2)mv02 e ao atingir o ponto mais alto de sua trajetória sua energia (potencial gravitacional) será 1 1 Estamos considerando o nível da boca do cano da arma como um referencial onde adotamos a energia potencial gravitacional como sendo nula. Salientamos que no ponto mais alto da trajetória a velocidade do projétil será nula, portanto a energia cinética e a força de arrasto também serão. Ug=mghmax Esses resultados nos permitem calcular facilmente a energia mecânica dissipada pela força não conservativa (a força de arrasto) durante a subida ΔEmsub=k0Ug Contudo, mais interessante para o nosso caso é a energia mecânica dissipada durante todo o trajeto. Que pode ser obtida através de ΔEm=k0kq, em que kq=(1/2)mvq2 é a energia cinética do projétil quando chega ao solo.

3.2. Vertical descendente

No caso do movimento descendente, a segunda lei de Newton pode ser escrita na forma

(7) m d v d t = F d - m g = 1 2 ρ A C d v 2 - m g ,

de onde podemos obter a posição e velocidade do projétil em função do tempo. Fazendo a integração em (7), obtemos:

(8) y ( t ) = h max - v t 2 g l n [ c o s h ( g v t ( t s - t ) ) ] , t t s

e

(9) v ( t ) = v t t a n h ( g v t ( t s - t ) ) , t t s .

O tempo de descida td é obtido por meio da equação 8 impondo a condição y(td)=0. A expressão para o tempo de descida td é:

(10) t d = t s - v t g a r c c o s h ( | cos ( g t s v t ) | -1 ) .

4. Resultados e Discussões

4.1. Tempos de subida e descida, altura máxima e velocidades terminais e de queda

Desconsiderando a resistência do ar, os tempos de subida ts e queda tq para um mesmo projétil são iguais (na Tabela 2, ts=tq=t0). Contudo, a situação com resistência do ar é bem diferente. Observe na Tabela 2, por exemplo, que o tempo de queda tq para um projétil .22 long rifle é aproximadamente 1,67 vezes maior do que o tempo de subida ts. De fato, isso ocorre porque na subida as forças de resistência do ar e o peso estão no mesmo sentido, enquanto na descida estão em sentidos contrários.

É interessante compararmos os tempos para o caso com e sem a resistência do ar (Tabela 2). Por exemplo, para o calibre 7.65mm Browning, desconsiderando a resistência do ar, o tempo de subida ou descida t0 é de 30,6 s, o que nos dá um tempo total de 61,2 s. Quando a resistência do ar é levada em consideração, observamos que o tempo total ttotal é de apenas 27,2 s, ou seja, o famoso despreze a resistência do ar seria tão inadequado nesse caso que ainda estaríamos esperando a bala chegar ao ponto mais alto da trajetória com base nessa aproximação quando, na verdade, ela já estaria no chão!

Tabela 2
Tempos de subida ts, descida td, total ttotal e a razão td/ts para diversos projéteis considerando a resistência do ar. O tempo t0 corresponde ao tempo de subida ou descida para o caso em que a resistência do ar é ignorada.

Como podemos ver da Tabela 3, considerando a resistência do ar, a altura máxima hmax atingida por todos os projéteis é da ordem de um 1 km. Observe que os valores da altura máxima hmax são entre 3 e 7 vezes menores do que aqueles previstos nos casos em que a resistência do ar é desprezada (hO max).

Tabela 3
Altura máxima considerando a resistência do ar hmax e sem consider á-la hOmax. A raz atilde;o entre as alturas hOmax/hmax eacute; apresentada.

Os projéteis não ficam tempo o bastante em queda para atingirem a velocidade terminal vt. Da Tabela 4, observamos que as velocidades de queda vq estão entre 91% e 98% do valor das velocidades terminais vt correspondentes.

Tabela 4
Velocidade inicial v0, de queda vq e terminal vt para diferentes projéteis. A razão ΔEm/k0 e vq/vt são apresentadas.

Se no caso sem a resistência do ar, a energia mecânica é conservada, no caso em que a mesma é levada em conta, a situação é completamente distinta. A razão ΔEm/k0 calculada para os projéteis nos informa que entre 82% e 96% da energia inicial do projétil é dissipada durante o trajeto (Tabela 4).

4.2. A letalidade

Comparando apenas as velocidades de saída v0 e de queda dos projéteis vq (Tabela 4), poderíamos ser levados à conclusão de que é pouco provável a morte por projéteis que caem do céu. Ao observamos que o projétil quando chega ao solo pode ter apenas 4% da energia cinética inicial (.22 long rifle), essa conclusão pareceria ainda mais fortalecida. Contudo, essa é uma análise que ignora um ponto fundamental: a cabeça é o principal alvo de projéteis que caem.

Os projéteis atirados diretamente contra uma pessoa podem acertar uma grande área, o que inclui regiões vitais e não-vitais. A área que um projétil em queda vertical pode acertar uma pessoa é significativamente menor, mas possui a cabeça, uma região extremamente vital, como alvo mais provável (Fig. 3). De fato, em um estudo com 118 pacientes vítimas de projéteis em queda, verificou-se que 77% deles foram atingidos na cabeça. A taxa de mortalidade foi de 32%, significativamente maior do que para todos os outros casos de ferimento por tiros em geral [8][8] G. J. Ordog, P. Dornhoffer, G. Ackroyd, J. Wasserberger, M. Bishop, W. Shoemaker, e S. Balasubramanium, The Journal of trauma 37, 1003 (1994)..

Figura 3
(a) Disparos em geral podem acertar regiões vitais ou não-vitais. (b) Quando em queda, a cabeça, região extremamente vital, torna-se o alvo mais provável.

A velocidade em que um projétil é capaz de penetrar a pele encontra-se por volta de 45m/s a 60m/s. Dessa forma, todos os projéteis analisados irão provocar esse efeito. Mais drástico do que isso é que projéteis com velocidade próximas de 60m/s já são capazes de fraturar ossos e mesmo penetrar no crânio [9][9] A. N. Incorvaia, D. M. Poulos, R. N. Jones e J. M. Tschirhart, Ann. Thorac. Surg. 83, 283 (2007).. Portanto, mesmo as armas de pequeno calibre analisadas podem ser letais para disparos verticais.

5. Conclusão

Determinamos as expressões para a posição y(t), a velocidade v(t), a altura máxima hm ax e o tempo de subida ts para o caso em que a resistência do ar é considerada. Os resultados obtidos são interessantes para se mostrar a diferença entre a situação com e sem a resistência do ar. As expressões obtidas podem ser utilizadas para se mostrar em sala de aula, por exemplo, até que ponto a aproximação feita ao desprezar a resistência do ar é razoável.

A forma funcional consideravelmente mais complexa dessas expressões ilustra que, embora saibamos resolver o problema com a resistência do ar, o preço matemático que se paga é mais alto. Portanto, nas situações em que a aproximação de ignorarmos a resistência do ar for razoável, a facilidade de obtenção das soluções e análise das mesmas justifica o seu uso.

Para o nosso problema em específico, os resultados obtidos deixam claro que ignorar a resistência do ar não é uma opção; o valor das grandezas obtidas para os diversos projéteis destoam muito nos dois casos. Por exemplo, a energia dissipada que seria nula para o caso sem resistência do ar, chega a ser de 96% para o caso com a resistência do ar (.22 long rifle, Tabela 4).

Apesar da expressiva diminuição da velocidade dos projéteis analisados durante a queda, concluímos que a velocidade final tq ainda é suficiente para colocar em risco a vida das pessoas atingidas. Dessa forma, os nossos resultados justificam a Portaria Interministerial n° 4.226, de 31 de dezembro de 2010, que proibe os tiros de advertência pela Polícia Federal, Polícia Rodoviária Federal, Departamento Penitenciário Nacional e Força Nacional de Segurança Pública em razão da imprevisibilidade de seus efeitos. Não fosse o tiro para o alto potencialmente letal, mesmo aqueles de armas de pequeno calibre, tiros na vertical poderiam ser colocados como norma para tiros de advertência.

Agradecimentos

Os autores agradecem à Oficial da Força Aérea Brasileira Ana Lúcia Bezerra Cordeiro por ter chamado e, principalmente, despertado nossa atenção para este problema.

  • 1
    Estamos considerando o nível da boca do cano da arma como um referencial onde adotamos a energia potencial gravitacional como sendo nula. Salientamos que no ponto mais alto da trajetória a velocidade do projétil será nula, portanto a energia cinética e a força de arrasto também serão.

Referências

  • [1]
    S.A. Ali, S. M. Tahir, A. Makhdoom, A. R. Shaikh e A. R. Siddique, Iran. Red Crescent Med. J. 17, e26179 (2015).
  • [2]
    R. L. McCoy, Modern Exterior Ballistics (Schiffer Publishing, Atglen, 2001).
  • [3]
    C. I. Farrar e D. W. Leeming, Military Ballistics a Basic Manual, Battlefield Weapons Systems and Technology, vol.10 (Royal Military College of Science, Shrivenham, UK, 1983).
  • [4]
    D. G. Figueredo and A. F. Neves, “Equações Diferenciais Aplicadas,” (IMPA, Rio de Janeiro, 2007)
  • [5]
    M. S. D. Cattani, “Elementos de mecânica dos fluidos,” (Blucher LTDA, São Paulo, 2005 2ª ed.
  • [6]
    B. Madea, Handbook of Forensic Medicine, (Wiley-Blackwell, New Jersey, 2014).
  • [7]
    R. L. McCoy, Aerodynamic Characteristics of Caliber. 22 Long Rifle Match Ammunition (No. BRL-MR-3877), Army Ballistic Research Lab Aberdeen Proving Ground MD (1990).
  • [8]
    G. J. Ordog, P. Dornhoffer, G. Ackroyd, J. Wasserberger, M. Bishop, W. Shoemaker, e S. Balasubramanium, The Journal of trauma 37, 1003 (1994).
  • [9]
    A. N. Incorvaia, D. M. Poulos, R. N. Jones e J. M. Tschirhart, Ann. Thorac. Surg. 83, 283 (2007).

Datas de Publicação

  • Publicação nesta coleção
    2019

Histórico

  • Recebido
    13 Set 2018
  • Revisado
    13 Nov 2018
  • Aceito
    15 Nov 2018
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