Linearização dos coeficientes de reflexão de ondas qP em meios anisotrópicos

Linearized reflection coefficients for qP waves in anisotropic media

RESEARCH ARTICLE

Linearização dos coeficientes de reflexão de ondas qP em meios anisotrópicos

Linearized reflection coefficients for qP waves in anisotropic media

Ellen N. S. Gomes^I; João S. Protázio^I; Jessé C. Costa^I; Ivan A. Simões Filho^II

^IUniversidade Federal do Pará, UFPA

^IIUniversidade Estadual de Campinas, UNICAMP

RESUMO

Os coeficientes de reflexão de onda qP em uma interface plana que separa dois meios anisotrópicos dependem dos parâmetros elásticos dos meios envolvidos de maneira não linear. Aproximações lineares para a refletividade de ondas qP pressupondo fraco contraste de impedância e fraca anisotropia levam a uma forma simples para se fazer à análise de AVO/AVD. Neste trabalho a solução das equações de Zoeppritz é rescrita explicitamente em função de matrizes de impedância e polarização. Além disso, utilizando-se esta abordagem, é apresentada uma metodologia geral mais simples para se obter as formas linearizadas. Estas formas linearizadas para os coeficientes de reflexão da onda qP e das ondas convertidas para uma onda qP incidente apresentam resultados muito próximos da formulação exata para ângulos de incidência menores que 30⁰ considerando-se um contraste de impedância moderado e anisotropia em limites geologicamente aceitáveis.

Palavras-chave : Anisotropia; AVO/AVD.

ABSTRACT

The reflection coefficients at a planar interface separating two anisotropic media have a nonlinear dependence on the elastic parameters and densities of both media. Linear approximations on the elastic parameters for the qP wave reflectivity are more convenient for AVO/AVD analysis. We present the solution of the Zoeppritz equations in terms of impedance and polarization matrices. Using this approach and assuming weak impedance contrast and weak anisotropy, a simple derivation of linearized approximations for qP the reflectivity is presented for general anisotropy. The linear approximations of reflection coefficients, qP and converted waves, for qP incidence are very close to the exact results for incidence angles up to 30 degrees considering moderate impedance contrast and anisotropy.

Key words: Anisotropy; AVO/AVD.

INTRODUÇÃO

As propriedades elásticas das rochas na subsuperfície podem ser estimadas através do estudo das amplitudes das ondas refletidas utilizando-se a análise da amplitude versus afastamento (AVO) e amplitude versus direção (AVD). Essas análises têm sido importantes no prognóstico de contrastes litológicos ou de conteúdo de fluidos das formações. Em meios com fraturamento pode-se, por exemplo, determinar a orientação de planos de fratura que em geral indicam a direção de maior permeabilidade que é essencial à caracterização de reservatórios de hidrocarbonetos.

Os primeiros trabalhos sobre o assunto levaram em consideração apenas meios acústicos ou elásticos isotrópicos (Ostrander, 1984). Novas técnicas de aquisição de dados em 3-C (três componentes) e o comportamento efetivamente anisotrópico de meios fraturados (Schoenberg & Douma, 1988) e finamente estratificados (Postma, 1955) em regime quase estático estimularam a incorporação de anisotropia na análise de AVO/AVD. Modelos interpretativos que admitem anisotropia apresentam expressões analíticas das amplitudes que dependem de forma não linear dos parâmetros elásticos do meio o que torna a análise destas expressões complexa. Devido a esta dificuldade, formas linearizadas para as amplitudes têm sido utilizadas.

Várias abordagens têm sido propostas para simplificar a expressão exata do coeficiente de reflexão de uma onda qP supondo uma onda qP incidente. Para meios fracamente anisotrópicos com alto grau de simetria e baixo contraste, os principais trabalhos foram de Thomsen (1986; 1993) e Banik (1987). Uma aproximação foi apresentada por Zillmer et al. (1997) considerando meios fracamente anisotrópicos e contrastes arbitrários. Entretanto, essa forma aproximada é ainda muito complexa. Vavrycuk & Psencik (1998) a particularizaram considerando pequenos contrastes entre as propriedades elásticas do meio obtendo uma fórmula mais simples tanto para o coeficiente de reflexão como para o coeficiente de transmissão de uma onda qP considerando uma onda qP incidente.

Neste artigo faz-se uma extensão do trabalho de Schoenberg & Protázio (1992), no qual uma formulação matricial para o cálculo exato dos coeficientes de reflexão para meios anisotrópicos com pelo menos um plano de simetria foi apresentado. Estende-se esta formulação determinando-se os coeficientes de reflexão e transmissão exatos entre meios anisotrópicos arbitrários. Além disso, a partir desta formulação, em que as equações de Zoeppritz, são escritas de forma particionada, é obtida uma forma linearizada para os coeficientes de reflexão da onda qP e de suas convertidas considerando uma onda incidente qP. A grande vantagem deste método é a simplificação da obtenção das linearizações. Faz-se também uma avaliação destas aproximações a partir de dados sintéticos mostrando-se que as fórmulas linearizadas produzem resultados muito próximos daqueles obtidos com a formulação exata para incidências de até 30⁰ que é a faixa usada na prospeção sísmica.

METODOLOGIA

Neste trabalho, as matrizes são representadas por letras maiúsculas e em negrito e os vetores são representados por letras minúsculas e em negrito, utiliza-se a notação indicial e a convenção da soma (Aki & Richards, 1980) em todo o texto e as exceções a estas regras serão indicadas explicitamente. Além disso, será utilizada a notação P, S e T para as ondas qP, qS₁ e qS₂ (Helbig, 1994)_.

Sejam dois meios anisotrópicos quaisquer separados por uma interface plana x₃ = 0 com a incidência ocorrendo no meio superior e a transmissão ocorrendo no meio subjacente. Como estamos considerando que as medidas serão feitas longe da fonte e para intervalos de tempo muito pequenos, uma boa aproximação para o espalhamento é considerar que as ondas incidentes, refletidas e transmitidas são ondas planas cujo campo de deslocamento é descrito por :

sendo u o vetor de deslocamento, o vetor polarização, a amplitude da onda, o vetor vagarosidade, é a freqüência e x é o vetor posição espacial (Musgrave, 1970). O subscrito a refere-se às ondas P, S e T, assim classificadas de acordo com sua velocidade de propagação.

Utilizando a lei de Hooke generalizada e considerando que na interface o campo de deslocamento e a tração são contínuos, os coeficientes de reflexão e transmissão das ondas espalhadas são determinados pelo sistema matricial:

em que i corresponde à amplitude da onda incidente, r à amplitude da onda refletida e t à amplitude da onda transmitida. As matrizes e correspondem às matrizes de polarização e impedância da onda incidente (k = i), refletida (k = r) e transmitida (k = t) respectivamente, as componentes destas matrizes são obtidas por N_ma = n_ma, Z_ma = c_3mjls_lan_ja e c_3jkl representa as componentes do tensor elástico do meio. Neste trabalho as componentes do tensor elástico serão representadas utilizando a notação reduzida (Helbig, 1994) em que c_mjkl será substituído por C_pq.

Explicitamente os coeficientes r e t são dados por :

As fórmulas (2) e (3) generalizam para meios anisotrópicos arbitrários os resultados obtidos por Schoenberg & Protázio (1992) para o caso de meios com pelo menos um plano horizontal de simetria especular.

A partição do sistema de equações de Zoepprittz (2) através das matrizes de impedância e polarização permite se obter uma solução explicita para as matrizes de reflexão e transmissão o que não é possível com a abordagem usual (Vavrycuk & Psencik , 1998). As matrizes R e T contêm todas as informações sobre as amplitudes envolvidas no espalhamento.

As amplitudes das ondas incidente, refletida e transmitidas são representados pelos vetores i = i_a, r = r_a e t = t_a, respectivamente. Os coeficientes de reflexão de uma onda incidente P, R_PP, R_SP e R_TP são obtidos de (3) em que:

Um dos possíveis problemas nesta formulação é que nas direções onde ocorre as singularidades não se pode determinar as matrizes de polarização (representadas por N). Entretanto pode-se sempre escolher vetores de polarização linearmente independentes de tal forma que se possa determinar as matrizes de polarização inversíveis e desta forma o sistema (2) terá solução não trivial.

Na formulação exata dos coeficientes de reflexão os parâmetros elásticos dos meios aparecem de forma não linear o que torna a análise das propriedades destes meios a partir de AVO/AVD bastante complexa. Uma alternativa para simplificar a análise é linearizar estes coeficientes. Neste trabalho a linearização dos coeficientes R_PP, R_SP e R_TP é feita em duas etapas. Primeiramente, tomam-se pequenas perturbações dos parâmetros elásticos C₃₃ e C₅₅ em torno de um meio de referência isotrópico homogêneo.

Assim, sendo e a densidade e os parâmetros elásticos dos meios incidente (g1) e subjacente (g2), definem-se:

como as velocidades do meio isotrópico superior (onde ocorre a incidência) e do meio subjacente (onde ocorre a transmissão). A densidade e as velocidades do meio isotrópico de referência são então dadas por:

A seguir os outros parâmetros elásticos dos meios isotrópicos resultantes da primeira perturbação são também perturbados com C₃₃ e C₅₅ mantidos agora constantes.

Desta forma têm-se meios que respondem como meios fracamente anisotrópicos.

Perturbando o sistema linear (2), as fórmulas linearizadas dos coeficientes são então dadas pela resolução do sistema:

As matrizes e , correspondem às matrizes de impedância e de polarização associadas à reflexão (k = r) e transmissão (k = t) do meio isotrópico de referência. Os contrastes médios entre as matrizes de polarização e de impedância dos meios incidente e subjacente são dados pelas matrizes , respectivamente. As matrizes de reflexão e transmissão perturbadas dR e dT são dadas por :

Na determinação da aproximação linear para os coeficientes de reflexão para incidência P, dR_PP, dR_SP e d_TP, apenas a primeira coluna da matriz é utilizada em conseqüência da regra de Cramer (Hoffman & Ray, 1971).

O coeficiente linearizado de uma onda P refletida considerando uma onda P incidente é então dado por:

em que representa a perturbação isotrópica do coeficiente dR_PP.

O coeficiente linearizado da onda S refletida considerando uma onda P incidente é dado por:

em que representa a perturbação isotrópica do coeficiente dR_SP.

O coeficiente linearizado de uma onda T considerando uma onda P incidente é dado por:

em que: j é o ângulo que determina o azimute, q é o ângulo de incidência, é a razão entre as velocidades da onda longitudinal e cisalhantes do meio isotrópico de referência, é o co-seno do ângulo de reflexão da onda convertida S, e

As perturbações isotrópicas são dadas por:

e

em que : Z = ra é a impedância acústica do meio isotrópico de referência, G = rb² é o módulo de cisalhamento do meio de referência.

A perturbação isotrópica para a onda refletida T é nula uma vez que não há conversão de onda P para onda T no caso isotrópico. Para maiores detalhes sobre as fórmulas linearizadas ver apêndice A.

TESTES

Nesta seção avaliamos as aproximações em um conjunto de modelos geologicamente plausíveis. A abordagem proposta apresenta limitações quando aplicados a problemas reais por causa das hipóteses simplificadas. Será feita uma análise de sensibilidade à violação das hipóteses de baixo contraste e fraca anisotropia. Os resultados obtidos foram satisfatórios.

As formas linearizadas dos coeficientes de reflexão R_PP, R_SP e R_TP foram avaliadas da seguinte forma. Primeiro, os coeficientes obtidos através das equações de Zoeppritz e as aproximações lineares foram representados em estereogramas. A seguir é mostrado o estereograma do erro. Para o caso dos coeficientes R_PP e R_SP determinou-se o erro percentual relativo em geral, em alguns casos optou-se por determinar o erro absoluto de R_SP e para o coeficiente R_TP determinou-se erro absoluto. A determinação do erro absoluto ao invés do erro relativo deve-se ao fato de que no caso da onda T, nos planos de simetria não há conversão de onda P em T, o que torna a fórmula do erro relativo para este último coeficiente inválida e para alguns casos da onda S o coeficiente de R_SP assume grandes valores quando comparados com os outros valores assumidos por este coeficiente invalidando o erro relativo nestes casos. Nos estereogramas, os coeficientes foram calculados para ângulos de incidência de até 40⁰, a partir da normal à interface plana que separa os meios e para uma variação azimutal de 360⁰ .

O modelo I caracteriza-se pela fraca anisotropia e baixos contrastes entre os parâmetros elásticos dos meios envolvidos e corresponde ao modelo A-C apresentado em Vavrycuk & Psencik(1998). O meio incidente é isotrópico com densidade r_l = 2,65g/cm³ e as velocidades das ondas P e S são dadas por a_l = 4,00 km/s, b_l = 2,31 km/s, respectivamente. O meio subjacente é um TIH (meio transversalmente isotrópico com eixo de simetria horizontal (ver Musgrave, 1970) e corresponde ao meio efetivo associado a um sistema de inclusões elipsoidais paralelas em uma formação isotrópica, segundo Hudson (1982). O meio isotrópico de referência tem densidade r_ref = 2,60 g/cm³ e as velocidades das ondas P e S são dadas por a_ref = 4,00 km/s e b_ref = 2,31 km/s, respectivamente. A razão de aspecto dos elipsóides é de 10^-4 e a densidade de fraturamento de 0,05. Este meio é caracterizado pelo tensor elástico:

Neste modelo verifica-se que as fórmulas linearizadas dos coeficientes de reflexão R_PP, R_SP e R_TP apresentam-se muito próximas da formulação exata para ângulos de incidência de até 30⁰, uma vez que os erros relativos dos coeficientes linearizados R_PP e R_SP são inferiores à 6% e 10% respectivamente enquanto que a forma linearizada R_TP apresenta erro absoluto da ordem de 0,001. Isto já era esperado uma vez que este modelo obedece aos pressupostos considerados na derivação destas linearizações.

O modelo II caracteriza-se pela forte anisotropia e fraco contraste dos parâmetros elásticos. O meio incidente é isotrópico com densidade de r_l = 2,20 g/cm³ e as velocidades das ondas P e S dadas por a_l = 4,23 km/s, b_l = 2,73 km/s respectivamente. O meio subjacente é um TIH que corresponde às propriedades de um folhelho com forte anisotropia (Thomsen, 1986), e que foi girado de 30⁰ em relação ao eixo x e 60⁰ em relação ao eixo z e tem como tensor elástico:

A formulação exata de R_PP é dada pela figura 1. A formulação linearizada (Fig. 2) apresenta-se muito próxima da formulação exata para incidências de até 30⁰, já que o erro relativo para essas incidências é inferior a 7 % (Fig. 3). Verifica-se que o coeficiente R_PP exato e linearizado não atestam o mergulho. Isto mostra que em modelos com mergulho este coeficiente não possui informações sobre o mesmo. Esse tipo de informação é obtido através das ondas convertidas. Na figura 4 tem-se a formulação exata do coeficiente R_SP e verifica-se que a formulação linearizada (Fig. 5) apresenta-se muito próxima da exata com erros absolutos em torno a 0,005 para incidências de até 15⁰ (Fig. 6). Para o caso do coeficiente R_TP verifica-se pela formulação exata (Fig. 7) que não há conversão de onda T no plano de simetria e em regiões próximas a esse plano. A formulação linearizada apresenta bons resultados para incidências de até 30⁰ (Fig. 8). O erro absoluto para essas incidências é menor que 0,02 (Fig. 9). Conclui-se que pelo menos para este modelo a forte anisotropia não compromete as aproximações.

O modelo III caracteriza-se por forte contraste e fraca anisotropia. O meio incidente é isotrópico com densidade de r_l = 2,0 g/cm³ e velocidades das ondas P e S são de a_l = 2,5 km/s e b_l = 1,20 km/s, respectivamente. O meio subjacente tem densidade de r = 2,6 g/cm³ e o tensor elástico é dado por (16). O erro relativo da forma linearizada de R_PP só é aceitável para incidências subnormais (incidências menores que 15⁰) e nestas incidências o erro é menor que 3% . Para incidências maiores o erro é superior a 10%. Na forma linearizadas R_SP verifica-se que para incidências maiores que as subnormais o erro relativo é superior a 15% e para a forma linearizada e R_TP para incidências de até 15⁰ o erro absoluto é menor que 0,02. Conclui-se que para este modelo as formas linearizadas só são razoáveis para incidências subnormais.

O modelo IV caracteriza-se por apresentar forte contraste e forte anisotropia. O meio incidente é um isotrópico cuja densidades é r_l = 1,80 g/cm³ e as velocidades das ondas P e S são a_l = 2,00 km/s e b_l = 1,20 km/s respectivamente. O meio subjacente é um TIH com densidade r = 2,59 g/cm³ e o tensor elástico é dado por (17). Da mesma forma que o modelo anterior às aproximações linearizadas só apresentam bom ajuste para incidências subnormais.

Foram feitos testes considerando o meio incidente anisotrópico. Quando o meio de incidência tem simetria azimutal os resultados não diferiram dos modelos que foram apresentados, isto é, para modelos que obedecem aos pressupostos de fraco contraste e fraca anisotropia os resultados das linearizações ajustam-se de forma satisfatória à formulação exata apresentando erros aceitáveis em relação ao nível de ruído associado à atual tecnologia de estimativa destes coeficientes. Quando o meio de incidência não apresenta simetria azimutal as aproximações não são satisfatórias pois o pressuposto da direção de polarização das ondas S e T em SV e SH respectivamente, não é válido. Para anisotropia e contrastes moderados as linearizações ainda apresentam-se satisfatórias para incidências de até 30⁰, considerando forte contraste e forte anisotropia as aproximações são aceitáveis apenas para incidência subnormal.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

As aproximações lineares para R_PP, R_SP e R_TP apresentam um bom desempenho quando os modelos obedecem aos pressupostos utilizados nas linearização, ou seja, baixos contrastes e fraca anisotropia. Mesmo para modelos que violam uma destas condições as aproximações ainda são válidas desde que as incidências sejam próximas da normal à interface. Nos testes realizados verificou-se que:

Na violação dos pressupostos utilizados na obtenção das linearizações as aproximações apresentam melhor desempenho quando a hipótese de fraca anisotropia é violada do que quando a hipótese de fraco contraste é violada.

O coeficiente R_PP mostrou-se insensível ao mergulho das fraturas.

Em todos os exemplos excluiu-se as regiões muito próximas a ângulos críticos onde o comportamento da refletividade é altamente não linear como já havia sido observado em modelos isotrópicos por Castagna (1992).

CONCLUSÕES

Neste trabalho foi apresentada uma metodologia para a determinação da fórmula exata dos coeficientes de reflexão e transmissão para meios anisotrópicos arbitrários através das matrizes de impedância e polarização. A partir desta formulação obteve-se uma aproximação para os coeficientes de reflexão de uma onda P incidente considerando-se contraste fraco entre as propriedades físicas do meio e fraca anisotropia.

A metodologia apresentada para a determinação da formula exata dos coeficientes de reflexão e transmissão possui vantagens computacionais uma vez que todas as características do espalhamento podem ser obtidas de operações com matrizes de terceira ordem. A representação dos coeficientes de espalhamento utilizando de matrizes de polarização e impedância tem vantagens analíticas pois a partir desta formulação pôde-se determinar explicitamente as matrizes de reflexão e transmissão.

Nas linearizações do coeficiente R_PP verificou-se que algumas informações sobre os meios não podem ser recuperadas, enquanto que, as linearizações dos coeficientes R_SP e R_TP possuem informações sobre todos os parâmetros elásticos do meio. Assim as formas linearizadas são importantes na caracterização de ambigüidades para o problema de inversão destes coeficientes de reflexão. Além disso, estas linearizações possuem a vantagem de permitir uma análise mais simples de como os parâmetros ou combinação de parâmetros que caracterizam os meios influenciam nestes coeficientes.

A metodologia proposta pode ser aplicada mesmo em casos de contraste moderado de impedância e anisotropia dentro dos limites esperados em rochas sedimentares. Verificou-se ainda que o maior contraste entre os meios deteriora mais as aproximações que a presença de maior anisotropia.

As aproximações apresentadas neste trabalho, foram obtidas a partir dos pressupostos de fraco contraste entre as propriedades elásticas dos meios e anisotropia fraca. Entretanto os limites de validade destas fórmulas não podem ser caracterizados a partir de sua dedução. Uma analise que estabeleça esses limites é necessária para se determinar a sua utilização na interpretação de AVO/AVD.

A partir destas fórmulas linearizadas pode-se estimar as propriedades de meios na subsuperfície como por exemplo à orientação do plano de fratura e assim caracterizar a direção de maior permeabilidade.

APÊNDICE A

A linearização dos coeficientes de reflexão de uma onda incidente P foi feita no plano de azimute zero (j = 0) e posteriormente estendidas para azimutes arbitrários através de rotação em torno do eixo vertical x₃. Para tornar mais claro as fórmulas apresentadas nesta seção optamos por indicar o tipo de onda na forma de sobrescrito.

Considerando a equação (8) é necessário determinar a matriz no meio isotrópico de referência e a primeira coluna da matriz de perturbação . A avaliação desta última expressão requer a determinação das perturbações da polarização da onda P incidente, , e da perturbação da terceira componente da vagarosidade da onda P incidente, , em cada um dos meios.

Determinação da matriz

As velocidades e a densidade do meio isotrópico de referência são dadas por (7) e , são as matrizes de polarização e impedância para o meio isotrópico de referência.

A matriz de polarização associada a transmissão no meio de referência isotrópico foi escolhida na forma:

em que escolhemos para polarização da onda T no meio de referência a direção perpendicular ao plano sagital (Helbig, 1994), onda SH, e a polarização da onda S é perpendicular a direção de incidência da onda P no plano sagital, onda SV. Esta escolha é arbitrária e pode não ser a mais conveniente quando o meio de incidência é anisotrópico e não apresenta simetria azimutal. Como o meio de referência é isotrópico e portanto possui plano de simetria especular, a matriz de polarização das ondas refletidas neste meio é obtida através da reflexão de (18) em relação a interface.

Com estas escolhas obtêm-se:

Determinação perturbações e .

As perturbações da direção de polarização e da componente vertical da vagarosidade da onda P incidente em cada meio são obtidas a partir da equação de Christoffel ,

A perturbação de primeira ordem da matriz de Chistoffel é dada por:

em que é a matriz de Christoffel perturbada e é a perturbação da densidade.

A perturbação é obtida efetuando o produto interno de (21) com o vetor de polarização o que resulta na relação:

A perturbação é dada pela expressão:

em que são as perturbações do meio em relação ao meio de referência. Utilizando (22) e (23) podemos obter imediatamente .

O cálculo de é obtido através do sistema formado pelo produto interno de (21) com os vetores de polarização e respectivamente e da condição de normalização n^P, conforme mostrado abaixo :

em que d_ij é o delta de Kronecker. Da solução do sistema linear acima tem-se a perturbação da polarização para uma onda incidente P.

A seguir, conhecidos e a primeira coluna da matriz de impedância perturbada é avaliada em cada meio através da expressão:

em que: l e m são os parâmetros de Lamé.

Finalmente os coeficientes linearizados dR_PP, dR_SP e dR_TP são então obtidos da primeira equação do sistema (8).

No caso de um azimute arbitrário j em relação ao eixo x_l, os parâmetros elásticos são obtidos a partir da rotação em torno do eixo vertical x₃ (Helbig, 1994). E os coeficientes de reflexão linearizados considerando uma onda P incidente para o caso geral são então dados pelas equações (11), (12) e (13). Nestas expressões as perturbações nos parâmetros elásticos foram separadas em duas componentes

em que é um tensor isotrópico e define a parte anisotrópica da perturbação nos parâmetros elásticos.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao apoio do programa FINEP/CNPq/Pronex em Engenharia de reservatórios pela infra-estrutura computacional e ao professor Ivan Psensick pela revisão do manuscrito e discussão deste trabalho.

Received September 15, 2000

Accepted March 25, 2001

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  01 Out 2003
• Data do Fascículo
  Abr 2001

Histórico

• Recebido
  15 Set 2000
• Aceito
  25 Mar 2001