Solução Exata e Estabilização Exponencial para a Equação de Allen-Cahn

RESUMO

Neste trabalho estudamos algumas propriedades qualitativas da equação de Allen-Cahn. Esta equação tem sido amplamente estudada em diversas áreas da ciência e principalmente na evolução de microestruturas durante o processo de solidificação de um metal puro ou liga metálica. Os principais resultados obtidos são: a solução exata, a energia de Ginzburg-Landau e a propriedade de decaimento exponencial da energia total do modelo. A solução exata do problema foi obtida pelo método da separação de variáveis, graças a uma escolha adequada do coeficiente de reação. Em relação a estabilização exponencial da energia total das soluções, usamos técnicas multiplicativas para estabelecer a lei de dissipação da energia e, em seguida, usamos algumas desigualdades clássicas da análise matemática para construir a estimativa de decaimento exponencial.

PALAVRAS-CHAVE:
equação de difusão; equação de Allen-Cahn; solução exata; estabilização exponencial