Recent Results on a Generalization of the Laplacian^†

Neste artigo discutimos recentes resultados sobre uma generalização do Laplaciano. Mais precisamente, fixe uma função W(x ₁, ..., x_d ) = Σ^d_k=1 W_k (x_k ), onde cada W_k : ℝ → ℝ é uma função contínua á direita com limites a esquerda e estritamente crescente. Usando W, construímos o laplaciano generalizado ℒW = Σ^d_i=1 ∂xi ∂wi, onde ∂wi denota o operador diferencial induzido por W_i . Apresentamos resultados sobre propriedades espectrais de ℒW, espaços de Sobolev induzidos por ℒW (espaços W-Sobolev), equações diferenciais parciais generalizadas, equações diferenciais estocásticas e homogeinização estocástica.

Espaços W-Sobolev; Laplaciano generalizado; Homogeinização; Equações diferenciais parciais