Lógica Fuzzy Intervalar e Conjuntos Fuzzy valorados em intervalos têm sido amplamente investigado. Algumas Lógicas Fuzzy foram algebricamente modeladas por Peter Hájek como BL-álgebras. Qual é a contrapartida algébrica para o caso intervalar? Sabe-se da literatura que existe uma incompatibilidade entre algumas estruturas algébricas e sua contraparte intervalar. Este artigo mostra que tal incompatibilidade também está presente ao nível de BL-álgebras. Aqui mostramos ambos: (1) a impossibilidade na imprecisão correspondente e a corretude da fundamental BL-Implicação e (2) alguns fatos sobre a intervalização de BL-álgebras.

Palavras-chave:
Lógica Fuzzy; BL-Álgebras; intervalos; princípio de corretude

Autoria

R. PAIVA ^**Corresponding author: Rui Paiva - E-mail: rui.brasileiro@ifce.edu.br

Group for Logic, Language, Information, Theory and Applications (LoLITA), Federal Institute of Education, Science and Technology of Ceará (IFCE), Maracanaú - CE, 61939-140, Brazil. E-mail: rui.brasileiro@ifce.edu.brFederal Institute of Education, Science and Technology of CearáBrazilMaracanaú, CE, BrazilGroup for Logic, Language, Information, Theory and Applications (LoLITA), Federal Institute of Education, Science and Technology of Ceará (IFCE), Maracanaú - CE, 61939-140, Brazil. E-mail: rui.brasileiro@ifce.edu.br

https://orcid.org/0000-0002-1775-8489

R. SANTIAGO

Group for Logic, Language, Information, Theory and Applications (LoLITA), Informatics and Applied Mathematics Department, Federal University of Rio Grande do Norte (UFRN), Natal - RN, 59078-970, Brazil. E-mail: regivan@dimap.ufrn.br, bedregal@dimap.ufrn.brFederal University of Rio Grande do NorteBrazilNatal, RN, BrazilGroup for Logic, Language, Information, Theory and Applications (LoLITA), Informatics and Applied Mathematics Department, Federal University of Rio Grande do Norte (UFRN), Natal - RN, 59078-970, Brazil. E-mail: regivan@dimap.ufrn.br, bedregal@dimap.ufrn.br

B. BEDREGAL

*Corresponding author: Rui Paiva - E-mail: rui.brasileiro@ifce.edu.br

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Fórmulas

Fórmulas (44)

(2.1)

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

x \to y = 1 i f f x \leq y and y otherwise .

x \to y = 1 i f f x \leq y and y / x otherwise .

x \to y = 1 i f f x \leq y and \min \{1, 1 - x + y\} otherwise .

A * B = A \cap B a n d A \to B = A^{C} \cup B

(f \land g) (x) = f (x) \land g (x) (f \lor g) (x) = f (x) \lor g (x) (f * g) (x) = f (x) * g (x) (f \to g) (x) = f (x) \to g (x)

X ⊑ Y \Leftrightarrow X \leq Y and X \leq Y .

(x, y) \in [a, b] \times [c, d] implies x ◊ y \in [a, b] ♦ [c, d] .

X ⊖ Y = [\min \{X - Y, X - Y\}, \max \{X - Y, X - Y\}]

X^{l} = {J \in I (L) | J is lower bound of X}

v = \underset{A \in X^{l}}{V} (A) and w = \underset{A \in X^{l}}{V} (A) .

X^{u} = \{T \in I (L) | T is upper bound of X\} \neq 0 .

m = \underset{B \in X^{u}}{\land} (B) and n = \underset{B \in X^{u}}{\land} (B) .

(2.1)

Z ⊑ (X \Rightarrow Y) if and only if [Z, Z] ⊑ [X \to Y, X \to Y] .

Z ⊑ (X \Rightarrow Y) iff Z ⊑ ⊔ \{W | X ⊛ W ⊑ Y\} iff Z \leq ⊔ \{W | X ⊛ W ⊑ Y\} and Z \leq ⊔ \{W | X ⊛ W ⊑ Y\} iff Z \leq \lor \{W | X ⊛ W ⊑ Y, for some W\} and Z \leq \lor \{W | X ⊛ W ⊑ Y, f o r s o m e W\} .

\lor \{W | X ⊛ W ⊑ Y, for some W\} = \lor \{W | X ⊛ W \leq Y and X ⊛ W \leq Y, for some W\} = \lor \{W | X * W \leq Y and X * W \leq Y, for some W\} \leq \lor {\{W | X * W \leq Y\}}^{2} .

\lor \{W | X ⊛ W ⊑ Y, for some W\} = \lor \{W | X ⊛ W \leq Y and X ⊛ W \subseteq Y, for some W\} = \lor \{W | X * W \leq Y and X * W \leq Y, for some W\} \leq \lor \{W | X * W \leq Y\} .

Z ⊑ (X \Rightarrow Y) i f f Z \leq X \to Y a n d Z \leq X \to Y i f f X * Z \leq Y a n d X * Z \leq Y i f f [X * Z, X * Z] ⊑ [Y, Y] i f f X ⊛ Z ⊑ Y .

X ⊛ (X \Rightarrow Y) = [X, X] ⊛ ([X, X] \Rightarrow [Y, Y]) = [X, X] ⊛ (⊔ \{[Z, Z] \in I (L) | [X, X] ⊛ [Z, Z] ⊑ [Y, Y]\}) \overset{E q . (2.1)}{=} [X, X] ⊛ [X \to Y, X \to Y] = [X * (X \to Y), X * (X \to Y)] = [X \land Y, X \land Y] = [X, X] ⊓ [Y, Y] = X ⊓ Y .

(X \Rightarrow Y) ⊔ (Y \Rightarrow X) = (⊔ \{Z \in I (L) | X ⊛ Z ⊑ Y\}) ⊔ (⊔ \{Z \in I (L) | Y ⊛ Z \leq X\}) = [X \to Y, X \to Y] ⊔ [Y \to X, Y \to X] = [(X \to Y) \lor (Y \to X), (X \to Y) \lor (Y \to X)] = [1_{L}, 1_{L}] = 1 .

∆ (X, Y) = [\inf ∆_{1} (α, β) \cup ∆_{2} (α, β), \sup ∆_{1} (α, β) \cup ∆_{2} (α, β)]

a *_{1} x \leq α *_{1} x \leq b *_{1} x and c *_{2} y \leq y *_{2} β \leq y *_{2} d .

a *_{1} c \leq α *_{1} c \leq b *_{1} c and c *_{2} b \leq b *_{2} β \leq b *_{2} d .

a *_{1} c \leq α *_{1} β \leq α *_{2} β \leq b *_{2} d .

b \to_{2} c \leq α \to_{2} c \leq a \to_{2} c and a \to_{1} c \leq a \to_{1} β \leq a \to_{1} d .

b \to_{2} c \leq α \to_{2} β \leq a \to_{2} c \leq a \to_{1} c \leq α \to_{1} β \leq a \to_{1} d,

X \hat{*} 0 = [X, X] \hat{*} [0_{L}, 0_{L}] = [X *_{1} 0_{L}, X *_{2} 0_{L}] \overset{(B L 8)}{=} [0_{L}, 0_{L}] = 0 .

X \hat{\to_{1, 2}} (Y \hat{\to_{1, 2}} Z) = X \hat{\to_{1, 2}} ([Y \to_{2} Z, Y \to_{1} Z]) = [X \to_{2} (Y \to_{2} Z), X \to_{1} (Y \to_{1} Z)] = [Y \to_{2} (X \to_{2} Z), Y \to_{1} (X \to_{1} Z)] = Y \hat{\to_{1, 2}} ([X \to_{1} Z, X \to_{2} Z]) = Y \hat{\to_{1, 2}} (X \hat{\to_{1, 2}} Z) .

(X \hat{\lor} Y) \hat{*_{1, 2}} Z = [X \lor Y, X \lor Y] \hat{*_{1, 2}} [Z, Z] = [(X \lor Y) *_{1} Z, (X \lor Y) *_{2} Z] \overset{(B L 13)}{=} [(X *_{1} Z) \lor (Y *_{1} Z), (X *_{2} Z) \lor (Y *_{2} Z)] = [X *_{1} Z, X *_{2} Z] \hat{\lor} [Y *_{1} Z, Y *_{2} Z] = (X \hat{*_{1, 2}} Z) \hat{\lor} (Y \hat{*_{1, 2}} Z) .

(X \hat{*_{1, 2}} Z) \hat{\to_{1, 2}} Y = ([X, X] \hat{*_{1, 2}} [Z, Z]) \hat{\to_{1, 2}} [Y, Y] = ([X *_{1} Z, X *_{2} Z] \hat{\to_{1, 2}} [Y, Y] = [(X *_{2} Z) \to_{2} Y, (X *_{1} Z) \to_{1} Y] \overset{((B L 18))}{=} [Z \to_{2} (X \to_{2} Y), Z \to_{1} (X \to_{1} Y)] .

Z \hat{\to_{1, 2}} (X \hat{\to_{1, 2}} Y) = [Z, Z] \hat{\to_{1, 2}} ([X, X] \hat{\to_{1, 2}} [Y, Y]) = [Z, Z] \hat{\to_{1, 2}} ([X \to_{2} Y, X \to_{1} Y] = [Z \to_{2} (X \to_{2} Y), Z \to_{1} (X \to_{1} Y)] .

(X \hat{*_{1, 2}} Z) \hat{\to_{1, 2}} (X \hat{*_{1, 2}} Y) = [0_{L}, 1_{L}] .

X \hat{*_{1, 2}} (X \hat{\to_{1, 2}} Y) = [X, X] \hat{*_{1, 2}} ([X, X] \hat{\to_{1, 2}} [Y, Y]) = [X *_{1} (X \to_{2} Y), X *_{2} (X \to_{1} Y)] .

X *_{1} (X \to_{2} Y) \leq X *_{1} (X \to_{1} Y) \overset{(B L 6)}{\leq} Y .

X \leq X \leq Y \leq Y

(3.1)

(X \to Y) * (Y \to Z) = 1 * (Y \to Z) \leq X \to Z .

(X \to Y) * (Y \to Z) \overset{(B L 7)}{\leq} (X \to Y) * (Y \to Z) \overset{(B L 14)}{\leq} X \to Z,

(3.2)

(X \to Y) * (Y \to Z) \leq X \to Z .

[(X \to_{2} Y) *_{1} (Y \to_{2} Z), (X \to_{1} Y) *_{2} (Y \to_{1} Z)] ⊑ [X \to_{2} Z, X \to_{1} Z] .

(3.3)

X *_{2} (X \to_{2} Y) \leq (X \land Y) \overset{(B L 3)}{\Leftrightarrow} X \to_{2} Y \leq X \to_{2} (X \land Y) .

(3.4)

X \to_{2} (X \land Y) \leq X \to_{2} Y .

(3.5)

X \to_{2} Y = X \to_{2} (X \land Y) .

(3.6)

X *_{1} (X \to_{1} Y) \leq (X \land Y) \overset{(B L 3)}{\Leftrightarrow} X \to_{1} Y \leq X \to_{1} (X \land Y) .

(3.7)

X \to_{1} (X \land Y) \leq X \to_{1} Y .

(3.8)

X \to_{1} Y = X \to_{1} (X \land Y) .

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