Produto funcional de grafos

A.R.G. Lozano A.S. Siqueira S. Jurkiewicz C.V.P. Friedmann Sobre os autores

Resumos

O trabalho apresenta uma generalização do produto cartesiano de grafos que denominamos de produto funcional de grafos. Provam-se algumas propriedades do novo produto e mostra-se uma aplicação do mesmo, que consiste em gerar grafos regulares que admitem coloração com folga Δ com Δ + 1cores.

produto funcional de grafos; coloração com folga; grafo suporte


The paper presents a generalization of the Cartesian product of graphs, called functional product. We prove some properties of the new product and show an application, that consist in generate regular graphs that admits I-range coloring with Δ + Δ colors.

functional product of graphs; range coloring; support graph


Produto funcional de grafos

A.R.G. LozanoI,* * Autor correspondente: Abel Rodolfo Garcia Lozano ; A.S.SiqueiraII; S. JurkiewiczIII; C.V.P. FriedmannIV

IDepartamento de Matemática da FFP-UERJ, Escola de Ciências, Educação, Letras, Artes e Humanidades da UNIGRANRIO, Grupo de Pesquisa em Matemática Discreta e Computacional. E-mail: arglozano@terra.com.br

IIEscola de Ciências, Educação, Letras, Artes e Humanidades da UNIGRANRIO, Grupo de Pesquisa em Matemática Discreta e Computacional. E-mail: asiqueira@unigranrio.com.br

IIIPrograma de Engenharia da Produção da COPPE-UFRJ. E-mail: jurki@pep.ufrj.br

IVDepartamento de Matemática da FFP-UERJ, Grupo de Pesquisa em Matemática Discreta e Computacional. E-mail: cliciavp@terra.com.br

RESUMO

O trabalho apresenta uma generalização do produto cartesiano de grafos que denominamos de produto funcional de grafos. Provam-se algumas propriedades do novo produto e mostra-se uma aplicação do mesmo, que consiste em gerar grafos regulares que admitem coloração com folga Δ com Δ + 1cores.

Palavras-chave: produto funcional de grafos, coloração com folga, grafo suporte.

ABSTRACT

The paper presents a generalization of the Cartesian product of graphs, called functional product. We prove some properties of the new product and show an application, that consist in generate regular graphs that admits I-range coloring with Δ + Δ colors.

Keywords: functional product of graphs, range coloring, support graph.

1 INTRODUÇÃO

Em 2008 Lozano, Jurkiewicz e Friedmann [8] apresentaram um algoritmo para troca completa de informações que não dependia da topologia da rede. Para isto, usaram a coloração total equilibrada dos grafos correspondentes às topologias mais comuns e mostraram que tais colorações satisfaziam a Conjectura de Vizing, ou seja, os grafos podiam ser coloridos totalmente com, no máximo, Δ + 2 cores. Posteriormente Lozano, Siqueira e Jurkiewicz [12] provaram que, se um grafo regular pode ser colorido com folga Δ com Δ + 1 cores então a coloração de vértices pode ser completada obtendo-se uma coloração total equilibrada com, no máximo, Δ + 2 cores. O resultado acima citado serviu como motivação para estudar a possibilidade de se construir famílias de grafos regulares com as características mencionadas. Para auxiliar nesta construção, introduziu-se o conceito de produto funcional de grafos e suas propriedades, que são explorados na terceira seção deste artigo. Em seguida apresentamos uma das maneiras de obter estas fam ílias de grafos regulares usando o produto funcional, e finalizamos com uma seção onde são expostas as perspectivas de trabalhos futuros. Neste texto, os grafos são simples, não orientados e sem laços.

2 DEFINIÇÕES BÁSICAS E NOTAÇÕES

Ao longo do artigo serão usadas as notações listadas a seguir:

• {u, v}ou uv denota uma aresta do grafo G, onde u e v são adjacentes;

• dG(v) ou d(v) se não houver ambiguidade, denota o grau do vértice v no grafo G;

• Δ (G) ou Δ se não houver ambiguidade, denota o grau máximo do grafo G;

• NG (v) ou N(v) se não houver ambiguidade, denota o conjunto de os todos vértices adjacentes ao vértice v no grafo G;

• F(X) denota o conjunto de todas as bijeções de X em X;

• D(G) denota o digrafo obtido pela substituição de cada aresta uv do grafo G pelos arcos (u, v)e (v, u), mantendo o mesmo conjunto de vértices;

•

denota o conjunto dos digrafos que satisfazem as seguintes condições:

1. (u, v) e um arco do digrafo se, e somente se, (v, u) também é um arco do digrafo,

2. Não existem dois arcos iguais.

• Se , G() denota o grafo obtido pela substituição de cada par de arcos (u, v) e (v, u) de pela aresta uv, mantendo o mesmo conjunto de vétices;

• In denota o conjunto de números naturais {0, 1, 2, 3, 4, ..., n -1};

• Se A é um conjunto, |A|denota a cardinalidade de A;

• E(X) ou E se não houver ambiguidade, denota o conjunto de arestas (arcos) do grafo (digrafo) X;

• V (X) ou V se não houver ambiguidade, denota o conjunto de vértices do grafo (digrafo) X;

• Cn denota o ciclo de n vértices;

• Kn denota o grafo completo de n vértices.

Definição 2.1. [3] Sejam um grafo G(V, E), um conjunto S ⊂(EV), um número natural k e um conjunto arbitrário C = {c1, c2, ..., ck} cujos elementos são denominados de cores. Uma coloração f: S → C.

Na definição acima, se S = V então tem-se uma coloração de vértices. No caso de S = E, trata-se de uma coloração =EV , ent˜f euma coloracao de arestas e finalmente, se S = E ∪V, então f é uma coloração total. Se xS e f (x) = ci , i ∈ {1, 2, ..., k}, diz-se que x possui ou está colorido com a cor ci .

Definição 2.2. [3] Sejam um grafo G(V, E), um conjunto S ⊂(E V)e um conjunto de cores C = {c1, c2, ..., ck }, onde k é um número natural. Uma coloração f: S → C do grafo G com as cores de Cé uma coloração própria , se para todo par x, y S tem-se que, se x e adjacente ou incidente a y então f (x) ≠ f (y).

Deste ponto em diante, todas as colorações neste trabalho serão consideradas próprias e sobrejetivas, a menos que explicitamente se especifique o contrário.

Definição 2.3. [15] Dados um grafo G(V, E), um conjunto S ⊂(EV) e um conjunto de cores C = {c1, c2, ..., ck }, onde k é um número natural. Uma coloração f: S → C do grafo G com as cores de é uma colocaração equilibrada, se para todo par i, j ∈ {1, 2, ..., k} tem-se que, ||f -1(ci )| - |f -1(cj )|| < 1, sendo |f -1(c i )| e |f -1(cj)| as cardinalidades dos conjuntos dos elementos de S que possuem as cores ci e cj, respectivamente.

Definição 2.4. [5] Sejam um grafo G(V, E), um conjunto de cores C = {c1, c2, ..., ck}, onde k é um número natural, e um número natural p, tal que p< Δ(G). Uma aplicação f: S → C é uma coloração de vértices do grafo G com as cores de C com folga p, se para todov V tem-se que se d (v) < p, então |c (N(v))| = d(v), caso contrário, |c(N(v))| = p, sendo |c(N(v))| a cardinalidade do conjunto das cores da vizinhança de v.

Definição 2.5 própria de arestas com [15] Um grafo G é de classe 1 se admite uma coloracI(G) cores, caso contrário é de classe 2.

3 PRODUTO FUNCIONAL DE GRAFOS

Nesta seção é apresentada a definição de produto funcional de grafos, para este fim, é necessário definir aplicações, denominadas aplicações de ligação, que associam cada aresta de um fator com uma bijeção definida no conjunto de vértices do outro. Esta bijeção indica como será feita a ligação dos vértices do grafo produto. O produto cartesiano de grafos pode ser visto como um produto funcional, onde a todas as arestas são associadas à aplicação identidade correspondente.

Definição 3.1. Os digrafos1(V1,E1) e 2(V2,E2) são ditos funcionalmente ligados pelas aplicações f1:E1F(V2) e f2:E2F(V1) se f1e f2são tais que:

1. Se para todo arco (u, v) ∈ E1se (v, u) ∈ E1, então f1((u, v)) = (f1((v, u)))-1;

2. Se para todo (x, y) ∈ E2se (y, x) ∈ E2, então f2((x, y)) = (f2((y, x)))-1;

3. Para todo par de arcos (u, v) ∈ E1e (x, y) ∈ E2, tem-se que f2((x, y))(u) ≠ v ou f1((u, v))(x) ≠ y.

As aplicações f 1 e f 2 são denominadas aplicações de ligação.

Definição 3.2. Sejam dois grafos G1(V1, E1) e G2(V2, E2). Se D(G1) e D(G2) são funcionalmente ligados pelas aplicações f1 : E(D(G1)) →F(V2) e f2 : E(D(G2)) → F(V1), então os grafos G1(V1, E1) e G2(V2, E2) são ditos funcionalmente ligados pelas mesmas aplicações.

Definição 3.3. Sejam 1(V1, E1) e 2(V2, E2) digrafosfuncionalmente ligados pelas aplicações f1 : E1F(V2) e f2 : E2F(V1).O produto funcional do digrafo 1pelo digrafo 2segundo as aplicações f1e f2, denotado por(1, f1) × (2, f2), é o digrafo, V*,E*) = definido por

• V* = V1 × V2.

• ((u, x), (v, y)) ∈ E* se, e somente se, uma das seguintes condições for verdadeira:

1. (u, v) ∈ E1e f1((u, v))(x) = y;

2. (x, y) ∈ E2e f2((x, y))(u) = v.

A Figura 1 apresenta dois digrafos com suas respectivas aplicações de ligação e o digrafo obtido como resultado do produto de ambos os pares.


Definição 3.4. Sejam G1(V1, E1) e G2(V2, E2) grafos funcionalmente ligados pelas aplicações f1 : E(D(G1)) → F(V2) e f2 : E(D(G2)) → F(V1). O produto funcional do grafo G1 grafo G2, denotado por (G1, f1) × (G2, f2), é o grafo G((V*, E*)), sendo (V*, E*) = (D(G1), f1) × (D(G2), f2).

E interessante notar que o Produto Cartesiano de Grafos é um caso particular do Produto Funcional de Grafos definido acima, quando f1e f2 atribuem a identidade a todos os arcos dos digrafos correspondentes. A seguir será definido um tipo especial de bijeção, denominado rotação.

Definição 3.5 Dado um número natural n, uma rotaçao em In é uma bijeção f : In → In definida como segue:

f(i) = (i + k)( mod n),

Definição 3.6. Sejam n um número natural e A um conjunto finito tal que |A| = n. Uma bijeção f: A → A é uma rotação em A, se existem, uma bijeção h: In → A e uma rotação r em In tais que f (h(i)) = h(r(i)), para todo iIn.

Observe que, na definição acima, se h(i) e representado por xi , tem-se que f (h(i)) = h(r(i)) = xr(i). Isso significa que para conhecer a rotação, basta conhecer o valor em x0. Neste texto ri (A) denotaráarotação em A tal que r(h(0)) = h(i). Se não existir ambiguidade, tal rotação será representada simplesmente por ri.

A Figura 2 representa o produto funcional do caminho P3 por ele mesmo, associado a duas diferentes aplicações de ligação (as rotações r1e r2). Na figura, cada vérticedaforma (vi , vj ) é representado por vivj e as linhas descontínuas descrevem as arestas do produto cartesiano usual de grafos.


Os teoremas a seguir mostram algumas proriedades do produto funcional.

Teorema 3.1. Sejam G1(V1, E1) e G2(V2, E2) grafos funcionalmente ligados pelas aplicações f1 : E(D(G1)) → F(V2) e f2 : E(D(G2)) → F(V1). Então os grafos G* (V*, E*) = ( G1, f1) ×( G2, f2) e G**(V**, E**) = (G2, f2) × (G1, f1) são isomorfos. Neste sentido, o produto funcional de grafos é comutativo.

Demonstração. Sejam E'1 = E(D(G1)) e E'2 = E(D(G2)). Provaremos que dados dois vértices (u, x) ∈ V* e (v, y) ∈ V*, então a aresta {(u, x), (v, y)} ∈ E* se, e somente se, a aresta {(x, u), (y, v)} ∈ E**. Tem-se que {(u, x), (v, y)} ∈ E* se, e somente se:

1- (u, v) ∈ E1'e f1((u, v))(x) = y e (v, u) ∈ E1'e f1(v, u)(y) = (f1((u, v)))-1(y) = x ou

2- (x, y) ∈ E2'e f2((x, y))(u) = v e (y, x) ∈ E2'e f2(y, x)(v) = (f2((x, y)))-1(v) = u. {(x, u), (y, v)} ∈ E** se, e somente se:

3- (x, y) ∈ E2e f2 ((x, y))(u) =v e (y, x) ∈ E2e f2(y, x)(v) = ( 2f((x, y)))-1(v) = u ou

4- (u, v) ∈ E1e f1((u, v))(x) = y e (v, u) ∈ E1e f1(v, u)(y) = ( f1((x, y)))-1(y) = x. Como 1 é equivalente a 4 e 2 é equivalente a 3 o teorema está provado.

Teorema 3.2. Sejam G1 = (V1, E1) e G2 = (V2, E2) grafos funcionalmente ligados pelas aplicações f1 : E1F(V2) e f2 : E2F(V1). Para todo vértice (u, x) do grafo G* = (V*, E*) = (G1, f1) × (G2, f2) tem-se que: dG*((u, x)) = dG1 (u) + dG2 (x).

Demonstração. Para cada (u, x) ∈ V*, denota-se por EG*((u, x)) o conjunto de arestas incidentes nesse vértice no grafo G*. Constrói-se a aplicação h1 : NG1 (u) → EG* ((u, x)) da seguinte forma: h1(v) = {(v, y), (u, x)} onde y V2 e tal que f1((u, v))(x) = y com (u, v) ∈ E(D(G1)); y existe pois f1((u, v)) é bijetiva. Por outro lado h é injetiva, pois se v1, v2NG1 (u) e v1 ≠ v2 então necessariamente (v1, y1)(u, x) = (v2, y2)(u, x) independentemente do valor de y1 e y2. De forma semelhante, construimos h2 :NG2 (x) → EG*((u, x)). Se uma aresta é incidente em (u, x) no grafo G*ela tem a forma {(u, v) ∈ E(D(G1)) tal que f1((u, v))(x) = y ou (x, y) ∈ E(D(G2)) tal que f2((x, y))(u) = v. Por construção de h1e h2 tem-se que h1(NG1 (u)) ∪ h2(NG2 (v)) = EG*((u, x)). Por outro lado, se {(u, x), (v, y)} ∈ h1(N(u)) e {(u, x), (v, y)} ∈ h2(N(v)) então existem arcos (u, v) ∈ E (D(G1)) e (x, y) ∈ E(D(G2)) tais que f1((u, v))(x) = y e f2((x, y))(u) = v o que contradiz a condição 3 da definição de aplicações de ligação logo, h1(NG1(u))∩h2 (NG2 (v)) = Φ.

Podemos agora construir a bijeção

h: NG1 (u) ∪NG2 (x) → EG* ((u, v)), definida por

O que conclui a prova do teorema.

Do teorema anterior se obtém, de forma imediata, o seguinte corolário.

Corolário 3.2.1. Sejam G1 = (V1, E1) e G2 = (V2, E2) grafos funcionalmente ligados pelas aplicações f1 : E1 F(V2) e f2 : E2 F(V1), então o grafo G*= (V *, E* ) = (G1, f1) × (G2, f2) tem grau máximo Δ(G*) = Δ (G1) + Δ (G2).

Em relação a conexidade, o produto funcional de grafos conexos não é necessarimamente conexo como mostra a Figura 3, mas também e possível obter um grafo conexo como resultado do produto funcional de dois grafos desconexos. O teorema abaixo oferece uma condição que garante a conexidade do grafo produto funcional, caso os fatores sejam conexos.


Teorema 3.3. Dados dois grafos G1 =(V1, E1) e G2 = (V2, E2) conexos e funcionalmente ligados pelas aplicações f1 : E1F(V2) e f2 : E2F(V1), se f1ou f2atribui a identidade a todos os arcos do digrafo correpondente, então o produto funcional de G1por G2segundo f1e f2é conexo.

Demonstração. Sem perda de generalidade, suponhamos que f2 atribui a identidade a todos os arcos de D(G2). Sejam G* (V*, E*) = (G1, f1) × (G2, f2), (u, x) e (v, y) dois vértices de G*. Como G1 = v em G1. Sejam agora z1 = f1((u, x1))(x), zi+1 = f1((xi, xi+1))(zi), i = 1, ..., p -1, consequentemente existe um caminho P1 = (u, x)(x1, z1)(x2, z2) ∙∙∙(v, zp) em G*. Como G2 é conexo, existe um caminho zpy1 ∙∙∙yq com yq = y em G2, e como f2(e)(v) = v para toda aresta eE,2 então P2 = (v, zp)(v, y1) ∙∙∙(v, y) é um caminho em G* A união de P1 e P2 proporciona um caminho entre (u, x) e (v, y).

O Produto Cartesiano de dois Grafos é conexo se, e somente se, ambos os fatores forem conexos, e para mais detalhes, pode-se consultar [14, 11]. Observe que esse resultado é uma consequência do teorema anterior, pois no Produto Cartesiano de Grafos, as aplicações de ligação f1 e f2 atribuem a identidade a todos os arcos dos digrafos correpondentes. Esse teorema impõe uma condição forte sobre uma das aplicações de ligação para que o produto funcional seja conexo. Mas, neste artigo, tal condição é suficiente para construir famílias de grafos conexos que admitem coloração com folga I com Δ+Δ cores, que foi a motivação inicial para a introdução do produto funcional. De qualquer forma, uma proposta de trabalho futuro e determinar condicoes mais fracas para as aplicações de ligação.

4 UMA APLICAÇÃO DO PRODUTO FUNCIONAL

Nesta seção, mostraremos alguns resultados relativos à construção de famílias de grafos regulares que admitem uma coloração com folga Δ com Δ +1 cores. Para um estudo mais detalhado, bem como outros resultados pode-se consultar [12]. Muitos grafos usados como grafos suporte para topologias de redes de interconexão, são obtidos mediante o produto cartesiano de grafos, como é o caso do hipercubo, mas nem sempre estes grafos admitem uma coloração com folga Δ com Δ +1 cores (como é o caso do toro C3 × C5, ilustrado na Figura 4). Com uma modificação adequada, pode-se obter um grafo que admite a coloração desejada mantendo as caracteristicas dos grafos suporte de redes (no que diz repeito à diâmetro, conexidade, regularidade, etc). As definições e teoremas a seguir exploram a ideia anterior.


Definição 4.1 (Grafo k-suporte). Dado um número natural k, k> 3, o grafo G = (V, E), é um k-suporte se satisfaz as seguintes condições

1. G é um grafo regular de grau k -3;

2. Existe uma aplicação f : E(G) → F(Ik), tal que G e Ck estão funcionalmente ligados por f e Id, onde Id: E(Ck) → F(I|V|) é a aplicação que a cada arco de D(Ck)faz corresponder a função identidade;

3. O grafo G*= (f1, G) × (Id, Ck) pode ser colorido com folga Δ(G*) com Δ(G*) +1 cores.

Teorema 4.1. Se G(V, E) é um grafo k-regular de classe 1, então G é (k +3)-suporte.

Demonstração. Sejam V ={v1, v2, ..., vn}, V (Ck+3) = {u0, u1, ..., uk+2}, C = {2, 3, 4 ..., k +1} um conjunto e c: E → C, uma coloração de arestas de G usando o conjunto C. Dividiremos o restante da prova em dois casos:

Caso 1. k = Δ é par:

Denotamos por i' o número (k +3) - i, para todo i ∈ {2, 3, ...,(+1)}. Veja agora que i + i' = 0 (mod k +3), e que para cada par {i, i' } o subgrafo Gi (Vi , Ei ) induzido pelo conjunto de arestas {eE : c(e) = i ou c(e) = i' } é um grafo regular de grau 2 e que V = Vi . Logo, as componentes conexas de cada subgrafo Gi , são ciclos Gi1, ..., Giti , onde ti é um número natural, ti < e cada ciclo Gij está associado a dois ciclos orientados e em D(G). Definimos as aplicações f1 : E(D(G)) → V (CΔ+3), f2 :E(D(CΔ+3)) → V como segue:

f2(x) = Id(x) para todo arco xD(CΔ+3), onde Id representa a função identidade.

Sejam agora G*= (f1, G1) × (f2, Ck+3), V*= V(G*), E*= E(G*), A coloração f : V*→ {0, 1, ..., (k +2)} definida por: f ((vi , uj)) = j, i = 1, 2, ..., n; j = 0, 1, 2, ..., (k +2) é uma coloração com folga Δ(V *) com Δ(V*) +1 "cores" do grafo G*. O conjunto de "cores" {0, 1, ..., (k +2)}possui k +3 elementos pelo corolário 3.2.1 G* é um grafo regular de grau Δ(G) + Δ(Ck+3) = k +2. Para analisar que a coloração tem folga Δ(G*), observe que por simetria basta analisar um vétice de V*, por exemplo (v1, u0), seja NG(v1) = {x2, ..., xk+1}, por facilidade e sem perder generalidade vamos supor que c(v1xj) = j , j ∈ {2, ..., k +1} (na verdade cada aresta incidente a v1 possui uma cor diferente) então os extremos dos arcos de (f1,1) × (f2,Δ+3) que tem como origem (v1, u0) são (v1, u1), (v1, uk+2), (x2, u2), (x3, u3), (x4, u4), ..., (xk+1, uk+1) coloridos com as "cores" 1, k +2, 2, 3, ..., k +1 respectivamente, logo a coloração possui folga Δ.

Caso 2. k = Δ(G)é ímpar:

Observe que 2 +(k +1) = 3 + k = 4 + (k -1)∙∙=∙ + = + = k + 3, e denotamos por i' o número (k +3)- i, para todo i ∈ {2, 3, ..., ( +1)}. Agora o subgrafo Gi(Vi , Ei) induzido pelo conjunto de arestas {eE : c(e) = i ou c(e) = i'} i ∈ {2, 3, ..., (+ 1)} é um grafo regular de grau 2, e o subgrafo Ga, com a =, + 1 induzido pelo conjunto de arestas {e E : c(e) = + 1} é um emparelhamento perfeito, e o raciocinio seguido no caso 1, é válido, o que prova o teorema.

A Figura 5(a) mostra um grafo 3-regular de classe 1, colorido com os elementos do conjunto {2, 3, 4}. As setas indicam que ao fazer o produto funcional no sentido indicado é usada a rotação r3 ou r4 segundo o caso. Já no sentido contrário a r4, éusada r2 pois 4 +2 = 0 (mod 6), e no sentido contrário a r3 eusada ´r3 pois 3 +3 = 0 (mod 6). A Figura 5(b) ilustra o produto funcional com o ciclo C6, mas como o número de arestas é muito grande, foram representadas apenas as arestas que tem como extremo o vértice 0 de algum ciclo.


Teorema 4.2. Se G(V, E) = é um grafo completo então G é um (|V| + 2)-suporte.

Demonstração Seja G(V, E) = Kn. Se n é par então G é de classe 1 e o teorema está provado, logo vamos supor que n é ímpar. Sejam V = {v0, v1, ..., vn-1} e c : E → C = {0, 1, 2, ..., n} uma coloração de arestas de G definida por c(vi, vj) = (i +j )(mod n); i, j ∈ {0, 1, ..., n -1}; i ≠ j . É claro que c, é própria pois fixando i 0 ∈ {0, 1, ..., n -1} temos que (i0 + j0) ≡(i0 + j1)(mod n) se, e somente se, j0j1 (mod n). Antes de continuar com a prova do teorema, provaremos a seguinte, propriedade de c: se c0C está ausente no vértice vi0 e c({vi0 , vi1 }) = 0, então c'0 está ausente no vértice vi1, onde c0 denota o inverso aditivo de c0 (mod n). Observe inicialmente que para todo i ∈{0, 1, 2, ..., n -1}, a cor i está ausente no vértice vi .De fato,(i + i) ≡(i + j )(mod n), se, e somente se, ij (mod n), ecomo i, j ∈{0, 1, ..., n -1}, então i = j , mas G não possui laços, por outro lado (i + j ) = 0 (mod n) se, e somente se, (i + j ) = 0 (mod n), isto é, j = i (mod n), de onde segue imediatamente a propriedade. Para cada i ∈ {0, 1, 2, ...n -1}, denotamos por ei a aresta {vi, vi}. Agora para cada par de cores {i, i'} i ∈{1, 2, ...,}, o subgrafo gerado pelo conjunto de arestas {eE : c(e) = i ou c(e) = i'} ∪ {ei} é um grafo regular de grau 2 cujo conjunto de vértices é V , logo G foi decomposto em grafos 2-regulares e podemos utilizar o mesmo raciocínio do teorema 4.1, usando as rotações r2, r3, ..., r e suas inversas definidas em In+2 nos respectivos ciclos orientados.

A Figura 6 mostra um K3 sendo usado como 5-suporte. Novamente foram omitidas as arestas não adjacentes a vértices rotulados com 0.


5 CONCLUSÕES

O produto funcional é uma generalização do produto cartesiano, e que apresenta algumas das propriedades deste, como a comutatividade e o fato de que o grau máximo do grafo produto seja a soma dos graus máximos dos grafos fatores. Por outro lado, o produto funcional mostrou-se eficiente para construir grafos que de alguma forma "herdam" boas propriedades dos fatores, como foi mostrado na seção anterior, e ainda oferece mais "liberdade" que o produto cartesiano usual na hora de definir as adjacências do grafo produto. Para o futuro, pretende-se estudar o comportamento de algumas invariantes de grafos, assim como condições mais fracas para garantir a conexidade do produto quando os fatores sejam conexos.

Recebido em 27 outubro, 2012

Aceito em 7 junho, 2013

  • *
    Autor correspondente: Abel Rodolfo Garcia Lozano
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    * Autor correspondente: Abel Rodolfo Garcia Lozano

    Datas de Publicação

    • Publicação nesta coleção
      11 Out 2013
    • Data do Fascículo
      Ago 2013

    Histórico

    • Recebido
      27 Out 2012
    • Aceito
      07 Jun 2013
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